nálise e Dimensionamento de Peças Tracionadas

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Estrutura de Madeira
Aula 5 - Análise e Dimensionamento de Peças
Tracionadas
INTRODUÇÃO
A “tesoura” de telhado ou cobertura, muitas vezes, é construída com peças de madeira. A preferência pelo material pode
ser explicada pelo seu peso e pela resistência axial das peças de madeira, tanto à tração quanto à compressão.
As ações de tração em peças de madeira de treliças e outras estruturas são muito comuns. Por isso, é necessário o
conhecimento do cálculo, dimensionamento e veri�cação da capacidade resistente das peças de madeira estrutural
tracionadas longitudinalmente.
OBJETIVOS
Compreender os procedimentos e a teoria utilizada para calcular peças de madeira tracionadas longitudinalmente.
Identi�car os principais pontos da norma relativos ao cálculo de peças tracionadas axialmente.
Calcular peças de madeira tracionadas axialmente segundo a Norma NBR 7190/1997.
PREMISSA
Os projetistas, muitas vezes, preferem usar peças de madeira, que têm resistência à tração superior a do concreto, sem
precisarem recorrer ao concreto, mais resistente e caro.
O cálculo de peças de madeira à tração paralela às �bras é realizado segundo as leis da Mecânica dos sólidos e visa
obter as dimensões que uma peça de madeira deve possuir para resistir ao carregamento que lhe é imposto (o que é
chamando de “dimensionamento”) ou veri�car a estabilidade da peça ou estrutura de madeira existente quando
submetida a um carregamento especí�co (por exemplo: o apoio de um equipamento no pendural de uma tesoura de
cobertura).
Para isso, são necessários conhecimentos prévios de resistência dos materiais.
RESISTÊNCIAS USUAIS DE CÁLCULO
A norma NBR 7190/1997 de�ne resistências de cálculo para as peças de madeira, conforme o seu item 7.2.7, em tabelas
(nº 12, 13 e 14) que devem ser observadas:
Tabela 1: Valores usuais para carregamentos de longa duração.
Situações duradouras de projeto para carregamentos de longa duração (k = 0,70)
Madeira serrada (segunda categoria: k = 0,80)
Classes de umidade (1) e (2) k = 0,70 x 1,0 x 0,80 = 0,56
Classes de umidade (3) e (4) k = 0,70 x 0,80 x 0,80 = 0,45
γ = 1,4 f = 0,70f
γ = 1,8 f = 0,54f
γ = 1,8
Fonte: donatas1205 / Shutterstock
mod,1
mod,3
mod
mod
wc wN,k,12 wN,m,12
wt wV,k,12 wV,m,12
wv
f = f
f = 0,25 .α
f = f
f = 0,25f .α
Coníferas: f = 0,12f
Dicotiledôneas: f = 0,10f
Fonte: Reprodução da NBR 7197/97, Tabela 12.
Os coe�cientes α são de�nidos na Tabela 2:
Tabela 2: Valores de α .
Extensão da carga normal às �bras,
medida paralelamente a estas (em cm)
α
1 2,00
2 1,70
3 1.55
4 1,40
5 1,30
7,5 1,15
10 1,10
15 1,00
Fonte: Reprodução da NBR 7197/97, Tabela 13.
A norma NBR 7190/97 ainda estabelece que:
1
O coe�ciente α indicado na Tabela 1 será igual a 1, no caso da extensão de aplicação da carga ser
maior ou igual a 15cm, medida na direção das �bras da madeira (Tabela 2).
2
Se a extensão da aplicação da carga na direção das �bras for inferior a 15cm e a carga estiver afastada
pelo menos 7,5cm da extremidade da peça, será utilizada a Tabela 2 (Tabela 13 da NBR 7190/97).
3
Esse coe�ciente deve ser aplicado no caso de arruelas, tomando-se como extensão de carga o seu
diâmetro ou lado.
t0,d c0,d
c90,d fc0,d n
e0,d c0,d
e90,d c0,d e
v0,d c0,d
v0,d c0,d
n
n
n
n
A Tabela 3 apresenta os valores de αe relativos às resistências ao embutimento, consideradas para o caso desses
critérios simpli�cados de caracterização da madeira, variando em função do diâmetro do pino embutido:
Tabela 3: Valores de α .
