Livro 1 - Mat e Nat-073-078

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MateMática e suas tecnoLogias Matemática II
Anual – Volume 1
Anotações
MateMática iii
análise coMbinatória
Objetivo(s):
Conteúdo:
aula 01: Fatorial
Introdução ...............................................................................................................................................................................................................64
Fatorial de um número natural.................................................................................................................................................................................64
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................64
aula 02: PrincíPio FundaMental da contageM (PrincíPio MultiPlicativo)
Introdução ...............................................................................................................................................................................................................66
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................68
aula 03: PerMutação siMPles e PerMutação coM rePetição 
Introdução ...............................................................................................................................................................................................................71
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................72
aula 04: arranjos siMPles e coMbinações siMPles
Introdução ...............................................................................................................................................................................................................75
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................78
aula 05: PerMutação circular e o uso da PerMutação na resolução de ProbleMas diversos
Introdução ...............................................................................................................................................................................................................80
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................82
• Demonstrar conhecimento da linguagem utilizada nos conceitos básicos de fatorial, número de permutações (simples e com 
repetição), de arranjos e de combinações.
• Aplicar corretamente o Princípio Fundamental da Contagem.
• Diferenciar um arranjo de uma combinação.
• Conhecer e saber as técnicas de contagem.
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MateMática e suas tecnologias Matemática III
Anual – Volume 1
Aula 01: 
Fatorial
Introdução
Às vezes, contar não é uma tarefa muito fácil. Certas 
contagens, se feitas um a um, além de exaustivas mostram-se 
inviáveis. Por exemplo, como calcular quantos cartões da 
mega-sena, no mínimo, devemos fazer, marcando em cada cartão 
seis dezenas dentre sessenta possíveis, para se ter certeza absoluta 
de ser premiado? Financeiramente, compensa fazer isso? Usando 
três letras e quatro algarismos, as placas diferentes que podem 
ser formadas são sufi cientes para emplacar toda a frota de uma 
cidade com um milhão de veículos? Para um banco que tem 200 
mil clientes, senhas de segurança criadas aleatoriamente para seus 
clientes, com seis dígitos em que três, e somente três dígitos, são 
iguais e apareçam juntos, são sufi cientes? 
Para resolver problemas de contagem em que interessa-nos 
apenas quantos elementos são, e não necessariamente quais são 
esses elementos, como no caso dos problemas anteriores, é que 
foram criadas as técnicas de contagem. Estudaremos os seguintes 
métodos de contagem: princípio fundamental da contagem, 
permutação (simples e com repetição), arranjo e combinação. 
Ao campo da Matemática que se ocupa das técnicas de contagem 
chamamos de Análise Combinatória.
Antes, porém, do estudo dessas técnicas de contagem, 
convém conhecer e saber trabalhar com uma ferramenta 
matemática de relevante importância: o fatorial.
Fatorial de um número natural
Dado um número natural n, defi nimos o fatorial de n (ou n
fatorial), cuja representação é n!, por meio das relações:
1ª) Se n = 0, 0! = 1 (lê-se: o fatorial de zero é igual a um ou zero 
fatorial é igual a um)
2ª) Se n = 1, 1! = 1
3ª) Se n ≥ 2, n! = n · (n – 1) · (n – 2) · . . . · 3 · 2 · 1 (produto dos 
n primeiros inteiros positivos)
Exemplos:
A) 2! = 2 · 1 = 2
B) 3! = 3 · 2 · 1 = 6
 (note: 3 3 2 1
2
!
!
= ⋅ ⋅ , ou seja, 3! = 3 · 2!)
C) 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
 (note: 4 4 3 2 1
3
!
!
� � � � , ou seja, 4! = 4 · 3! e, também, 
4! = 4 · 3 · 2!)
D) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
 (note: 5! = 5 · 4!, 5! = 5 · 4 · 3! e 5! = 5 · 4 · 3 · 2!)
Em geral, se n é um número natural, da defi nição decorre que:
n! = n · (n – 1)!, para n ≥ 2 
n! = n · (n – 1) · (n – 2)!, para n ≥ 3
n! = n · (n – 1) · (n – 2) · (n – 3)!, para n ≥ 4
............................................................................
C-1 H-3
Aula
01
Exercícios Resolvidos
01. Simplifi que as seguintes expressões:
A) 
12
11
!
!
12
11
12 11
11
12
!
!
!
!
= ⋅ =
B) 
n
n
+( )
+( )
5
3
!
!
n
n
n n n
n
n n
�� �
�� �
�
�� � �� � �� �
�� �
� � �
5
3
5 4 3
3
9 122
!
!
!
!
C) 
8 6
9 8
! !
! !
+
−
8 6
9 8
8 7 6 6
9 8 7 6 8 7 6
6 56 1
6 504 56
57
4
! !
