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Ma tem áti ca Fi na nc eir a Au la 02 - Ca pit ali za çã o Si mp les 13Faculdade On-Line UVB Anotações do Aluno uvb Aula Nº 2 – Capitalização Simples OBJETIVOS DESTA AULA Algumas operações bancárias são realizadas com a utilização da capitalização simples, como o desconto bancário de duplicatas e outros títulos, cálculo de juros de cheque especial etc. O objetivo desta aula é apresentar o cálculo de juros simples por meio de fórmulas de juros e montante. Tenha uma ótima aula! 1. Cálculo do Capital Fórmula de juros simples J = VP . i . n Um empréstimo foi concedido pelo prazo de 6 meses à taxa de 2% ao mês e o devedor deverá resgatar ao credor, no final desse prazo, a importância inicial e mais R$ 1.000,00 de juros. Qual foi o valor do empréstimo? Dados: n = 6 meses i = 2% ao mês J = R$ 1.000,00 Solução: J = VP . i . n 1.000,00 = VP . 0,02 . 6 1.000,00 = VP . 0,12 VP = 1.000,00 0,12 Ma tem áti ca Fi na nc eir a Au la 02 - Ca pit ali za çã o Si mp les 14Faculdade On-Line UVB Anotações do Aluno uvb VP = 8.333,33 O valor do empréstimo é de R$ 8.333,33. 2. Cálculo da taxa de juros Calcular a taxa mensal de juros simples para 20 dias de aplicação de um capital de R$ 20.000 que rendeu, nesse período, R$ 200,00 de juros. Dados: n = 20 dias VP = r$ 20.000 J = 200 i = ? Solução: J = VP . i . n 200 = 20.000 . i . 20 200 = 400.000 . i i = 200 : 400.000 = 0,0005 ou 0,05% ao dia Taxa mensal = 0,05 x 30 = 1,5% ao mês 3. Cálculo do Montante ou Valor Futuro Calcular o montante de uma aplicação de R$ 3.000,00 pelo prazo de 12 meses à taxa de 2,1% ao mês. Dados: VP = R$ 3.000 n = 12 meses i = 2,1% ao mês VF = ? Solução: Ma tem áti ca Fi na nc eir a Au la 02 - Ca pit ali za çã o Si mp les 15Faculdade On-Line UVB Anotações do Aluno uvb J = VP . i . n J = 3.000 . 0,021 . 12 J = 126 VF = VP + J VF = 3.000 + 126 VF = 3.126 Se VF = VP + J E J = VP . i . n Podemos substituir o J, na primeira equação, por VP . i . n. VF = VP + VP . i . n. Colocando VP em evidência, temos VF = VP. (1 + i . n). Assim, poderíamos calcular o montante com esta fórmula: VF = 3.000 . (1 + 0,021 . 12) VF = 3.000 . (1 + 0,042) VF = 3.000 . 1,042 = R$ 3.126 4. Cálculo do Prazo Um título foi resgatado por R$ 3.000 com uma taxa de juros de 180% ao ano, sendo os juros ganhos de R$ 1.636,16. Quantos meses durou a aplicação? Dados: VF = 3.000 J = 1.636,16 i = 180% ao ano n = ? Solução: J = VP . i . n Ma tem áti ca Fi na nc eir a Au la 02 - Ca pit ali za çã o Si mp les 16Faculdade On-Line UVB Anotações do Aluno uvb 1.636,16 = 1363,84 . 1,8 . n 12 1636,16 = 204,576 . n n = 1.636,16 : 204,576 = 8 meses 5. Desconto Simples É o nome que se dá a um abatimento que se faz quando um título de crédito é resgatado antes do seu vencimento. É uma operação tradicional em que o portador do título de crédito, tais como duplicatas, letras de câmbio, notas promissórias etc. pode levantar fundos em um banco, descontando o título antes do seu vencimento. Exemplo: Uma duplicata com vencimento em 15 de dezembro é descontada por R$ 3.000,00 em 1o. de setembro do mesmo ano (2006) à taxa simples de 5% ao mês. Calcular o valor de resgate desse título nas modalidades de desconto simples racional (ou por dentro) e desconto simples comercial (ou por fora). 1)Fórmula de desconto simples comercial (ou “por fora”) VP = VF . (1 – ID . n) VP = VF . (1 – 0,05 . 105/30) 3.000 = VF . (1 – 0,05 . 3,5) 3.000 = VF . (1 – 0,175) 3.000 = VF . 