Diâmetro do pino (em cm) ≤ 0,62 0,95 1,25 1,60 1,90 2,20
Coe�ciente α 2.50 1,95 1,68 1,52 1,41 1,33
Diâmetro do pino (em cm) 2.50 3,10 3,80 4,40 5,00 ≥ 7,50
Coe�ciente α 1,27 1,19 1,14 1,10 1,07 1,00
Fonte: Reprodução da NBR 7197/97, Tabela 14.
CÁLCULO DE PEÇAS TRACIONADAS
O cálculo das peças de madeira à tração é relativamente simples e consiste em satisfazer a equação:
Porém:
Logo:
Onde:
σ é a tensão solicitante de cálculo decorrente do esforço de tração.
f é a resistência de cálculo à tração da madeira.
f é a resistência nominal à tração da madeira.
A é a área líquida (ou útil) da seção, descontados os entalhes e demais detalhes que reduzam a área resistente da
seção.
N é o esforço axial de tração solicitante de cálculo.
γ = 1,8 é o coe�ciente de ponderação para tração paralela às �bras.
e
e
e
t0,d
t0,d
t0,k
n
d
wt
Exemplo
Considerando um carregamento axial dimensionante à tração de 200kN em uma peça de madeira serrada com 2,0m de
comprimento, dimensionar conforme a NBR 7190/1997:
Madeira dicotiledônea classe C-30 em ambiente com 85% de umidade, de segunda categoria, com carregamento de
média duração.
PASSO 1
De�nição do Kmod da seguinte forma:
K = 0,80 (para a madeira serrada e carregamento de longa duração).
K = 0,80 (para a madeira serrada e classe de umidade 3 ou 4 = 85% de Uamb).
K = 0,80 (para a madeira de segunda categoria).
Obtém-se:
K = K x K x K = 0,80 x 0,80 x 0,80 = 0,512
PASSO 2
Obtenção da resistência de cálculo (f ):
Onde:
PASSO 3
Veri�cação da área mínima:
Como foi de�nida a carga na qual a peça está submetida (200kN), teremos:
mod,1
mod,2
mod,3
mod mod,1 mod,2 mod,3
t0,d
Atenção: é conservador arredondarmos as áreas
resistentes “para cima”.
As peças de madeira carregadas à tração axial não devem possuir um comprimento superior a
50 vezes a menor largura da sua seção transversal para reduzir o efeito de instabilidade lateral.
Neste caso:
15cm x 50 = 750cm → Como 200cm < 750cm
OK, PASSA!
O efeito da inclinação das �bras em relação ao eixo longitudinal da peça pode ser desprezado desde que o ângulo de
inclinação seja igual ou inferior a seis graus (θ ≤ 6º, o que signi�ca arctg(θ) = 0,10). Caso contrário, a resistência de
cálculo à tração deve ser reduzida de acordo com a expressão de Hankinson (θ > 6º → f = f ):
Recomenda-se que a altura do entalhe (e) não seja maior que ¼ da altura da seção da peça entalhada (h). Caso seja
necessária uma altura de entalhe maior, devem ser utilizados dois dentes (1).
Figura 1: Exemplo de ligação entalhada
Fonte: Calil et al (2003).
Vamos exempli�car a situação de cálculo de peças tracionadas inclinadas em relação ao eixo longitudinal das �bras.
Exemplo
td t0,d
Uma dada treliça de madeira apresenta uma ligação entalhada conforme a Figura 1, onde f = 30MPa e f = 3MPa e
θ = 30°. A altura “h” mede 15cm e o entalhe “e” feito alcança 3cm dentro da peça. Calcule a resistência da peça entalhada
conforme a equação de Hankinson:
PASSO 1
Segundo as disposições construtivas, o entalhe simples não deve ultrapassar ¼ da altura da
peça entalhada, assim:
e = 3,0cm e ¼ h = 15,0 * (¼) cm = 3,75cm > 3,0cm
OK, PASSA!
