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SISTEMA DE ENSINO
ESTATÍSTICA
Intervalos de Confiança
Livro Eletrônico
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Intervalos de Confiança
ESTATÍSTICA
Thiago Cardoso
Sumário
Apresentação ................................................................................................................................... 3
Intervalos de Confiança ................................................................................................................. 4
1. Lei dos Grandes Números .......................................................................................................... 4
1.1. Lei Fraca dos Grandes Números ............................................................................................ 4
1.2. Lei Forte dos Grandes Números............................................................................................ 5
2. Teorema do Limite Central ........................................................................................................ 7
2.1. Fatos Importantes sobre o Teorema do Limite Central ................................................... 8
2.2. Estimativa de Máxima Verossimilhança ........................................................................... 11
3. Intervalos de Confiança para a Média Populacional ......................................................... 17
3.1. Parâmetros do Intervalo de Confiança ............................................................................... 17
3.2. Distribuição T-Student .........................................................................................................34
3.3. Intervalos de Credibilidade ................................................................................................. 37
Resumo ............................................................................................................................................ 39
Mapa Mental ..................................................................................................................................40
Questões Comentadas em Aula ................................................................................................. 41
Questões de Concurso ................................................................................................................. 47
Gabarito ........................................................................................................................................... 79
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Thiago Cardoso
ApresentAção
Olá, aluno(a)! Seja bem-vindo(a) a mais uma aula de Estatística Inferencial. Aqui é o Pro-
fessor Thiago e hoje nós vamos falar sobre a Estimação de Parâmetros e os Intervalos de 
Confiança, que são dois dos temas preferidos das bancas.
Embora seja um tema relativamente temido pelos alunos, você verá que tudo o que você 
precisa é aprender os conceitos e memorizar as fórmulas. A maior parte das questões de 
Intervalo de Confiança são bem tranquilas, se você tiver esses dois passos bem fixados na 
sua mente.
Então, liberte-se dos seus preconceitos quanto à Estatística Inferencial e vamos juntos 
aprender essa matéria.
Não se esquece de me seguir no Instagram (@math.gran). E, agora, vamos juntos desven-
dar essa interessante parte da Estatística?
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INTERVALOS DE CONFIANÇA
1. Lei dos GrAndes números
A Lei dos Grandes Números é um conceito central na Teoria das Probabilidades.
Imagine que lancemos um dado. Sabemos que a probabilidade de um lançamento qual-
quer ser igual a 6 é de 1/6.
Porém, o cérebro humano terá certa dificuldade de compreender a incerteza gerada pelo 
conceito de probabilidade. Ora, lançamos o dado para o alto. Se ele deu 6, então ele deu 6 com 
certeza. Se ele não deu 6, ele não deu 6 com certeza.
Acontece que a probabilidade traz uma observação a priori. Antes de ser feito qualquer 
lançamento de dado, sabemos que a probabilidade de o resultado ser igual a 6 é de 1/6.
Porém, como transportar esse conceito probabilístico para o mundo real, em que podemos 
e precisamos observar fatos? Em outras palavras, como verificar que uma probabilidade é re-
almente igual a 1/6?
Desde os tempos antigos, a ideia mais simples para verificar uma probabilidade consistia 
em fazer o mesmo experimento repetidas vezes. A intenção dessa repetição era que, à medida 
que fossem feitos milhares de lançamentos de dados, a proporção de resultados iguais a 6 
obtidos fosse realmente se aproximando de 1/6.
É exatamente essa a ideia por trás das Leis dos Grandes Números. E, para isso, agora de-
vemos entender suas duas variantes.
1.1. Lei FrAcA dos GrAndes números
Também chamada Lei de Khinchin, a versão fraca da LGN (Lei dos Grandes Números) de-
termina que a média amostral converge em probabilidade para o valor esperado.
Matematicamente falando, isso significa que, para qualquer que seja a margem c > 0, 
com uma amostra suficientemente grande, haverá uma probabilidade muito alta (próxima de 
1) de que a média amostral convirja para o valor real da probabilidade dentro dessa margem 
especificada.
A palavra-chave para entender essa definição está em negrito: “uma”. A Lei Fraca dos Gran-
des Números estabelece que haverá um tamanho tal de amostra que trará a média amostral 
para o valor real da probabilidade.
Vejamos um exemplo de uma série de lançamentos de dados em que foi anotada a frequ-
ência real de 6.
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Figura 1: Lei Fraca dos Grandes Números
Nessa sequência de lançamentos, tivemos no sexto lançamento que a proporção de 6 
efetivamente obtidos foi de 1/6. Isso por si só é suficiente para caracterizar a Lei Fraca dos 
Grandes Números.
Ainda que, para um número de lançamentos superior, a proporção de 6 obtidos possa ser 
significativamente diferente.
Tudo o que a Lei Fraca garante é que haverá uma amostra tal em que a frequência experi-
mental será muito próxima do valor numérico da probabilidade.
Mas não há nenhuma garantia do que acontecerá depois com a continuação do experimento.
1.2. Lei Forte dos GrAndes números
A Lei Forte dos Grandes Números, por sua vez, estabelece que a média amostral converge 
absolutamente para o valor real da probabilidade.
Matematicamente, pode-se escrever que:
Entendo que esse enunciado é bastante complicado. Porém, nas próximas linhas, tentare-
mos explicar as diferenças entre as duas versões da LGN.
Considerando ainda o experimento de lançamentos repetidos de dados, a Lei Forte estabe-
lece que, para uma certa quantidade de lançamentos, a frequência experimental de 6 realmen-
te efetiva circulará em torno do valor da probabilidade que é de 1/6.
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Figura 2: Lei Forte dos Grandes Números
Como visto no gráfico, a Lei Forte nos garante que, para um número suficientemente gran-
de de lançamentos, a frequência experimental realmente ficará em torno do valor da probabili-
dade, sem sofrer grandes oscilações.
E, mais, à medida que o número de lançamentos aumenta, as oscilações em torno do valor 
numérico da probabilidade ficarão cada vez mais suaves.
001. (FGV/TJ-RO/2015/ESTATÍSTICO) A Lei dos Grandes Números existe em duas versões 
que tratam de convergências de tipos distintos. A Lei Fraca e a Lei Forte abordam, respectiva-
mente, convergências:
a) em probabilidade e em distribuição;
b) quase certa e em probabilidade;
c) em distribuição e quase certa;
d) em distribuição e em probabilidade;
e) em probabilidade e quase certa.
A Lei Fraca dos Grandes Números aborda a convergência em probabilidade, enquanto a Lei 
Forte aborda a convergência absoluta ou, na linguagem da questão, quase certa.
Letra e.
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2. teoremA do Limite centrAL
O Teorema do Limite Central ou Teorema Central do Limite é um dos teoremas mais impor-
tantes da Estatística.
É uma das bases da Estatística Inferencial, sendo muito útil para estimar parâmetros, como 
a média e o desvio padrão populacional, a partir de uma amostra aleatória dessa população.
DICA!
Seja uma amostra aleatória simples (X1, X2, …, Xn) de tama-
nho “n” extraída de uma população qualquer com média e 
variância finita. À medida que o tamanho da amostra “n” 
cresce, a distribuição da média amostral se aproxima de uma 
distribuição normal centrada na mesma média populacional e 
variância . Matematicamente, pode-se escrever:
002. (INÉDITA/2021) Uma fábrica de automóveis produziu um estoque de 289 peças, cujo 
tamanho segue uma distribuição normal com comprimento médio igual a 12 cm.
Sabendo que, para uma distribuição normal padrão, P (|Z| < 2) = 95%, julgue os seguintes itens.
Se o desvio padrão do comprimento individual das peças for igual a 1 cm, então, o desvio pa-
drão da média do estoque será inferior a 0,05 cm.
Pelo Teorema do Limite Central, o desvio padrão da média é igual ao desvio padrão unitário 
dividido pela raiz quadrada do número de observações:
Errado.
003. (CESPE/TCE/PA/2016) Uma amostra aleatória, com n = 16 observações independentes 
e identicamente distribuídas (IID), foi obtida a partir de uma população infinita, com média e 
desvio padrão desconhecidos e distribuição normal. Tendo essa informação como referência 
inicial, julgue os seguintes itens.
