Livro 1 - Mat e Nat-253-258

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ciÊncias da natureZa e suas tecnoloGias Física IV
Anual – Volume 1
Denominaremos o ângulo formado entre os raios refl etidos 
em cada posição (RR
1
 e RR
2
) de ∆.
Agora vejamos que relação há entre os ângulos de rotação 
do espelho θ e dos raios refl etidos ∆.
Para tanto, tomemos os dois triângulos destacados na 
fi gura, ∆
OAB
 e ∆
ABC
:
∆
OAB
: θ + [180º – (90º – a)] + (90º – b) = 180º ∴ θ = b – a
∆
ABC
: ∆ + 2a + 2(90º – b) = 180º ∴ ∆ = 2(b – a)
Relacionando as expressões concluímos que os raios 
refl etidos giram duas vezes mais que o espelho, isto é, ∆ = 2θ.
Lembra quando falamos sobre o aspecto da imagem de um 
objeto quando o espelho era inclinado?
Óptica
45°
Óptica
90°
Ó
p
tica
Figura 4.5: Explicando imagens em um espelho inclinado.
Agora fi cou claro porque a imagem no espelho plano gira 
duas vezes mais do que o próprio espelho, certo?
Associação de espelhos planos
Além das aplicações citadas anteriormente, os espelhos 
planos são utilizados também para produzir efeitos especiais, como 
na imagem a seguir.
K
ar
ar
zy
na
 B
ia
la
si
ew
ic
z/
12
3R
F/
Ea
sy
pi
x
Figura 4.6: Efeito especial
Dando uma rápida olhada parecem cinco (ou seis) pessoas 
dispostas em uma forma pentagonal ou hexagonal, mas na verdade 
trata-se de uma pessoa e quatro imagens.
Olhando com mais cuidado você poderá notar que algumas 
imagens colocam o braço direito sobre o rosto enquanto outras, 
o braço esquerdo.
Para entender como isto acontece, consideremos um modelo 
simplifi cado com um ponto objeto O e dois espelhos planos E
1
 e E
2
associados conforme a fi gura abaixo:
� O
E
1
E
2
Figura 4.7: Associação de espelhos planos
Agora, utilizando uma circunferência como transferidor, 
vamos encontrar todas as imagens conjugadas por esses 
espelhos.
�
ângulo
morto
E
1
E
2
A
objeto
B
C
D
FG
H
Figura 4.8: Imagens obtidas em uma associação de espelhos planos 1
Conforme vimos na aula anterior as imagens formadas por 
um espelho plano apresentam inversão horizontal, ou seja, são 
enantiomorfas, por isso a imagem de um braço direito parece com 
um braço esquerdo.
Em nosso exemplo, as duas primeiras imagens (A e D) 
são enantiomorfas, as imagens originadas por estas (F e B) são 
superponíveis e assim, sucessivamente até que as imagens caiam 
na região denominada ângulo morto, que fi ca simultaneamente 
por trás dos dois espelhos.
No exemplo anterior o ângulo entre os espelhos era de 45° 
e foram conjugadas sete imagens, sendo quatro enantiomorfas e 
três superponíveis.
De um modo geral, a quantidade (n) de imagens formadas 
na associação depende do ângulo (a) entre os espelhos, conforme 
a relação a seguir:
n = ° −360 1
α
Quanto a posição do objeto entre os espelhos
Para que a relação anterior seja válida a posição do objeto 
entre os espelhos deve atender aos seguintes critérios:
• Quando 
360°


α
 for par, o objeto poderá ser colocado em 
qualquer posição.
• Quando 
360°


α
 for ímpar, o objeto deverá ser colocado no 
plano bissetor.
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ciÊncias da natureZa e suas tecnoloGiasFísica IV
Anual – Volume 1
Quanto a forma das imagens conjugadas
A primeira imagem conjugada por cada um dos espelhos é 
enantiomorfa, a próxima é superponível, e assim sucessivamente, 
aos pares, até que a contagem termine.
