Tópicos de Física 1 - Parte 2-079-081

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413TÓPICO 6 | TRABALHO E POTæNCIA
F & e d & têm mesma direção e sentidos opostos
Neste caso, u 5 180° e cos u 5 21. Assim, o trabalho é calculado por:
τ 5 F d cos u ⇒ τ 5 F d (21)
ou τ 5 2Fd
F & e d & são perpendiculares entre si
Neste caso, u 5 90° e cos u 5 0. Assim, o trabalho é calculado por:
τ 5 F d cos u ⇒ τ 5 F d (0)
ou τ 5 0
A B
d
F
 Neste exemplo, o bloco 
desloca-se de A para B ao 
longo de um plano horizontal 
áspero. Nesse deslocamento 
(d & ), o bloco sofre a ação da 
força de atrito F & (admitida 
constante), cujo trabalho pode 
ser calculado por τ 5 2Fd.
núcleo
elétron
MCU
F
c p
v
 Nesta figura, tem-se a representação clássica do átomo de hidrogênio, em que apenas 
um elétron realiza movimento circular e uniforme em torno do núcleo. A resultante 
centrípeta que mantém o elétron em sua órbita é a força de atração eletrostática 
recebida do núcleo. Essa resultante não realiza trabalho, pois, a cada intervalo 
elementar de tempo, ela é perpendicular à direção do respectivo deslocamento.
Outro caso interessante é o da força centrípeta. Conforme vimos no Tópico 3 
(Resultantes tangencial e centrípeta), a força centrípeta é, a cada instante, per-
pendicular à velocidade vetorial. Por isso, para intervalos de tempo 
elementares (extremamente pequenos), a força centrípeta é perpen-
dicular aos respectivos deslocamentos elementares sofridos pela 
partícula, o que nos permite afirmar que:
Sempre que a força e o deslocamento forem perpendiculares entre si, a força 
não realizará trabalho.
Um eficiente modal de transporte urbano: o monotrilho
A composição que aparece na imagem a seguir não é um novo modelo de montanha-russa. 
É o monotrilho de São Paulo, nova alternativa que promete revolucionar o transporte público da capital 
paulista. A previsão é que o sistema entre em plena operação até 2020, transportando diariamente cerca 
de 1 milhão de passageiros.
O monotrilho é fabricado em alumínio e isso o torna 30% mais leve que versões similares feitas de aço. Essa 
maior leveza permite deslocamentos mais suaves e velozes. O comboio é totalmente elétrico, o que colabora 
para a obtenção de índices praticamente nulos de poluição. 
Uma novidade é que o veículo opera sem condutor. Seu 
controle é feito remotamente por um sistema de computa-
dores existente em uma central. Para deslocamentos hori-
zontais, tem-se que a força da gravidade (peso) e a força 
vertical recebida da estrutura de sustentação (força normal) 
não realizam trabalho. Isso ocorre porque essas forças são 
perpendiculares ao deslocamento.
JÁ PENSOU NISTO?
 Teste com monotrilho de São Paulo. Dezembro 
de 2015.
J
a
le
s
 V
a
lq
u
e
r/
F
o
to
a
re
n
a
A força centrípeta nunca realiza trabalho; 
seu trabalho é sempre nulo.
τ(F &cp)
 5 0
C
J
T
/Z
a
p
t/
A
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u
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414 UNIDADE 2 | DINÂMICA
5. C‡lculo gr‡fico do trabalho
No esquema a seguir temos um bloco percorrendo o eixo 0x. Ele se des-
loca sob a ação exclusiva da força F &, paralela ao eixo.
0 x
2
xx
1
F
Façamos o gráfico do valor algébrico de F & em função de x. O valor algébrico 
de F & é o valor dessa força com relação ao eixo 0x. Esse valor é positivo quando 
F & atua no sentido do eixo e negativo quando F & atua em sentido oposto ao do eixo. 
Considerando que F & é constante, obtemos:
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
0 xx
1
F
F
x
2
A
0 x
F
A
1
A
2 F é o valor algébrico da força 
responsável pelo trabalho.
Dado um diagrama do valor algébrico da força atuante em uma partícula em 
função de sua posição, a “área” compreendida entre o gráfico e o eixo das 
posições expressa o valor algébrico do trabalho da força. No entanto, a força 
considerada deve ser paralela ao deslocamento da partícula.
