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Assinale a alternativa que contenha uma função de várias variáveis e seu respectivo domínio.
Comentário da resposta:
A condição de existência para a função
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Dada a função f(x, y) = 3x⁴y⁵, assinale a alternativa que contenha uma de suas derivadas parciais corretamente.
Comentário da resposta: A derivada de f(x, y) = 3x⁴y⁵ em relação a x é:
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Dada a função f(x, y) = x² + y³, onde x = s² - t e y = st, assinale a alternativa que contenha suas derivadas parciais corretamente.
Comentário da resposta: A derivada de f(x, y) = x² + y² em relação a s é:
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Questão referente ao Texto-base - Derivadas Parciais
De acordo com o Teorema de Clairaut, diga as condições para que as derivadas parciais , sejam iguais.
Comentário da resposta: Se a função f deve estar definida em um conjunto aberto D que contenha \(a,b) e as derivadas fxy e fyx forem contínuas no conjunto D, então
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Quando falamos em funções de diversas variáveis na disciplina de Cálculo II, ocorre algo interessante quando encontramos a imagem Z = f(x,y): por serem diferentes variáveis, temos, muitas vezes, repetições de imagens para distintas combinações de valores de x e y.
Comentário da resposta: As funções de diversas variáveis acabam tendo uma imagem Z, muitas vezes, com repetições de valores, mesmo
utilizando valores diferentes para as variáveis independentes. Podemos dizer que as repetições de imagens para diferentes valores nos levam ao conceito de curva de nível e superfície de nível.
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Sabe-se que, para construir um gráfico, são necessários eixos coordenados. Quando fazemos gráficos de apenas uma variável que possui os eixos x e y, temos, então, uma curva nesse plano, representada em um sistema de coordenadas cartesianas, apresentando o eixo das abcissas e o eixo das ordenadas.
Comentário da resposta: Como estudado, o gráfico de funções de duas variáveis independentes possui três eixos coordenados, que são os eixos x, y e z
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Um dos conceitos estudados dentro dos cálculos e da matemática é o de derivadas parciais. Estas são as derivadas das funções de duas variáveis e apresentam, também, uma interpretação geométrica bastante aplicável.
Comentário da resposta: As derivadas parciais são derivadas para funções de duas ou mais variáveis. Para isso, é necessário derivar uma variável por vez, porém utilizando as mesmas condições básicas de derivação para uma variável.
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Quando falamos sobre limite de uma função, a definição de limite é utilizada no intuito de expor o comportamento de tal função nos momentos de aproximação. Sabe-se que existem teoremas de limites, como o teorema do limite da soma de duas ou mais funções de mesma variável, que deve ser igual à soma dos seus limites.
Comentário da resposta: O Teorema de Limite do Produto nos diz que o limite do produto de duas ou mais funções de mesma variável (e não variáveis diferentes) deve ser igual à multiplicação (e não à soma) de seus limites.
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A definição de limite é utilizada no intuito de expor o comportamento de uma função nos momentos de aproximação de determinados valores. O limite de uma função possui grande importância quando estudamos Cálculo e em outros ramos da análise matemática, definindo derivadas e continuidade de funções.
Comentário da resposta: Quando uma função f(x,y) possui um limite A, este tem como imagem o subconjunto .
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Sabemos que, quando estudamos Cálculo II, as funções de diversas variáveis são aquelas que possuem uma variável dependente e mais de uma variável independente. Podemos citar como exemplos a temperatura de um ambiente e a densidade de um ambiente.
Comentário da resposta: As funções de diversas variáveis são aquelas que possuem uma variável dependente e mais de uma variável independente. Sendo assim, na função, temos a variável dependente de imagem Z que depende de duas variáveis x e y. Podemos interpretar, então, que Z é a variável dependente, enquanto x e y são as variáveis independentes.
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Sabe-se que o polinômio de Taylor é uma
aproximação para a função f(x,y) no ponto (a,b). Assinale a alternativa que contenha tal aproximação.
Comentário da resposta: A fórmula de Taylor da função f(x,y) é dada pela aproximação:
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Diga qual a condição necessária para a existência da integral dupla definida
Comentário da resposta: Uma condição suficiente para a existência da integral definida em D é a continuidade da função f(x,y) na região D, pois se f(x,y) é contínua em D então f é integrável em D.
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Assinale a alternativa que contenha o cálculo da integral tripla pelo Teorema de Fubini quando é um paralelepípedo.
