ATIVIDADE 2 (A2) - CÁLCULO APLICADO - VÁRIAS VARIÁVEIS

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Usuário XXXXXXXXXXXX 
Curso CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS 
Teste ATIVIDADE 2 (A2) 
Iniciado 02/03/21 00:16 
Enviado 03/03/21 00:21 
Status Completada 
Resultado da tentativa 10 em 10 pontos 
Tempo decorrido 24 horas, 5 minutos 
Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários 
 Pergunta 1 
1 em 1 pontos 
 
 O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem 
trocados no lugar da variável (ou variáveis), produzem um resultado válido. 
Alguns exemplos: em funções raízes, o domínio corresponde a todos os 
valores que não geram um valor negativo dentro da raiz, já no caso de 
funções quocientes, o domínio corresponde a todos os valores que não 
zeraram o denominador. 
 
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir. 
 
I - O domínio da função é o conjunto . 
II - O domínio da função é o conjunto . 
III - O domínio da função é o conjunto . 
IV - O domínio da função é o conjunto . 
 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
I, IV 
Resposta Correta: 
I, IV 
Comentário da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Avaliando as 
restrições de cada função, concluímos que: 
Afirmativa I: Correta. O domínio da função é o 
conjunto . 
Afirmativa IV: Correta. O domínio da função é o 
conjunto . 
 
 
 Pergunta 2 
1 em 1 pontos 
 
 
O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto do espaço , 
enquanto que o seu domínio é uma região do plano . Para determinar o 
domínio da função de duas variáveis , precisamos verificar se não há 
restrições para os valores que e podem assumir. 
Com relação ao domínio de uma função de duas variáveis, analise as 
afirmativas a seguir. 
 
I. O domínio da função corresponde à região a seguir. 
 
 
II. O domínio da função corresponde à região a seguir. 
 
 
III. O domínio da função corresponde à região a seguir. 
 
 
IV. O domínio da função corresponde à região a seguir. 
 
 
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s). 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
I, apenas. 
Resposta Correta: 
I, apenas. 
Comentário da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Verificando as 
restrições para a função, temos que apenas a afirmativa I é 
verdadeira, pois: 
Afirmativa I: Correta. A função tem as seguintes 
 
restrições e , portanto, o domínio da função é o 
conjunto , que corresponde à região dada na afirmativa. 
 
 Pergunta 3 
1 em 1 pontos 
 
 O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, 
isto é, dada a função o vetor gradiente é o vetor . Dado um 
ponto , o vetor gradiente da função no ponto P é obtido por meio 
da seguinte expressão . 
 
Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da 
função no ponto . 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
 
Resposta Correta: 
 
Comentário da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiro, 
vamos calcular as derivadas parciais da função: 
- Derivada de em relação a (a variável é 
vista como constante): 
- Derivada de em relação a (a variável é 
vista como constante): . 
Calculando as derivadas parciais no ponto , 
temos e . Logo, o vetor gradiente é . 
 
 
 Pergunta 4 
1 em 1 pontos 
 
 
Chamamos de curva de nível da função o conjunto de todos os 
pares pertencentes ao domínio de tais que , onde é uma 
constante real. Utilizamos as curvas de nível para visualizar 
 
geometricamente o comportamento de uma função de duas variáveis. 
 
Com relação às curvas de nível, assinale a alternativa correta. 
 
 
Resposta 
Selecionada: 
 
A equação é uma curva de nível para a 
função para . 
Resposta Correta: 
A equação é uma curva de nível para a 
função para . 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela definição 
de curva de nível, temos que . Assim, igualando a 
função ao valor de , temos que . Portanto, a curva 
de nível da função para é dada pela equação 
. 
 
 
 Pergunta 5 
1 em 1 pontos 
 
 
As derivadas parciais com relação a e a fornecem em cada uma 
delas a inclinação da reta tangente a uma função de duas 
variáveis quando fixadas as direções que correspondem a cada um 
desses eixos. No entanto, é possível, também, determinar a derivada da 
função com relação a qualquer direção diferente das direções 
paralelas aos eixos coordenados, desde que essa direção seja fornecida por 
um vetor unitário. 
 
Com base nisso, conceituamos a ideia de derivada direcional que pode ser 
expressa por . Assinale a alternativa que corresponde à derivada 
direcional da função no ponto na direção do vetor . 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
 
 
Resposta Correta: 
 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas 
parciais da função são: e , que implicam que o 
vetor gradiente seja . Calculando o vetor gradiente no 
ponto P, temos que . Para calcular a derivada direcional, 
necessitamos de um vetor unitário, assim, tome . Logo, a 
derivada direcional procurada é . 
 