Para essa amostra aleatória simples, o valor esperado da média amostral é igual à média po-
pulacional.
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Essa é uma consequência direta do Teorema do Limite Central: o valor esperado da média 
amostral é igual à média populacional.
Certo.
2.1. FAtos importAntes sobre o teoremA do Limite centrAL
Existem vários fatos interessantes sobre o Teorema do Limite Central. Vamos esmiuçá-los, 
pois eles podem ser cobrados em questões teóricas mais sofisticadas sobre esse importan-
te teorema.
2.1.1. Distribuição Normal
Essa aqui é uma das grandes inovações do Teorema do Limite Central: qualquer que seja a 
população considerada, a média amostral se aproximará de uma distribuição normal.
Essa é uma novidade teórica muito interessante, porque não importa qual seja a distribui-
ção da variável aleatória, a sua média amostral sempre vai seguir uma distribuição normal.
Mas o que isso significa exatamente?
A melhor forma de visualizarmos essa propriedade seria realizar várias amostras. Por 
exemplo, suponha que desejamos determinar a altura média dos habitantes da cidade de São 
Paulo. Para isso, um pesquisador realizará amostras aleatórias simples com tamanho igual a 
100 e calculará suas respectivas médias amostrais.
Suponha que ele tenha feito esse procedimento 1.000 vezes e tenha anotado os valores 
calculados na Tabela 1.
Faixa Número de Observações
169 – 170 1
170 – 171 20
171 – 172 59
172 – 173 220
173 – 174 400
174 – 175 220
175 – 176 59
176 – 177 20
177 – 178 1
Tabela 1: Médias Amostrais Registradas pelo Pesquisador
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Ao plotar esse gráfico, notamos que ele se aproxima bastante de uma distribuição normal, 
como mostrado na Figura 3:
Figura 3: Teorema do Limite Central para a Média Populacional
E qual a principal consequência?
Trata-se de um fato bastante interessante, pois nos permite utilizar a mesma teoria de esti-
mativa de parâmetros, intervalo de confiança para qualquer que seja a população considerada.
Essa parte do teorema é um dos resultados mais importantes da Estatística Inferencial e 
servirá de base para que consideremos todos os métodos de estimativas que serão aprendi-
dos mais adiante neste material.
2.1.2. População de Tamanho Infinito
Vale notar que a expressão do Teorema do Limite Central é válida para uma população de 
tamanho infinito. Para populações pequenas, a distribuição da média amostral não segue exa-
tamente uma distribuição normal nem terá a variância calculada.
Quanto menor for o tamanho da população, maior será a variância da média amostral. Uma 
estimativa para a variância da média amostral pode ser obtida utilizando-se o fator de ajuste 
que já estudamos para a variância amostral:
Como já havíamos estudado no capítulo sobre Variância e Desvio Padrão, à medida que o 
tamanho da amostra (N) tende ao infinito, a razão N/(N–1) vai se aproximando de 1, de modo 
que a variância amostral tende à variância populacional, que é aquela preconizada pelo Teore-
ma do Limite Central.
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2.1.3. Estimador para a Média Populacional
Um fato muito interessante é que a distribuição média amostral é centrada na média 
populacional.
Esse fato é bastante coerente com a Lei dos Grandes Números. Por essa lei, já esperamos 
que, à medida que a amostra fique muito grande, a média amostral convirja para o valor real 
do parâmetro. Além disso, esse resultado é também muito interessante, pois nos permite uma 
forma fácil de estimar a média populacional a partir de uma amostra.
Como o valor esperado para a média amostral é igualà própria média populacional, um 
estimador para a média populacional é a própria média amostral.
Outra forma de dizer isso é que a média amostral é um estimador sem viés ou consistente 
para a média populacional.
No caso da média amostral, o estimador de máxima verossimilhança, isto é, aquele que 
possui a mesma expressão da média populacional é consistente. Isso significa que o valor 
esperado da média amostral é igual à média populacional.
Como já vimos, isso não se aplica à variância nem ao desvio padrão.
2.1.4. Tamanho da Amostra
A variância da média amostral reduz com o tamanho da amostra.
Mais um fato coerente com a Lei dos Grandes Números. À medida que tomamos amostras 
cada vez maiores, é natural que elas se concentrem em torno do valor exato da média populacional.
É bastante comum se chamar o desvio padrão da média amostral de erro padrão:
É importante não confundir o erro padrão com o desvio padrão. Enquanto o desvio padrão 
diz respeito à população em si, o erro padrão diz respeito à média amostral.
2.1.5. Amostragem Aleatória Simples
O Teorema do Limite Central considera uma amostra aleatória simples.
Em Amostragem, dizemos que a amostra aleatória estratificada é mais custosa, porém 
produz resultados melhores que a amostra aleatória simples.
Em termos do Teorema do Limite Central, esses resultados melhores se traduzem em me-
nor erro padrão para a média amostral.
2.1.6. Parâmetros da População Original
Os valores que entram na média e no erro padrão são da população original.
Esse é um dos pequenos problemas do Teorema do Limite Central. Ele é sempre válido, 
porém considera os parâmetros reais da população, como sua média e seu desvio padrão.
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Na maioria das vezes, queremos estimar a média e o desvio padrão populacional, portanto 
desconhecemos a princípio esses valores.
Isso trará problemas para a vida real na hora de aplicar esse teorema. Em questões de pro-
va, veremos como faremos para contornar tal problema.
004. (CESPE/TCE-PA/2016) Se os totais de observações na amostra dos processos de amos-
tragem aleatória simples e de amostragem aleatória estratificada forem iguais, o desvio padrão 
do estimador da média por amostragem aleatória simples será menor que o por amostragem 
estratificada.
Os resultados da amostragem aleatória estratificada sempre serão melhores que os resulta-
dos da amostragem aleatória simples. Resultados melhores significam um erro padrão menor.
Errado.
2.2. estimAtivA de máximA verossimiLhAnçA
O estimador de máxima verossimilhança toma a amostra obtida como sendo a mais pro-
vável de se obter a partir da população original. Em outras palavras, o estimador toma a amos-
tra obtida como representativa da população.
Se desejamos obter a média e a variância populacional a partir de uma amostra, o estima-
dor de máxima verossimilhança tomará os valores de e que melhor expliquem aque-
la amostra.
2.2.1. Propriedades dos Estimadores
Vamos estudar alguns termos que podem aparecer em questões de provas sobre as pro-
priedades de um estimador qualquer. As principais nomenclaturas que devemos conhecer são:
• Viés ou acurácia: é o estimador, cujo valor esperado é igual ao valor real do parâmetro;
• Precisão: é quando as medidas obtidas pelo estimador são próximas entre si;
Obs.: � é importante observar a diferença entre acurácia e precisão. Vamos fazer uma analo-
gia com um atirador que dispara contra um alvo.
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Figura 4: Diferença entre Precisão e Acurácia
• Consistência: um estimador é consistente quando, à medida que se aumenta o número 
de unidades amostrais, ele converge para o valor real do parâmetro.
2.2.2. Estimativa de Máxima Verossimilhança para a Média
O estimador de máxima verossimilhança para a média populacional é exatamente a média 
amostral. Isto é, deve-se tomar a soma de todas as observações dividida pelo número de ele-
mentos na amostra.
Devido ao Teorema do Limite Central, o estimador de máxima verossimilhança para a mé-
dia é consistente e não viesado. Isso significa que o valor esperado da média amostral é igual 
à média populacional.
Caso seja fornecida uma distribuição conhecida – o que é o caso, na maioria das ques-
tões –, você utilizará as expressões daquela distribuição para o cálculo da variância com 
base na média.
2.2.3. Estimativa de Máxima Verossimilhança para a Variância
É importante citar que, como a amostra é considerada como representativa da população 
como um todo, não é feito nenhum ajuste para o cálculo da variância amostral. Sendo assim, 
não é utilizado aquele famoso N-1 no denominador.
