Guia de Estudos - Estruturas de Concreto Armado

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Estruturas de concreto 
armado
Profa. Ma. Laisa Cristina Carvalho
1ª Edição
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Autoria
Currículo Lattes:
Possui graduação em Engenharia Civil pela Universidade Estadual de Minas Gerais (2013), mes-
trado em Estruturas e Construção Civil pela Universidade Federal de São Carlos (2016) e dou-
toranda em Estruturas e Construção Civil pela Universidade Federal de São Carlos. Desenvolve 
pesquisas relativas ao esforço despendido pelos trabalhadores nas diversas tarefas da constru-
ção civil. Atuando principalmente nos seguintes temas: ergonomia, produtividade e gestão do 
canteiro de obras.
Profa. Ma.
Laisa Cristina Carvalho
http://lattes.cnpq.br/2781510654977013
5
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CARVALHO, Laisa Cristina. Estruturas de Concreto Armado. Vargi-
nha: GEaD-UNIS/MG, 2020.
142 p.
1. Vigas; 2. Dimensionamento; 3. Pilar; 4. Laje; 5. Detalhamento; 6. 
Projeto.
 A disciplina de Estruturas de Concreto Armado, é de extrema importância ao processo 
de formação do engenheiro civil, uma vez que se tornou o sistema construtivo mais usado no 
país onde utiliza o concreto com barras de aço para garantir a resistência e a durabilidade da 
edificação. 
 Neste guia serão apresentados conceitos iniciais e diversas informações que serão a 
base para compreensão do projeto e dimensionamento das estruturas de concreto armado. 
De modo geral o estudo das estruturas de concreto seguem as prescrições contidas na NBR 
6118/2014, porém cabe destacar que o Concreto Armado é um campo muito vasto, e deve ser 
constantemente estudado para a melhoria contínua das atividades do Engenheiro Estrutural. 
Assim o projeto estrutural consiste, em algumas etapas principais: concepção, pré-dimensio-
namento dos elementos, determinação e análise dos deslocamentos e e esforços solicitantes 
da estrutura, dimensionamento e detalhamento das armaduras e desenhos finais. 
 A nossa disciplina de Estruturas de Concreto Armado tem por objetivo principal conhe-
cer as principais características do concreto armado e identificar os parâmetros relevantes 
ao projeto estrutural. ... Enfim, o mundo que, daqui pouco tempo, os senhores estarão aptos 
a desbravar. Espero que ao final da disciplina vocês estejam aptos a iniciar suas atividades no 
ramo do projeto estrutural de edifícios, em empresas ou escritórios de cálculo estrutural.
 Críticas e sugestões sempre serão muito bem-vindas, pois assim nosso guia poderá ser 
melhorado. Sem maiores delongas, vamos lá! Vamos conhecer e amar o fantástico mundo das 
Estruturas de Concreto Armado...
Profa. Ma. Laisa Cristina Carvalho
Ementa
Orientações
Palavras-chave
Características Gerais do Concreto e Aço. Sistemas estruturais das edificações usuais - A con-
cepção da estrutura de um edifício. Segurança no cálculo estrutural: Solicitação Normal (Flexão 
Simples) e Solicitação Tangencial (cisalhamento). Dimensionamento no Estado Limite Último 
(ELU). Estudo da Fissuração, aderência e ancoragem das armaduras em vigas de concreto arma-
do. Classificação das lajes, carga por metro quadrado, vãos teóricos e vãos de cálculo. Momen-
tos Fletores e Reações de apoio nas lajes armadas em uma direção, armados em duas direções, 
teoria das grelhas, processos de Marcus e Czerny. Dimensionamento e detalhamento das ar-
maduras longitudinais – critérios normativos relativos ao projeto executivo de Laje. Verificação 
da necessidade de armadura transversal em lajes maciças.
Ver Plano de Estudos da disciplina, disponível no ambiente virtual.
Vigas; Dimensionamento; Pilar; Laje; Detalhamento; Projeto.
Unidade I - Histórico 14
1.1. Histórico 14
1.1.1. Concreto Armado no Mundo 14
1.1.2. Concreto Armado no Brasil 16
1.2. Importância das Estruturas de Concreto Armado 20
1.2.1. Materiais Constituintes das Estruturas de Concreto 21
1.2.2. Vantagens e Desvantagens da Estruturas de Concreto Armado 23
1.3. Definições Básicas 24
1.4. Principais Normas Técnicas 27
Unidade II - Características e Propriedades do Concreto 30
2.1. Características e propriedades do concreto fresco 30
2.2. Características e propriedades do concreto endurecido 32
2.3. Características do aço 35
2.4. O projeto estrutural 36
2.5. Método dos estados limites 38
2.5.1. Estado limite último (ELU) 40
2.5.2. Estado limite de serviço (ELS) 41
2.6. Resistências de cálculo e coeficientes de ponderação 42
2.7. Ações 44
2.7.1 Valores representativos das ações 46
2.7.1 Combinações de ações 49
2.8. Durabilidade das estruturas de concreto 50
Unidade III - Dimensionamento da Armadura de Flexão 54
3.1. Processo de colapso de vigas sob tensões normais 54
3.2. Domínios de deformação na seção transversal 57
3.3. Hipóteses básicas de cálculo 58
3.4. Cálculo da armadura longitudinal em vigas sob flexão normal para concretos 
de classe até C50 61
Unidade IV - Lajes 71
4.1. Definição 71
4.2. Laje Maciça 72
4.3. Classificação quanto à direção 72
4.4. Vão Livre, Vão Teórico e Classificação das Lajes 73
4.4.1. Vão Efetivo 75
4.5. Espessuras e Cobrimentos Mínimos 75
4.6. Ações a Considerar 76
4.7. Laje Armada em Duas Direções 76
Unidade V - Dimensionamento e detalhamento das armaduras longitudinais 
– critérios normativos relativos ao projeto executivo de Laje 82
5.1. Roteiro para o cálculo de lajes de concreto armado 82
5.2. Discretização do pavimento 83
5.3. Pré-dimensionamento da Altura da Laje 83
5.4. Cálculo das cargas atuantes 84
5.5. Verificação das flechas 85
5.6. Cálculo dos momentos 85
5.7. Determinação das armaduras longitudinais 86
5.8. Reação das lajes nas vigas 86
Unidade VI - Verificação da Necessidade de Armadura Transversal em Lajes 
Maciças 89
6.1. Dimensionamento 89
6.2. Flexão 92
6.3. Força Cortante 93
6.3.1. Lajes sem Armadura para Força Cortante 93
6.3.2. Lajes com Armadura para Força Cortante 94
Unidade VII - Pavimentos com lajes nervuradas unidirecionais 97
7.1. Descrição das lajes nervuradas unidirecionais 97
7.2. Ação das lajes nervuradas unidirecionais nas vigas do pavimento 103
7.2.1. Processo simplificado 103
7.2.2. Processo racional 104
7.3. Critérios para a determinação do tipo de laje 105
7.4. Exercício Resolvido 106
Unidade VIII - Pilares usuais em edificações: Compressão simples, flexão nor-
mal composta, flexão obliqua composta 110
8.1. Pilares 110
8.2. Cargas nos pilares 110
8.3. Características geométricas 111
8.4 Classificação dos pilares 114
8.5. Excentricidades de primeira ordem 115
8.5.1. Excentricidade inicial 115
8.5.2. Excentricidade acidental 116
8.5.3. Momento mínimo 119
8.6. Esbeltez limite 120
8.7. Excentricidade de segunda ordem 121
8.8. Métodos de cálculo 121
8.8.1. Método geral 122
8.8.2. Pilar padrão 123
8.8.3. Cálculo simplificado 124
8.9. Disposições construtivas 125
8.9.1. Cobrimento das armaduras 125
8.9.2. Armaduras longitudinais 127
Unidade IX - Torção em vigas de concreto armado 129
9.1. Introdução 129
9.2. Casos mais comuns 129
9.3. Formas de ruptura por torção 132
9.3.1. Ruptura por Tração 133
9.3.2. Ruptura por Compressão 133
9.3.3. Ruptura dos Cantos 134
Unidade X - Estruturas de Fundações Superficiais (Sapatas): definição e ti-
pos136
10.1. Introdução 136
10.2. Tipos de Sapatas 137
10.3. Classificação das Sapatas quanto a sua Rigidez 139
10.4. Distribuição de cargas no solo 139
Referências Bibliográficas 142
Objetivos da Unidade
Unidade I - 
Características Ge-
rais do Concreto e 
AçoI
14 
Unidade I - Histórico
1.1. Histórico
1.1.1. Concreto Armado no Mundo
 Para que possamos abranger a necessidade da utilização do concreto armado aplicado 
na construção civil contemporânea, é importante visitar o passado e entender essa evolução. O 
concreto tem seu uso desde os primórdios, sendo experimentado e aplicado nos períodos do 
Império Romano, sendo que, eles criaram um aglomerante de boa durabilidade acrescentan-
do ao calcário a cinza vulcânica da região chamada de “pozzolana” por eles. Assim, o cimento 
Portland, tal como é popular, foi descoberto em meados dos anos de 1823 e 1824, e sua a pro-
dução industrial foi principiada após o ano de 1850 na Inglaterra. 
 Os assírios e babilônios, precursores da construção, empregaram argila como aglome-
rante, contudo perante a fraca resistência, não foi permitindo um maior desenvolvimento das 
edificações. Enquanto os egípcios obtiveram uma ligação com maior rigidez com gesso e arga-
massa de cal, assim como é visto até hoje nas suas pirâmides e seus templos.
Figura 1: Pirâmides de Gizé
Figura 2: Termas de Caracalla, antiga ruínas das 
termas públicas romanas
Fonte: iStock.com
15
 A primeira associação de metais à argamassa de pozolana remonta também à época 
dos romanos. Mais tarde em 1770 na cidade de Paris na França, para a construção de vigas 
adicionou-se ferro com pedras, criando uma estrutura parecida com as vigas que conhecemos 
hoje, com barras longitudinais de aço que suportam a tração e barras transversais que supor-
tam os cortantes.
Figura 3: Paris, panorama da Pont-Neuf
Fonte: iStock.com
 Considera-se que o conceito de “cimento armado” surgiu na França, por volta de 1849, 
sendo um barco criado pelo francês Lambot a primeira construção registrada pela história, o 
qual foi apresentado no ano de 1855. A construção do barco foi realizada com telas que pos-
suíam fios finos de ferro cheios de argamassa. Em 1861, o francês Mounier, que naquela época 
era um paisagista, trabalhava no comércio de plantas e horticultura, fabricou um vasto volume 
de argamassados para flores, sendo que estes possuíam armadura de arame, reservatórios (25, 
180 e 200 m3) e uma ponte com tinha um vão de 16,5 m. 
 Assim se deu o início do que conhecemos hoje como “Concreto Armado” que até mea-
dos de 1920 era chamado de “cimento armado”. Através de ensaios e experimentos no ano de 
1850, o norte americano Hyatt enxergou a função da armadura junto ao concreto. Porém, seus 
estudos não tiveram grande repercussão por ausência de publicações e conhecimento dos 
demais estudiosos. 
16 
 Os estudos de Hyatt fizeram com que mais tarde na França o estudioso Hennebique 
revisasse tais estudos e começasse a compreender o emprego das armaduras no concreto de-
monstrando as contribuições da armadura juntamente ao concreto. A partir daí deu início a 
vários estudos e os alemães propuseram uma teoria baseada em experimentos e ensaios. 
 “O correto desenvolvimento do concreto armado em todo o mundo deu seu início com 
Gustavo Adolpho Wayss” que abriu sua organização em 1875, após adquirir as patentes de 
Mounier para que ele pudesse utilizar no norte da Alemanha (VASCONCELOS, 1985). Entretan-
to a primeira teoria aceita e consistente como descreviam na época sobre o dimensionamento 
de elementos de concreto armado deu início com uma publicação de E. Mörsch, em meados 
do ano 1902, exímio engenheiro alemão, docente da Universidade de Stuttgart (Alemanha). 
As teorias se comprovaram através de diversos ensaios experimentais, o que acarretou às pri-
meiras normas para a realização dos cálculos e a construção do concreto armado. Tanto que 
a treliça de Mörsch clássica, é considerado um dos maiores bens provindos dos estudos em 
concreto armado, ainda aceita nos dias atuais, mesmo tendo surgido há mais de 100 anos.