A 5 τ
Embora a última propriedade tenha sido apresentada com base em uma si-
tuação simples e particular, sua validade estende-se também ao caso de forças 
paralelas ao deslocamento, porém de valor algébrico variável. Entretanto, para 
esses casos, sua verificação requer um tratamento matemático mais elaborado.
A1 1 A2 5 τ
(soma algébrica)
Em termos gerais, podemos enunciar que:
Tomemos a "área" A, destacada no diagrama. Teria essa "área" algum significa-
do especial? Sim, ela fornece uma medida do valor algébrico do trabalho da força F & 
ao longo do deslocamento do bloco, do ponto de abscissa x1 ao ponto de abscissa x2.
De fato, isso pode ser verificado fazendo-se:
A 5 F (x2 2 x1),
mas x2 2 x1 5 d, em que d é o módulo do deslocamento vetorial do bloco. Logo:
A 5 F d
Recordando que o produto Fd corresponde ao trabalho de F &, obtemos:
C
J
T
/Z
a
p
t/
 
A
rq
u
iv
o
 d
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B
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415TÓPICO 6 | TRABALHO E POTæNCIA
Nível 1Exercícios
 1. Na figura abaixo, embora puxe a carroça com uma 
força horizontal de 1,0 ? 103 N, o cavalo não con-
segue tirá-la do lugar devido ao entrave de uma 
pedra:
Qual é o trabalho da força do cavalo sobre a carroça?
 2. No SI, a unidade de trabalho pode ser expressa 
por:
a) kg ? 
m
s2
b) kg ? 
m
s
2
2
c) kg2 ? 
m
s2
d) kg ? 
m
s
e) kg ? 
m
s
2
3
 3. Um homem empurra um carrinho ao longo de 
uma estrada plana, comunicando a ele uma 
força constante, paralela ao deslocamento, e 
de intensidade 3,0 ? 102 N. Determine o tra-
balho realizado pela força aplicada pelo ho-
mem sobre o carrinho, considerando um 
deslocamento de 15 m.
 Resolução:
A situação descrita está representada a seguir:
d
F
Picolés Picolés
Sendo F & e d & de mesma direção e mesmo sen-
tido, o trabalho de F & fica dado por:
τ(F &)
 5 F d
Como F 5 3,0 ? 102 N e d 5 15 m, vem:
τ(F &)
 5 3,0 ? 102 ? 15 ∴ τ(F &)
 5 4,5 ? 103 J
E.R.
 4. Uma força de intensidade 20 N atua em uma par-
tícula na mesma direção e no mesmo sentido do 
seu movimento retilíneo, que acontece sobre uma 
mesa horizontal. Calcule o trabalho da força, con-
siderando um deslocamento de 3,0 m.
 5. No esquema da figura, uma mesma caixa é ar-
rastada três vezes ao longo do plano horizontal, 
deslocando-se do ponto A até o ponto B:
F
1
F
3
F
2
A B
Na primeira vez, é puxada pela força F &1, que rea-
liza um trabalho τ1; na segunda, é puxada pela 
força F &2, que realiza um trabalho τ2; e na terceira 
é puxada por uma força F &3, que realiza um traba-
lho τ3. Supondo os comprimentos dos vetores da 
figura proporcionais às intensidades de F &1, F &2 e F &3, 
aponte a alternativa correta.
a) τ1 . τ2 . τ3
b) τ1 , τ2 , τ3
c) τ1 5 τ2 5 τ3
d) τ1 5 τ2 5 0
e) τ1 5 τ2 , τ3
 6. Considere um garoto de massa igual a 50 kg em 
uma roda-gigante que opera com velocidade an-
gular constante de 0,50 rad/s.
Supondo que a distância entre o garoto e o eixo 
da roda-gigante seja de 4,0 m, calcule:
a) a intensidade da força resultante no corpo do 
garoto;
b) o trabalho realizado por essa força ao longo de 
meia volta.
 7. A intensidade da resultante das forças que agem 
em uma partícula varia em função de sua posição 
sobre o eixo 0x, conforme o gráfico a seguir:
0 x (m)2,0
F (N)
4,0 6,0 8,0 10 12
–20
–40
20
Calcule o trabalho da força para os deslocamentos:
a) de x1 5 0 a x2 5 8,0 m;
b) de x2 5 8,0 m a x3 5 12 m;
c) de x1 5 0 a x3 5 12 m.
C
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T
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