0,825 3.000 = VF 0,825 VF = 3.636,36 Ma tem áti ca Fi na nc eir a Au la 02 - Ca pit ali za çã o Si mp les 17Faculdade On-Line UVB Anotações do Aluno uvb Contagem dos dias na HP-12C Fórmula de desconto simples racional (ou “por dentro”) VF = VP . (1 + i . n) VP = . V F . 1 + i . n D = VF – VP D = VF – . VF . 1 + i . n D = VF [1 – . 1 .] 1 + i . n D = VF .. i . n . 1 + i . n VF = 3.000 . (1 + iD . n) VF = 3.000 . (1 + 0,05 . 105/30) VF = 3.000 . (1 + 0,05 . 3,5) VF = 3.000 . (1 + 0,175) VF = 3.000 . 1,175 VF = 3.525,00 Exemplo 2: Determinar a taxa mensal de desconto “por dentro” usada em uma Ma tem áti ca Fi na nc eir a Au la 02 - Ca pit ali za çã o Si mp les 18Faculdade On-Line UVB Anotações do Aluno uvb operação de desconto de 60 dias de um título cujo valor de resgate é de R$ 20.000,00 e cujo valor principal é R$ 19.250,00. Solução: iD = (VF/VP – 1) . 1/n iD = (20.000/19.250 – 1) . ½ iD = (1,03896 – 1) . ½ iD = 0,03896 . ½ iD = 0,0195 iD = 1,95% ao mês Exemplo 3: Um título com 119 dias a decorrer até o seu vencimento está sendo negociado com uma taxa de desconto simples “por fora” de 15% ao ano. Considerando o ano comercial de 360 dias, determinar o valor de aplicação que proporciona um valor de resgate de R$ 3.000,00. SOLUÇÃO VP = VF . (1 – id . n) VP = 3.000 . (1 – 0,15/360 . 119) VP = 3.000 . (1 – 0,0496) VP = 3.000 . 0,9504 VP = 2.851,25 Exemplo 4: Determinar o valor do desconto simples “por fora” de um título de R$ 2.000,00, com vencimento para 90 dias, sabendo-se que a taxa de desconto é de 1,5% ao mês. SOLUÇÃO VP = VF . (1 – id . n) VP = 2.000 . (1 – 0,015 . 3) Ma tem áti ca Fi na nc eir a Au la 02 - Ca pit ali za çã o Si mp les 19Faculdade On-Line UVB Anotações do Aluno uvb VP = 2.000 . (1 – 0,045) VP = 2.000 . 0,955 VP = 1.910 D = VF – VP D = 2.000 – 1910 D = 90 Exercícios 1. Determinar o montante acumulado no final de seis semestres e os juros recebidos a partir de uma aplicação de um capital de R$ 20.000,00 com uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês. 2. Um título de 124 dias a decorrer até seu vencimento está sendo descontado a juros simples, com um taxa de rentabilidade de 1,2% ao mês. Determinar o valor da aplicação que proporciona um valor de resgate de R$ 2.000,00. 3. Um título com 93 dias a decorrer até o seu vencimento está sendo descontado a juros simples, com uma taxa de desconto “por fora” de 12% ao ano. Determinar o valor da rentabilidade desse título. 4. Determinar o capital que deve ser aplicado a juros simples, com uma taxa de 10% ao ano, para produzir um montante de R$ 10.000,00, em um prazo de 16 meses. 5. Uma duplicata de R$ 35.000,00 foi descontada por um banco 90 dias antes de seu vencimento à taxa de 2,70% ao mês. Calcular o valor líquido creditado ao cliente (desconto “por fora”). Síntese Nesta aula, estudamos a capitalização simples, envolvendo cálculo de juros e de desconto. O desconto simples “por fora”, também chamado Ma tem áti ca Fi na nc eir a Au la 02 - Ca pit ali za çã o Si mp les 20Faculdade On-Line UVB Anotações do Aluno uvb de desconto bancário, é o mais utilizado pelo mercado financeiro, principalmente para desconto de títulos. Na próxima aula, estudaremos a capitalização composta, que não é mais difícil, é só um pouco mais complexa por envolver a função exponencial. Referências BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática Financeira Aplicada. São Paulo: Thomson-Pioneira, 2002.SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira – Aplicações à Análise de Investimentos. 3.ed. São Paulo: Prentice Hall, 2002.
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