! !
! !
! !
!( )
!( )
+
−
=
⋅ ⋅ +
⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
=
+
−
=
448
D) 
4 8 1
1
⋅ + ⋅ −
− −
n n
n n
! ( )!
! ( )!
4 8 1
1
4 1 8 1
1 1
4
⋅ + ⋅ −
− −
= ⋅ ⋅ − + ⋅ −
− − −
=n n
n n
n n n
n n n
! ( )!
! ( )!
( )! ( )!
( )! ( )!
⋅⋅ − +
− −
= ⋅ +
−
( )![ ]
( )![ ]
[ ]n n
n n
n
n
1 2
1 1
4 2
1
02. Se n é um número natural, resolva a seguinte equação:
( )! ( )!
( )!
4 4 1
4
23
24
n n
n
− − =
Solução:
( )! ( )!
( )!
( )( )! ( )!
( )( )!
4 4 1
4
23
24
4 4 1 4 1
4 4 1
23
2
n n
n
n n n
n n
− − = ⇒ − − −
−
=
44
( )![ ]
( )( )!
[ ]
( )
4 1 4 1
4 4 1
23
24
4 1
4
23
24
96 24 92
n n
n n
n
n
n n
− −
−
= ⇒ − = ⇒ − = ⇒
n = 6
 Resposta: S = {6}
Exercícios de Fixação
01. Qual o menor valor do número natural n, tal que tg
n!
?
⋅



=
π
20160
1
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
02. A solução da equação log
120
1 + log
120
2 + log
120
3 + ... + log
120
 n = 1
é um número natural
A) par. 
B) quadrado perfeito.
C) cubo perfeito. 
D) primo.
E) maior do que 10.
65
MateMática e suas tecnologiasMatemática III
Anual – Volume 1
03. Se log ,a
v
x




= 1 em que v e a= + + + + =
1
2
2
3
3
4
10
11
1
12! ! !
...
! !
,
então 12! – x é igual a:
Utilize a identidade: 
1 1
1 1n n
n
n! ! !
−
+( ) = +( )A) 11! – 11
B) 12! – 12
C) 13! – 13
D) 14! – 14
E) 15! – 15
04. A seguir, temos o fatorial de alguns números
1! = 1
2! = 2 × 1
 3! = 3 × 2 × 1
 4! = 4 × 3 × 2 × 1
 Considere o astronômico resultado de 2019!. 
 Quanto vale a soma dos seus três últimos algarismos?
A) 0 B) 6
C) 13 D) 20
E) 21
05. Sabendo que a sequência n n n
−( ) ⋅ +( )


1
4
23 1
!
!
, !, ! é uma P.G., 
determine o valor de n.
A) 22 B) 23
C) 24 D) 25
E) 26
Exercícios Propostos
01. Se n é um número natural tal que 
200 40 000
4000 50 000
< <
< <{ nn! .! . , então 
podemos afi rmar que n2 – n é um número
A) divisível por 8. B) múltiplo de 9.
C) divisível por 10. D) múltiplo de 11.
E) primo.
02. Se f n
n n
n
( ) =
−( ) ⋅
+( )
2 1
1
!
!
, então f(2 019) é igual a:
A) 
1
2 020
B) 
12 017
C) 2 018
D) 2 019
E) 2 020
03. Se S = 1! + 2! + 3! + ... + 2 020!, então o algarismo das 
unidades de S é:
A) 1 B) 2
C) 3 D) 4
04. (Fuvest) O valor de m na expressão 9 · (2m)! = 2m · m! · 1 · 3 
· 5 · 7 · ... · (2m + 1) é igual a:
A) 1 B) 2
C) 3 D) 4
E) 5
05. Defi na n
a
!, para n e a inteiros positivos, como n
a
! = n · (n – a) · 
(n – 2a) · (n – 3a) · ... · (n – ka), para todo k inteiro e positivo 
e n > ka.
Então o quociente 72
18
8
2
!
!
 é igual a:
A) 45
B) 46
C) 48
D) 49
E) 412
06. (UFF-RJ) O produto 20 · 18 · 16 · 14 · ... · 6 · 4 · 2 é equivalente a:
A) 
20
2
!
B) 2 · 10!
C) 
20
210
!
D) 210 · 10!
E) 
20
10
!
!
07. Resolve-se cem vezes a equação 1! + 2! + 3! + ... + n! = y2 no 
conjunto dos números inteiros, atribuindo valores de 1 a 100 
a n. As soluções inteiras em y encontram-se no intervalo:
A) [–8, 0] B) [–4, 1]
C) [–2, 6] D) [–3, 5]
E) [–5, –1]
08. (UFRJ) Considere a equação 
6 12 18 24 300
50
216
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =...