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Devem-se utilizar as mesmas expressões para o cálculo da variância populacional, sem 
fazer nenhum ajuste. Porém, o estimador não viesado para a variância populacional possui N-1 
no denominador, e não N.
Portanto, o estimador de máxima verossimilhança para a variância é viesado ou tenden-
cioso. Em outras palavras, ele não tende para o real valor do parâmetro variância, mas, sim, 
para um valor ligeiramente diferente.
005. (INÉDITA/2021) Situação Hipotética: Foram registrados os pesos de alunos obtendo-se 
os seguintes valores {70, 60, 80, 65, 75}. Assertiva: A estimativa de máxima verossimilhança 
para a variância populacional é igual a 50.
Primeiramente, vamos calcular a média da variável aleatória:
Agora, podemos calcular os desvios em relação à média para cada uma das observações. A 
forma mais simples é montando uma tabela:
X X – μ (X – μ)²
70 70 – 70 = 0 0²= 0
60 60 – 70 = –10 (–10)² = 100
80 80 – 70 = 10 (10)² = 100
65 65 – 70 = –5 (–5)² = 25
75 75 – 70 = 5 (5)² = 25
Soma 100 + 100 + 25 + 25 = 250
Para calcular a variância, basta tomar a média dos desvios quadráticos. Como a estimativa é 
de máxima verossimilhança, não há necessidade de usar o fator de ajuste:
Certo.
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006. (CESPE/TCE-PA/2016/AUDITOR DE CONTROLE EXTERNO) Caso, em uma amostra ale-
atória de tamanho n = 4, os valores amostrados sejam A = {2, 3, 0, 1}, a estimativa de máxima 
verossimilhança para a variância populacional será igual a 5/3.
Na estimativa de máxima verossimilhança, não é feita nenhuma correção de ajuste.
Errado.
007. (CESPE/EBSERH/2018/ANALISTA ADMINISTRATIVO/ESTATÍSTICO) X1, X2,..., X10 re-
presenta uma amostra aleatória simples retirada de uma distribuição normal com média µe variância σ2 , ambas desconhecidas. Considerando que representam os respectivos 
estimadores de máxima verossimilhança desses parâmetros populacionais, julgue os itens 
subsecutivos.
 é um estimador viciado (ou tendencioso) para a variância populacional, pois .
De fato, o estimador de máxima verossimilhança para a variância é tendencioso ou viesado.
Certo.
008. (CESPE/TCE-PA/2016/AUDITOR DE CONTROLE EXTERNO) Uma amostra aleatória, 
com n = 16 observações independentes e identicamente distribuídas (IID), foi obtida a partir 
de uma população infinita, com média e desvio padrão desconhecidos e distribuição normal.
Se a média amostral for igual a 3,2 e a variância amostral, igual a 4,0, o estimador de máxima 
verossimilhança para a média populacional será igual a 1,6.
Se a média amostral for igual a 3,2, então a estimativa de máxima verossimilhança para a mé-
dia populacional também deverá ser igual a 3,2.
Errado.
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2.2.4. Método dos Momentos
O estimador de máxima verossimilhança é muito utilizado para estimar parâmetros de uma 
distribuição de probabilidades, técnica referenciada como método dos momentos.
Se desejamos obter a média e a variância populacional a partir de uma amostra, o esti-
mador de máxima verossimilhança tomará os valores de e que melhor expliquem aque-
la amostra.
Existem várias técnicas para obter tal estimativa, porém, em provas de concursos, o mais 
comum é simplesmente:
• Média populacional: toma-se como a própria média amostral;
• Desvio padrão populacional: toma-se como o desvio padrão amostral calculado pela 
técnica de máxima verossimilhança, isto é, com N no denominador.
Caso seja fornecida uma distribuição conhecida – o que é o caso, na maioria das ques-
tões –, você utilizará as expressões daquela distribuição para o cálculo da variância com 
base na média.
O cálculo do desvio padrão só deve ser feito caso realmente seja necessário para estimar 
os parâmetros da distribuição. No caso de distribuições com um único parâmetro, como a 
distribuição de Bernoulli e Poisson, o parâmetro deve ser obtido diretamente a partir da média 
populacional.
Não tente obter a variância da população a partir da variância populacional nessas situa-
ções. Calcule sempre o parâmetro a partir da média e, depois, utilize o parâmetro para calcular 
a variância da distribuição.
009. (CESPE/TCU/2015/AUDITOR FEDERAL DE CONTROLE EXTERNO) Considerando que 
uma amostra aleatória simples X1, X2, X3, X4 tenha sido retirada de uma distribuição X cuja 
função de probabilidade é definida como , em que 0 ≤ p ≤ 1, k 
∈ {0, 1, 2,..., 10}, sendo p o parâmetro desconhecido, e que os valores observados na amostra 
tenham sido 0, 4, 6 e 2, julgue o item a seguir.
A estimativa de máxima verossimilhança para a variância populacional é igual a 2,1.
Primeiramente, faremos a estimativa da média populacional:
Agora, notemos que a distribuição fornecida é a conhecida distribuição binomial. Sendo assim, 
podemos calcular a estimativa da variância por:
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O parâmetro p, por sua vez, pode ser calculado a partir da média estimada.
Agora, basta aplicar na expressão da variância:
Certo.
010. (CESPE/TCE-PA/2016/AUDITOR DE CONTROLE EXTERNO) Considere um processo de 
amostragem de uma população finita cuja variável de interesse seja binária e assuma valor 0 
ou 1, sendo a proporção de indivíduos com valor 1 igual a p = 0,3. Considere, ainda, que a proba-
bilidade de cada indivíduo ser sorteado seja a mesma para todos os indivíduos da amostragem 
e que, após cada sorteio, haja reposição do indivíduo selecionado na amostragem.
A partir dessas informações, julgue o item subsequente.
Caso, em uma amostra de tamanho n = 10, os valores observados sejam A = {1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 
1, 0, 0}, a estimativa via estimador de máxima verossimilhança para a média populacional será 
igual a 0,4.
A estimativa de máxima verossimilhança toma a amostra obtida como representativa da po-
pulação original:
Certo.
011. (CESPE/EBSERH/2018/ANALISTA ADMINISTRATIVO/ESTATÍSTICO) O estimador de 
máxima verossimilhança para a função de densidade da distribuição normal em questão é 
, para qualquer valor real x.
E, de fato, basta aplicar essa estimativa na expressão da normal para se obter uma estimativa 
de máxima verossimilhança para a função de densidade de probabilidade.
Certo.
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ESTATÍSTICA
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3. intervALos de conFiAnçA pArA A médiA popuLAcionAL
3.1. pArâmetros do intervALo de conFiAnçA
Um intervalo de confiança para a média é construído a partir de uma amostra.
É sempre centrado na média obtida experimental, ou seja, na média amostral. E sua largura 
depende do grau de confiança desejado, geralmente representado por 1 – α.
O complemento do grau de confiança é conhecido como nível de significância, represen-
tado por α. Assim, se um intervalo tem um nível de significância igual a 5%, ele terá um grau de 
confiança igual a 95%.
3.1.1. Interpretação do Grau de Confiança
Agora, vamos prestar atenção a uma importante interpretação do grau de confiança.
Interpretação: um grau de confiança de 95% significa que 95% dos intervalos de confiança 
construídos por meio de amostras aleatórias simples contêm o valor real do parâmetro.
Muito cuidado com essa definição.
É comum ouvirmos na televisão, por exemplo, em pesquisas eleitorais, o seguinte: “as in-
tenções de voto de tal candidato são de 40% com margem de erro de 3 pontos percentuais 
para mais ou para menos. O grau de confiança da pesquisa é de 90%.”
A tal margem de erro diz respeito ao intervalo de confiança que foi construído. Esse inter-
valo de confiança é bilateral, centrado em 40% e varia de 3 pontos percentuais a menos (igual 
a 37%) a 3 pontos percentuais a mais (igual a 43%). E o grau de confiança associado é de 90%.
Figura 5: Exemplos de um Intervalo de Confiança
É comum fazermos a interpretação de que existe uma probabilidade de 90% de o valor real 
das intenções de voto do candidato ser de 37% a 43%.