 Para que vocês possam conhecer mais sobre a origem do con-
creto e sua evolução, clique nesse link e assista ao vídeo:
 https://www.youtube.com/watch?v=ygm40AXE7yE
1.1.2. Concreto Armado no Brasil
 No Brasil não há muitas informações e estudos sobre estudos e uso de estruturas de 
concreto armado, por esse motivo pouco se tem pouca informação sobre o início do uso do 
concreto armado. Assim dentro dos relatos, notícias e registros da época, tem se que o primeiro 
emprego de concreto armado no país se deu em 1904 sendo construídas algumas casas, so-
brados em Copacabana, no estado do Rio de Janeiro. Ainda se tem relatos sobre a construção 
17
de algumas galerias de água utilizando concreto armado, com 47 e 74 metros de comprimento 
no ano de 1901, já em 1909 foi construída uma ponte na Rua Senador Feijó, onde tinha um vão 
de 5,4 m. Já no ano de 1908, foi construída outra ponte com 9 metros de vão, pelo construtor 
Echeverria na cidade do Rio de Janeiro, o idealizador do projeto e cálculo foi o renomado fran-
cês François Hennebique.
 Na cidade de São Paulo, em 1910, foi construída uma ponte utilizando concreto armado 
com cerca de 28 metros de comprimento, localizada em uma grande avenida que se chamava 
Av. Pereira Rebouças, localizada nas proximidades do Ribeirão dos Machados. Com três pa-
vimentos em cimento armado foi construído o primeiro edifício na cidade de São Paulo em 
1907/1908, considerado como um dos mais antigos do nosso país.
 A partir de 1924 os cálculos estruturais passaram a ser realizados no Brasil, com gran-
de destaque para Emílio Baumgart grande engenheiro estrutural. No mesmo ano houve uma 
fusão entre as empresas Wayss & Freytag e a Companhia Construtora em Cimento Armado, o 
que possibilitou um enorme desenvolvimento do concreto armado no Brasil e a formação dos 
primeiros engenheiros brasileiros em nossas universidades.
 As estruturas de concreto foram muito bem recebidas, até hoje e o tipo de estrutura 
mais utilizamos em nosso país. No último século o Brasil reuniu alguns recordes, vários deles 
mundiais, como vocês podem verificar abaixo:
Figura 4: Jockey Clube do Rio de Janeiro
• Marquise da tribuna do Jockey Clube do 
Rio de Janeiro, com balanço de 22,4 m 
(recorde mundial em 1926);
Fonte: riodejaneiroaqui.com
18 
• Ponte Presidente Sodré em Cabo Frio, 
em 1926, com arco de 67 m de vão (re-
corde na América do Sul);
Figura 5: Ponte Presidente Sodré 
Fonte: fontecerta.com
• Edifício Martinelli em São Paulo em 1925, 
com 106,5 m de altura (30 pavimentos – 
recorde mundial);
Figura 6: Edifício Martinelli 
Fonte: iStock.com
• Elevador Lacerda em Salvador em 1930, 
com altura total de 73 m;
Figura 7: Elevador Lacerda 
Fonte: iStock.com
19
• Ponte da Amizade em Foz do Iguaçu em 
1962, com o maior arco de concreto ar-
mado do mundo, com 290 m de vão;
Figura 8: Ponte da Amizade
Fonte: iStock.com
• Museu de Arte de São Paulo em 1969, 
com laje de 30 x 70 m livres, recorde 
mundial de vão, com projeto estrutural 
de Figueiredo Ferraz;
Figuras 9 e 10: Museu de Arte
Fonte: iStock.com
20 
• Usina Hidroelétrica de Itaipu em 1982, a 
maior do mundo com 190 m de altura, 
projetada e construída por brasileiros e 
paraguaios, com coordenação america-
no-italiana.
Figuras 11 e 12: Usina Hidroelétrica de Itaipu
Fonte: iStock.com
1.2. Importância das Estruturas de Concreto Armado
 Pode-se verificar que as estruturas de concreto armado estão presentes em diversas 
edificações ou em quase todas do país desde sua inserção na construção civil. Mesmo ten-
do outros sistemas construtivos como a madeira, o aço, a alvenariaestrutural, pelo menos a 
fundação apresenta elementos em concreto. Em obras de infraestrutura, sejam relacionadas a 
saneamento, hidráulica ou até mesmo na engenharia urbana as se encontram as estruturas em 
concreto. Ainda podemos citar seu uso em portos, aeroportos, obras industriais e qualquer ou-
tro tipo de edificação como edificações religiosas, em clubes, estádios, residências, comércios, 
etc. 
 A ciência do comportamento das estruturas de concreto armado é de extrema impor-
tância para os engenheiros civis que trabalham com projetos estruturais execução de obras, 
21
pois é necessário compreender o dimensionamento, parâmetros adotados, armaduras, cargas, 
elementos estruturais e o tipo de processo de execução da concretagem para o sucesso e du-
rabilidade da estrutura.
1.2.1. Materiais Constituintes das Estruturas de Concreto
CIMENTO:
 O Cimento Portland é um aglomerante obtido pela moa-
gem do clínquer, ao qual são adicionados durante a moagem, de-
terminadas quantidades de gesso. As principais matérias primas 
usadas na sua fabricação são o calcário, a argila e o gesso.
 Por normatização o cimento tem critérios/parâmetros tanto 
para fabricação, quanto estoque e venda. Os sacos de cimento possuem na sua embalagem a 
siglas que caracterizam o tipo do cimento, e um número 25, 32 ou 40, indicando sua resistência 
mínima a compressão aos 28 dias de idade, ou seja, 25 MPa, 32 MPa ou 40 MPa. Destaca se os 
cimentos de alta resistência inicial têm suas resistências medidas aos 7 dias de idade. 
 As Normas Brasileiras Regulamentadoras (NBR) apresentam os diversos tipos de cimen-
tos, suas propriedades e parâmetros de aceitação, cabe ainda ressaltar que alguns tipos de 
cimento possuem normas especificas em função de processo de produção e execução.
AGREGADOS:
 Agregados são materiais que usualmente são inertes, ou seja, não reagem com o ci-
mento e adentram na composição desse concreto com intuito de melhorar a resistência, dimi-
nuir a retração e reduzir custos. O volume de agregados no traço de concreto pode representar 
até 70% de seu total.
 A NBR 7211 intitulada Agregados para concreto – Especificação, com data de 2009 e com 
errata de 2019 fixa as características exigíveis na recepção de agregados: faixas recomendáveis 
de composição granulométrica, teor máximo de substâncias nocivas e impurezas orgânicas e 
22 
que é a união do britamento de rochas estáveis, onde deve-se ter diâmetros máximos igual ou 
menor que 4,8 mm. 
 Já o pedregulho natural ou a pedra britada, denominamos de agregados graúdos onde 
deve-se ter diâmetros máximos igual ou maiores que 4,8 mm.
ÁGUA:
 Durante o amassamento do concreto, a água utilizada deverá ser isenta de quaisquer 
impurezas que possam vir a inutilizar as reações químicas entre ela e o cimento. Recomenda 
se o uso de água potável para garantir parâmetros satisfatórios para o uso em concreto. A NBR 
6118:2014 especifica os teores máximos toleráveis de substâncias nocivas para a água. 
 A reação química entre a água e o cimento é, muito importante para garantir ao concre-
to suas propriedades mais relevantes: 
• Resistência;
• Durabilidade;
• Trabalhabilidade;
• Impermeabilidade, entre outros. 
 Recentemente, pesquisadores do concreto, afirmaram que todas propriedades do con-
creto podem ser melhoradas com a redução da água aplicada (desde que a massa esteja plásti-
ca e trabalhável). A relação entre o peso da água e do cimento é conhecida como água/cimen-
to, sendo seus valores usais entre 0,45 a 0,65.
 
ADITIVOS:
 Aditivos são substâncias acrescidas ao concreto, com intuito de reforçar ou melhorar 
outros dados de importância prática. Segundo o tamanho, os 
agregados devem ser denominados em graúdos e miúdos. A 
areia natural ou a artificial denominamos de agregados miúdos 
23
certas características e propriedades, inclusive facilitando seu preparo e execução. Os casos 
mais comuns da utilização de aditivos são: aumento de resistência; aumento da durabilidade; 
melhora na impermeabilidade; melhora na trabalhabilidade; desforma em curto prazo; retar-
damento ou aceleração da pega; diminuição da retração, dentre outros.
Figura 13: Materiais Constituintes das Estruturas de Concreto
Desing Unis EAD
1.2.2. Vantagens e Desvantagens da Estruturas de Concreto Armado
 Quando pensamos em projetar uma edificação, devemos criar um processo de escolha 
para os sistemas construtivos, a fim de analisar variáveis técnicas e econômicas, tais como dis-
ponibilidade de materiais e mão de obra, tempo de obra, aporte de recursos financeiros, etc. A 
estrutura de uma edificação no momento de sua concepção deve levar em consideração o que 
o cliente busca e o que pode ser proposto para atender essa demanda em função de projetos e 
normas. Diante disso podemos apresentar algumas vantagens e desvantagens das estruturas 
de concreto armado conforme apontam Carvalho e Filho (2014), podemos listar as seguintes 
vantagens e desvantagens das estruturas de concreto armado: 
24 
Vantagens
• Boa resistência à maioria das solicitações;
• Boa trabalhabilidade;
• Permite obter estruturas monolítica;
• As técnicas de execução são relativa-
mente bem conhecidas no país todo;
• É um material durável;
• Apresenta durabilidade e resistência ao 
fogo, superiores em relação à da madeira 
e do aço. 
Desvantagens
• Resulta em elementos com maiores di-
mensões que o aço, o que, com seu peso 
específico elevado (γ = 25,0 kN/m³), acar-
reta peso próprio muito grande;
• As reformas e adaptações são, muitas ve-
zes, de difícil execução;
• São necessários sistemas de fôrmas e 
utilização de escoramentos geralmente 
precisam ficar no local para que o con-
creto atinja a resistência adequada.
1.3. Definições Básicas
 Retomando ao item 1.2.1, inicialmente faremos algumas definições e distinções impor-
tantes, caracterizando pasta, argamassa, concreto e concreto de alto desempenho: 
Figura 14: Pasta, argamassa, concreto e concreto de alto desempenho
Desing Unis EAD
25
 Dado o fato de o cimento ser um insumo caro, a utilização do agregado tem como 
função reduzir os custos sem que a qualidade seja prejudicada. Sob um aspecto estrutural, o 
concreto (argamassa + agregado graúdo) atuando de maneira isolada não é satisfatório visto 
que possui boa resistência à compressão, enquanto resiste muito pouco à tração (cerca de 10% 
de sua resistência à compressão). De maneira a aumentar a resistência dessa peça estrutural 
faz-se necessário associá-la a um material com boa resistência à tração e seja mais deformável, 
no caso, o aço, que deve então ser colocado na região tracionada da peça constituindo então 
o concreto armado (CARVALHO e FILHO, 2014). 
 Podemos então definir concreto armado como um material estrutural composto pela 
associação do concreto (argamassa + agregado graúdo) com armaduras passivas (não proten-
didas) que tem como função resistir de maneira solidária aos esforços a que a peça estrutural 
esteja submetida. A associação destes materiais é possibilitada graças a alguns fatores, dentre 
eles:
• Coeficientes de dilatação térmica muito próximos:
(αaço = 1,2 . 10-5 °C-1 e αconcreto = 1,0 . 10-5 °C-1); 
• O concreto envolto no aço protege de maneira satisfatória contra a oxidação; 
• A aderência entre o aço e o concreto permite a solidariedade entre ambos. 
 As Figuras 15 e 16 a seguir, ilustram a situação de uma viga de concreto armado sub-
metida à flexão pura. Observa-se na Figura 15, na região BC (máximo momento fletor) podem 
ocorrer fissuras na parte inferior da seção transversal da viga o que reduz significativamente a 
resistência à flexão da mesma, uma vez que a área útil da seção será reduzida. 
26 
Figura 15: Comportamento de uma viga de concreto simplesmente apoiada
Fonte:CARVALHO e FILHO (2014)
 Na Figura 16 observamos que em uma seção transversal de um elemento estrutural 
podem existir tantas tensões de tração quanto de compressão. 
Figura 16: Seção transversal e longitudinal de viga submetida à flexão pura – comportamento estrutural
Fonte: CLÍMACO (2016)
 A NBR 6118/2014 ainda nos apresenta algumas importantes definições que serão ne-
cessárias para compreendermos melhor os assuntos que se seguirão:
• Concreto estrutural: refere-se ao espectro completo das aplicações do concreto como 
27
material estrutural; 
• Elementos de concreto armado: aqueles cujo comportamento estrutural depende da 
aderência entre concreto e armadura, e nos quais não se aplicam alongamentos iniciais 
das armaduras antes da materialização dessa aderência; 
• Elementos de concreto protendido: aqueles nos quais parte das armaduras é previa-
mente alongada por equipamentos especiais de protensão, com a finalidade de, em 
condições de serviço, impedir ou limitar a fissuração e os deslocamentos da estrutura, 
bem como propiciar o melhor aproveitamento de aços de alta resistência no estado-li-
mite último (ELU); 
• Armadura passiva: qualquer armadura que não seja usada para produzir forças de pro-
tensão, isto é, que não seja previamente alongada; 
• Estado-limite último (ELU): estado-limite relacionado ao colapso, ou a qualquer outra 
forma de ruína estrutural, que determine a paralisação do uso da estrutura.