Comentário da resposta: Pelo Teorema de Fubini, dado contínua e D um paralelepípedo, então:
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Assinale a alternativa que contenha o cálculo da integral dupla pelo Teorema de Fubini quando
Comentário da resposta: Pelo Teorema de Fubini, dado então
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,
Questão referente ao Texto-base - Integrais múltiplas
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) as propriedades das
integrais duplas. Assinale a alternativa com a classificação correta. 1. , se tais regiões não se sobrepõe exceto talvez suas fronteiras 2. , onde A(D) é a área de D.
3.
Comentário da resposta: As propriedades (I) e (II) são de integrais duplas, porém a propriedade (III): não é propriedade da integral dupla, nem mesmo da integral simples.
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Sabemos que existe um conceito básico e intrínseco às integrais de volumes que, usualmente, denominamos de Teorema Fundamental do Cálculo, uma vez que é o início dos conceitos aplicados ao volume de integrais duplas e triplas.
Comentário da resposta
O Teorema Fundamental do Cálculo é a base das operações centrais do
cálculo, diferenciação e integração, que são consideradas a inversão
uma da outra. Isso representa que uma função contínua é,
primeiramente, integrada e, posteriormente, diferenciada, voltando à
função original.
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Quando desenhamos determinado sólido dentro de um sistema de coordenadas, como um gráfico, podemos determinar seu volume por meio de integrais duplas. Para uma região no espaço cartesiano xyz, delimitada entre uma função z=f(x, y)>0 e uma região retangular R no plano xy, como se define o volume do sólido compreendido entre eles?
Comentário da resposta: Uma aplicação das integrais duplas consiste na determinação de volume de sólidos, que podem se encontrar em um espaço compreendidos entre uma função z = f(x, y) e uma região R definido em um plano.
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Quando falamos em polinômio de Taylor, sabemos da sua utilidade para estimar valores de determinada função a partir da utilização de suas derivadas. Essa é uma ferramenta muito utilizada dentro do cálculo diferencial e integral, a fim de determinar valores de uma função complexa de maneira mais simples.
Dito isso, assinale a alternativa correta do polinômio de Taylor de grau 3, em volta do
Comentário da resposta:
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Considere uma função tripla qualquer, como ,
sendo esta contínua, em determinada região T fechada e limitada no tempo e no espaço. Ao final, a região T será subdividida em planos paralelos aos três planos coordenados.
Comentário da resposta: Quando pensamos em integrais triplas, temos que levar em consideração que, dentro de uma região T de 1 a "n", encontramos diversos paralelepípedos agrupados. Cada paralelepípedo que está alocado em um ponto arbitrário e no k – ésimo paralelepípedo, é onde a soma deve ser
calculada para determinar o volume desse objeto.
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O Teorema de Fubini possibilita o cálculo de uma integral dupla, por meio do processo de integrações iteradas, permitindo a inversão da ordem de integração.
Comentário da resposta: O teorema de Fubini tem como base o cálculo de integrais duplas, onde duas integrações de uma variável são
realizadas, e uma terceira variável permanece fixa, de forma que a função f(x,
y) seja contínua em uma região D = [a,b] x [c,d].
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A partir das integrais triplas, podemos encontrar interpretações físicas
com a massa de um sólido e sua respectiva densidade, uma vez que,
quando trabalhamos com integrais triplas, estamos relacionando os três eixos (x, y, z) e derivando em função do volume.
Comentário da resposta: dV é o elemento diferencial do volume de um dado corpo de interesse. Caso venha a ser efetuada a integral no espaço ocupado pelo mesmo - usando um sistema de coordenadas adequado -, o resultado da conta é o seu volume total, dado pela expressão
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Quando falamos em polinômio de Taylor, sabemos da sua utilidade para estimar valores de determinada função a partir da utilização de suas derivadas. Essa é uma ferramenta muito utilizada dentro do cálculo diferencial e integral, a fim de determinar valores de uma função complexa de maneira mais simples.
Comentário da resposta: O conceito de polinômio de Taylor de ordem 1 consiste, basicamente, na definição de uma reta tangente. A partir desse método, é possível estimar a função em diversos pontos por meio de pontos próximos e, como dito anteriormente, a partir da determinação da reta
tangente da função que estamos analisando.
