Aula_03_Distribuições_Discretas

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CMIP- Centro de Metrologia e Inovação em ProcessosUFSC- UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
Profª Andréa
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 
DISCRETAS
Em problemas práticos, normalmente não é necessário deduzir as
probabilidades de ocorrência, pois existem alguns modelos
probabilísticos que se aplicam a várias situações práticas,
fornecendo a regra de determinação.
Principais Distribuições Discretas
O problema não é “como se deduzem os valores”, mas sim
“como se usam as distribuições para resolver problemas” das
probabilidades.
Consideremos n tentativas independentes de ensaios de
Bernoulli. Cada tentativa admite apenas dois resultados: sucesso
(com probabilidade p) ou fracasso. As probabilidades de sucesso
e fracasso são as mesmas para cada tentativa. A variável aleatória
X que conta o número total de sucessos é denominada Binomial.
Distribuição Binomial
Para indicar que a variável aleatória X segue o modelo Binomial,
usaremos a notação X ∼ b(n, p), em que n e p são denominados
parâmetros. A sua função de probabilidade é dada por:
Onde:
n = número de vezes que uma tentativa é repetida,
x = número de sucessos,
p = probabilidade de sucesso,
p(x) = probabilidade de se obter exatamente x sucessos em n provas.
Distribuição Binomial
n) , . . . 2, 1, 0, =(x )1.(.)( xnx pp
x
n
xp −−





=
)!(!
!
xnx
n
x
n
−
=




 NOTAÇÃO 
COMBINATORIAL 
PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
pnXE .)( ==
qpnXVar ..)( =
Isto é, a média de uma variável aleatória com distribuição binomial é igual ao produto dos 
parâmetros “n” e “p“.
Média ou valor esperado
Variância
qpn ..=
O desvio padrão
isto é, a variância de uma variável aleatória com distribuição binomial é igual ao 
produto dos parâmetros “n” e “p” e multiplicados ainda por “q”.
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL –Exemplo 1
Binomial com
n= 10
p= 0,7
Seja a população de pessoas de um município em que 70% são favoráveis a um 
certo projeto municipal. Qual é a probabilidade de que , numa amostra aleatória 
simples de 10 pessoas dessa população exatamente sete indivíduos da amostra 
serem favoráveis?
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL – Exemplo 1
Qual a probabilidade de exatamente sete indivíduos da amostra 
serem favoráveis?
Temos os seguintes dados:
(X é binomial n = 10 p = 0,7)
A probabilidade do evento é X= 7
xnx qp
x
n
xXPxP −






=== ).(.)()(
P(X = 7) = p(7) = 0,2668
Vamos resolver!!!
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL- Exemplo 1
Qual a probabilidade de a maioria da amostra ser de favoráveis? 
(X é binomial n = 10 p = 0,7)
Vamos resolver !!
P(X > 5) = p(6) + p(7) + p(8) + p(9) + p(10)
P(X > 5) = 0,8497
xnx qp
x
n
xXPxP −






=== ).(.)()(
Considere que numa grande rede de computadores, em 60% dos 
dias ocorre alguma falha. 
Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória 
X = número de dias com falhas na rede, considerando o 
período de observação de três dias. (Suponha independência.)
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL- Exemplo 2
• X = número de dias com falhas
→ binomial com
n = 3 p = 0,6 1 – p = 0,4
( ) xx
x
xXP
−