!
n . 
O valor de n real, que verifi ca essa igualdade, é:
A) 
1
3
B) 
3
2
C) 
15
2
D) 
25
3
E) 
50
3
09. Considere os seguintes números naturais pares 4, 6, 8,..., 2020. 
Efetuando-se a soma 4! + 6! + 8! + ... + 2020!, o algarismo 
que ocupa a ordem das unidades dessa soma é igual a
A) 0
B) 2
C) 4
D) 6
E) 8
10. Simplifi cando a expressão (m + 1) · m! – m!, obtemos m · m!. 
Com base nesse fato, podemos inferir que o valor da expressão 
S = 1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + 4 · 4! + ... + 100 · 100! é:
A) 101!
B) 101! – 100
C) 101! + 100
D) 101! – 1
E) 101! + 1
66
MateMática e suas tecnologias Matemática III
Anual – Volume 1
Fique de Olho
Mostre que a equação n n n
n n
+( ) + +( ) ⋅ −( )
+( ) ⋅ −( )
=2 1 1
1 1
2019
! !
!
 não admite 
solução.
Solução:
Tomemos:
F n n n
n n
= +( ) + +( ) ⋅ −( )
+( ) ⋅ −( )
2 1 1
1 1
! !
!
Simplifi cando, obtemos:
F n n
n n n n
n n
F n
n
= +( ) ⋅ +( ) ⋅ ⋅ −( ) + +( ) ⋅ −( )
+( ) ⋅ −( )
= +
( ) ⋅ +
2 1 1 1 1
1 1
2 1
! !
!
[[ ] ⋅ +( ) ⋅ −
+( ) ⋅ −( )
= +( ) ⋅ + = + +
= +( ) →
n n
n n
F n n n n
F n
1 1
1 1
2 1 2 1
1
2
2
( )!
!
F éé um quadrado perfeito.
Como 2019 não é um quadrado perfeito, a equação não admite 
solução.
Seção Videoaula
Análise Combinatória – Fatorial
Aula 02: 
Princípio Fundamental 
da Contagem (Princípio 
Multiplicativo)
Introdução
Dentre as técnicas de contagem, a fundamental e bastante 
intuitiva é o princípio fundamental da contagem (P.F.C.), que 
apresentaremos por meio de exemplos.
Exemplo 1:
Tenho 3 blusas – uma verde (V), uma azul (A) e uma branca (B) – e 
duas calças – uma preta (P) e uma branca (B). De quantas maneiras 
diferentes posso me vestir?
V
P
A
B
B
Blusas Calças
C-1 H-2, 3, 4
Aula
02
Maneiras de vestir-me:
(V, P); (V, B); (A, P); (A, B); (B, P) e (B, B).
Existem, portanto, 6 maneiras diferentes de vestir-me.
Note que para cada blusa escolhida, existem duas possibilidades 
para a escolha da calça (preta ou branca). Como são 3 blusas 
diferentes, tenho: 
3 · 2 = 6 maneiras diferentes de vestir-me.
Eis o que diz o Princípio Fundamental da Contagem:
Observações:
“Se uma ação é composta de duas etapas sucessivas, 
sendo que a primeira pode ser feita de m modos e, para cada um 
destes, a segunda pode ser feita de n modos, então o número 
de modos de realizar a ação é dado pelo produto m · n”.
No caso das ações com mais de duas etapas, o número 
de modos da ação ocorrer é o produto dos números de 
possibilidades das respectivas etapas.
No Exemplo 1 anterior, a ação (vestir-se) é composta de duas 
etapas: a escolha da blusa (3 possibilidades) e a escolha da calça 
(2 possibilidades). Daí, pelo P.F.C., temos:
Blusas Calças
Possibilidades: 3 · 2 = 6 modos de vestir-me
Observações:
Caso tivéssemos que escolher, além da blusa e da calça, 
um par de tênis, dentre quatro pares possíveis, o número de 
vestimentas passaria a ser 3 · 2 · 4 = 24, pois, para cada um dos 
6 modos do Exemplo 1 anterior, temos 4 possibilidades para a 
escolha do par de tênis (6 · 4 = 24).
Exemplo 2:
Uma igreja tem 7 portas. De quantas maneiras diferentes pode uma 
pessoa entrar por uma porta e sair por outra?
Comentários:
Temos, aqui, uma ação composta de duas etapas: a escolha da 
porta para entrar, com 7 possibilidades (a pessoa poderá entrar por 
qualquer uma das 7 portas), e a escolha da porta para sair, com 6 
possibilidades (a pessoa poderá sair por qualquer das portas, exceto 
a que usou para entrar).