Porém, tal interpretação está errada.
Matematicamente falando, o valor real das intenções de voto de um candidato possui um 
valor real exato. Portanto, não há que se falar em probabilidade de ele estar contido em um 
intervalo de confiança construído, pois se trata de um evento determinístico: ou ele aconteceu 
ou não aconteceu.
Por exemplo, se esse valor for de 35%, a probabilidade de ele estar no intervalo de confian-
ça construído é de 0%.
Por outro lado, se o valor real é de 42%, a probabilidade de estar no intervalo de confiança 
construído é de 100%.
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Intervalos de Confiança
ESTATÍSTICA
Thiago Cardoso
Figura 6: Valor Real do Parâmetro x Intervalos de Confiança
A interpretação correta a se fazer da margem de erro ou do intervalo de confiança é que 
ele é construído a partir de amostras aleatórias. Portanto, o intervalo de confiança em si 
é aleatório.
Dessa maneira, se pudéssemos fazer várias pesquisas eleitorais, em 90% delas, o valor real 
do parâmetro apareceria dentro dos intervalos de confiança que seriam construídos seguindo 
essa técnica.
Figura 7: Interpretação do Grau de Confiança
Assim, vamos resumir as principais interpretações para o grau de confiança que aparecem 
em questões de provas e quais estão certas e quais estão erradas:
Errado Certo
A probabilidade de que o valor real do 
parâmetro esteja contido no intervalo 
é de 95%.
O valor real do parâmetro estará 
contido em 95% dos intervalos de 
confiança.
Outra interpretação interessante que pode ser feita a respeito do grau de confiança tem 
como base a situação antes de ele ser construído.
Como falamos anteriormente, como a amostra é aleatória, o intervalo de confiança cons-
truído com base nela é também aleatório. Desse modo, caso seja realizada uma amostra ale-
atória simples com grau de confiança de 90%, a probabilidade, antes de ser construído, de que 
o intervalo de confiança contenha o valor real do parâmetro é igual a 90%.
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3.1.2. Construção do Intervalo de Confiança
Agora, vamos falar sobre como construir o intervalo de confiança para a média amostral. 
Primeiramente devemos considerar a variável normalizada para a média amostral, que é:
Lembre-se de que a normalização é feita retirando-se a média e dividindo-se pelo desvio 
padrão. Por isso que tivemos que tomar a raiz quadrada de .
Essa variável normalizada deve seguir uma distribuição normal padrão. Devemos dividir a 
curva normal padrão nas seguintes regiões:
Figura 8: Estatística do Intervalo de Confiança
O intervalo de confiança para a normal padrão cobrirá de –zα a + zα. É importante registrar 
que a estatística zα é tal que:
Estatisticamente falando, vamos tomar o intervalo de confiança bilateral, isto é, ambos 
os lados da normal. Vale ressaltar que, teoricamente, é possível construir outros tipos de in-
tervalos de confiança, por exemplo, unilaterais. No entanto, o caso mais comum é realmente a 
construção dos intervalos bilaterais.
Usando a estatística de teste, temos que:
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Como o intervalo é simétrico, podemos inverter o sinal da desigualdade:
Resumidamente, podemos escrever que o intervalo de confiança será:
Vamos esquematizar essa importantíssima expressão:
Veja, portanto, o que falamos. O intervalo de confiança é construído com base na média 
amostral, assim, é feito um intervalo de confiança para cada amostra.
Como a amostra é aleatória, o intervalo de confiança também será aleatório.
Alguns deles conterão o valor real do parâmetro, outros não. O grau de confiança nos diz 
qual é o percentual desses intervalos de confiança que conterão o valor real do parâmetro.
Outro fato importante a se notar é que, do jeito que demonstramos, precisamos do valor 
real do desvio padrão populacional. Na maioria das situações práticas, se desejamos estimar 
a média populacional, é pouco provável que conheçamos o desvio padrão.
Para lidar com esse problema, existem duas possibilidades:
• Utiliza-se uma versão modificada do Teorema do Limite Central com a distribuição t-S-
tudent.
Essa distribuição nem sempre está prevista em editais, portanto somente será estudada se 
for realmente passível de ser cobrada na sua prova.
• Faz-se a suposição de que a amostra é muito grande.
Nesse caso, pode-se aproximar o desvio padrão populacional pelo desvio padrão amostral 
e aproximar a t-Student de uma distribuição normal.
Se a amostra puder ser considerada muito grande, podemos utilizar o intervalo de confian-
ça que propusemos nesta seção normalmente.
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3.1.3. Estatística do Intervalo de Confiança
Também conhecida como quantidade pivotal, a estatística do intervalo de confiança (zα) é 
o valor tal que:
Observe que a estatística do intervalo de confiança depende exclusivamente do grau de 
confiança. Portanto, ela não influencia a largura do intervalo de confiança.
A dica que sempre dou para os meus alunos é sempre desenhar as probabilidades na hora 
da prova na curva normal padrão. O seu objetivo é encontrar o seguinte:
Um examinador mais benevolente fornecerá para você os dados já com os módulos. Por 
exemplo, suponha que você deseja construir um intervalo de confiança de 95% e o examinador 
lhe forneça que: . Nesse caso, o examinador lhe deu a faca e o queijo na 
mão. Vejamos no gráfico:
Figura 9: Ilustração Bilateral da Normal Padrão Destacando Z = 1,96
De acordo com os dados fornecidos, na região entre -1,96 e +1,96, temos a probabilidade 
de 95% sobre a curva normal padrão. Sendo assim, é exatamente esse o valor da estatística do 
intervalo (zα = 1,96).
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Por outro lado, um examinador mais pernicioso tentará te confundir a respeito da estatís-
tica de teste. Por exemplo, ele poderá te pedir um intervalo de confiança de 99% e lhe fornecer 
os seguintes dados:
Nesse caso, qual dos valores deve ser utilizado para zα?
O modo mais simples de entender a estatística de teste correta a ser utilizada é desenhan-
do todos os valores fornecidos na normal padrão:
Figura 10: Ilustração Unilateral da Normal Destacando Z = 2,06; 2,34 e 2,59
Perceba, porém, que os dados fornecidos não condizem com o formato de desenho que 
precisamos para obter a estatística do intervalo de confiança.
No entanto, podemos converter usando o fato de que a normal padrão é simétrica em rela-
ção à origem. Dessa forma, temos:
Figura 11: Conversão da Normal Unilateral em Bilateral
Sendo assim, do jeito que precisamos para o intervalo de confiança, devemos escolher zα 
= 2,59, pois é exatamente nesse caso que temos que a região entre -zα e +zα possui a área de 
99% da normal.
012. (INÉDITA/2021) Uma fábrica de automóveis produziu um estoque de 289 peças, cujo 
tamanho segue uma distribuição normal com comprimento médio igual a 12cm.
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Sabendo que, para uma distribuição normal padrão, P (|Z| < 2) = 95%, julgue os seguintes itens.
Para que o intervalo de confiança de 95% para o tamanho das peças seja [11,9 cm; 12,1 cm], 
então, o desvio padrão do tamanho das peças deve ser inferior a 1 cm.
Observe que o enunciado já forneceu o dado pronto para a estatística do intervalo de con-
fiança (zα):
O centro do intervalo de confiança é igual a 12 cm, portanto a sua distância dos extremos ao 
centro é igual a 0,1 cm. Essa distância é dada pela expressão:
Desse modo, de fato, o desvio padrão é inferior a 1 cm.
Certo.
013. (INÉDITA/2021) O comprimento mediano das peças é igual a 12 cm.
A distribuição normal é assimétrica, portanto a mediana é sempre igual à média, que é 
igual a 12 cm.
Certo.