1.4. Principais Normas Técnicas
 O uso de normas técnicas procura atender condições de segurança para os projetos, 
as construções, desempenho e durabilidade. Elas são utilizadas também em manutenções fre-
quentes nas estruturas, em particular as de concreto. 
 Em 1937, foi publicada a primeira normativa técnica no Brasil foi a “Normas para execu-
ção e cálculo de concreto armado”, pela Associação Brasileira de Cimento Portland (ABCP), para 
suprir as necessidades do meio técnico com relação ao projeto e 
construção de estruturas de concreto armado.
 A sociedade técnica brasileira entendeu com essa publi-
cação dessa norma a necessidade de fomentar um setor respon-
sável pela análise de critérios e normas técnicas para utilização 
em projetos e no uso dos produtos fabricados pelas indústrias 
nacionais. Assim foi criada, em 24 de setembro de 1940, a Asso-
28 
ciação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) sendo a norma de estruturas de concreto já publi-
cada pela ABCP a receber o número 1 constituindo-se, portanto, na Norma Brasileira número 1 
(NB 1).
 A ABNT padroniza o desenvolvimento de projetos, a execução e o controle de obras 
e materiais através de uma série de normas técnicas, as quais citaremos a seguir as principais 
para o desenvolvimento da nossa disciplina: 
• NBR 6118/2014: Projeto de estruturas de concreto – procedimento;
• NBR 6120/1980 (versão corrigida de 2000): Cargas para o cálculo de estruturas de edi-
ficações; 
• NBR 8681/2003 (versão corrigida de 2004): Ações e segurança nas estruturas – proce-
dimento; 
• NBR 6123/1988 (versão corrigida de 2013): Forças devidas ao vento em edificações – 
procedimento; 
• NBR 14931/2004: Execução de estruturas de concreto – procedimento; 
• NBR 14859-1:2016 - Lajes pré-fabricadas de concreto – Parte 1: Vigotas, mini painéis e 
painéis; 
• NBR 14859-2:2016 - Lajes pré-fabricadas de concreto – Parte 2: Elementos inertes para 
enchimento e fôrma; 
• NBR 14861:2002 - Laje pré-fabricada – painel alveolar de concreto protendido – Requi-
sitos. 
Objetivos da Unidade
Unidade II - 
 Características e 
Propriedades do 
ConcretoII
30 
Unidade II - Características e Propriedades do Concreto
2.1. Características e propriedades do concreto fresco
 Podemos destacar como principais características do concreto fresco:
Figura17: Características principais do concreto fresco
Desing Unis EAD
 Consistência
 A consistência concebe à facilidade ou dificuldade do concreto fresco em se deformar 
e está ligada a diversos fatores como lançamento, transporte, adensamento e dimensão de 
agregados, A consistência do concreto pode ser medida através do ensaio de slump test que 
avalia o abatimento (deformação) vertical do concreto no momento da retirada do tronco de 
cone. 
Figura 18: Slump Test
Fonte: iStock.com
31
 Trabalhabilidade
 A trabalhabilidade do concreto está ligada ao seu lançamento e adensamento. Um con-
creto com slump alto, ou seja, com elevado abatimento facilita seu lançamento e adensamen-
to. Tal propriedade do concreto é atendida através da 
dimensão dos agregados, utilização de aditivos (com-
postos químicos que alteram determinadas proprie-
dades do concreto) e, especialmente da relação água/
cimento. É notório que a resistência do concreto se 
reduz gradualmente quando existe uma grande elevação da relação água/cimento.
 Homogeneidade
 A homogeneidade é um critério muito relevante na qualidade do concreto. Os agrega-
dos devem apresentar boa granulometria e devem estar totalmente abarcados pela pasta. Para 
que seja garantida a homogeneidade, faz-se necessário uma boa mistura durante o proces-
so de produção, cuidados no transporte e no lançamento do concreto (CARVALHO e JÚNIOR, 
2014). Tais aspectos são evidenciados nos itens 9.4 e 9.5 da NBR 14931/2004.
 Adensamento
 No processo de concretagem o adensamento é uma das etapas cruciais e normalmente 
é realizado através da aplicação de energia manual ou mecânica. O processo mais comum é a 
vibração mecânica que busca neutralizar a formação das bolhas de ar, vazios e consequente-
mente a segregação de materiais e deve garantir que o concreto preencha totalmente o inte-
rior das fôrmas de modo homogêneo.
 Pega do concreto
 A pega concebe o momento inicial do endurecimento do concreto, ou seja, dá início ao 
ganho de resistência. Normalmente a pega é diagnosticada pelo momento em que a consis-
tência do concreto não mais possibilite que este seja moldado (trabalhável). A NBR 14931/2004 
Figura 19: Água x Resistência
Desing Unis EAD
32 
aponta que: “Salvo em condições muito específicas, pré-definidas no projeto, ou quando existe 
a influência de condições climáticas ou quando da composição do concreto, aconselha-se que 
exista um intervalo de tempo decorrido entre o momento em que a água de amassamento 
entre em contato com o cimento e que não ultrapasse a 2 h. e 30 min. o final da concretagem. 
Quando a temperatura ambiente estiver muito alta, ou sob algumas condições que possam 
contribuir para apressar a pega do concreto, este intervalo de tempo deve ser diminuído, a não 
ser que se tome algumas medidas especiais, como a utilização de aditivos retardadores, que 
fazem com que aumentem o tempo de pega, lembrando que não pode prejudicar de maneira 
nenhuma a qualidade do concreto. ”
 Cura do concreto
 Conforme apresentado por Carvalho e Júnior (2014), a hidratação do concreto ocorre 
de maneira bem rápida após o início da pega, e nesse momento a água presente na mistura 
tende a sair pelos poros do concreto e evaporar. 
 A evaporação não controlada pode danificar e muito as re-
ações quanto a hidratação do cimento, isso faz com que o concre-
to tenha uma diminuição do volume (retração) maior que o usual, 
essa retração pode ser evitada parcialmente pela utilização de fôr-
mas e armaduras, que causam tensões de tração, as quais o con-
creto tende a não resistir, isso devido sobretudo por causa da pouca idade, isso causa fissuras 
que acarretam na diminuição da resistência estimada final do concreto.
 Assim a cura, é o conjunto de medidas que evitam essa evaporação e conservam e/ou 
repõem a umidade necessária à hidratação do concreto. Nos elementos de concreto armado 
convencionais, principalmente nas lajes, é muito comum a cura molhada (“regar a laje”).
2.2. Características epropriedades do concreto endurecido
 Quando tratamos do concreto endurecido podemos dizer que as características e pro-
33
priedades as mecânicas mais relevantes são: 
Figura 20: Propriedades e características mecânicas do concreto endurecido
Fonte: Design Unis EAD
 Carvalho e Júnior (2014) demonstram que ainda não foi possível estabelecer um único 
modelo matemático para que se possa determinar a resistência dos materiais e que seja válida 
para diversos tipos de solicitação. Contudo, é admitido de maneira aproximada que a resistên-
cia do concreto em diversos tipos de solicitação seja em função da sua resistência a compres-
são.
 Pessoal recomendo que vocês façam aqui a leitura detalhada 
do item 8.2 da NBR 6118/2014 para que vocês possam entender e 
compreender melhor o que está sendo exposto resumidamente.
 O item 8.2 da NBR 6118/2014 versa sobre uma série propriedades do concreto onde irei 
apresentar para vocês abaixo: 
• Resistência à compressão (fcj) - A resistência à compressão do concreto é alcançada 
através de ensaios de corpos de prova submetidos a esforços de compressão centrados, 
conforme preconiza a NBR 5739/2007.
• Resistência característica do concreto à compressão (fck) – De acordo com os auto-
34 
res Carvalho e Júnior (2014), a resistência característica do concreto à compressão (fck) é 
conseguida através de um certo números de ensaios de compressão, isso apresenta um 
grau de confiabilidade de cerca de 95%. 
 É válido ressaltar que a NBR 6118/2014 no item 8.2.1 evidencia: “Esta Norma se aplica 
aos concretos compreendidos nas classes de resistência dos grupos I e II, da ABNT NBR 8953, 
até a classe C90. A classe C20, ou superior, se aplica ao concreto com armadura passiva e a clas-
se C25, ou superior, ao concreto com armadura ativa. A classe C15 pode ser usada apenas em 
obras provisórias ou concreto sem fins estruturais, conforme a ABNT NBR 8953. ” Para entendi-
mento deste item expresso na NBR competem alguns comentários:
O prefixo “C” indica concreto e o número que se segue indica a resistência à com-
pressão apontada em MPa para o tempo de 28 dias;
O grupo I refere-se a concretos com resistência de 20 a 50 Mpa, ou seja, quando 
temos (C20 a C50) e o grupo II refere- se a concretos com resistências superiores a 
50 MPa até 90 MPa (definições da NBR 8953/2015);
Não podemos trabalhar com estruturas de edificações convencionais de concreto 
armado com fck menor que 20 MPa.
• Resistência do concreto à tração (fct) - A resistência à tração indireta, ou seja, sem a 
realização de ensaios específicos pode ser obtida baseando-se no exposto no item 8.2.5 
da NBR 6118/2014. O uso de fctk, inf e fctk, sup deve ser definido pela norma de acordo 
com cada situação particular. O diagrama tensão-deformação estabelece graficamente 
a relação entre vários níveis de tensões (σ) e suas correspondentes deformações (ε).
 O módulo de elasticidade (E) é uma grandeza responsável por mensurar a rigidez de um 
material sólido. Carvalho e Júnior (2014) sugerem que, no concreto armado, pode-se definir 
alguns módulos de elasticidade:
35
a) Módulo de elasticidade tangente: seu valor é alterável em cada ponto e é diagnostica-
do pela inclinação da reta tangente à curva nesse ponto;
b) Módulo de elasticidade de deformação tangente na origem (E0) ou módulo de elas-
ticidade inicial: é conseguido pela inclinação da reta tangente à curva na origem;
c) Módulo de elasticidade secante ou módulo de elasticidade longitudinal à compres-
são (Ecs): seu valor tem uma variação em cada ponto e é conseguido pela inclinação da reta 
que faz a união da origem com esse ponto.
2.3. Características do aço
 Antes de abordarmos as características do aço, iremos compreender as categorias as 
quais os mesmos são designados no âmbito das estruturas de concreto armado: CA-25, CA-50 
e CA-60. O termo CA significa concreto armado. Os valores do índice de escoamento (carga de 
trabalho) que a barra ou fio precisa suportar é que define a categoria dos aços. Temos então 
que:
a) Conforme a NBR 7480/2007, a categoria CA-25 precisa ter a superfície 
obrigatoriamente sempre lisa, não podendo ter qualquer tipo de nervura 
ou entalhe. O índice de escoamento para este tipo de vergalhão é de 25kgf/
mm² ou 250 MPa;
b) As barras da categoria CA-50 devem ser obrigatoriamente providas de nervuras transver-
sais oblíquas. As barras de aço necessitam ter pelo menos duas nervuras longitudinais, contí-
nuas e diametralmente opostas, que impeçam a volta da barra quando dentro 
do concreto, com exceção no caso em que as nervuras transversais oblíquas 
estejam dispostas de forma a se contraporem a este giro (NBR 7480/2007). O 
índice de escoamento quando falamos deste tipo de vergalhão é de 50kgf/
mm² ou 500 MPa;
c) CA-60: esta categoria é composta por fios que devem ser lisos, entalhados ou nervurados 
36 
e é conhecida por sua alta resistência, o que proporciona estruturas de concreto armado 
bem mais leves. De acordo com o índice de escoamento para este tipo de vergalhão é de 60 
kgf/mm² ou 600 MPa para o CA-60.
 Conforme descrevem Carvalho e Júnior (2014), as características mecânicas mais rele-
vantes para que possamos definir um aço, obtidas em ensaio de tração, são:
• Resistência característica de escoamento (fyk): é a tensão máxima que o vergalhão 
precisa suportar, pois com isso o aço passa a sofrer deformações permanentes, isso ocor-
re até o valor de tensão igual a fyk, caso seja interrompido o ensaio de tração de uma 
amostra, esta voltará ao seu tamanho inicial, não apresentando deformação permanen-
te.
• Limite de resistência (fstk): é a tensão máxima suportada pelo material, com a qual ele 
se rompe, ou seja, é o ponto máximo de resistência da barra.
• Alongamento (deformação) na ruptura (ε): é o aumento do comprimento do corpo 
de prova correspondente à ruptura.
 
 A NBR 6118/2014, determina que o diagrama tensão-deformação do aço e os valores 
 característicos da resistência ao escoamento fyk, da resistência à tração fstk e da deformação 
na ruptura εuk devem ser obtidos através de ensaios de tração realizados segundo a ABNT NBR 
ISO 6892-1. O valor de fyk para os aços sem limite de escoamento adota-se o valor da tensão 
correspondente à deformação permanente de 0,2 %. Para o cálculo nos estados-limite de ser-
viço e último.
