prova 3 de calculo

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Engenharias Mecatrônica e Aeronáutica - 1o Peŕıodo - Profa. Marisa S. Costa - 07/12/2011
3a Prova de Cálculo Diferencial e Integral 1
Observação: Os números entre colchetes que aparecem no ińıcio das questões indicam o
valor de cada questão totalizando 40 pontos. Desejo a todos uma boa prova!
1. Seja f(x) =
x2
x2 − 4
.
[3,0] a) Determine o domı́nio de f , os pontos cŕıticos e os intervalos de crescimento e
decrescimento.
[3,0] b) Estude o gráfico de f com relação à concavidade e pontos de inflexão. Determine
posśıveis pontos de máximo e mı́nimo locais.
[3,0] c) Verifique a existência de posśıveis asśıntotas horizontais, verticais ou obĺıquas.
[4,0] d) Com base nos resultados obtidos, esboce o gráfico de f .
2. [5,0] Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um semićırculo de raio
r.
3. Calcule as integrais:
a) [3,0]
∫
x2sen 2x dx
c) [3,0]
∫
x ln(1 + x) dx
b) [3,0]
∫
t3e−t
2
dt
d) [3,0]
∫
arctg 4t dt
4. [5,0] Use integração por partes para demonstrar a fórmula de redução∫
(lnx)ndx = x(lnx)n − n
∫
(lnx)n−1dx.
5. [5,0] Use uma substituição trigonométrica para calcular∫
dx
(6 − x2) 32
.