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3.1.4. Amplitude do Intervalo de Confiança
Voltemos à expressão do intervalo de confiança bilateral:
A amplitude desse intervalo corresponde à diferença entre os extremos. Então, ela será:
Quando o intervalo de confiança é largo demais, não é possível fazer uma estimativa ade-
quada de um parâmetro como a média. Olhe só que diferença entre duas situações:
• as intenções de voto no candidato A são de 53% com margem de erro de 2 pontos per-
centuais para mais ou para menos. Nesse caso, o intervalo de confiança é 51% a 55%;
• as intenções de voto no candidato A são de 53% com margem de erro de 4 pontos per-
centuais para mais ou para menos. Nesse caso, o intervalo de confiança é 49% a 57%.
No segundo caso, temos uma incerteza maior sobre o valor real do parâmetro. Esse inter-
valo, inclusive, suscitou a dúvida se ele realmente será eleito, pois ele pode ter menos de 50% 
dos votos.
Portanto, quanto mais amplo for um intervalo de confiança, menos preciso ele será.
Observe que a largura do intervalo de confiança:
• é proporcional à estatística de teste, que depende unicamente do grau de confiança. 
Dessa forma, quanto maior o grau de confiança, mais largo será o intervalo. Assim, au-
mentar o grau de confiança diminui a precisão do intervalo, porque ele ficará demasia-
damente amplo;
• é proporcional ao desvio padrão populacional. Nessa situação, quanto menor for a varia-
bilidade dos parâmetros, mais preciso, isto é, mais estreito será o intervalo de confiança;
• é inversamente proporcional à raiz quadrada do tamanho da amostra. Desse modo, 
quanto maior o tamanho da amostra, menor será a amplitude do intervalo de confiança.
Portanto, o aumento do tamanho da amostra aumentará a precisão do intervalo de con-
fiança. Em outras palavras, o aumento do tamanho da amostra deixará o intervalo de confiança 
mais estreito.
014. (FGV/SEFAZ-RJ/2009/FISCAL DE RENDAS) Para examinar a opinião de uma população 
sobre uma proposta, foi montada uma pesquisa de opinião em que foram ouvidas 1680 pesso-
as, das quais 51,3% se declararam favoráveis à proposta. Os analistas responsáveis determinaram 
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que a margem de erro desse resultado, em um determinado nível de confiança, era de 2 pontos 
percentuais, para mais ou para menos.
Considerando que fosse desejada uma margem de erro de 1 ponto percentual, para mais ou 
para menos, no mesmo nível de confiança, assinale a alternativa que indique o número de pes-
soas que deveriam ser ouvidas.
a) 840
b) 2520
c) 3360
d) 5040
e) 6720
Prestemos atenção à expressão do intervalo de confiança:
A margem do intervalo de confiança é dada por:
Como será mantido o mesmo nível de confiança, o z utilizado será igual para as duas amos-
tras. Sendo assim, a margem do intervalo de confiança será inversamente proporcional à raiz 
quadrada do tamanho da amostra. Podemos escrever:
Fazendo a divisão:
Letra e.
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015. (CESPE/TCE-PA/2016) Uma amostra aleatória, com n = 16 observações independentes 
e identicamente distribuídas (IID), foi obtida a partir de uma população infinita, com média e 
desvio padrão desconhecidos e distribuição normal. Tendo essa informação como referência 
inicial, julgue os seguintes itens.
Em um intervalo de 95% de confiança para a média populacional em questão, caso se aumente 
o tamanho da amostra em 100 vezes (passando a 1.600 observações), a largura total do inter-
valo de confiança será reduzida à metade.
Olhando a expressão do intervalo de confiança:
Podemos ver que a largura total é inversamente proporcional à raiz quadrada do tamanho 
da amostra:
Sendo assim, ao aumentar o tamanho da amostra, podemos ver que:
Portanto, a largura total do intervalo de confiança se reduz a um décimo.
Errado.
016. (FGV/SEFAZ-RJ/2010/AFRE) Suponha que os salários dos trabalhadores numa certa re-
gião sejam descritos por uma variável populacional com média desconhecida e desvio padrão 
igual a R$200,00. Para se garantir, com 95% de probabilidade, que o valor da média amostral 
dos salários não diferirá do valor da média populacional por mais de R$10,00, a amostra alea-
tória simples deverá ter no mínimo, aproximadamente, o seguinte tamanho:
Dado: P(|Z| < 1,96) = 0,95
a) 3.568
b) 3.402
c) 2.489
d) 2.356
e) 1.537
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Ao dizer “o valor da média amostral dos salários não diferirá por mais de R$10,00”, a questão 
nos pede que a margem do intervalo de confiança seja de R$10,00.
O parâmetro já foi fornecido de forma adequada para ser utilizado no intervalo de confian-
ça. Portanto, temos:
Como não existe uma amostra de 1.536,64 elementos, devemos ter que ela deve possuir pelo 
menos 1.537 elementos.
Letra e.
3.1.5. Intervalo de Confiança para Proporção
Esse tipo de intervalo de confiança é bastante comum. E, para resolvê-lo, devemos notar 
que as proporções são variáveis aleatórias de Bernoulli. E uma expressão bastante útil que 
devemos lembrar é o desvio padrão dessa distribuição de probabilidades:
Esse desvio padrão é justamente o que vai ser utilizado na expressão do intervalo de con-
fiança. Vamos entender melhor essa situação com um exemplo?Suponha que se saiba que 60% dos habitantes de uma cidade hipotética são favoráveis a 
um projeto de lei. Qual será o intervalo de confiança para a proporção de pessoas que serão 
favoráveis em uma amostra de 2.400 pessoas?
Para isso, precisamos do dado: P (|Z| < 2) = 95%.
Para resolver essa questão, o primeiro passo é determinar o desvio padrão da variável ale-
atória. Para isso, devemos notar que 60% das pessoas são favoráveis ao projeto de lei. Mas 
ser favorável ao projeto é uma variável de Bernoulli, porque só existem duas possibilidades: a 
pessoa pode ser favorável (sucesso) ou não ser favorável (falha).
Por ser uma variável de Bernoulli, o seu desvio padrão é dado pela expressão:
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Pelo Teorema do Limite Central, podemos definir a variável normalizada:
A estatística do intervalo de confiança é .
Dessa forma, o intervalo de confiança desejado é:
Vamos treinar com mais algumas questões de provas?
017. (FGV/ISS RECIFE/2014/ANALISTA DE CONTROLE INTERNO) Para estimar a proporção 
populacional p de eleitores favoráveis a certa candidatura, uma amostra aleatória simples de 
tamanho 1.600 foi observada e mostrou 800 eleitores favoráveis à referida candidatura. Um 
intervalo de 95% de confiança para p é:
a) (0,4602; 0,5398)
b) (0,4555; 0,5445)
c) (0,4620; 0,5380)
d) (0,4343; 0,5657)
e) (0,4755; 0,5245)
O primeiro ponto a se considerar é que a questão fala sobre a proporção de eleitores que votam 
num determinado candidato.
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Votar ou não votar é uma escolha binária, portanto é uma variável aleatória de Bernoulli. A es-
timativa da proporção de SIM é:
Além disso, o desvio padrão de uma variável de Bernoulli é dado por:
Agora, vamos nos atentar à escolha correta da estatística do intervalo de confiança. Perceba 
que a questão já nos forneceu |Z|, portanto os dados fornecidos já são bilaterais. Podemos 
desenhar o gráfico:
Sendo assim, a estatística a ser usada é 1,96. Agora, faremos o intervalo de confiança:
Desse modo, o intervalo de confiança pedido abrange a seguinte faixa:
Letra e.
018. (CESPE/TCE-PR/2016/ANALISTA DE CONTROLE ATUARIAL) A partir de um levanta-
mento estatístico por amostragem aleatória simples em que se entrevistaram 2.400 traba-
lhadores, uma seguradora constatou que 60% deles acreditam que poderão manter seu atual 
padrão de vida na aposentadoria.
Considerando que P(|Z| ≤ 3) = 0,99, em que Z representa a distribuição normal padrão
Assinale a opção correspondente ao intervalo de 99% de confiança para o percentual popula-
cional de trabalhadores que acreditam que poderão manter seu atual padrão de vida na apo-
sentadoria:
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a) 60% + 1,0%
b) 60% + 1,5%
c) 60% + 3,0%
d) 60% + 0,2%
e) 60% + 0,4%
Aplicação direta da expressão do intervalo de confiança.