2.4. O projeto estrutural
 De modo simples, o projeto estrutural pode ser elaborado e categorizado em algumas 
etapas fundamentais:
37
Figura 21: Etapas fundamentais do projeto estrutural
Fonte: Design Unis EAD
 Conforme evidencia a NBR 6118/2014 no item 14.2.1, a finalidade da análise estrutural é 
definir os efeitos das ações em uma estrutura, a fim de efetuar verificações dos estados-limites 
últimos e de serviço. Quando realizamos a análise estrutural ela deve buscar estabelecer as 
distribuições dos esforços internos, deformações, tensões, e deslocamentos, na estrutura como 
um todo ou parte dela.
 Seguindo em seu item 14.2.2, a NBR 6118 traz que a análise estrutural precisa ser ide-
alizada e consequentemente realizada partindo de um modelo estrutural adequado ao esco-
po proposto. O modelo estrutural pode ser concebido com intuito de representar claramente 
todos os caminhos que foram percorridos pelas ações até a chegada aos apoios da estrutura, 
formando sistemas estruturais resistentes. 
 O modelo deve simular a geometria de todos os elementos estruturais, os carregamen-
tos atuantes, suas condições que se remetem ao contorno, as suas características e as respos-
tas dos materiais, sempre na busca do objetivo específico da análise. Kimura (2007) ainda não 
adianta dimensionar as armaduras de uma maneira bem refinada se os esforços calculados não 
demonstrarem de fato, a realidade que a estrutura estará sujeita.
 Ainda segundo o autor, a estrutura deve ser dimensionade tal modo que ela atenda a 
todos os critérios estabelecidos, garantindo que ela resista de forma segura, dotada de estabi-
lidade e com deformações aceitáveis (dentro dos parâmetros normativos) aos carregamentos 
impostos aos elementos estruturais. 
 Assim, o projeto estrutural deve assegurar que a edificação, uma vez projetada e execu-
tada, atenda a três requisitos:
38 
Figura 22: Requisitos do projeto estrutural
Fonte: Design Unis EAD
 Bom pessoal, pensando no que foi exposto até aqui vamos entender que para facilitar 
nosso dia a dia de trabalho, temos os softwares para dimensionamento com intuito de agilizar 
nosso trabalho. Mas devemos lembrar sempre que o software não substitui e jamais substituirá 
o papel do Engenheiro. 
 O software não é capaz de balizar uma estrutura boa de outra ruim – seu intuito é ape-
nas automatizar os cálculos e refinar nossas análises. A má utilização de um software pode 
trazer consequências e prejuízos gravíssimos a sociedade. 
 Não podemos esquecer que, por trás de um projeto, sempre 
haverá vidas envolvidas. Quem faz engenharia somos nós e não o sof-
tware. Então somente o Engenheiro é capaz projetar, de analisar a es-
trutura. 
 Lembre-se: Toda a responsabilidade pelo projeto estrutural elaborado é do Enge-
nheiro Civil que emitiu ART — e não do software.
2.5. Método dos estados limites
 Os estados limites são condições em que a estrutura não atende aos requisitos necessá-
rios para utilização. Tais conceitos são abordados nos itens “3.2 Definições de estados-limites” e 
“10 Segurança e estados-limites” da NBR 6118/2014.
39
 Segundo Carvalho e Júnior (2014), no método dos estados limites, a segurança é garan-
tida perpetrando que as solicitações que se referem às cargas majoradas (solicitações de cál-
culo) sejam menores do que as últimas solicitações, sendo que estas foram as que induziriam à 
ruptura da estrutura (ou tenha atingido o estado limite último). Se os materiais possuíssem as 
resistências reais (resistências características) minoradas por coeficientes de ponderação das 
resistências (resistências de cálculo).
 As condições analíticas de segurança instituem que as resistências não podem ser me-
nores que as solicitações e devem ser verificadas em relação a todos os estados-limites e todos 
os carregamentos especificados para o tipo de construção considerado, ou seja, em qualquer 
caso deve ser respeitada a condição (ABNT NBR 6118/2014):
Rd ≥ Sd
 O estado-limite último pode ser verificado pela de perda de equilíbrio como corpo rígi-
do, onde Rd e Sd devem adotar os valores de cálculo das ações estabilizantes e desestabilizan-
tes (ABNT NBR 6118/2014).
 Conforme Carvalho e Júnior (2014), o método dos estados limites é um processo simpli-
ficado de verificação da segurança, visto que uma análise probabilística completa seria muito 
complicada e/ou até mesmo impossível, e por isso é chamado semi probabilístico. Admite-se 
que a estrutura seja segura quando as solicitações de cálculo forem, no máximo, iguais aos va-
lores que podem ser suportados pela estrutura no estado limite considerado. Resumidamente, 
o método consiste em:
Adotar os valores característicos para as resistências e para as ações;
Cobrir os demais elementos de incerteza existentes no cálculo estrutural pela trans-
formação de valores característicos em valores de cálculo: minoram-se as resistências 
e majoram-se as ações.
 De forma geral, em projetos de estruturas de concreto armado, os estados limites são 
40 
utilizados da seguinte maneira (KIMURA, 2007):
Figura 23: Estados limites 
Fonte: Design Unis EAD
2.5.1. Estado limite último (ELU)
 Conforme definição da NBR 6118/2014, o ELU é o estado-limite pertinente ao colapso, 
ou outra maneira de ruína estrutural, que possa gerar a paralisação do uso da estrutura. A nor-
ma ainda aponta que, para que se tenha a segurança nas estruturas de concreto, elas precisam 
sempre ser verificadas em relação a alguns estados-limites últimos:
a) estado-limite último da perda do equilíbrio da estrutura, admitida como corpo rígido;
b) estado-limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo 
ou em parte, devido às solicitações normais e tangenciais, admitindo-se a redistribuição de 
esforços internos;
c) estado-limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo 
41
ou em parte, considerando os efeitos de segunda ordem;
d) estado-limite último provocado por solicitações dinâmicas; 
e) estado-limite último de colapso progressivo;
f ) estado-limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo 
ou em parte, considerando exposição ao fogo, conforme a ABNT NBR 15200;
g) estado-limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, consideran-
do ações sísmicas, de acordo com a ABNT NBR 15421;
h) outros estados-limites últimos que eventualmente possam ocorrer em casos especiais.
2.5.2. Estado limite de serviço (ELS)
 Estados-limites de serviço devem se sempre relacionados ao conforto do usuário à sua 
durabilidade, boa aparência e a boa utilização nas estruturas, seja ela em relação aos usuários, 
ou em relação às máquinas e aos equipamentos que são suportados pelas estruturas (ABNT 
NBR 6118/2014).
 Quando falamos sobre a NBR 6118/2014, ela nos estipula quatro estados limites de ser-
viço para as estruturas de concreto armado convencionais:
 
a) Estado-limite de formação de fissuras (ELS-F): Quando inicia a formação de fissuras;
b) Estado-limite de abertura das fissuras (ELS-W): Quando as fissuras apresentam-se com 
aberturas iguais aos máximos especificados em 13.4 (da referida norma);
c) Estado-limite de deformações excessivas (ELS-DEF): Quando as deformações chegam os 
limites que foram estabelecidos para a utilização normal, dados em 13.3;
d) Estado-limite de vibrações excessivas (ELS-VE): Quando as vibrações atingem limites pré-
-estabelecidos para a utilização normal de uma construção.
42 
2.6. Resistências de cálculo e coeficientes de ponderação
 A seguir será apresentada uma série de definições de parâmetros e critérios que são 
aplicados em projetos de estruturas de concreto armado. 
 Valor de cálculo da resistência (fd) conforme o item 12.3.1 da NBR 6118/2014:
Onde: 
fk = resistência característica;
γm = coeficiente de ponderação da resistência.
 Resistência de cálculo do concreto (fcd) conforme o item 12.3.3 da NBR 6118/2014, no 
caso específico da resistência de cálculo do concreto (fcd), alguns detalhes adicionais são ne-
cessários, conforme descrito a seguir:
a) Quando a verificação se faz em data j igual ou superior a 28 dias, adota-se a expressão:
 Nesse exemplo, o controle da resistência à compressão do concreto precisa ser realiza-
do aos 28 dias, de maneira que se confirme o valor de fck adotado no projeto;
43
b) Quando a verificação acontece em uma data j inferior a 28 dias, é necessário adotar a 
expressão abaixo:
Onde: 
s = 0,38 para concreto de cimento CPIII e IV; 
s = 0,25 para concreto de cimento CPI e II; 
s = 0,20 para concreto de cimento CPV-ARI; 
t é a idade efetiva do concreto, expressa em dias.
 Coeficientes de ponderação das resistências (γm) conforme o item 12.4 da NBR 6118/2014, 
as resistências devem ser minoradas pelo coeficiente:
Em que:
γm1 – Parte do coeficiente de ponderação das resistências γm, que considera a varia-
bilidade da resistência dos materiais envolvidos;
γm2 – Parte do coeficiente de ponderação das resistências γm, que considera a dife-
rença entre a resistência do material no corpo de prova e na estrutura;
44 
γm3 – Parte do coeficiente de ponderação das resistências γm, que considera os des-
vios gerados na construção e as aproximaçõesfeitas em projeto do ponto de vista das 
resistências.
 Para o estado limite último (ELU), os coeficientes de ponderação são dados de acordo 
com a Tabela 1:
Tabela 1: Valores dos coeficientes γc e γd (de ABNT NBR 6118/2014, tabela 1.4)
Fonte: Adaptado por Design Unis EAD
 A norma ainda reforça que para a execução de elementos estruturais onde pode ocor-
rer condições desfavoráveis previstas, o coeficiente γc deve ser multiplicado por 1,1.
 Para situações normais e obras usuais, temos que:
2.7. Ações
 Denomina-se ação qualquer influência, ou conjunto de influências, capaz de produ-
45
zir estados de tensão ou deformação em uma estrutura (CARVALHO e JÚNIOR, 2014). A NBR 
6118/2014 traz no item 11.2.1, que na análise estrutural precisa levar em consideração a influ-
ência de todas as ações que produzam efeitos significativos para a segurança da estrutura em 
análise, devemos levar em consideração os possíveis estados limites últimos e também os de 
serviço. De acordo com a ABNT NBR 8681 as ações que devemos considerar são classificadas 
em, em permanentes, variáveis e excepcionais.
Ações permanentes - Ocorrem com valores praticamente sem alteração durante todo a ciclo 
de vida útil da construção. As ações permanentes necessitam ser consideradas em seus valo-
res representativos mais desfavoráveis para toda a segurança (NBR 6118/2014). Consideram-se 
como ações permanentes (NBR 8681/2004):
a) ações permanentes diretas: os pesos próprios dos elementos da cons-
trução, incluindo-se o peso próprio da estrutura e de todos os elementos 
construtivos permanentes, os pesos dos equipamentos fixos e os empuxos 
devidos ao peso próprio de terras não removíveis e de outras ações per-
manentes sobre elas aplicadas;
b) ações permanentes indiretas: a protensão, os recalques de apoio e a 
retração dos materiais.
Ações variáveis - Conforme a NBR 8681/2004, consideram-se como ações variáveis as cargas 
acidentais, bem como efeitos, tais como forças de frenação, de impacto e centrífugas, os efeitos 
do vento, das variações de temperatura, do atrito nos aparelhos de apoio e, em geral, as pres-
sões hidrostáticas e hidrodinâmicas. Em função de sua probabilidade de ocorrência durante a 
vida útil. As ações variáveis poder ser classificadas em normais ou especiais:
a) ações variáveis normais: ações variáveis com probabilidade de ocorrência suficiente-
mente grande para que sejam obrigatoriamente consideradas no projeto das estruturas de 
46 
um dado tipo de construção;
b) ações variáveis especiais: nas estruturas em que devam ser consideradas certas ações 
especiais, como ações sísmicas ou cargas acidentais de natureza ou de intensidade espe-
ciais, elas também devem ser admitidas como ações variáveis. As combinações de ações em 
que comparecem ações especiais devem ser especificamente definidas para as situações 
especiais consideradas.
Ações excepcionais - Segundo a NBR 8681/2004, consideram-se como 
excepcionais as ações decorrentes de causas tais como explosões, cho-
ques de veículos, incêndios, enchentes ou sismos excepcionais.
2.7.1 Valores representativos das ações
 Conforme cada tipo de cada edificação e a probabilidade de situações desfavoráveis, 
considera-se a incerteza na estimativa de valores das ações e nos tipos de métodos de cálculo 
dos esforços.