PASSO 2
Basta conhecer as resistências f e f da madeira e considerar o ângulo de inclinação
da carga, aplicando a equação de Hankinson:
t0,d t90,d
t0,d t90,d
DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS
É incomum encontrar peças de madeira maiores que 6,0m sem defeitos como empenamentos, arqueamentos e
abaulamentos. Para isso, o fornecedor das peças de madeira deve ser idôneo e apresentar peças de qualidade. A NBR
7190/97 estabelece dimensões mínimas para as seções das peças de madeira serrada, conforme apresentado na Tabela
4:
Tabela 4: Dimensões mínimas para as peças estruturais de madeira serrada.
Uso Dimensões Mínimas
Peças principais isoladas Área ≥ 50 cm
Espessura ≥ 5,0 cm
Peças secundárias isoladas Área ≥ 18 cm
Espessura ≥ 2,5 cm
Peças principais múltiplas Área ≥ 35 cm (cada uma)
Espessura ≥ 2,5 cm (cada uma)
Peças secundárias múltiplas Área ≥ 18 cm (cada uma)
Espessura ≥ 1,8 cm (cada uma)
Fonte: NBR 7190/1997, item 10.2.1.
O item 10.3 da NBR 7190/1997 não permite que sejam empregadas peças tracionadas de seção retangular cheia ou
peças tracionadas múltiplas nas quais o seu comprimento teórico de referência “L ” (de�nido conforme o item 7.5.1 da
NBR 7190/97) exceda 50 vezes a dimensão transversal correspondente. O L é de�nido segundo ligações e graus de
liberdade das extremidades das suas barras, deforma idêntica ao de�nido para a carga crítica de Euler.
Exemplo
Considere a Figura 2 para dimensionarmos a peça de madeira tracionada (entre os nós 3 e 4), conforme a Figura 3.
galeria/aula5/img/13a.jpg
Figura 2: Treliça de madeira suportando um equipamento de 100kN.
galeria/aula5/img/13b.jpg
Figura 3: Esforços axiais nas peças de madeira. Os valores positivos signi�cam esforços de tração e os
negativos indicam esforços de compressão.
Considere que na sua obra será necessário suspender um equipamento de 100kN para a passagem de outro
equipamento e para isso, foi projetada uma treliça conforme a Figura 2. As peças serradas de madeira dicotiledôneas de
segunda categoria existentes no local possuem dimensões de 6”x3” e de 6”x6”, submetidas a um ambiente com umidade
relativa do ar de 90%.
Assim, vamos dimensionar a peça de madeira necessária para suportar os esforços aos quais ela está submetida:
2
2
2
2
0
0
PASSO 1
Veri�car as disposições construtivas:
De acordo com a Tabela 4 - Dimensões mínimas para as peças estruturais de madeira serrada.
(Fonte: NBR 7190/1997, item 10.2.1), devemos veri�car se as peças existentes atendem os
requisitos mínimos construtivos, conforme a norma NBR 7190/97.
Assim:
A = 7,50 × 15 = 112,5cm > 50cm (para peças principais isoladas)
espessura = 7,50cm > 5,0cm
OK! A PEÇA PASSA NAS DIMENSÕES!
Em seguida, é preciso fazer a veri�cação em relação ao perigo de �ambagem. Neste caso, a
norma recomenda que o comprimento da peça não exceda 50 vezes a menor dimensão da
seção transversal. Logo:
Menor dimensão = 3” = 7,50 cm. Logo:
7,50cm × 50 = 375cm ou 3,75m
Neste caso, como o comprimento da barra tracionada é 4,0m > 3,75, a peça não deve ser
utilizada, por perigo de �ambagem. Deve-se, então, veri�car a outra seção:
Assim: A = 15 × 15 = 225cm > 50cm (para peças principais isoladas)
espessura = 15cm > 5,0cm
OK! A PEÇA PASSA NAS DIMENSÕES!
Por �m, segue a veri�cação quanto à possibilidade de �ambagem:
15cm × 50 = 750cm ou 7,50m > 4,0m
n
2 2
n
2 2
OK, A PEÇA ATENDE A TODAS AS DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS!
PASSO 2
Veri�cação da tensão máxima:
Como foi de�nida a carga na qual a peça está submetida (≈ 200kN), teremos:
Assim, o f deve ser superior a esse valor para que a peça apresente segurança, segundo a
NBR 7190/97.