Por exemplo, se tivermos 17 imagens, elas serão:
2 Enantiomorfas
2 Superponíveis
2 Enantiomorfas
2 Superponíveis
2 Enantiomorfas
2 Superponíveis
2 Enantiomorfas
2 Superponíveis
1 Enantiomorfa
17 imagens Imagens
 
Exercícios de Fixação
01. (UFPel-RS/2012[1]) Uma pessoa caminha com velocidade 
constante em direção a um espelho plano, fi xo em uma parede.
É correto afi rmar que
A) a imagem vai se aproximando do espelho.
B) a imagem vai fi cando maior à medida que a pessoa se 
aproxima do espelho.
C) a imagem da pessoa é classifi cada como real e invertida.
D) a posição da imagem mantém-se fi xa no mesmo ponto atrás 
do espelho.
E) a imagem é menor do que a pessoa, por ser virtual.
02. (Inatel-MG/2015) Durante uma viagem um motorista de 
caminhão visualiza em seu retrovisor interno e plano, a imagem de 
uma bela árvore na beira da estrada afastando-se. Considerando 
que a velocidade do caminhão seja de 80 km/h, pode-se afi rmar 
que a velocidade da imagem da árvore é de:
A) 80 km/h em relação ao caminhão.
B) 80 km/h em relação à estrada.
C) 40 km/h em relação ao caminhão.
D) 40 km/h em relação à estrada.
E) Não há dados sufi cientes para calcular a velocidade.
03. (PUCCamp-SP/2011) Nos espelhos planos, os objetos e suas 
respectivas imagens constituem fi guras enantiomorfas.
Suponha que uma pessoa está a 2,0 m de um espelho plano 
vertical. Num dado instante, o espelho começa a se mover 
paralelamente à posição inicial, afastando-se da pessoa, com 
velocidade constante de 4,0 cm/s. Após 5,0 minutos, a distância 
entre as imagens da pessoa fornecidas pelo espelho (a atual e 
a primitiva), em metros, vale
A) 14 B) 18
C) 20 D) 24
E) 28
04. (Ricardo Bastos/2018) Num provador de roupas de uma loja 
há um espelho plano que pode girar no sentido horário ou 
anti-horário, conforme a fi gura.
Com o espelho disposto verticalmente a moça da fi gura só 
consegue ver do joelho para cima, mesmo que se afaste do 
espelho.
Sabendo que os raios refl etidos no espelho devem sofrer uma 
rotação de pelo menos 24° para que ela possa ver sua sandália, 
o espelho deverá ser girado, no mínimo
A) 12° no sentido horário. 
B) 12° no sentido anti-horário.
C) 24° no sentido horário.
D) 24° no sentido anti-horário.
E) 48° no sentido horário.
05. (Unifenas-MG/2013.2) Dois objetos são colocados diante de 
dois espelhos planos, formando entre si um ângulo de 45°.
Qual será o total de imagens, quantas imagens serão 
enantiomórfi cas e superponíveis, respectivamente?
A) 7, 4 e 3. 
B) 9, 5 e 4. 
C) 14, 6 e 8. 
D) 7, 3 e 4. 
E) 14, 8 e 6.
Exercícios Propostos
01. (Ufl a-MG/2013) Um ponto objeto real é colocado diante de um 
espelho plano e a distância entre ele e sua imagem conjugada é 
de 2,00 m. O ponto objeto é deslocado mais 20 cm do espelho, 
afastando-se dele. A nova distância entre o ponto objeto e sua 
imagem conjugada, nessa posição fi nal, será:
A) 2,20 m B) 1,80 m 
C) 2,40 m D) 1,60 m
02. (Unipam-MG/2011.2) Um motorista dirige seu carro por uma 
estrada plana e tranquila. No instante em que desenvolve uma 
velocidade constante v
0
, em relação ao asfalto, ele observa, pelo 
espelho plano retrovisor que está do seu lado, a imagem de uma 
bela árvore à beira da estrada. A velocidade de afastamento 
da imagem em relação à árvore é
A) v
0
 B) – v
0
C) 2 v
0
 D) v
0
/2.