• Valores característicos das ações - Os valores característicos Fk das ações são estabe-
lecidos em função da variabilidade de suas intensidades. Para as ações permanentes, 
os valores característicos devem ser adotados iguais aos valores médios das respecti-
vas distribuições de probabilidade, sejam valores característicos superiores ou inferiores 
(ABNT NBR 6118/2014). Esses valores estão definidos em normas brasileiras específicas, 
como a ABNT NBR 6120. Segundo a NBR 6118/2014, os valores característicos das ações 
variáveis, Fqk, estabelecidos por consenso e indicados em Normas Brasileiras específi-
cas, correspondem a valores que têm de 25 % a 35% de probabilidade de serem ultra-
passados no sentido desfavorável, durante um período de 50 anos, o que significa que o 
valor característico Fqk é o valor com período médio de retorno de 174 anos a 117 anos, 
respectivamente. Esses valores estão definidos nesta seção ou em Normas Brasileiras 
47
específicas, como a ABNT NBR 6120.
• Valores de cálculo das ações - Os valores de cálculo Fd das ações são obtidos a partir 
dos valores representativos, multiplicando-os pelos respectivos coeficientes de ponde-
ração γf, item 11.6.3 da NBR 6118/2014.
 Coeficientes de ponderação das ações - A NBR 6118/2014 em seu item 11.7 indica 
que as ações devem ser majoradas pelo coeficiente γf, dado pela expressão matemática se-
guinte:
Onde:
γf1 – parte do coeficiente de ponderação das ações γf, que considera a variabilidade 
das ações;
γf2 – parte do coeficiente de ponderação das ações γf, que considera a simultaneidade 
de atuação das ações;
γf3 – parte do coeficiente de ponderação das ações γf, que considera os desvios gera-
dos nas construções e as aproximações feitas em projeto do ponto de vista das solici-
tações.
 As ações consideradas no projeto podem ser de diversas naturezas, o índice do coefi-
ciente γf pode ser alterado para identificar a ação considerada, com o símbolo γg (para ações 
permanentes), γq (para ações variáveis diretas - acidentais), γp (protensões) e γε (para 
efeitos de deformações impostas – ações indiretas).
 Coeficientes de ponderação para o ELU: item 11.7.1 da NBR 6118/2014:
48 
Tabela 2: Valores dos coeficientes γf = yf1 γf3 (de ABNT NBR 6118/2014, tabela 1.5)∙ 
Fonte: Adaptado por Design Unis EAD
Tabela 3: Valores dos coeficientes γf2 (de ABNT NBR 6118/2014, tabela 1.6)
49
Fonte: Adaptado por Design Unis EAD
Onde:
ψ0 – fator de redução de combinação para ELU;
ψ1 – fator de redução de combinação frequente para ELS;
ψ2 – fator de redução de combinação quase permanente para ELS.
 Coeficientes de ponderação para o ELS: item 11.7.2 da NBR 6118/2014:
 Podemos verificar de maneira geral, que o coeficiente de ponderação de todas as ações 
para estados- limites de serviço, pode ser conseguido pela expressão:
Onde:
γf2 tem valor variável conforme a verificação que se deseja fazer (Tabela 1.6 - Tabela 
3 neste guia): γf2 = 1 para combinações raras;
γf2 = ψ1 para combinações frequentes;
γf2 = ψ2 para combinações quase permanentes.
2.7.1 Combinações de ações
 Segundo o item 11.8.1 da NBR 6118/2014, um carregamento é apurado pela combina-
ção de ações que têm probabilidades não desprezíveis de atuarem ao mesmo tempo sobre a 
estrutura, durante um determinado período preestabelecido. A combinação dessas ações deve 
ser cometida de maneira que possa ser determinado os efeitos mais adversos para a estrutura; 
a averiguação da segurança quando falamos dos estados-limites últimos e aos estados-limites 
de serviço deve ser realizada em função de combinações últimas e de combinações de serviço, 
50 
respectivamente. 
 Considerando as estruturas de concreto armado de edificações comuns, a combinação 
última pode ser escrita na seguinte forma simplificada:
Onde:
Fd = valor de cálculo das ações para combinação última; Fgk = ações permanentes 
diretas;
Fεk = ações indiretas permanentes como a retração Fεgk e variáveis como a tempera-
tura Fεqk; Fqk = ações variáveis diretas das quais Fq1k é escolhida principal;
γg, γq, γε = verificar Tabela 1.5 (Tabela 2 neste guia) da NBR 6118.
2.8. Durabilidade das estruturas de concreto
 Quando pensamos em durabilidade e qualidade devemos levar em consideração a NBR 
15575/2013 e a NBR 6118/2014, sendo que a 6118 traz que a durabilidade versa sobre a dis-
posição que a estrutura precisa resistir às influências de questões ambientais que precisam ser 
previstase definidas na elaboração do projeto estrutural.
 A NBR 6118/2014 ainda nos traz algumas diretrizes sobre a durabilidade, e as defini-
ções dessas classes de agressividade (Tabela 1.7- Tabela 4 neste guia) e em função destas, a 
definição da classe do concreto (Tabela 1.8 - Tabela 5 neste guia), relação água/cimento e o 
cobrimento mínimo das armaduras. 
 A agressividade que pode vir a causar no meio ambiente está na relação que às ações 
físicas e químicas atuam sobre as estruturas de concreto, isso independe das ações mecânicas, 
da retração hidráulica, e das variações volumétricas de origem térmica, podendo ocorrer ou-
tras ações previstas no dimensionamento das estruturas (ABNT NBR 6118/2014).
51
Tabela 4: Classes de agressividade ambiental (de ABNT NBR 6118/2014, tabela 1.7)
Fonte: Adaptado por Design Unis EAD
Tabela 5: Correspondência entre a classe de agressividade e a qualidade do concreto (de ABNT NBR 6118/2014, 
tabela 1.8)
52 
Fonte: Adaptado por Design Unis EAD
 Pessoal para finalizar essa unidade sugiro a leitura completa da 
NBR 6118:2014 para fixação e aprofundamento do conteúdo apresen-
tado.
Objetivos da Unidade
Unidade III - 
Dimensionamento 
da Armadura de 
Flexão
III
54 
Unidade III - Dimensionamento da Armadura de Flexão
 Fundamentalmente o momento fletor ocasiona a flexão nas peças estruturais e, por-
tanto, surgem nas seções transversais (perpendicularmente a estas) tensões normais. Um caso 
particular de flexão é a chamada flexão pura, que reflete uma situação onde o elemento estru-
tural possui regiões com esforço cortante nulo e, momento constante. 
 O cálculo da armadura necessária para resistir a um momento fletor é fundamental no 
detalhamento das peças de concreto armado e o seu dimensionamento deve ser calculado no 
estado limite último (ELU) de ruína (Carvalho e Filho, 2014). 
3.1. Processo de colapso de vigas sob tensões normais
 Vamos imaginar agora uma viga biapoiada de concreto armado que esteja submetida a 
um carregamento crescente que a leve à flexão pura, conforme a Figura 24:
Figura 24: Viga biapoiada e seus diagramas
Fonte: Arquivos do Autor
 Os autores Carvalho e Filho (2014) sugerem que submetendo a peça a um carregamen-
to crescente, é possível mensurar as deformações (distâncias Ai e Bi antes e depois de cada 
parcela de carga) que ocorrem na zona central (Figura 25), ao longo da sua altura. 
55
Figura 25: Pontos de estudo de deformação na região central da viga
Fonte: Arquivos do Autor
 A figura acima representa uma viga submetida a um momento fletor crescente, até a 
sua ruína, passando por três níveis de deformação os quais chamamos de estádios e estes de-
terminarão o comportamento da peça. A Figura 26 indica o comportamento da seção transver-
sal da viga em cada um destes estádios.
Figura 26:Comportamento da seção transversal de uma viga de concreto armado na flexão normal simples
Fonte: Arquivos do Autor
56 
 Os três estádios de deformação de uma viga de concreto armado definidos por Carva-
lho e Filho (2014) são:
• Estádio I (estado elástico): sob a ação de um momento fletor MI de pequena intensida-
de, a tensão de tração no concreto não ultrapassa sua resistência característica à tração 
(ftk): 
- O diagrama de tensão normal ao longo da seção é linear; 
- As tensões nas fibras mais comprimidas são proporcionais às deformações, corres-
pondendo ao trecho linear do diagrama tensão- deformação do concreto; 
- Não há fissuras visíveis. 
• Estádio II (estado de fissuração): aumentando o valor do momento fletor para MII, as 
tensões de tração na maioria dos pontos abaixo da linha neutra (LN) terão valores supe-
riores ao da resistência característica do concreto à tração (ftk): 
- Considera-se que apenas o aço passa a resistir aos esforços de tração; 
- Admite-se que a tensão de compressão no concreto continue linear; 
- As fissuras de tração na flexão no concreto são visíveis. 
• Estádio III: aumenta-se o momento fletor até um valor próximo ao de ruína (Mu) e, para 
concretos até C50: 
- A fibra mais comprimida do concreto começa a plastificar a partir da deformação 
específica εc2 = 0,2%, chegando a atingir, sem aumento de tensão, a deformação 
específica de εcu = 0,35%; 
- O diagrama de tensões tende a ficar vertical (uniforme), com quase todas as fibras 
trabalhando com sua tensão máxima, ou seja, praticamente todas as fibras atingiram 
deformações superiores a εc2 = 0,2% e chegando até εcu = 0,35%; 
- A peça está bastante fissurada, com as fissuras se aproximando da linha neutra, fa-
zendo com que sua profundidade diminua e, consequentemente, a região comprimi-
57
da de concreto também; 
- Supõe-se que a distribuição de tensões no concreto ocorra segundo um diagrama 
parábola-retângulo.
 O cálculo de dimensionamento de estruturas de concreto armado será feito no ELU (es-
tádio III), pois o objetivo principal é projetar estruturas que resistam, de forma econômica, aos 
esforços sem chegar ao colapso; as situações de serviço são importantes, porém muitas vezes 
o próprio cálculo no ELU e o bom detalhamento da armadura conduzem às verificações destas 
(CARVALHO e FILHO, 2014). 
3.2. Domínios de deformação na seção transversal
 Devemos entender que os conjuntos de deformações características do concreto e do 
aço, ao longo de uma seção transversal retangular com armadura simples (só tracionada) sub-
metida a ações normais, definem seis domínios de deformação (Carvalho e Filho, 2014).
Figura 27: Domínios de estado limite último de uma seção Transversal
Fonte: Arquivos do Autor
58 
 Os domínios simulam as diversas possibilidades de ruína da seção; a cada par de defor-
mações especificadas de cálculo εc e εs correspondem a um esforço normal, se houver, e a um 
momento fletor atuantes na seção (CARVALHO e FILHO, 2014). 
 A NBR 6118/2014 no item 17.2.2 ainda traz as seguintes definições com relação aos do-
mínios de deformação: 
• Ruptura convencional por deformação plástica excessiva: 
- Reta a: tração uniforme; 
- Domínio 1: tração não uniforme, sem compressão; 
- Domínio 2: flexão simples ou composta sem ruptura à compressão do concreto (εc < 
εcu e com o máximo alongamento permitido).
• Ruptura convencional por encurtamento-limite do concreto: 
- Domínio 3: flexão simples (seção subarmada) ou composta com ruptura à compres-
são do concreto e com escoamento do aço (εs ≥ εyd); 
- Domínio 4: flexão simples (seção superarmada) ou composta com ruptura à com-
pressão do concreto e aço tracionado sem escoamento (εs < εyd); 
- Domínio 4a: flexão composta com armaduras comprimidas; 
- Domínio 5: compressão não uniforme, sem tração; 
- Reta b: compressão uniforme.
3.3. Hipóteses básicas de cálculo
 O item 17.2.2 da NBR 6118/2014, faz a análise dos esforços resistentes de uma seção de 
viga ou pilar em concreto armado simples, onde devem ser consideradas as seguintes hipóte-
ses básicas: 
a) as seções transversais se mantêm planas após a deformação até o ELU; 
59
b) a deformação das barras passivas aderentes ou o acréscimo de deformação das barras 
ativas aderentes em tração ou compressão deve ser a(o) mesma(o) do concreto em seu en-
torno; 
c) considera-se a solidariedade perfeita entre o concreto e a armadura, admitindo-se então 
que a deformação específica de uma barra da armadura, em tração ou compressão, é igual 
à deformação específica do concreto adjacente, reforçando o exposto em b; 
d) as tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, devem ser desprezadas no 
ELU; 
e) a ruína da seção transversal (ações majoradas e resistências minoradas) para qualquer 
tipo de flexão no estado limite último fica caracterizada pelas deformações específicas decálculo do concreto (εc) na fibra menos tracionada e do aço (εc), próximo à borda mais 
tracionada, que atingem (uma delas ou ambas) os valores último das deformações especí-
ficas desses materiais; os casos possíveis de distribuição das deformações do concreto e do 
aço na seção transversal definem os domínios de deformação (CARVALHO e FILHO, 2014); 
f ) para concretos de classe até CA50, os encurtamentos últimos (máximos) do concreto no 
ELU para os parâmetros εc2 (deformação específica de encurtamento do concreto no 
início do patamar plástico) e εcu (deformação específica de encurtamento do concreto 
na ruptura) são: 
Figura 28: Para concretos de classe até CA50 e para concretos de classe CA50 até CA90
Fonte: Design Unis EAD
60 
g) o alongamento máximo permito ao longo da armadura tracionada (alongamento último) 
é:
Figura 29: Alongamento último
Fonte: Design Unis EAD
h) para concretos até a classe C50, admite-se que a distribuição de tensões no concreto seja 
feita de acordo com o diagrama parábola- retângulo da Figura 30, com tensão máxima igual 
a 0,85fcd.