Semana 2
Quando falamos em volume de integral dupla, existe uma condição suficiente para que a existência da integral seja a continuidade da função f (x, y) em uma região D definida.
Comentário da resposta: A condição de suficiência para a existência da integral definida em D é a continuidade da função f(x, y) na região D, porém, para que f(x, y) seja contínua em D, a função f deve ser integrável em um sólido denominado “D”.
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Na matemática, temos a soma de Riemann, que é uma aproximação obtida a partir da somatória da função f (x, y), multiplicada pela variação do deslocamento do gráfico. Uma aplicação comum da soma de Riemann diz respeito às
aproximações da área de funções e/ou linhas de um gráfico.
Sobre as aproximações da área sob uma curva, assinale a alternativa correta.
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Na matemática, temos a soma de Riemann, que é uma aproximação obtida a partir da somatória da função , multiplicada pela variação do deslocamento do gráfico. Uma aplicação comum da soma de Riemann diz respeito às aproximações da área de
funções e/ou linhas de um gráfico.
Sobre as aproximações da área sob uma curva, assinale a alternativa correta.
A. A soma de Riemann ƒ (x,z) é relativa à partição P e também a escolha dos pontos (xⱼ, zⱼ ), podendo ser descrita da seguinte maneira: S = (ƒ, P, {[xⱼ, zⱼ ]})
B. A soma de Riemann ƒ (y,z) é relativa à partição P e também a escolha dos pontos (yⱼ, zⱼ ), podendo ser descrita da seguinte maneira: S = (ƒ, P, {[yⱼ, zⱼ ]})
C. A soma de Riemann independe da função e é relativa à partição P e também a escolha dos pontos, podendo ser descrita da seguinte maneira: S = (ƒ, P)
D.A soma de Riemann ƒ (x,y) é relativa à partição P e também a escolha dos pontos (xⱼ, yⱼ ), podendo ser descrita da seguinte maneira: S = (ƒ, P, {[xⱼ, yⱼ ]})
E. A soma de Riemann ƒ (x,y) não é relativa à partição P e também a escolha dos pontos (xⱼ, yⱼ ), podendo ser descrita da seguinte maneira: S = ƒ(xⱼ, yⱼ )
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Sabemos que um campo vetorial em R3 é determinado por uma função F:D R3, em que D pertence a R3. Nesse caso, o campo vetorial pode ser escrito em termos de suas componentes P, Q e R, da seguinte maneira:
Observe que P, Q e R são campos escalares, ou seja, funções com três variáveis.
Sobre as propriedades do gradiente de campos vetoriais em R3, é correto afirmar que:
A. São paralelas às curvas de nível de f = f(x, y, z) e apontam para a direção e o sentido de menor variação de f. B. São diagonais às curvas de nível de f = f(x, y, z) e apontam para a direção e o sentido de maior variação de f. C. São opostas às curvas de nível de f = f(x, y, z) e apontam para a direção e o sentido de menor variação de f. D. São perpendiculares às curvas de nível de f = f(x, y, z) e apontam para a direção e o sentido de maior variação de f. E. São transversais às curvas de nível de f = f(x, y, z) e apontam para a direção e o sentido de maior variação de f
Comentário da resposta: A partir do Teorema dos Campos Vetoriais em R3, seja f = f(x, y, z) um campo escalar de classe C2, então, o rotacional do gradiente da
função f é nulo frente aos cálculos vetoriais matemáticos.
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Analise as funções de várias variáveis e o ponto indicado onde essa função é contínua, classificando em verdadeiro (V) ou falso (F). Assinale a alternativa que contenha a classificação correta.
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O sistema esférico de coordenadas é um sistema de referenciamento
que permite a localização de um ponto qualquer em determinado espaço de formato esférico, por meio de um conjunto de três valores, chamados de “coordenadas esféricas”.
Dito isso, assinale a alternativa correta que apresenta o resultado de Dxyz em coordenadas esféricas.
A. Dp,x,y.
B. Dxi,yi,zi.
C. Dpθφ.
D. Du,w,n.
E. Dabc.
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Existe uma relação direta entre as coordenadas cartesianas, aquelas que comumente estudamos; e as coordenadas cilíndricas, conteúdo que estamos analisando no momento.