03. (Fejal-AL/2012.1) Uma pessoa encontra-se parada em pé. Um 
grande espelho plano vertical aproxima-se da pessoa a uma 
velocidade de 50 cm/s. Com que velocidade a imagem refl etida 
da pessoa se aproxima dela?
A) 25 cm/s 
B) 50 cm/s
C) 1 m/s 
D) 2 m/s
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ciÊncias da natureZa e suas tecnoloGias Física IV
Anual – Volume 1
04. (Ricardo Bastos/2019) Uma modelo de 1,80 m de altura observa 
o centro de um espelho plano E articulado por esse mesmo 
ponto, conforme a fi gura.
 
1,80 m1,80 m
1,80 m1,80 m
E
Estando a 1,80 m de distância do espelho, de quantos graus 
ela deve girá-lo, a partir da vertical, para que possa enxergar 
a ponta de seu calçado no centro do espelho?
A) 45° no sentido anti-horário.
B) 45° no sentido horário.
C) 30° no sentido anti-horário.
D) 22,5° no sentido horário.
E) 22,5° no sentido anti-horário.
05. (UFG-GO/2007) Espelhos conjugados são muito usados em 
truques no teatro, na TV etc. para aumentar o número de 
imagens de um objeto colocado entre eles. Se o ângulo entre 
dois espelhos planos conjugados for π/ 3 rad, quantas imagens 
serão obtidas?
A) Duas 
B) Quatro
C) Cinco 
D) Seis
E) Sete
06. (PUC-SP/2012.1) Um aluno colocou um objeto “O” entre as 
superfícies refl etoras de dois espelhos planos associados e que 
formavam entre si um ângulo θ, obtendo n imagens, Quando 
reduziu o ângulo entre os espelhos para θ/4, passou a obterm imagens.
θ O
E
1
E
2
A relação entre m e n é:
A) m = 4n + 3 
B) m = 4n – 3
C) m = 4 (n + 1) 
D) m = 4 (n – 1)
E) m = 4 n
07. (Ricardo Bastos/2018) Enquanto passeava no interior de uma 
loja um garoto fi cou intrigado ao perceber várias imagens suas 
refl etidas em dois espelhos planos verticais.
Ele contou onze imagens, sendo que em algumas seu relógio 
aparecia no braço esquerdo e em outras, curiosamente, no 
“braço direito”!
Das onze imagens que o garoto contou, quantas usavam o 
relógio no braço “errado”?
A) Apenas 2. B) Apenas 4.
C) Apenas 6. D) Apenas 8.
E) Apenas 10.
08. (Ricardo Bastos/2018) Imaginando uma forma simples de 
demonstrar o comportamento dos raios refl etidos num espelho 
plano, um jovem estudante acaba desenvolvendo uma “trena 
vertical”, ou seja, um medidor de alturas ou profundidades.
Com dois lasers (ponto A) um horizontal vermelho e outro vertical 
verde, um espelho plano articulável e um transferidor de alta precisão, 
o dispositivo tem o aspecto apresentado na fi gura a seguir.
0°
A
B Teto
Polo
8
0
 c
m
piso horizontal
1,0 m
H
Com o aparato na horizontal os lasers são ligados e o espelho 
plano começa a ser girado até que o laser vermelho atinja 
o mesmo ponto que o laser verde (B). Feito isso afere-se o 
ângulo e com o auxílio de uma calculadora científi ca ou tábua 
trigonométrica a altura é calculada.
Para demonstrar a precisão do instrumento, o aluno leva seu 
dispositivo para dentro do auditório da escola e após alguns 
segundos verifi ca que o transferidor marca – 38°.