Figura 30: Diagramas de tensões no concreto no ELU, para concretos com fck ≤ 50 MPa
Fonte: Arquivos do Autor
 De modo simplificado, aceita-se a substituição do diagrama parábola-retângulo por um 
diagrama retangular de altura 0,8x, onde x corresponde à profundidade da linha neutra, com a 
seguinte tensão: 
61
- 0,85fcd, para zonas comprimidas de largura constante, ou crescentes no sentido das fibras 
mais comprimidas, a partir da linha neutra (Figura 31); 
Figura 31: Seções onde a largura não diminui da linha neutra em direção à borda comprimida
Fonte: Arquivos do Autor
- 0,80fcd, para zonas comprimidas de largura decrescente no sentido das fibras mais com-
primidas, a partir da linha neutra (Figura 32)
Figura 32: Seções onde a largura diminui da linha neutra em direção à borda comprimida
Fonte: Arquivos do Autor
3.4. Cálculo da armadura longitudinal em vigas sob flexão normal para con-
cretos de classe até C50
 As definições e nomenclaturas apresentadas a seguir são fundamentais para o desenvol-
vimento da disciplina de Estruturas de Concreto Armado e é empregada pela NBR 6118/2014 e 
confirmada por Carvalho e Filho (2014): 
62 
Tabela 6: Definições e nomenclaturas empregada pela disciplina de Estruturas de Concreto Armado e pela 
NBR 6118/2014
d (altura útil)
distância do centro de gravidade da armadura longitudinal tracio-
nada até a fibra mais comprimida de concreto
d’
distância entre o centro de gravidade da armadura longitudinal 
comprimida e a face mais próxima do elemento estrutural (fibra 
mais comprimida de concreto)
MSd (momento fle-
tor solicitante de 
cálculo, ou, Md)
representado pelo produto entre o momento obtido na condição 
de serviço (atuante) e o coeficiente de ponderação
MRd (momento 
fletor resistente de 
cálculo)
máximo momento fletor a que a seção deve resistir (deve-se ter 
sempre MSd ≤ MRd)
bw
largura da seção transversal de vigas de seção retangular ou da ner-
vura (parte mais estreita da seção transversal), chamada de alma, 
das vigas de seção em forma de T
h
altura total da seção transversal da peça
z 
(braço de alavan-
ca)
distância entre o ponto de aplicação da resultante das tensões nor-
mais de compressão no concreto e da resultante das tensões nor-
mais de tração no aço (distância entre o centro de gravidade da ar-
madura de tração e o centro de gravidade da região comprimida de 
concreto)
x 
(altura da linha 
neutra)
distância da borda mais comprimida do concreto ao ponto que tem 
deformação e tensões nulas (distância da linha neutra ao ponto de 
maior encurtamento da seção transversal de uma peça fletida)
63
 y 
(altura da linha 
neutra convencio-
nal)
altura do diagrama retangular de tensões de compressão no con-
creto, na seção transversal de peças fletidas; é uma idealização que 
simplifica o equacionamento do problema e conduz a resultados 
próximos daqueles que seriam obtidos com o diagrama parábola-
-retângulo (y = 0,8 x).
Fonte: Design Unis EAD
 Diante da apresentação de tais definições, ampliaremos nosso conhecimento desen-
volvendo o equacionamento para o cálculo da armadura de peças de concreto armado até a 
classe C50. 
 Conforme já descrito anteriormente, a ruína da seção transversal para qualquer tipo 
de flexão no estado limite último é caracterizada pelas deformações específicas de cálculo do 
concreto e do aço, que atingem (uma delas ou ambas) os valores últimos (máximos) das defor-
mações especificas desses materiais.
Figura 33: Diagrama retangular de distribuição das tensões e deformações no concreto
Fonte: Arquivos do Autor
64 
a) Análise do equilíbrio da seção transversal da Figura 33
Fazendo-se o equilíbrio das forças atuantes à seção transversal, temos que: 
Fazendo-se o somatório de momentos das forças internas em relação ao centro de gravida-
de da armadura, temos que estes deverão ser iguais ao momento de cálculo Md:
b) Determinação da posição da linha neutra 
A força mobilizada na compressão (Fc) é dada pela tensão σc multiplicada pela área 
do diagrama, ou seja: 
Retomando a equação do momento solicitante apresentada anteriormente e sabendo que 
z = d – 0,4x, temos:
65
c) Cálculo da área necessária de armadura (As)
Sabemos que e que , então:
 , portanto:
Conforme Carvalho e Filho (2014), admitindo se que a peça esteja trabalhando nos domí-
nios 2 ou 3, para um melhor aproveitamento da armadura, tem-se εs ≥ εyd, resultando 
para tensão na armadura a de escoamento (fs = fyd), então:
d) Verificação do domínio em que a peça atingirá o ELU 
Segundo Carvalho e Filho (2014), obtido o valor de x que define a posição (profundidade) 
da linha neutra, é possível verificar em que domínio a peça atingirá o ELU. Na flexão simples, 
que está sendo considerada, os domínios possíveis são o 2, 3 e o 4. No início do domínio 2 
tem-se εc = 0, e no final do domínio 4 tem-se εs = 0, que são as piores situações que podem 
ocorrer (um dos materiais não contribui na resistência). O melhor é que a peça trabalhe no 
domínio 3; o domínio 2 é aceitável e o domínio 4 deve ser evitado. Conhecido o momento 
e as demais variáveis é possível saber se a seção está trabalhando no domínio 3 e se a arma-
66 
dura já atingiu a deformação de escoamento. 
A relação entre deformações pode nos fornecer a posição da linha neutra através de uma 
semelhança de triângulos, conforme a Figura 34:
Figura 34: Relação entre a posição da linha neutra e a altura útil
Fonte: Arquivos do Autor
 É importante reforçar que pelo item 14.6.4.3 da NBR 6118/2014 temos que a capacidade 
de rotação dos elementos estruturais é função da posição da linha neutra no ELU. Quanto me-
nor for x/d, tanto maior será essa capacidade. Para proporcionar o adequado comportamento 
dútil em vigas e lajes, a posição da linha neutra no ELU deve obedecer ao seguinte limite: x/d ≤ 
0,45, para concretos com fck ≤ 50 MPa.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Suponha uma viga de concreto armado com bw = 0,15m e d = 0,27 m sob 
a ação de um momento fletor de 20,0 kN.m. Determine a área de aço longitudinal neces-
sária (As) sabendo que o fck do concreto é de 20,0 MPa e o aço utilizado é o CA-50.
67
Figura 35: Exercício Resolvido
Fonte: Arquivos do Autor
Resolução:
- O momento de projeto é dado pela majoração da ação de serviço, então: 
Figura 36: Momento de projeto
Fonte: Arquivos do Autor
-Calculando a posição da linha neutra temos que:
Figura 37: Exercício Resolvido
68 
Fonte:Arquivos do Autor
 Observe que o resulta de x1 indica que a LN passa fora da seção transversal, por-
tanto, o valor correto é 0,055m. 
- Verificação do domínio: 
 Conforme falado anteriormente, para que a peça se encontre entre os domínios 2 
e 3, temos que x > 0,259 d e x < 0,45 d, então: 
 Observe que a posição da linha neutra é inclusive inferior a 0,259d, ou seja, indi-
cando que o problema ocorre no domínio 2. 
- Definição do braço de alavanca (z): 
z = d − 0,4x∴z = d − 0,4 . 0,055∴z = 0,348m 
69
- Cálculo da área de armadura longitudinal (As): 
Objetivos da Unidade
Unidade IV - 
LajesIV
71
Unidade IV - Lajes
4.1. Definição
 As lajes são definidas como elementos planos bidi-
mensionais, que são aqueles onde duas dimensões, o com-
primento e a largura, são da mesma ordem de grandeza e 
muito maiores que a terceira dimensão, a espessura. As la-
jes também são conhecidas como elementos de superfície 
(BASTOS, 2015).
 Ainda segundo o autor, as lajes são destinadas a receber a maioria das ações aplicadas 
numa construção, normalmente de pessoas, móveis, pisos, paredes, e os mais variados tipos de 
carga que podem existir em função da finalidade arquitetônica do espaço que a laje faz parte. 
 As ações são usualmente perpendiculares ao plano da laje, podendo ser divididas em: 
Figura 38: Ações perpendiculares ao plano da laje
Fonte: Design Unis EAD
 É importante lembrar que também podem ocorrer ações externas na forma de momen-
tos fletores, normalmente aplicados nas bordas das lajes, mesmo não sendo tão comuns.
 As ações são geralmente transmitidas para as vigas de apoio nas bordas da laje, mas 
também podem ser transmitidas diretamente aos pilares, dependendo do tipo de estrutura 
adotada.
72 
4.2. Laje Maciça
 Laje maciça é toda a espessura composta por concreto, contendo armaduras longitu-
dinais de flexão e armaduras transversais, e apoiada em vigas ou paredes ao longo das bordas. 
Laje com borda ou bordas livres é um caso particular de laje apoiada nas bordas. A laje lisa e 
a laje cogumelo são também lajes maciças de concreto, porém, nessas lajes as cargas e outras 
ações são transferidas diretamente aos pilares, sem intermédio de apoios nas bordas. As lajes 
maciças de concreto, tem espessuras que variam de 7 cm a 15 cm, são projetadas para os mais 
variados tipos de construção.
 É muito importante que aqui vocês façam a leitura do Capítulo 
7 iniciando na página 319 do livro base da disciplina. 
4.3. Classificação quanto à direção
 As lajes maciças podem ser classificadas segundo diferentes critérios, como em relação 
à forma geométrica, dos tipos de vínculos nos apoios, quanto à direção, etc. As formas geomé-
Figura 39: Lajes maciças
Fonte: Design Unis EAD
tricas podem ter as mais variadas formas pos-
síveis, porém, a forma retangular é a grande 
maioria dos casos da prática.
 Uma classificação muito importante 
das lajes maciças é aquele referente à direção 
ou direções da armadura principal. Existem 
dois casos: laje armada em uma direção ou 
laje armada em duas direções.
73
4.4. Vão Livre, Vão Teórico e Classificação das Lajes
 No projeto de lajes, a primeira etapa consiste em determinar os vãos livres ( λ 0), os vãos 
teóricos ( λ ) e a relação entre os vãos teóricos. Vão livre é a distância livre entre as faces dos 
apoios. No caso de balanços, é a distância da extremidade livre até a face do apoio (Figura 40). 
O vão teórico ( λ ) é denominado vão equivalente pela NBR 6118:2014, que o define como a 
distância entre os centros dos apoios, não sendo necessário adotar valores maiores do que:
• em laje isolada, o vão livre acrescido da espessura da laje no meio do vão; 
• em vão extremo de laje contínua, o vão livre acrescido da metade da dimensão do apoio 
interno e da metade da espessura da laje no meio do vão.
 Nas lajes em balanço, o vão teórico é o comprimento da extremidade até o centro do 
apoio, não sendo necessário considerar valores superiores ao vão livre acrescido da metade da 
espessura da laje na face do apoio. Em geral, para facilidade do cálculo, é usual considerar os 
vãos teóricos até os eixos dos apoios (Figura 40).
Figura 40: Vãos livres
Fonte: Arquivos do autor
74 
 Conhecidos os vãos teóricos considera-se λ x o menor vão, λ y o maior e λ = λ y/ λ x 
(Figura 41). De acordo com o valor de λ , é usual a seguinte classificação: 
λ ≤ 2 → 
λ > 2 → 
laje armada em duas direções; 
laje armada em uma direção.
Figura 41: Vãos livres
Fonte: Arquivos do autor
 Nas lajes armadas em duas direções, as duas armaduras são calculadas para resistir os 
momentos fletores nessas direções. As denominadas lajes armadas em uma direção, na reali-
dade, também têm armaduras nas duas direções. A armadura principal, na direção do menor 
vão, é calculada para resistir o momento fletor nessa direção, obtido ignorando-se a existência 
da outra direção. Portanto, a laje é calculada como se fosse um conjunto de vigas-faixa na dire-
ção do menor vão.
 Na direção do maior vão, coloca-se armadura de distribuição, com seção transversal 
mínima dada pela NBR 6118:2014. Como a armadura principal é calculada para resistir à totali-
dade dos esforços, a armadura de distribuição tem o objetivo de solidarizar as faixas de laje da 
direção principal, prevendo-se, por exemplo, uma eventual concentração de esforços.