==
3
4,06,0
3
)(
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL- Exemplo 2
n = 3
p = 0,6
P(X=x) = 0,6x.(1- 0,6)(3-x)( )
3
x
1
( )3
0
P(X=0) = 0,60.(1- 0,6)(3-0) = 1.0,60.0,43 = 0,064
=( )
3
0
3!
0! (3-0)!
= 1
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL- Exemplo 2
n = 3
p = 0,6
( )3
1
P(X=1) = 0,61.(1- 0,6)(3-1) = 3.0,61.0,42 = 0,288
=( )
3
1
3!
1! (3-1)!
= 3
P(X=x) = 0,6x.(1- 0,6)(3-x)( )
3
x
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL- Exemplo 2
n = 3
p = 0,6
( )3
2
P(X=2) = 0,62.(1- 0,6)(3-2) = 3.0,62.0,41 = 0,432
=( )
3
2
3!
2! (3-2)!
= 3
P(X=x) = 0,6x.(1- 0,6)(3-x)( )
3
x
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL- Exemplo 2
n = 3
p = 0,6
( )3
3
P(X=3) = 0,63.(1- 0,6)(3-3) = 1.0,63.0,40 = 0,216
=( )
3
3
3!
3! (3-3)!
= 1
1
P(X=x) = 0,6x.(1- 0,6)(3-x)( )
3
x
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL- Exemplo 2
DISTRIBUIÇÃO DA VARIÁVEL X
0,064
0 1 2 3
0,216
0,432
0,288
x p(x)
0 0,064
1 0,288
2 0,432 
3 0,216
Total 1
8,16,03)( === pnX
72,04,06,03)1()( ==−= ppnXV
Considerando X como sendo a VAD igual a “número de vezes que ocorre face cara em 
5 lançamentos de uma moeda equilibrada”, determinar a probabilidade de ocorrer:
(a) Duas caras
(b) Quatro caras
(c) No máximo duas caras
Solução:
Neste caso, tem-se:
n = 5 = número de lançamentos.
X = número de caras nos 5 lançamentos X(S) = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }
p = P(Cara em 1 lançamento ) = 0,50, pois a moeda é equilibrada. 
Logo q = 1 - p = 0,50
Então:
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL- Exemplo 3
%505,0105,055,05,05,0
2
5
5,05,0
1
5
5,05,0
0
5
)2()
%62,155,00625,055,05,0
4
5
)4()
%25,31125,025,0105,05,0
2
5
)2()
5,4,3,2,1,0,5,05,0
5
)()(
555252151050
454
252
5
=++=





+





+





=
==





==
==





===
=





===
−−−
−
−
−
XPc
XPb
XPa
xpara
x
xXPxP xx
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL- Exemplo 3
Acredita-se que 20% dos moradores das proximidades de uma
grande indústria siderúrgica tem alergia aos poluentes lançados ao
ar. Admitindo que este percentual de alérgicos é real (correto),
calcule a probabilidade de que pelo menos 4 moradores tenham
alergia entre 13 selecionados ao acaso.
Solução: n = 13 p = 0,20, q= 0,80
Assim, a probabilidade de que pelo menos 4 moradores tenham alergia 
é dada por:
P(X  4) = P(X=4) + P(X=5) + … + P(X=13) = 0,1535 + 0,0694 + … 
+ 0,0000 = 0,2526
ou
P(X  4) = 1 - P(X3) = 1 – (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3))= 
0,2526
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL- Exemplo 4
Num determinado processo de fabricação 10% das peças são consideradas
defeituosas. As peças são condicionadas em caixas com 5 unidades cada uma.
(a) Qual a probabilidade de haver exatamente 3 peças defeituosas numa caixa?
(b) Qual a probabilidade de haver duas ou mais peças defeituosas numa caixa?
(c) Se a empresa paga uma multa de R$ 10,00 por caixa em que houver alguma
peça defeituosa, qual o valor esperado da multa num total de 1000 caixas?
Solução:
(a) %81,081,0001,010)90,0.()10,0.(
3
5
)3( 23 ==





==XP
(b) P(Duas ou mais defeituosas) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5). Ao invés de 
calcular desta forma é mais conveniente utilizar o complementar. Assim:
P(X ≥ 2) = 1 - P(X≤ 1) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)] = 1 - (0,5905 + 0,3280] = 8,15%
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL- Exemplo 5
(c) Se a empresa paga uma multa de R$ 10,00 por caixa em que houver alguma
peça defeituosa, qual o valor esperado da multa num total de 1000 caixas?
A probabilidade de uma caixa pagar multa é:
P(PM) = P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,5905 = 40,95%
Neste caso tem-se uma nova Binomial com n = 1000 e p = 40,95%. O número
esperado de caixas que vão pagar multa, isto é, com uma ou mais peças
defeituosas será:
E(PM) = np = 1000.0,4095 = 409,5 caixas.
Como cada uma paga R$ 10,00 de multa, o valor total da multa será:
PM = R$ 10,00.409,5 = R$ 4 095,00
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL- Exemplo 5
Exemplo usando o R
a) Haver algum item com defeito:
05,0
;20
;0
),,(
=
=
=
p
n
x
pnxdbinom
xnx pp
x
n
xp −−





= )1.(.)(
Exemplo usando o R
b) Haver exatamente dois itens com defeito:
05,0
;20
;2
),,(
=
=
=
p
n
x
pnxdbinom
xnx pp
x
n
xp −−





= )1.(.)(
Exemplo usando o R
c) Haver mais de dois itens defeituosos:
P = 1 – [p(0) + p(1) + p(2)] = 0,0755
xnx pp
x
n
xp −−





= )1.(.)(
Exemplo usando o R
d) Qual é o número esperado de itens defeituosos no lote:
1)(
)05,0.(20)(
.)(
=
=
==
XE
XE
pnXE 
Exemplo usando o R