De acordo com as instruções a altura do auditório é 
 Dados:
tg 37° = 0,75 tg 38° = 0,78 tg 39° = 0,81
tg 40° = 0,8 tg 74° = 3,5 tg 76° = 4,0
tg 78° = 4,7 tg 80° = 5,7
A) 3,20 m 
B) 4,00 m
C) 4,80 m 
D) 5,20 m
E) 6,80 m
09. (UFRGS-RS/2001) A fi gura abaixo representa um raio luminoso 
R incidindo obliquamente sobre um espelho plano que se 
encontra na posição horizontal E. No ponto de incidência O, 
foi traçada a vertical V. Gira-se, então, o espelho de um ângulo a 
(em torno de um eixo que passa pelo ponto O) para a posição 
E’, conforme indica a fi gura.
V
O
E
E’
R
α
Não sendo alterada a direção do raio luminoso incidente R 
com respeito à vertical V, pode-se afi rmar que a direção do 
raio refl etido
A) também não será alterada, com respeito à vertical V.
B) será girada de um ângulo a, aproximando-se da vertical V.
C) será girada de um ângulo 2a, aproximando-se da vertical V.
D) será girada de um ângulo a, afastando-se da vertical V.
E) será girada de um ângulo 2a afastando-se da vertical V.
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ciÊncias da natureZa e suas tecnoloGiasFísica IV
Anual – Volume 1
10. (Vunesp-SP) O narciso é uma fl or de cor branca ou amarela 
muito plantada em jardins devido à sua exuberância e perfume 
inigualável. Seu nome tem origem em um mito grego, em 
que um belíssimo jovem, Narciso, desejando saciar sua sede, 
busca água em uma fonte. Ao debruçar-se de encontro à 
água, Narciso observa o movimento de uma linda imagem. 
Cumprimenta-a e é cumprimentado, sorri para ela e recebe 
um sorriso. Maravilhado com sua própria beleza, Narciso 
permanece lá, à beira do lago, definhando até a morte. 
Supondo que, ao se debruçar, o rosto de Narciso se moveu 
com uma velocidade constante de 0,4 m/s relativamente ao 
espelho d’água, sua imagem, em relação ao seu rosto:
A) afastou-se com velocidade de 0,2 m/s.
B) afastou-se com velocidade de 0,4 m/s.
C) aproximou-se com velocidade de 0,2 m/s.
D) aproximou-se com velocidade de 0,4 m/s.
E) aproximou-se com velocidade de 0,8 m/s.
Seção Videoaula
Espelhos Planos
Aula 05: 
Exercícios de Revisão
(Espelhos Planos)
Exercícios de Fixação
01. (UPE/2012 [2]) Um raio luminoso refl ete-se em um espelho 
plano. O ângulo entre os raios incidente e refl etido mede 60º. 
Qual é o ângulo que o raio refl etido forma com a superfície do 
espelho?
A) 15º B) 30º 
C) 45º D) 60º 
E) 75º
02. (FCMMG/2007) Um médico, atendendo um paciente, tem um 
espelho plano situado no meio da parede vertical em frente de 
seus olhos. Ele deseja ver, através do espelho, toda a parede, 
de cima a baixo, que fi ca atrás dele, contendo dois cartazes, 
como mostra a fi gura.
espelho
d cartazes
3,0 m
1,0 m 2,0 m
C-5 H-18
C-6 H-22Aula
05
Considere as medidas fornecidas na fi gura acima. Para que 
a situação descrita acima seja vista, o menor valor para a 
dimensão vertical (d) do espelho será de, aproximadamente:
A) 0,50 m B) 0,75 m
C) 1,0 m D) 1,5 m
03. (Ricardo Bastos/2018) Sabendo da vaidade de suas duas fi lhas, 
Fernanda (1,40 m) e Beatriz (1,00 m), Sara (1,80 m) resolveu 
encomendar um espelho plano quadrado de 70 cm de lado 
para colocar no quarto das fi lhas.
No dia da instalação o rapaz chamou Fernanda e pediu que 
ela fi casse em pé diante do espelho para que ele o ajustasse, 
permitindo-a se ver inteiramente.
Ao se olharem neste espelho 
A) Sara não consegue ver sua cabeça e nem seus pés.
B) Beatriz consegue ver sua cabeça, mas não seus pés.
C) Tanto Sara quanto Beatriz conseguem ver os pés, mas não 
a cabeça.
D) Beatriz só consegue se ver completamente quando se afasta 
bastante do espelho.
E) Sara só consegue se ver completamente quando se aproxima 
do espelho.
04. (Ricardo Bastos/2019) Para avaliar a efi ciência de um sistema 
de energia solar que será concentrada em um ponto P, por 
dois espelhos planos, E1 e E2, cujos centros estão no mesmo 
nível, um cientista construiu um modelo que simula as posições 
do Sol em uma região plana e próxima ao equador terrestre, 
conforme a fi gura adiante.
12 h
Pr E
6 h (Nascer do Sol) (Pôr do Sol) 18 h
Neste modelo o Sol foi substituído por um laser ajustado para 
atingir o centro de um dos espelhos que podem ser articulados 
neste ponto.
Para que o desempenho seja máximo às 9 h e às 15 h, os 
espelhos E
1
 e E
2
 devem girar, respectivamente 
Obs.: Considere as superfícies dos espelhos inicialmente 
paralelas ao solo.
A) 22,5° no sentido horário e 22,5° no sentido horário.
B) 22,5° no sentido horário e 22,5° no sentido anti-horário.
C) 45° no sentido horário e 45° no sentido anti-horário.
D) 45° no sentido horário e 60° no sentido horário.
E) 30° no sentido horário e 45° no sentido anti-horário
05. (Ricardo Bastos/2018) Dois espelhos planos são associados de 
modo a conjugarem uma determinada quantidade de imagens 
a partir de um objeto real. Aumentando-se o ângulo entre os 
espelhos em 50% verifi ca-se que 6 imagens desapareceram.
Qual era o ângulo original entre os espelhos?
A) 10° B) 20°
C) 30° D) 40°
E) 60°
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ciÊncias da natureZa e suas tecnoloGias Física IV
Anual – Volume 1
Exercícios Propostos
01. (Ricardo Bastos/2018) Uma empresa de pintura e adesivagem 
automotiva recebeu de um grande hospital uma frota de 
cinquenta veículos para serem adesivados com o nome 
AMBULÂNCIA, de modo a facilitar sua leitura através de um 
espelho retrovisor.
Como deveriam fi car os adesivos?
A) AMBULÂNCIA B) AMBULÂNCIA
C) 
AMBULÂNCIA
 D) 
AMBULÂNCIA
E) 
AMBU
LÂNCIA
02. (Ricardo Bastos/2019) Três espelhos planos E
1
, E
2
 e E
3
 são 
associados em forma de U, conforme a fi gura a seguir.
E
E
α
E
Encontre o a de modo que o raio refletido por E
3
 seja 
perpendicular ou raio que incide no espelho E
1
.
A) 15° B) 22,5° 
C) 30° D) 45° 
E) 60°
03. (Mackenzie-SP) Um oftalmologista coloca um cartão de teste a 
80 cm atrás dos olhos de um paciente que olha para um espelho 
plano vertical, que está a 3,0 m à sua frente, como mostra a 
fi gura. A distância entre os olhos do paciente e a imagem do 
cartão é:
A) 760 cm B) 680 cm
C) 600 cm D) 380 cm
E) 300 cm
04. (Fejal-AL/2009.1) Uma partícula se aproxima de um espelho 
plano, ao longo da direção perpendicular a este, com velocidade 
de módulo 1 cm/s, em relação ao espelho. A imagem virtual 
da partícula
A) se afasta dela com velocidade de módulo 1 cm/s, em relação 
à partícula.
B) se aproxima dela com velocidade de módulo 1 cm/s, em 
relação à partícula.
C) se afasta dela com velocidade de módulo 2 cm/s, em relação 
à partícula.
D) se aproxima delacom velocidade de módulo 2 cm/s, em 
relação à partícula.
05. (Ricardo Bastos/2019) Enquanto arrumava seus cabelos uma 
jovem percebeu que seu espelho, disposto verticalmente a 
50 cm de rosto, conseguia enquadrar exatamente a imagem 
de um poste de 6,0 m de altura situado a 19,0 m atrás dela.
A altura do espelho é
A) 5,0 cm. B) 10 cm. 
C) 15 cm. D) 18 cm. 
E) 20 cm.
06. (Furg-RS) A fi gura mostra uma sala quadrada ABCD de lado L. Nela, 
podemos observar, também, um espelho plano EE’, colocado no 
canto BCD, de modo a encobrir o canto C. Para um observador 
colocado em O, mostrado na fi gura, é possível enxergar as 
imagens do(s) canto(s):
A) A B) B
C) D D) A e B
E) A e D
07. (Unesp/2014.1) Uma pessoa está parada numa calçada plana 
e horizontal diante de um espelho plano vertical E pendurado 
na fachada de uma loja. A fi gura representa a visão de cima 
da região.
5 m
2 m
O
E
1,
8 
m
calçada
v
1,2 m
fora de
escala
Olhando para o espelho, a pessoa pode ver a imagem de 
um motociclista e de sua motocicleta que passam pela rua 
com velocidade constante v = 0,8 m/s, em uma trajetória 
retilínea paralela à calçada, conforme indica a linha tracejada. 
101
ciÊncias da natureZa e suas tecnoloGiasFísica IV
Anual – Volume 1
Considerando que o ponto O na fi gura represente a posição 
dos olhos da pessoa parada na calçada, é correto afi rmar 
que ela poderá ver a imagem por inteiro do motociclista e de 
sua motocicleta refl etida no espelho durante um intervalo de 
tempo, em segundos, igual a
A) 2 B) 3
C) 4 D) 5
E) 1
08. (Ricardo Bastos/2018) Para visualizar um certo objeto um 
espelho plano deve ser girado de 20°.
Neste caso os raios refl etidos no espelho girarão 
A) 10° B) 20°
C) 30° D) 40°
E) 80°
09. (ITA-SP) Dois espelhos planos formam entre si um certo ângulo. 
Reduzindo-se esse ângulo 15°, o número de imagens de um 
dado objeto, produzidas pelo sistema, aumenta de 4. Obtenha 
um possível valor para o ângulo inicial entre os espelhos.
A) 15° B) 30°
C) 45° D) 60°
E) 75°
10. (UFPA) A fi gura representa uma pessoa de 2 m de altura, 
olhando para um espelho plano inclinado de 60°, com a 
horizontal vendo-se por inteiro. Desprezando a distância do 
olho da pessoa ao topo de sua cabeça, afi rma-se que o menor 
tamanho do espelho vale em metros:
A) 2,00 
E
1 m
60º
B) 1,20
C) 1,00 
D) 0,58
E) 0,47
Bibliografi a
HEWITT, Paul G. Física conceitual. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, 
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LUIZ, Adir Moysés. Física 4 – Ótica e Física Moderna. São Paulo: 
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 Acesso em: 17 jul. 2018. 
• Portal da Língua Portuguesa, Acordo ortográfi co. Disponível em:
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Acesso em: 12 jul. 2018.
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Sol é uma bola de fogo se lá não existe oxigênio? 
 Disponível em: <https://www.if.ufrgs.br/novocref/?contact-
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oxigenio>. Acesso em: 13 jul. 2018.
• Hypescience, Mundo animal: a visão diferenciada das abelhas. 
Disponível em: <https://hypescience.com/mundo-animal-a-visao-
diferenciada-das-abelhas/>. Acesso em: 13 de jul. 2018.
Anotações