A questão fala sobre uma proporção de pessoas. Sempre que temos proporção, devemos nos 
lembrar de uma variável de Bernoulli, cuja média foi fornecida de 60% e a variância pode ser 
calculada pela expressão:
Além disso, a estatística do intervalo de confiança foi fornecida como . Portanto, po-
demos escrever:
Letra c.
019. (FGV/ICMS-SP/2009) Em uma pesquisa de tributos de competência estadual, em 2008, 
realizada com 400 recolhimentos escolhidos aleatoriamente de uma população considerada 
de tamanho infinito, 80% referiam-se a determinado imposto. Deseja-se construir um intervalo 
de confiança de 95,5% para a estimativa dessa proporção. Considerando normal a distribuição 
amostral da frequência relativa dos recolhimentos desse imposto e que na distribuição normal 
padrão a probabilidade P (-2 < Z < 2) = 95,5%, o intervalo é:
a) 80% + 10%
b) 80% + 8%
c) 80% + 6%
d) 80% + 4%
e) 80% + 2%
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Mais uma vez, quando temos proporção, devemos nos remeter a uma variável de Bernoulli, 
cuja média foi fornecida de 80% e cuja variância pode ser calculada:
Foi fornecido diretamente o valor de = 2. Portanto, o intervalo de confiança pode ser 
determinado:
Letra d.
020. (FCC/CNMP/2015/ANALISTA) Uma pesquisa é realizada em uma grande cidade com 
uma amostra aleatória de 300 habitantes em que 75% deles manifestaram-se favoráveis à 
implantação de um projeto para melhorar o atendimento ao público de sua cidade. Com base 
nesta amostra, deseja-se obter um intervalo de confiança de 95% para esta proporção, consi-
derando que a distribuição amostral da frequência relativa dos habitantes favoráveis ao projeto 
é normal. Utilizando a informação da distribuição normal padrão (Z) que as probabilidades P(Z 
> 1,96) =0,025 e P(Z > 1,64) =0,050, este intervalo de confiança é, em %, igual a:
a) [71,68; 78,32]
b) [71,34; 78,66]
c) [70,90; 79,10].
d) [70,40; 79,60].
e) [70,10; 79,90].
Como temos uma proporção de habitantes que são favoráveis a determinado projeto, estamos 
claramente falando de uma variável aleatória de Bernoulli, cuja média foi fornecida de 75% e 
cuja variância podemos calcular pela expressão:
Agora, podemos calcular a expressão do erro padrão:
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ESTATÍSTICA
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Por fim, precisamos da estatística de teste e precisamos pensar muito bem no valor a ser uti-
lizado. Note que foi fornecida a probabilidade unilateral. Graficamente, podemos representar 
os dados do enunciado:
Note que esses dados não estão prontos para serem usados na expressão do intervalo de 
confiança, pois foram fornecidos os dados unilaterais e nós precisamos dos dados bilaterais. 
Mas, para isso, podemos fazer a conversão:
Dessa maneira, devemos utilizar . Agora, apliquemos na expressão do intervalo de 
confiança:
Letra e.
021. (FCC/TRF-2ª REGIÃO/2012/ANALISTA JUDICIÁRIO) Uma pesquisa realizada com 
8.400 habitantes de uma cidade, escolhidos aleatoriamente, revelou que 70% deles estavam 
satisfeitos com o desempenho do prefeito. Considere que é normal a distribuição amostral da 
frequência relativa dos habitantes satisfeitos com o desempenho do prefeito e que, na curva 
normal padrão Z, a probabilidade P(Z>1,96)= 0,025. Considerando a cidade com uma popula-
ção de tamanho infinito, o intervalo de confiança para esta proporção ao nível de confiança de 
95%, com base no resultado da amostra, é:
a) [65,10%; 74,90%].
b) [66,08%; 73,92%].
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ESTATÍSTICA
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c) [67,06%; 72,94%].
d) [68,04%; 71,96%].
e) [69,02%; 70,98%].
Aprovar ou não o prefeito é uma variável de Bernoulli com média de 70%. A variância dessa 
distribuição é:
Agora, podemos calcular o erro padrão:
A estatística do intervalo de confiança de 95% já foi fornecida de modo adequado, o que pode-
mos checar fazendo o gráfico:
Dessa forma, podemos calcular o intervalo de confiança pela expressão:
Letra e.
022. (IADES/2017/FUNDAÇÃO HEMOCENTRO DE BRASÍLIA-DF/ESTATÍSTICA) Considere 
hipoteticamente que um candidato a prefeito, pretendendo saber qual o percentual (p) de elei-
tores da cidade que pretendiam votar nele, encomendou uma pesquisa de opinião pública a 
uma empresa. Essa empresa, tendo entrevistado eleitores escolhidos aleatoriamente na ci-
dade, apresentou o intervalo (53,5%; 60,5%), que é um intervalo de 95% de confiança para a 
percentagem de eleitores que pensam em votar no referido candidato.
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ESTATÍSTICA
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Com base nas informações apresentadas, assinale a alternativa correta.
a) Mantida a mesma dimensão da amostra, intervalos de 99% de confiança fornecerão interva-
los com maior amplitude, o que significa uma menor precisão.
b) A probabilidade de o verdadeiro valor de p estar contido naquele intervalo fornecido pela 
empresa é de 95%.
c) Existe uma probabilidade de 95% de esse intervalo conter a verdadeira percentagem (p) de 
eleitores que pensam em votar nele.
d) O intervalo contém necessariamente a percentagem de eleitores da população que pensam 
em votar no candidato.
e) Um intervalo de 95% de confiança tem uma margem de erro maior do que outro intervalo de 
99% de confiança, com o mesmo tamanho amostral.
a) Certa. É isso mesmo. Um grau de confiança menor produzirá um intervalo de confiança mais 
largo. Isso reduz a precisão da estimativa.
b) Errada. A mesma pegadinha, que é bastante comum, sobre o grau de confiança. Em verdade, 
95% de confiança significa que, a cada 100 intervalos de confiança, 95 deles conterão o valor 
real de p.
c) Errada. Ver comentário da letra B.
d) Errada. O intervalo não necessariamente contém a porcentagem real de eleitores. Uma me-
dida disso é justamente o grau de confiança. Se o grau de confiança for de 95%, isso significa 
que apenas 95% dos intervalos de confiança conterão o valor real do parâmetro.
e) Errada. Um intervalo de 95% é menos confiável que um intervalo de 99%. Por isso, são cha-
mados de nível de confiança.
Letra a.
3.2. distribuição t-student
O Teorema do Limite Central é um dos pilares centrais da Estatística. Porém, ele tem o gra-
ve problema de que requer o conhecimento do desvio padrão populacional, o que, em termos 
práticos, não é viável, pois, se queremos estimar a média populacional, é bem provável que 
desconheçamos a variância.
Porém, é possível utilizar uma ligeira adaptação do intervalo de confiança para utilizá-lo 
com o desvio padrão amostral.
Utilizaremos a seguinte aproximação:
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ESTATÍSTICA
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É interessante reparar as diferenças desse teorema em relação ao Teorema do Limite Cen-
tral. Em primeiro lugar, estamos utilizando o valor estimado para o desvio padrão populacional, 
que será o próprio desvio padrão amostral. Em segundo lugar, estamos utilizando a distribui-
ção t-Student com n-1 graus de liberdade.
Por ora, você não precisará saber o que são os graus de liberdade da t-Student. Porém, é 
interessante saber que, quanto maior o número de graus de liberdade, mais ela se aproximará 
da curva normal.
Feito isso, faremos o mesmo procedimento que já fazíamos para construir o intervalo de 
confiança. Apenas trocaremos o zα pelo tα.
Figura 12: Comparação entre t-Student de Vários Graus de Liberdade e a Normal
Acima de 30 graus de liberdade, já temos que a t-Student é muito próxima da normal. Como 
vimos, o número de graus de liberdade a ser utilizado é n-1, em que n é o tamanho da amostra.
Sendo assim, para amostras superiores a 31 unidades, já poderíamos substituí-la 
pela normal.