 Pergunta 6 
1 em 1 pontos 
 
 
Considere a função de duas variáveis , tal que as 
variáveis e são funções da variável , isto é, e . A 
derivada da função com relação à variável é obtida por meio da 
regra da cadeia expressa por . Pela regra da cadeia, podemos notar 
que precisamos das derivadas parciais da função com relação às 
variáveis e e precisamos das derivadas das 
funções e com relação à variável . 
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada 
da função com relação à variável , sabendo que e . 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
 
Resposta Correta: 
 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as 
seguintes derivadas: , , e . Aplicando a 
regra da cadeia, obtemos a expressão da derivada 
 
desejada: . Trocando as expressões 
de e temos . 
 
 Pergunta 7 
1 em 1 pontos 
 
 Esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis sem o auxílio de um 
software pode ser trabalhoso às vezes. Para contornar esse problema, outro 
recurso que podemos utilizar para visualizar geometricamente o 
comportamento da função é o conceito de curva de nível. 
 
A respeito das curvas de nível, assinale a alternativa correta. 
 
 
 
Resposta 
Selecionada: 
 
Uma curva de nível é um subconjunto do 
espaço . 
Resposta Correta: 
Uma curva de nível é um subconjunto do 
espaço . 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. O gráfico de 
uma função de duas variáveis é um conjunto de pontos do 
espaço , para poder visualizar uma representação 
geométrica da função no plano recorremos ao uso das 
curvas de nível, que são curvas planas do plano . 
Portanto, uma curva de nível é um subconjunto do plano 
. 
 
 
 Pergunta 8 
1 em 1 pontos 
 
 A direção e o sentido de maior decrescimento de uma função em um dado 
ponto é dada pelo vetor oposto ao vetor gradiente, visto que esse 
representa a direção e o sentido de maior crescimento. Sabendo disso, 
suponha que a função represente uma distribuição de temperatura no 
plano (suponha medida em graus Celsius, e medidos 
em ). 
 
 
Dado o ponto , assinale a alternativa que corresponde à direção de 
maior decrescimento da temperatura e sua taxa de variação mínima. 
 
 
Resposta Selecionada: 
Direção e taxa mínima de . 
Resposta Correta: 
Direção e taxa mínima de . 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de 
maior decrescimento é oposta ao vetor gradiente no ponto 
considerado, isto é . Já a variação de temperatura é 
mínima em . (O sinal negativo apenas indica que a 
temperatura é mínima). 
 
 
 Pergunta 9 
1 em 1 pontos 
 
 A derivada direcional é uma ferramenta muito útil quando se deseja 
determinar a direção no plano no qual a função crescemais rápido. No 
caso, essa direção de maior crescimento corresponde à direção do vetor 
gradiente em sua forma unitária. Já a direção oposta ao vetor gradiente irá 
denotar a direção de maior decrescimento da função. 
 
Com base nessas informações, determine a direção de maior crescimento 
da função no ponto P(1,2). 
 
Resposta Selecionada: 
 
Resposta Correta: 
 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de 
maior crescimento é . Precisamos então determinar o 
vetor gradiente. O vetor gradiente é o vetor formado pelas 
derivadas parciais da função , assim, 
Derivadas parciais e vetor gradiente no ponto P(1,2): 
- 
- 
 
- 
 
A norma do vetor gradiente no ponto P(1,2) é . 
Assim, a direção de maior crescimento é . 
 
 Pergunta 10 
1 em 1 pontos 
 
 Derivar funções compostas é um processo que requer muito cuidado em 
cada etapa. Esse tipo de função é derivada fazendo o uso da chamada 
regra da cadeia. No caso de funções de duas variáveis, temos que observar 
quais são as variáveis independentes, as variáveis intermediárias e a 
variável dependente. Sabemos que podemos escrever . 
Se e e . 
 
Com base no exposto, assinale a alternativa correta. 
 
 
 
Resposta 
Selecionada: 
 
As variáveis e são as variáveis 
independentes. 
Resposta Correta: 
As variáveis e são as variáveis 
independentes. 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos que a 
variável depende das variáveis e , pois . 
No entanto, as variáveis e dependem das 
variáveis e e essas últimas não possuem 
dependência de nenhuma outra variável. Dessa forma, 
concluímos que as variáveis e são as variáveis 
independentes.