Portanto, encontre a equação cilíndrica para a superfície cuja a equação em equações cartesianas é dada por: x² + y² + 4z² = 16
A – 4r² + z² = 4
B - 4r² + z² = 16
C - r² + z² = 4
D - r² + z² = 16
E - r² + 4z² = 16
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As relações matemáticas entre as coordenadas cartesiana e cilíndrica existem e é possível relacionar o eixo z em função das relações cartesianas existentes (x, y, z).
Encontre a equação cilíndrica da seguinte equação cartesiana: x² - y² = 3z².
A - r²cos(2θ) = z²
B - r²cos(2θ) = 3z²
C - r²cos(3θ) = 2z²
D - r²cos(θ) = 3z²
E - r²cos(θ) = z²
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Ao pensarmos nas relações entre coordenadas cartesianas e cilíndricas, sabemos que podemos relacionar o eixo y entre as diversas coordenadas (x, y, z). Além disso, existe uma correlação matemática entre esses dois tipos de coordenadas.
Encontre a equação em coordenadas polares para a curva onde a equação em coordenadas cartesiana é apresentada por: x³ + y³ - 6xy = 0.
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O centro de massa, também conhecido como “baricentro” de um objeto, é um ponto geométrico que age de maneira dinâmica, tal como se a força resultante desse fenômeno de propriedades externas se aplicasse sobre ele. Dito isso, assinale a alternativa correta com as condições de um baricentro.
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Assinale a alternativa que contenha três expressões de integrais triplas que determinam as coordenadas do baricentro de um sólido D, com densidade
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Utilizando a regra da cadeia, assinale a alternativa que contenha a derivada
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O Resultado da integral tripla é:
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Assinale a alternativa que contenha o resultado de onde �� é o retângulo . Aplique o Teorema de Fubini.
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Analise as funções e seus respectivos domínios, classificando em verdadeiro (V) ou falso (F). Assinale a alternativa que contenha a classificação correta.
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Determine o polinômio de Taylor de ordem 1 da função no ponto P(1,1)
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Assinale a alternativa que contenha o cálculo da integral tripla de f(x,y,z) em coordenadas cilíndricas
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Assinale a alternativa que contenha o cálculo da integral tripla de f(x,y,z) em coordenadas esféricas.
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Assinale a alternativa que contenha os cálculos dos momentos de
inércia em relação aos planos , respectivamente:
Assinale a alternativa que contenha as propriedades do Gradiente.
Comentário da resposta: A propriedades do Gradiente são: perpendicular às curvas de nível de ��=��(��,��) e aponta para a direção e sentido de maior variação de ��.
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Assinale a alternativa que contenha o cálculo da integral dupla de f(x,y) em coordenadas polares se f é contínua em uma região polar da forma
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Sistemas de coordenadas cilíndricas são de extrema importância, uma vez que podem ser utilizados para simplificar estudos relacionados
a interações múltiplas. esse sistema foi concebido a partir das definições sobre as coordenadas polares e, em segunda instância, podemos pensá-lo como uma evolução do modelo polar adequado ao espaço tridimensional.
Sobre esse assunto, assinale a alternativa com as variáveis que estão vinculadas aos sistemas polares.
A. r, x, z.
B. x, y, z.
C. r, θ, z.
D. dr, dy, dz.
E. dx, dy, dz.
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Assinale a alternativa que contém o resultado da integral, onde D é a casca esférica delimitada por x² + y² + z² = 9 e x² + y² + z² = 16.
A) - 175π
2
B) π
4
C) 175π
2
D) 0
E) 175π
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Considerando a relação entre as coordenadas cartesianas e polares, vamos pensar no eixo y de um plano de coordenadas cartesianas e correlacionar com as coordenadas polares. Dito isso, encontre uma equação de coordenadas polares para uma determinada curva onde a equação em coordenadas cartesianas é (x² + y²)² - 4 (x² - y²) = 0
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Assinale a alternativa que contenha a equação da reta tangente a y no ponto y(tₒ)
Comentário da resposta
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Assinale a alternativa que contenha a integral que calcula a massa de γ, onde y:[a,b] → R³ é uma curva dada por y(t) = (x(t) , y(t), z(t))
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Assinale a alternativa que contenha a integral que calcula o trabalho realizado pelo campo ao longo da trajetória γ.
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Assinale a alternativa que contenha as condições equivalentes que o
campo deve satisfazer para ser chamado se conservativo.
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Questão referente ao Texto-base - Curvas, integrais e campos conservativos: roteiro de estudos Assinale a alternativa que contenha a condição para que um campo vetorial seja Gradiente.