75
4.4.1. Vão Efetivo
 Os vãos efetivos das lajes nas direções principais (NBR 6118, item 14.6.2.4), consideran-
do que os apoios são suficientemente rígidos na direção vertical, devem ser calculados pela 
expressão:
Figura 42: Vãos Efetivos
Fonte: Arquivos do autor
4.5. Espessuras e Cobrimentos Mínimos
 As espessuras das lajes e o cobrimento das armaduras devem estar de acordo com as 
especificações da NBR 6118:2014, as espessuras das lajes devem respeitar os seguintes limites 
mínimos:
Tabela 6: Espessuras das lajes
5 cm para lajes de cobertura não em balanço
7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço
10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN
12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN;
15 cm para lajes com protensão
Fonte: Design Unis EAD
76 
 Cobrimentos mínimos são especificados também os valores mínimos de cobrimento 
para armaduras das lajes, de acordo com a agressividade do meio em que se encontram con-
forme a NBR 6118:2014. 
4.6. Ações a Considerar 
 As ações ou carregamentos a serem consideradas nas lajes são as mais variadas, desde 
pessoas até móveis, equipamentos fixos ou móveis, divisórias, paredes, água, solo, etc. As lajes 
atuam recebendo as cargas de utilização e transmitindo-as para os apoios, geralmente vigas 
nas bordas. 
 Para determinação das ações atuantes nas lajes deve-se recorrer às normas NBR 6118, 
NBR 8681 e NBR 6120, entre outras pertinentes. As ações peculiares das lajes de cada obra tam-
bém devem ser cuidadosamente avaliadas. Se as normas brasileiras não complementarem de 
cargas específicas, pode-se recorrer a normas estrangeiras, na bibliografia especializada, com 
os fabricantes de equipamentos mecânicos, de máquinas, etc. 
 Nas construções de edifícios correntes, geralmente as ações principais a serem conside-
radas são as ações permanentes (g) e as ações variáveis (q), chamadas 
pela norma de carga acidental, termo esse inadequado. As principais 
ações permanentes diretas que devem ser verificadas e determinadas 
são: Peso Próprio, Contrapiso, Revestimento do Teto, Piso e Paredes.
4.7. Laje Armada em Duas Direções 
 Para as lajes armadas em duas direções considera-se simplificadamente a carga da pa-
rede uniformemente distribuída na área da laje, de forma que a carga é o peso total da parede 
dividido pela área da laje, isto é:
77
Onde:
γ alv = peso específicoda unidade de alvenaria que compõe a parede (kN/m3 ); 
gpar = carga uniforme da parede (kN/m2 ); 
e = espessura total da parede (m); 
h = altura da parede (m); 
λ = comprimento da parede sobre a laje (m); 
Alaje = área da laje (m2 ) = λ x . λ y 
 Para blocos cerâmicos furados a NBR 6120 recomenda o peso específico (γ alv) de 13 
kN/m3 e para tijolos maciços cerâmicos 18 kN/m3 . Ao se considerar o peso específico da uni-
dade de alvenaria para toda a parede está se cometendo um erro, pois os pesos específicos das 
argamassas de revestimento e de assentamento são diferentes do peso específico da unidade 
de alvenaria. O peso específico das paredes correto pode ser calculado considerando-se os 
pesos específicos dos materiais individualmente. Para a argamassa de revestimento pode-se 
considerar o peso específico de 19 kN/m3 (NBR 6120). 
 Não se conhecendo o peso específico global da parede pode-se determinar a sua carga 
com os pesos específicos individuais da parede, calculando-se a carga da parede por metro 
quadrado de área: 
γpar = γalv . ealv + γarg . earg 
Onde:
γ par = peso específico da parede (kN/m2 ); 
γ alv = peso específico da unidade de alvenaria (kN/m3 ); 
ealv = espessura da unidade de alvenaria que resulta na espessura da parede (m);
 γ arg = peso específico da argamassa do revestimento (kN/m3 ); 
earg = espessura do revestimento considerando os dois lados da parede (m). 
 A carga da parede sobre a laje é:
78 
Onde:
gpar = carga uniforme da parede (kN/m2); 
h = altura da parede (m); 
 = comprimento da parede sobre a laje (m). 
Alaje = área da laje (m2) =  x .  y 
 Para a espessura média dos revestimentos das paredes recomenda-se o valor de 2 cm, 
nos dois lados da parede.
Laje Armada em Uma Direção 
 Para laje armada em uma direção há dois casos a serem analisados, em função da dis-
posição da parede sobre a laje. Para o caso de parede com direção paralela à direção principal 
da laje (direção do menor vão), considera-se simplificadamente a carga da parede distribuída 
uniformemente numa área da laje adjacente à parede, com largura de 2/3  x, como mostrado 
na Figura.
Figura 43: Parede com direção paralela à direção principal da laje (direção do menor vão)
Fonte: Arquivos do autor
79
 A laje fica com duas regiões com carregamentos diferentes. Nas regiões I não ocorre a 
carga da parede, que fica limitada apenas à região II. Portanto, dois cálculos de esforços solici-
tantes necessitam serem feitos, para as regiões I e II. A carga uniformemente distribuída devida 
à parede, na faixa 2/3  x é:
Onde:
gpar = carga uniforme da parede na laje (kN/m2); 
Ppar = peso da parede (kN); 
 x = menor vão da laje (m).
 No caso de parede com direção perpendicular à direção principal, a carga da parede 
deve ser considerada como uma força concentrada na viga que representa a laje, como mos-
trado abaixo. O valor da força concentrada P, representativo da carga da parede, é:
Em que:
P = força concentrada representativa da parede (kN); 
yalv = peso específico da parede (kN/m3); 
e = espessura da parede (m); 
h = altura da parede (m).
80 
Figura 44: Parede com direção perpendicular à direção principal
Fonte: Arquivos do autor
Objetivos da Unidade
Unidade V - 
Dimensionamento e 
detalhamento das ar-
maduras longitudinais V
82 
Unidade V - Dimensionamento e detalhamento das armaduras longitudi-
nais – critérios normativos relativos ao projeto executivo de Laje
5.1. Roteiro para o cálculo de lajes de concreto armado
 Como foi mostrado anteriormente há várias formas de cálculo para as lajes, em um dos 
modelos de dimensionamento são obtidos os esforços e os deslocamentos de lajes isoladas 
pelo método elástico por meio da teoria das placas delgadas, e também o cálculo de um pa-
vimento constituído por várias lajes, classicamente, é feito admitindo cada uma trabalhando 
isoladamente. Este último modelo é o que será adotado na disciplina, ressaltando se, porém, 
que, com processos como o de grelha equivalente ou dos elementos finitos, os pavimentos 
podem ser analisados como um todo.
 Para o cálculo de lajes isoladas, é aconselhado seguir o seguinte roteiro:
Tabela 7: Roteiro para cálculo de lajes isoladas
determinação das condições mais adequadas de vinculação das lajes (dis-
cretização do pavimento)
pré-dimensionamento das alturas das lajes
cálculo das cargas atuantes
verificação das flecha
cálculo dos momentos
determinação das armaduras longitudinais
cálculo das reações das lajes nas vigas de apoio
verificação do efeito das forças cortantes (cisalhamento)
e detalhamento das armaduras
Fonte: Design Unis EAD
83
5.2. Discretização do pavimento
 O critério utilizado para discretizar um pavimento (separá-lo em seus elementos com-
ponentes) é considerar cada região contida entre quatro vigas como sendo uma laje (em al-
guns casos particulares, três vigas definem uma laje). A borda de uma laje será considerada 
engastada caso haja uma laje vizinha com rigidez suficiente (dependendo de seu vão ou espes-
sura) para impedir a rotação nessa borda comum. 
 Quando isto não ocorre, ou simplesmente a laje em estudo tem bordas que não fazem 
vizinhança com outra laje, a borda é considerada com rotação livre (sem nenhum apoio) ou 
simplesmente apoiada.
 Aqui é muito importante a leitura da NBR 6118:2014 na integra 
para que vocês possam entender todos os parâmetros adotados no 
dimensionamento.
 Mais uma vez quero que nessa unidade vocês façam a leitura 
da nossa bibliografia básica, para que vocês se aprofundem mais nos critérios de dimen-
sionamento.
5.3. Pré-dimensionamento da Altura da Laje
 A altura final de uma laje é função da deformação limite ou do momento no estado 
limite último, e antes do cálculo dos esforços é necessário estimar a altura para a determinação 
das cargas e efetuar correções posteriores se necessário.
84 
5.4. Cálculo das cargas atuantes
 As cargas atuantes em uma laje maciça são calculadas da maneira comum, e devem ser 
consideradas, geralmente, as seguintes:
Tabela 8: Cargas atuantes
Peso próprio estrutural
multiplica-se a altura da laje pelo peso específico do 
concreto armado
Carga acidental
devem ser empregados os valores contidos na norma 
de ações (NBR 6120), de acordo com a finalidade do edi-
fício e do cômodo
Revestimento inferior
se for o caso, deve ser considerado o revestimento feito 
na face inferior da laje
Peso de contrapiso
com o intuito de se obter uma superfície nivelada do 
pavimento
Piso ou revestimento
deve-se considerar o peso do piso, lembrando que al-
guns pisos, como pedras de granito, possuem um peso 
bastante elevado
Fonte: Design Unis EAD
 Todas as lajes de um piso, para efeito de cálculo, são con-
sideradas totalmente carregadas geralmente; quando a carga aci-
dental for superior à metade da carga total, devem-se considerar as 
lajes carregadas alternadamente com a carga acidental. 
85
5.5. Verificação das flechas
 A verificação do estado limite de deformação excessiva deve ser feita para as combina-
ções de ações de serviço, de acordo com o item 11.8.3.1 da ABNT NBR 6118:2014 sendo classifi-
cadas de acordo com sua permanência na estrutura e devem ser verificadas como estabelecido 
a seguir:
a) quase permanentes: podem atuar durante grande parte do período de vida da estrutu-
ra, e sua consideração pode ser necessária na verificação do estado-limite de deformações 
excessivas;
b) frequentes: repetem-se muitas vezes durante o período de vida da estrutura, e sua con-
sideração pode ser necessária na verificação dos estados-limites de formação de fissuras, de 
abertura de fissuras e de vibrações excessivas. Podem também ser consideradas para verifi-
cações de estados-limitesde deformações excessivas decorrentes de vento ou temperatura 
que podem comprometer as vedações;
c) raras: ocorrem algumas vezes durante o período de vida da estrutura, e sua consideração 
pode ser necessária na verificação do estado-limite de formação de fissuras.
 Os deslocamentos não poderão atingir valores que possam resultar em danos a ele-
mentos da construção apoiados na estrutura ou situados sob elementos da mesma, preven-
do-se, nestes casos, quando necessário, dispositivos adequados para evitar as consequências 
indesejáveis. 
 A situação ideal, seria na verdade, considerar a soma dos deslocamentos das lajes com 
os das vigas que as sustentam, para assim verificar a deformação final da estrutura. 
5.6. Cálculo dos momentos
 É importante destacar novamente que os momentos são determinados para uma faixa 
86 
unitária de laje e para lajes isoladas. Também é interessante observar que os coeficientes in-
dicados na NBR 6118 levam a valores extremos dos momentos; não ·expressando, portanto, a 
variação de esforços ao longo da placa. ·
 No caso de momentos negativos com face comum às duas lajes, é usual considerar o 
maior valor entre a média e 8.0% do maior; entretanto, a favor da segurança, recomenda-se 
tomar, para cálculo das armaduras negativas, o maior dos dois momentos nessa face.
5.7. Determinação das armaduras longitudinais
 O cálculo da armadura das lajes, nas direções x e y, é feito como no caso de vigas, ob-
servando-se que para a largura da seção é tomada uma faixa unitária e, portanto, a armadura 
encontrada deve ser distribuída ao longo dessa largura.
 É recomendado ainda, que seja tomada como altura útil da laje a < distância entre a 
borda comprimida superior e o centro das barras da camada superior da armadura positiva, 
pois isso acarreta um valor menor para a mesma, e a camada junto à face inferior da laje (que 
tem altura útil real maior) estará com uma área pouco maior que a necessária; isso garante o 
posicionamento correto das barras, pois na obra não é possível garantir se a armadura de cada 
direção será colocada na camada correta, respeitando o cálculo.
5.8. Reação das lajes nas vigas
 A reação das lajes nas vigas de apoio pode ser obtida utilizando-se a expressão funda-
mental, contudo, não existem referências bibliográficas em que se encontre um modo prático 
de calcular essas reações de forma correta.
 A ação das lajes nas vigas, no estado elástico, ocorre por meio de um carregamento
com intensidade variável ao longo do seu comprimento, e não uniforme, o que não é simples 
de determinar, além de dificultar o cálculo dos esforços nas vigas.