PASSO 3
De�nição do K :
Os K são de�nidos segundo as determinações do item 7 da norma NBR 7190/97:
Considerando a madeira existente como uma madeira serrada de segunda categoria, com
classe de umidade 4, tem-se, segundo as tabelas 7, 10 e 11 da NBR 7190/97:
K = 0,90 (para a madeira serrada e carregamento de curta duração)
K = 0,80 (para a madeira serrada e classe de umidade 4 = 90% de U )
K = 0,80 (para a madeira dicotiledônea de segunda categoria)
Desse modo, obtém-se:
K = K x K x K = 0,90 x 0,80 x 0,80 = 0,576
PASSO 4
Obtenção da resistência característica (f ):
Onde:
Assim:
t0,d
mod
mod’s
mod,1
mod,2 amb
mod,3
mod mod,1 mod,2 mod,3
t0,k
A resistência característica à tração axial para essa peça é, no mínimo, 27,78MPa. Para tanto,
por ser uma madeira dicotiledônea, escolheremos, conforme a NBR 7190/97, uma madeira que
satisfaça a Classe C-30, por ser a classe imediatamente superior à resistência característica.
Na prática, para tentarmos maximizar os esforços, seria interessante veri�car se a peça menor
(6”x3”) não obteria resultados mais econômicos. Para isso, poderia ser considerado um novo
projeto, com uma barra que a dividisse ao meio, conforme a Figura 4:
Figura 4: Proposta para ajuste e novo dimensionamento das peças de madeira com
seção transversal de 6”x3”.
EXERCÍCIOS
Questão 1: Uma perna de uma tesoura de cobertura chega em um tirante em um ângulo de 22º. Sabendo que esta perna
será embutida no tirante (ou linha) e que este é um pranchão com 10 x 25cm (base x altura), assinale a opção correta:
a) O tirante não deve ser submetido a entalhes, pois a sua reduzida largura (10cm) torna-o frágil para resistir aos esforços
gerados.
b) Com um ângulo de 22º, a ligação entre a perna e a linha pode ter sua força desprezada estruturalmente.
c) O entalhe no tirante é permitido em qualquer circunstância e sob qualquer detalhe.
d) Para o dimensionamento do tirante, basta aplicar a fórmula de Hankinson para obter a resistência ponderada da madeira
quando submetida a esforços inclinados em relação às �bras.
e) Independentemente do uso da fórmula de Hankinson e das demais considerações de seção e distância das extremidades do
tirante, o entalhe máximo da perna na linha não deverá ultrapassar 6,25cm.
Justi�cativa
Questão 2: Segundo as tabelas 12, 13 e 14 da Norma NBR 7190/97, para uma madeira dicotiledônea com f = 90MPa,
assinale a opção correta:
a) Neste caso, teremos f = 175MPa.
b) f = 9,60MPa, considerando k = 0,192, γ = 1,8 e extensão da aplicação normal da carga igual a 20cm.
c) O valor de α considera a tração normal às �bras longitudinais, não importando a extensão de aplicação da carga normal.
t0,k
t0,d
c90,d mod wt
n
d) Segundo a Tabela 12 da NBR 7190/97, a resistência de cálculo à compressão longitudinal é diferente da resistência de cálculo à
tração longitudinal.
e) O embutimento nas peças de madeira pode ser considerado sem preocupação para o diâmetro do pino embutido.
Justi�cativa
Questão 3: Para uma madeira conífera serrada de segunda categoria, classe C-30, submetida a um esforço de tração axial
permanente de 500kN em um ambiente seco (U% = 40%), assinale a opção correta:
a) Segundo a NBR 7190/97, um pranchão de 6”x10” é su�ciente para resistir aos esforços de tração aplicados.
b) A resistência de cálculo (f ) para estas condições é igual a 31,10MPa.
c) O K para esta situação é igual 0,65.
d) O coe�ciente de minoração das resistências características é igual a 1,40.
e) Para esta situação, K = 0,8; K = 1,0 e K = 0,80.
Justi�cativa
Glossário
t0,d
mod
mod,1 mod,2 mod,3