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Questão referente ao Texto-base - Cálculo, Volume 2
Assinale a alternativa que contenha as fórmulas das integrais de linha com relação a x e y, respectivamente, dado C a curva.
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Uma outra condição para que o trabalho realizado por uma força seja nulo é:
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Assinale a alternativa que contenha a propriedade para que um campo de força exerça trabalho nulo.
Uma curva fechada é uma função da forma de de forma que A partir disto, assinale a alternativa que indica a razão pelo qual um ponto P pode ser denominado de múltiplo.
Qual alternativa melhor se encaixa na definição conceitual sobre uma curva parametrizada?
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A integral de linha de campo vetorial é a soma de todos os valores do campo em diversos pontos da curva, ponderado pelo campo vetorial, com um determinado comprimento de arco ou vetor, onde o produto do campo de vetores realiza um diferencial de uma determinada curva.
Dessa forma, qual das alternativas abaixo melhor resume o conceito de integral de linha e campo vetorial?
A - É o produto escalar do vetor F por t, em que o vetor t é o versor da direção e do sentido da tangente y. B - É o produto escalar do vetor F por t, em que o vetor t é o versor da direção e do sentido da cossecante y. C - É o produto vetorial do vetor F por t, em que o vetor t é o versor da direção e do sentido da cotangente y. D - É o produto vetorial do vetor F por t, em que o vetor t é o versor da direção e do sentido da bissetriz y. E - É o produto vetorial do vetor F por t, em que o vetor t é o versor da direção e do sentido da secante y
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Assinale a alternativa que contenha a massa da curva e densidade
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Seja γ C R² um arco circular orientado no sentido anti-horário, partindo de (5,0) e chegando em (-4,3). Usando o conceito de integral de linha, qual o resultado da seguinte equação:
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Determine a função potencial associada ao campo vetorial
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Assinale a alternativa que contenha o comprimento da curva
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O Teorema sobre campos conservativos nos diz que, se um campo de forças ᵩ
for um campo gradiente, e se o vetor gradiente da função potencial for igual ao campo de forças, então o trabalho ao longo de uma curva γ pode ser calculado por:
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Assinale a alternativa que contenha a definição de uma curva fechada simples.
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O Teorema do Valor Médio (ou Teorema de Lagrange) afirma que, para uma função f
que seja contínua, definida e diferenciável em um intervalo fechado [a,b], existe um ponto c tal que: f (c) = f (b) – f (a) lb – a. Geometricamente, a tangente ao gráfico de f no ponto c é paralela à secante que passa pelos pontos a e b.
Comentário da resposta: Quando um objeto está em velocidade (movimento) e sua velocidade média é igual a v, então, durante o percurso entre o intervalo fechado [a, b], haverá um instante (denominado como ponto "c") em que a velocidade instantânea também será igual a v.
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Assinale a alternativa que contenha uma curva parametrizada e seu respectivo vetor tangente.
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Assinale a alternativa que indica a variável matemática responsável por relacionar um campo vetorial com um campo escalar.
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͢ ͢
ᵩ
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Sendo F (x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z), um campo vetorial, a função potencial de F é definida por:
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Assinale a alternativa que mostra a equação que seja a aproximação linear de primeira ordem de uma função f(x), diferenciável e com valores da variável x próximos do ponto xₒ = a.
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Dentre as alternativas abaixo, assinale aquela que mostre uma variável física que pode ser determinada por meio da aplicação do conceito de integral de linha de função escalar, ao longo de uma trajetória definida por uma curva gamma.
a. Densidade.
b. Velocidade.
c. Cinética.
d. Massa.
e. Volume.
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̶ ̶ ̶
Assinale a alternativa que contenha a equação da reta tangente a curva y(t) = (e ̄²ͭ , √t+1, tcost)
no ponto tₒ = 0.
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Seja um campo vetorial o bordo da região fechada limitada por D, então a
integral do tipo trabalho é calculada segundo o Teorema de Green da seguinte forma:
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Assinale a alternativa que contenha a equação do plano tangente de uma superfície com gráfico z = f(x, y)
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Dado o campo vetorial em R³, sabendo que as derivadas parciais de P,Q e R
existem, então o rotacional de F é dado por:
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Determine a equação do plano tangente à superfície do elipsoide S de equação
no ponto de coordenadas
Comentário da resposta: