Aula_06_-_Contagem_e_Sistema_de_Numeração_-_CN_2024-79-81

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Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 06 – CONTAGEM E BASES DE NUMERAÇÃO 
 
8𝑎 + 𝑏 = 48 + 7 = 55 (𝑎𝑏𝑠𝑢𝑟𝑑𝑜) 
 Se a=3: 
8𝑎 + 𝑏 = 24 + 7 = 31 
12𝑎 + 𝑏 = 36 + 7 = 43 
 Logo N é 37 e sua soma dos algarismos é 10. 
Gabarito: “B” 
 Um número de dois algarismos quando escrito na base 5 possui 6 unidades a mais do que quando 
escrito na base 4, porém com os algarismos em ordem inversa. A soma destes dois números quando 
escritos na base 10 é igual a: 
a) 20 
b) 22 
c) 24 
d) 26 
e) 28 
Comentários 
 Tomemos (𝑎𝑏)5 e (𝑏𝑎)4: 
5𝑎 + 𝑏 = 4𝑏 + 𝑎 + 6 ⇒ 4𝑎 = 3(𝑏 + 2) 
 Como 𝑎 e 𝑏 são inteiros positivos menores que 4, temos que: 
4|𝑏 + 2 ⇒ 𝑏 + 2 = 4 ⇒ 𝑏 = 2 
3|𝑎 ⇒ 𝑎 = 3 
 Assim os números (𝑎𝑏)5 e (𝑏𝑎)4: 
(𝑎𝑏)5 = 5.3 + 2 = 17 
(𝑏𝑎)4 = 4.2 + 3 = 11 
(𝑎𝑏)5 + (𝑏𝑎)4 = 28 
Gabarito: “E” 
 Quando escrito na base 3, um inteiro positivo 𝑵 termina com dois zeros e quando escrito na base 4 ou 
na base 5 este número termina com um zero apenas. O número de outras bases nas quais a 
representação deste inteiro termina com pelo menos um zero é igual a: 
 
 
 
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a) 18 
b) 16 
c) 14 
d) 12 
e) 10 
Comentários 
 Sabemos que se N terminar com dois zeros na base 3 e termina em um zero nas bases 4 e 5, 
32|𝑁, 4|𝑁 e 5|𝑁. Dessa forma, N é, no mínimo, 9.4.5 = 180. 
 Para que outras bases também terminem com pelo menos um zero, vejamos os divisores de 
180. Assim, para b|180, temos que N em seu sistema de numeração terminará com pelo menos 
um zero. 
 Como 180 possui 18 divisores, desconsiderando as bases iniciais 3,4,5 e também o divisor 1, 
temos que o número de bases restantes que atenderão esse requisito será 14. 
Gabarito: “C” 
 O número de inteiros não negativos 𝒏 tais que a sua representação na base 2 possui os mesmos 
algarismos, e na mesma ordem, que a representação de 𝟐𝒏 na base 3 é igual a: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
Comentários 
 Suponha inicialmente que 𝑛 tenha 2 algarismos na sua representação na base 2. Assim: 
𝑛 = 2𝑎 + 𝑏, 𝑜𝑛𝑑𝑒 0 ≤ 𝑎 ≤ 1 𝑒 0 ≤ 𝑏 ≤ 1 
2𝑛 = 3𝑎 + 𝑏 
𝑛 = 𝑎 ⇒ 𝑎 = 2𝑎 + 𝑏 ⇒ 𝑎 + 𝑏 = 0 ⇒ 𝑎 = 𝑏 = 0 (𝑎𝑏𝑠𝑢𝑟𝑑𝑜, 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑛 𝑡𝑒𝑚 2 𝑎𝑙𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠𝑚𝑜𝑠) 
 Suponha que n tenha 3 algarismos na sua representação na base 2. 
𝑛 = 4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 ∈ {0,1} 
2𝑛 = 9𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 
 
 
 
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𝑛 = 5𝑎 + 𝑏 
 Se a=b=1: 
𝑛 = 5 + 1 = 6 ⇒ 6 = 4 + 2 + 𝑐 ⇒ 𝑐 = 0 
2𝑛 = 12 = 9.1 + 3.1 + 1.0 = 12 
 Logo, n=6 satisfaz. Se a=1, b=0: 
𝑛 = 5 + 0 = 5 ⇒ 5 = 4 + 2.0 + 𝑐 ⇒ 𝑐 = 1 
2𝑛 = 10 = 9.1 + 3.0 + 1.1 = 10 
 Logo n=5 satisfiz. Se a=0, iriamos para o caso de n ter apenas dois algarismos. Olhando agora 
para n com 4 algarismos na representação da base 2. 
𝑛 = 8𝑎 + 4𝑏 + 2𝑐 + 𝑑, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑒 𝑑 ∈ {0,1} 
2𝑛 = 27𝑎 + 9𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 
𝑛 = 19𝑎 + 5𝑏 + 𝑐 
 Se a=0, iriamos para o caso de n com 3 algarismos. Dessa forma, a=1. 
𝑛 = 19 + 5𝑏 + 𝑐 = 8𝑎 + 4𝑏 + 2𝑐 + 𝑑 ⇒ 11 = 𝑐 + 𝑑 − 𝑏 (𝑖) 
 Sabemos que 𝑐 + 𝑑 − 𝑏 ≤ 2. Logo, o sistema acima é absurdo. Dessa forma, o 4º algarismo 
sempre será 0. Se n tiver um quinto algarismo, resultará o mesmo que o caso de 4 algarismos, 
aumentando a diferença 3𝑦 − 2𝑦 multiplicado ao quinto algarismo de n, onde y+1 é a quantidade 
de algarismos. Dessa forma, aumentando essa diferença, aumentará a desigualdade apresentada 
no caso acima, analogamente, tornando continuamente absurda a igualdade (i). Assim, há apenas 
2 casos possíveis para que satisfaça as condições do problema. 
Gabarito: “B” 
 A soma de todos os números naturais que possuem o mesmo número de algarismos quando escritos 
tanto no sistema de numeração de base 3 quanto no sistema de base 5 é igual a: 
a) 100 
b) 80 
c) 60 
d) 40 
e) 30 
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