023. (CESGRANRIO/TRANSPETRO/2011/TÉCNICO QUÍMICO) Os resultados de medição de 
Hg em quatro alíquotas de uma amostra de solo coletada numa região específica de um garim-
po foram: 44,0; 54,0; 52,0; 50,0 e 48,0 mg/kg, com desvio padrão do conjunto igual a 3,8 mg/kg.
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ESTATÍSTICA
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Considerando a distribuição t-student (cujo valor de parâmetro t é igual a 2,8 para graus de 
liberdade igual a 4 e 95% de limite de confiança) a concentração de Hg, em mg/kg, está com-
preendida entre:
a) 44,8 e 54,4
b) 44,3 e 49,6
c) 45,8 e 53,4
d) 46,8 e 52,4
e) 49,6 e 54,9
Como a amostra tem 5 elementos e o desvio padrão populacional é desconhecido, devemos, 
de fato, utilizar a t-Student com 4 graus de liberdade.
No mais, todos os dados foram fornecidos. Basta construir o intervalo de confiança:
A média amostral pode, então, ser calculada como a soma das observações dividida pelo nú-
mero de observações:
Letra a.
024. (FCC/CNMP/2015/ANALISTA DO CNMP) Um intervalo de confiança de 95% para a mé-
dia μ de uma população normal de tamanho infinito e variância desconhecida foi construído 
com base em uma amostra aleatória de tamanho 16 e com a utilização da distribuição t de 
Student. Considere t0,025 o quantil da distribuição t de Student para o teste unicaudal tal que a 
probabilidade P(t > t0,025 ) =0,025, com n graus de liberdade.
Se a variância amostral foi igual a 4,84, então a amplitude do intervalo é igual a:
a) 2,332
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ESTATÍSTICA
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b) 2,338
c) 2,343
d) 2,340
e) 2,354
A expressão “população de variância desconhecida” é chave para compreender que precisa-
mos de um teste de t-Student.
Como a amostra é de tamanho 16, precisamos escolher a t-Student com 15 graus de liberdade.
Feito isso, vamos calcularo desvio padrão amostral:
Agora, basta aplicar a expressão da amplitude (ou largura total) do intervalo de confiança:
Letra c.
3.3. intervALos de credibiLidAde
Antes de explorarmos as questões, vamos falar sobre um tema bem específico cobrado no 
edital, que são os intervalos de credibilidade. Mas, fique tranquilo(a), não será muita novidade.
Há vários autores que, inclusive, nunca utilizaram a expressão “intervalo de credibilidade”, 
preferindo usar simplesmente “intervalo de confiança”.
Em termos teóricos, a diferença é principalmente filosófica. Os intervalos de credibilidade 
são derivados de uma técnica diferente de estudo da estatística, conhecida como estatística 
bayesiana. Eles tratam o valor real do parâmetro como um número aleatório e o próprio inter-
valo de credibilidade como fixo.
Por outro lado, do ponto de vista dos intervalos de confiança, o valor real do parâmetro é 
fixo, enquanto o intervalo de confiança é aleatório.
Intervalo de 
Confiança
Intervalo de 
Credibilidade
Valor real do 
parâmetro É fixo É aleatório
O próprio intervalo É aleatório É fixo
Tabela 1: Interpretações do Intervalo de Confiança e do Intervalo de Credibilidade
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ESTATÍSTICA
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Observe que, no caso de intervalos de credibilidade, podemos trazer a interpretação de que:
• Verdadeiro: o grau de credibilidade corresponde à probabilidade de um intervalo de cre-
dibilidade conter o valor real do parâmetro;
• Cuidado: o grau de confiança não corresponde à probabilidade de um intervalo de con-
fiança conter o valor real do parâmetro.
Porém, de qualquer forma, a expressão do intervalo de credibilidade é exatamente a mes-
ma do intervalo de confiança. Considerando que tenha sido selecionada uma única amostra 
aleatória:
Do ponto de vista de construção de amostras, não faz sentido fazer duas amostras alea-
tórias simples e criar dois intervalos de credibilidade separados para uma mesma população.
A técnica do intervalo de credibilidade juntaria as duas amostras aleatórias em uma única 
amostra aleatória maior com um intervalo de credibilidade com maior tamanho amostral, de 
modo a reduzir a sua margem.
Exemplo: imagine a seguinte situação: um pesquisador deseja estimar, com grau de confiança 
de 95%, o percentual de pessoas favoráveis a um projeto de lei. Para isso, ele fará 100 amos-
tras aleatórias cada uma com 100 pessoas selecionadas aleatoriamente.
Se esse pesquisador utilizar a técnica dos intervalos de credibilidade, ele criará uma amos-
tra única com 10.000 pessoas para construir um único intervalo final. Nesse caso, a probabili-
dade de que o intervalo de credibilidade contenha o valor real do parâmetro é igual a 95%.
Por outro lado, se esse pesquisador utilizar a técnica dos intervalos de confiança, ele pode 
trabalhar com as 100 amostras aleatórias simples separadamente. Como a amostra é aleató-
ria, o intervalo de confiança será também aleatório.
Logo, a partir de 100 amostras aleatórias simples, serão construídos 100 intervalos de 
confiança. Dos 100 intervalos de confiança construídos, é esperado que, em média, 95 deles 
contenham o valor real do parâmetro.
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RESUMO
Teorema do Limite Central
• A média amostral de qualquer variável aleatória com população infinita segue distribui-
ção normal com média igual à média populacional e desvio padrão igual a:
• Normalização da média amostral:
Intervalo de Confiança para a Média
• α: nível de significância.
• 1 – α: grau de confiança.
• Pegadinha: um intervalo de 95% de confiança não significa que a probabilidade de o 
valor real estar contido naquele intervalo é de 95%.
• Correto: 95% dos intervalos de confiança conterão o valor real do parâmetro.
• Expressão:
• Estatística do intervalo de confiança: se o intervalo for bilateral, devemos tomar zα, tal que:
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QUESTÕES COMENTADAS EM AULA
001. (FGV/TJ-RO/2015/ESTATÍSTICO) A Lei dos Grandes Números existe em duas versões 
que tratam de convergências de tipos distintos. A Lei Fraca e a Lei Forte abordam, respectiva-
mente, convergências:
a) em probabilidade e em distribuição;
b) quase certa e em probabilidade;
c) em distribuição e quase certa;
d) em distribuição e em probabilidade;
e) em probabilidade e quase certa.
002. (INÉDITA/2021) Uma fábrica de automóveis produziu um estoque de 289 peças, cujo 
tamanho segue uma distribuição normal com comprimento médio igual a 12 cm.
Sabendo que, para uma distribuição normal padrão, P (|Z| < 2) = 95%, julgue os seguintes itens.
Se o desvio padrão do comprimento individual das peças for igual a 1 cm, então, o desvio pa-
drão da média do estoque será inferior a 0,05 cm.
003. (CESPE/TCE-PA/2016) Uma amostra aleatória, com n = 16 observações independentes 
e identicamente distribuídas (IID), foi obtida a partir de uma população infinita, com média e 
desvio padrão desconhecidos e distribuição normal. Tendo essa informação como referência 
inicial, julgue os seguintes itens.
Para essa amostra aleatória simples, o valor esperado da média amostral é igual à média po-
pulacional.
004. (CESPE/TCE-PA/2016) Se os totais de observações na amostra dos processos de amos-
tragem aleatória simples e de amostragem aleatória estratificada forem iguais, o desvio padrão 
do estimador da média por amostragem aleatória simples será menor que o por amostragem 
estratificada.
005. (INÉDITA/2021) Situação Hipotética: Foram registrados os pesos de alunos obtendo-se 
os seguintes valores {70, 60, 80, 65, 75}. Assertiva: A estimativa de máxima verossimilhança 
para a variância populacional é igual a 50.
006. (CESPE/TCE-PA/2016/AUDITOR DE CONTROLE EXTERNO) Caso, em uma amostra ale-
atória de tamanho n = 4, os valores amostrados sejam A = {2, 3, 0, 1}, a estimativa de máxima 
verossimilhança para a variância populacional será igual a 5/3.