Solução:
Utilizando o princípio fundamental da contagem (P.F.C.), temos:
Entrar Sair
Possibilidades: 7 · 6 = 42
Resposta: 42 maneiras.
Exemplo 3:
Quantos subconjuntos tem o conjunto A = {1, 3, 4}?
67
MateMática e suas tecnologiasMatemática III
Anual – Volume 1
Comentários:
Formar um subconjunto de A é formar um conjunto em que cada 
um dos elementos de A (1, 2 e 3) pode ou não participar de sua 
formação. São, por exemplo, subconjuntos de A:
 S
1
 = {1, 4}, onde 1 ∈ S
1
; 3 ∉ S
1
 e 4 ∈ S
1
 S
2
 = {3}, onde 1 ∉ S
2
; 3 ∈ S
2
 e 4 ∉ S
2
 S
3
 = {1, 3, 4}, onde 1 ∈ S
3
, 3 ∈ S
3
 e 4 ∈ S
3
 S
4
 = ∅, onde 1 ∉ S
4
, 3 ∉ S
4
 e 4 ∉ S
4
Observe que cada elemento de A pode fazer parte ou não de um 
subconjunto de A. Assim, formar um subconjunto de A é uma 
ação composta de três etapas, cada etapa com duas possibilidades, 
pois A tem três elementos, e para cada elemento temos duas 
possibilidades: pertencer ou não pertencer ao subconjunto.
Solução:
Usando o Princípio Fundamental da Contagem, temos:
Elemento 
1
Elemento 
3
Elemento 
4
Possibilidades: 2 · 2 · 2 = 23 = 8
Note:
Cada etapa tem duas possibilidades (o elemento pode pertencer 
ou não pertencer ao subconjunto).
Resposta: A tem 8 subconjuntos.
É fácil deduzir que se A tem n elementos, então ele terá, pelo P.F.C., 
2 2 2 2 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =...
n vezes
n
   subconjuntos.
Em símbolos:
N(A) = n ⇒ N(P(A)) = 2n
(Leia: se o número de elementos de A é igual a n, então 
o número de elementos do conjunto das partes de A é igual a 2 
elevado a n.)
Nessa sentença, se tem:
P(A): conjunto das partes de A, ou seja, conjunto cujos elementos 
são os subconjuntos de A.
N(P(A)): número de elementos do conjunto das partes de A ou 
número de subconjuntos de A.
Exemplo 4:
De quantas maneiras podemos colorir o seguinte mapa, utilizando 
somente 4 cores (azul, amarelo, verde e violeta), com a condição 
de que as províncias vizinhas tenham cores diferentes?
Solução:
Chamando as províncias de A, B, C, D e E, temos:
1º Para pintar a primeira província (A), pode-se usar qualquer uma 
das 4 cores;
2° Para pintar a segunda província (B), só não se pode usar a cor 
utilizada na província A. As outras 3 podem;
3° Para pintar a terceira província (C), não se pode usar as cores 
utilizadas nas províncias A e B (vizinhas de C. As outras duas podem;
4° Para pintar a quarta província (D), não se pode usar as cores 
utilizadas nas províncias B e C, mas já se pode utilizar a cor da 
província A. Portanto, duas cores podem ser utilizadas em D;
5° Para pintar a quinta província (E), pode-se usar qualquer das quatro 
cores, exceto a cor da província D. Portanto, três cores podem 
ser utilizadas em D.
E
D
C
B
A
Então, pelo P.F.C., obtemos:
A C B D E 
Possibilidades: 4 · 3 · 2 · 2 · 3 = 144
Resposta: 144 maneiras diferentes.
Exemplo 5:
(UFC – Adaptada) Um número natural é divisível por 4 quando 
os seus dois últimos algarismos da direita (dezenas e unidades) 
formarem um número múltiplo de 4. Seja A o conjunto dos números 
inteiros positivos divisíveis por 4 e de cinco dígitos, que se podem 
formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Se n é o número de 
elementos de A, determine o valor de 
n
36
.
Solução:
Como o enunciado não especifi cou, os algarismos de um elemento 
de A podem ser repetidos ou não. As possíveis terminações para um 
elemento de A são 12, 16, 24, 32, 36, 44, 52, 56 e 64 (múltiplos de 
4 com dois algarismos que podem ser formados com os algarismos 
dados, repetidos ou não). Daí, usando o Princípio Fundamental da 
Contagem, temos:
**
Possibilidades: 6 · 6 · 6 · 9 = 63 · 9
(**) , , , , , , , ,→ 12 16 24 32 36 44 52 56 64
9 possibilidades
  
Daí, A tem 63 · 9 elementos, ou seja, n = 63 · 9.
Portanto, 
n
36
6 9
6
6 9 54
3
2
= ⋅ = ⋅ =
Resposta: 54