007. (CESPE/EBSERH/2018/ANALISTA ADMINISTRATIVO/ESTATÍSTICO) X1, X2,..., X10 re-
presenta uma amostra aleatória simples retirada de uma distribuição normal com média µ 
e variância σ2, ambas desconhecidas. Considerando que representam os respectivos 
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ESTATÍSTICA
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estimadores de máxima verossimilhança desses parâmetros populacionais, julgue os itens 
subsecutivos.
 é um estimador viciado (ou tendencioso) para a variância populacional, pois .
008. (CESPE/TCE-PA/2016/AUDITOR DE CONTROLE EXTERNO) Uma amostra aleatória, 
com n = 16 observações independentes e identicamente distribuídas (IID), foi obtida a partir 
de uma população infinita, com média e desvio padrão desconhecidos e distribuição normal.
Se a média amostral for igual a 3,2 e a variância amostral, igual a 4,0, o estimador de máxima 
verossimilhança para a média populacional será igual a 1,6.
009. (CESPE/TCU/2015/AUDITOR FEDERAL DE CONTROLE EXTERNO) Considerando que 
uma amostra aleatória simples X1, X2, X3, X4 tenha sido retirada de uma distribuição X cuja fun-
ção de probabilidade é definida como , em que 0 ≤ p ≤ 1, k ∈ {0, 1, 
2,..., 10}, sendo p o parâmetro desconhecido, e que os valores observados na amostra tenham 
sido 0, 4, 6 e 2, julgue o item a seguir.
A estimativa de máxima verossimilhança para a variância populacional é igual a 2,1.
010. (CESPE/TCE-PA/2016/AUDITOR DE CONTROLE EXTERNO) Considere um processo de 
amostragem de uma população finita cuja variável de interesse seja binária e assuma valor 0 
ou 1, sendo a proporção de indivíduos com valor 1 igual a p = 0,3. Considere, ainda, que a proba-
bilidade de cada indivíduo ser sorteado seja a mesma para todos os indivíduos da amostragem 
e que, após cada sorteio, haja reposição do indivíduo selecionado na amostragem.
A partir dessas informações, julgue o item subsequente.
Caso, em uma amostra de tamanho n = 10, os valores observados sejam A = {1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 
1, 0, 0}, a estimativa via estimador de máxima verossimilhança para a média populacional será 
igual a 0,4.
011. (CESPE/EBSERH/2018/ANALISTA ADMINISTRATIVO/ESTATÍSTICO) O estimador de 
máxima verossimilhança para a função de densidade da distribuição normal em questão é 
, para qualquer valor real x.
012. (INÉDITA/2021) Uma fábrica de automóveis produziu um estoque de 289 peças, cujo 
tamanho segue uma distribuição normal com comprimento médio igual a 12 cm.
Sabendo que, para uma distribuição normal padrão, P (|Z| < 2) = 95%, julgue os seguintes itens.
Para que o intervalo de confiança de 95% para o tamanho das peças seja [11,9 cm; 12,1 cm], 
então, o desvio padrão do tamanho das peças deve ser inferior a 1 cm.
013. (INÉDITA) O comprimento mediano das peças é igual a 12 cm.
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014. (FGV/SEFAZ-RJ/2009/FISCAL DE RENDAS) Para examinar a opinião de uma população 
sobre uma proposta, foi montada uma pesquisa de opinião em que foram ouvidas 1680 pesso-
as, das quais 51,3% se declararam favoráveis à proposta. Os analistas responsáveis determi-
naram que a margem de erro desse resultado, em um determinado nível de confiança, era de 2 
pontos percentuais, para mais ou para menos.
Considerando que fosse desejada uma margem de erro de 1 ponto percentual, para mais ou 
para menos, no mesmo nível de confiança, assinale a alternativa que indique o número de pes-
soas que deveriam ser ouvidas.
a) 840
b) 2520
c) 3360
d) 5040
e) 6720
015. (CESPE/TCE-PA/2016) Uma amostra aleatória, com n = 16 observações independentes 
e identicamente distribuídas (IID), foi obtida a partir de uma população infinita, com média e 
desvio padrão desconhecidos e distribuição normal. Tendo essa informação como referência 
inicial, julgue os seguintes itens.
Em um intervalo de 95% de confiança para a média populacional em questão, caso se aumente 
o tamanho da amostra em 100 vezes (passando a 1.600 observações), a largura total do inter-
valo de confiança será reduzida à metade.
016. (FGV/SEFAZ-RJ/2010/AFRE) Suponha que os salários dos trabalhadores numa certa re-
gião sejam descritos por uma variável populacional com média desconhecida e desvio padrão 
igual a R$200,00. Para se garantir, com 95% de probabilidade, que o valor da média amostral 
dos salários não diferirá do valor da média populacional por mais de R$10,00, a amostra alea-
tória simples deverá ter no mínimo, aproximadamente, o seguinte tamanho:
Dado: P(|Z| < 1,96) = 0,95
a) 3.568
b) 3.402
c) 2.489
d) 2.356
e) 1.537
017. (FGV/ISS RECIFE/2014/ANALISTA DE CONTROLE INTERNO) Para estimar a proporção 
populacional p de eleitores favoráveis a certa candidatura, uma amostra aleatória simples de 
tamanho 1.600 foi observada e mostrou 800 eleitores favoráveis à referida candidatura. Um 
intervalo de 95% de confiança para p é:
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a) (0,4602; 0,5398)
b) (0,4555; 0,5445)
c) (0,4620; 0,5380)
d) (0,4343; 0,5657)
e) (0,4755; 0,5245)
018. (CESPE/TCE/PR/2016/ANALISTA DE CONTROLE ATUARIAL) A partir de um levanta-
mento estatístico por amostragem aleatória simples em que se entrevistaram 2.400 traba-
lhadores, uma seguradora constatou que 60% deles acreditam que poderão manter seu atual 
padrão de vida na aposentadoria.
Considerando que P(|Z| ≤ 3) = 0,99, em que Z representa a distribuição normal padrão
Assinale a opção correspondente ao intervalo de 99% de confiança para o percentual popula-
cional de trabalhadores que acreditam que poderão manter seu atual padrão de vida na apo-
sentadoria:
a) 60% + 1,0%
b) 60% + 1,5%
c) 60% + 3,0%
d) 60% + 0,2%
e) 60% + 0,4%
019. (FGV/ICMS-SP/2009) Em uma pesquisa de tributos de competência estadual, em 2008, 
realizada com 400 recolhimentos escolhidos aleatoriamente de uma população considerada 
de tamanho infinito, 80% referiam-se a determinado imposto. Deseja-se construir um intervalo 
de confiança de 95,5% para a estimativa dessa proporção. Considerando normal a distribuição 
amostral da frequência relativa dos recolhimentos desse imposto e que na distribuição normal 
padrão a probabilidade P (-2 < Z < 2) = 95,5%, o intervalo é:
a) 80% + 10%
b) 80% + 8%
c) 80% + 6%
d) 80% + 4%
e) 80% + 2%
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ESTATÍSTICA
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020. (FCC/CNMP/2015/ANALISTA) Uma pesquisa é realizada em uma grande cidade com 
uma amostra aleatória de 300 habitantes em que 75% deles manifestaram-se favoráveis à 
implantação de um projeto para melhorar o atendimento ao público de sua cidade. Com base 
nesta amostra, deseja-se obter um intervalo de confiança de 95% para esta proporção, consi-
derando que a distribuição amostral da frequência relativa dos habitantes favoráveis ao projeto 
é normal. Utilizando a informação da distribuição normal padrão (Z) que as probabilidades P(Z 
> 1,96) =0,025 e P(Z > 1,64) =0,050, este intervalo de confiança é, em %, igual a:
a) [71,68; 78,32]
b) [71,34; 78,66]
c) [70,90; 79,10].
d) [70,40; 79,60].
e) [70,10; 79,90].
021. (FCC/TRF-2ª REGIÃO/2012/ANALISTA JUDICIÁRIO) Uma pesquisa realizada com 
8.400 habitantes de uma