 De modo simplificado, pode-se considerar que a ação das lajes maciças nas vigas se 
87
faça de maneira uniforme. A NBR6118:2014, no item 14.7.6.1, traz que para o cálculo das rea-
ções de apoio das lajes maciças retangulares com carga uniforme, podem ser feitas as seguin-
tes aproximações:
a) as reações em cada apoio são as correspondentes às cargas atuantes nos triângulos ou 
trapézios determinados através das charneiras plásticas correspondentes à análise efetiva-
da com os critérios de 14.7.4, sendo que essas reações podem ser, de maneira aproximada, 
consideradas uniformemente distribuídas sobre os elementos estruturais que lhes servem 
de apoio;
b) quando a análise plástica não for efetuada, as charneiras podem ser aproximadas por 
retas inclinadas, a partir dos vértices, com os seguintes ângulos:
Tabela 9: Charneiras aproximadas por retas inclinadas, a partir dos vértices
— 45° entre dois apoios do mesmo tipo
— 60° a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado 
simplesmente apoiado
— 90° a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre
Fonte: Design Unis EAD
Objetivos da Unidade
Unidade VI - Verifica-
ção da necessidade 
de armadura transver-
sal em lajes maciças
VI
89
Unidade VI - Verificação da Necessidade de Armadura Transversal em Lajes 
Maciças
6.1. Dimensionamento
 A NBR 6118:2014 especifica no item 19.2 que “Na determinação dos esforços resisten-
tes das seções de lajes submetidas a forças normais e momentos fletores, devem ser usados 
os mesmos princípios estabelecidos nos itens 17.2.1 a 17.2.3. Nas regiões de apoio das lajes, 
devem ser garantidas boas condições de ductilidade, atendendo-se às disposições de 14.6.4.3.”
 O item 17.2 da norma refere-se aos “Elementos lineares sujeitos a solicitações normais 
– Estado-limite último”, já o item 14.6.4 trata da “Análise linear com ou sem redistribuição”, e o 
item 14.6.4.3 apresenta os “Limites para redistribuição de momentos e condições de ductilida-
de”, válidos para vigas e lajes, onde a norma afirma que “a capacidade de rotação dos elemen-
tos estruturais é função da posição da linha neutra no ELU. 
 Cabe ressaltar que, quanto menor for x/d, tanto maior será essa capacidade. E para pro-
porcionar o adequado comportamento dútil em vigas e lajes, a posição da linha neutra no ELU 
deve obedecer aos seguintes limites:
Tabela 10: Posição da linha neutra no ELU - limites
a) x/d ≤ 0,45, para concretos com fck ≤ 50 MPa
b) x/d ≤ 0,35, para concretos com 50 < fck ≤ 90 MPa
Fonte: Design Unis EAD
 A normativa ainda diz que “Esses limites podem ser alterados se forem utilizados de-
talhes especiais de armaduras, como, por exemplo, os que produzem confinamento nessas 
regiões. ” Quando for realizada uma redistribuição, diminui-se um momento fletor de M para 
δM, em uma determinada seção transversal, a profundidade da linha neutra nessa seção x/d, 
90 
para o momento reduzido δM, deve ser limitada por:
Tabela 11: Profundidade da linha neutra na seção x/d, para o momento reduzido δM - limites
a) x/d ≤ (δ – 0,44)/1,25, para concretos com fck ≤ 50 MPa;
b) x/d ≤ (δ – 0,56)/1,25, para concretos com 50 < fck ≤ 90 MPa.
Fonte: Design Unis EAD
 O coeficiente de redistribuição deve, ainda, obedecer aos seguintes limites:
Tabela 12: Limites para coeficiente de redistribuição
a) δ ≥ 0,90, para estruturas de nós móveis;
b) δ ≥ 0,75, para qualquer outro caso.
Fonte: Design Unis EAD
 Pode ser adotada redistribuição fora dos limites prescritos pela norma, “desde que a 
estrutura seja calculada mediante o emprego de análise não linear ou de análise plástica, com 
verificação explícita da capacidade de rotação das rótulas plásticas. ”
 A NBR 6118 (item 14.7.1) estabelece duas hipóteses básicas para a análise das placas 
(lajes):
a) manutenção da seção plana após a deformação, em faixas suficientemente estreitas;
b) representação dos elementos por seu plano médio.
 Na determinação dos esforços solicitantes nas lajes, deverá ser avaliada a necessidade 
da consideração da aplicação da alternância das sobrecargas. Para estruturas de edifícios em 
que a carga variável seja de até 5 kN/m2 e que seja no máximo igual a 50 % da carga total, a 
91
análise estrutural pode ser realizada sem a consideração de alternância de cargas.
 Segundo a NBR 6118 (17.2.2), “o estado-limite último é caracterizado quando a distri-
buição das deformações na seção transversal pertencer a um dos domínios [...]”. Os domínios 
de deformações estão apresentados a seguir.
Figura 45: Domínios de deformações no estado-limite último de uma seção transversal
Fonte: ABNT, 2014
 A ruptura convencional por deformação de alongamento excessiva pode ser alcançada 
nos seguintes domínios:
Tabela 13: Ruptura convencional por deformação de alongamento excessiva
a) reta a tração uniforme
b) domínio 1 tração não uniforme, sem compressão
c) domínio 2
flexão simples ou composta sem ruptura à compressão do concre-
to (ε c < ε cu e com o máximo alongamento permitido)
Fonte: Design Unis EAD
92 
 A ruptura convencional por deformação de encurtamento do concreto comprimido 
pode ocorrer nos domínios:
Tabela 14:Ruptura convencional por deformação de encurtamento do concreto comprimido pode
a) domínio 3
flexão simples (seção subarmada) ou composta com ruptura à 
compressão do concreto e com escoamento do aço (ε s ≥ ε yd)
b) domínio 4
flexão simples (seção superarmada) ou composta com ruptura à 
compressão do concreto e aço tracionado sem escoamento (ε s < 
ε yd)
c) domínio 4a flexão composta com armaduras comprimidas
d) domínio 5 compressão não uniforme, sem tração
e) reta b compressão uniforme
Fonte: Design Unis EAD
 A análise das lajes pode ser feita segundo a “Análise linear com ou sem redistribuição” 
(item 14.7.3), “Análise plástica” (item 14.7.4) ou “Análise não linear” (item 14.7.5). As análises 
plástica e não linear não serão apresentadas. A análise linear com ou sem redistribuição “Apli-
ca-se às estruturas de placas os métodos baseados na teoria da elasticidade, com coeficiente 
de Poisson igual a 0,2. ”
6.2. Flexão
 Sendo conhecidos os momentos fletores máximos atuantes na laje, o dimensionamen-
to à flexão normal simples pode ser feito de maneira semelhante às vigas, supondo faixas (vi-
gas) com largura de um metro (100 cm). Fazendo uso das equações com coeficientes tabelados 
K2, deve ser determinado o coeficiente Kc conforme expressos na NBR 6118:2014:
93
Figura 46: Determinando o coeficiente Kc
Fonte: NBR 6118:2014
 Com Md em kN.cm e d em cm.
6.3. Força Cortante
 A força cortante em lajes e elementos lineares com bw ≥ 5d é verificada no item 19.4 
da NBR 6118. A Norma faz distinção entre laje sem e com armadura transversal para a força 
cortante.
6.3.1. Lajes sem Armadura para Força Cortante
 “As lajes maciças ou nervuradas, conforme 17.4.1.1.2-b), podem rescindir de armadura 
transversal para resistir as forças de tração oriundas da força cortante, quando a força cortante 
de cálculo, a uma distância d da face do apoio, obedecer à expressão:”
VSd ≤ VRd1 
 Onde: VSd é a força cortante de cálculo e a força cortante máxima VRd1 é:
VRd1 = [τRd k (1,2 + 40ρ1 )+ 0,15 σcp ] bw d 
94 
Onde: 
σ cp = NSd /A
NSd = força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento (compressão 
com sinal positivo).
 Não existindo a protensão ou força normal que cause a compressão, torna-se:
VRd1 = [τRd k (1,2 + 40ρ1 )] bw d 
τRd = 0,25 fctd 
fctd = fctk,inf / γc 
ρ = As1 , não maior que |0,02| 
 bw d 
 k = coeficiente que tem os seguintes valores:
• para elementos onde 50 % da armadura inferior não chega até o apoio: k = |1|;
• para os demais casos: k = |1,6 – d|, não menor que |1|, com d em metros.
Onde: 
Rd = tensão resistente de cálculo do concreto à força cortante (ou cisalhamento con-
forme a norma);
As1 = área da armadura de tração que se estende até não menos que d + lb,nec além 
da seção considerada; com lb,nec definido como (NBR 6118, 9.4.2.5).
6.3.2. Lajes com Armadura para Força Cortante
 No caso de se projetar a laje com armadura transversal para a força cortante, a NBR 6118 
recomenda que sejam seguidos os critérios apresentados em 17.4.2, que trata do dimensiona-
mento de vigas à força cortante. A tensão nos estribos deve ser (NBR 6118, 19.4.2): 
95
 A resistência dos estribos pode ser considerada com os seguintes valores máximos, sen-
do permitida interpolação linear:
• 250 MPa, para lajes com espessura até 15 cm;
• 435 MPa (fywd), para lajes com espessura maior que 35 cm.”
Objetivos da Unidade
Unidade VII - 
Pavimentos com La-
jes Nervuradas Uni-
direcionais 
VII
97
Unidade VII - Pavimentos com lajes nervuradas unidirecionais 
7.1. Descrição das lajes nervuradas unidirecionais
 A laje pré-fabricada ou também conhecida no meio técnico como laje nervurada unidi-
recional é uma alternativa de laje estrutural com um bom custo/benefício para edificações com 
pequenos e médios vãos e, portanto, é muito empregada em todo o país. 
 O primeiro processo do dimensionamento do pavimento consiste em avaliar o carre-
gamento do piso, que é dado em função da utilização do mesmo e do revestimento do piso/
forro. Em função deste carregamento e da concepção estrutural é possível desenvolver a aná-
lise estrutural da laje, dimensionar a área de armadura necessária (análise no ELU) e efetivar a 
verificação da laje na situação de serviço, avaliando se há deformação excessiva do elemento 
estrutural. 
 A laje nervurada unidirecional é um elemento estrutural composto por vigotas (nervu-
ra), elementos de enchimento, concreto e armadura complementar (quando necessário). 
 A ABNT NBR 14859-1/2002 faz importantes definições para o desenvolvimento da pre-
sente unidade:
• Laje pré-fabricada unidirecional: laje nervurada constituída por nervuras principais 
longitudinais (NL) dispostas em uma única direção. 
• Vigotas pré-fabricadas: constituídas por concreto estrutural, executadas industrial-
mente fora do local de utilização definitivo da estrutura, ou mesmo em canteiros de 
obra, sob rigorosas condições de controle de qualidade. Englobam total ou parcialmen-
te a armadura inferior de tração, integrando parcialmente a seção de concreto da nervu-
ra longitudinal. Podem ser dos tipos: 
a) de concreto armado (VC): com seção de concreto usualmente formando um “T” 
invertido, com armadura passiva totalmente englobada pelo concreto da vigota; utili-
98 
zadas para compor as lajes de concreto armado (LC);
Figura 47: Vigotas pré-fabricadas de concreto armado
Fonte: ABNT NBR 14859/2002
b) de concreto protendido (VP): com seção de concreto usualmente formando um 
“T” invertido, com armadura ativa pré-tensionada totalmente englobada pelo concre-
to da vigota; utilizadas para compor as lajes de concreto protendido (LP);
Figura 48: Vigotas pré-fabricadas de concreto protendido
Fonte: ABNT NBR 14859/2002
c) treliçadas (VT): com seção de concreto formando uma placa, com armadura treli-
çada (conforme NBR 14862) parcialmente englobada pelo concreto da vigota. Quan-
do necessário, deverá ser complementada com armadura passiva inferior de tração 
(fat) totalmente englobada pelo concreto da nervura; utilizadas para compor as lajes 
treliçadas (LT);
99
Figura 49: Vigotas pré-fabricadas treliçadas
Fonte: ABNT NBR 14859/2002
• Elementos de enchimento: componentes pré-fabricados com materiais inertes diver-
sos, sendo maciços ou vazados, intercalados entre as vigotas em geral, com a função de 
reduzir o volume de concreto, o peso próprio da laje e servir como fôrma para o concreto 
complementar. São desconsiderados como colaborantes nos cálculos de resistência e 
rigidez da laje. 
• Armadura complementar: armadura adicionada na obra, quando dimensionada e dis-
posta de acordo com o projeto da laje. 
• Intereixo (i): distância entre eixos de vigotas pré-fabricadas, entre as quais serão mon-
tados os elementos de enchimento. Os intereixos mínimos variam em função do tipo da 
vigota e das dimensões do elemento de enchimento. No caso da utilização de vigotas 
treliçadas e h ≤ 13,0 cm, permite-se adotar intereixo mínimo de 40,0 cm.
Tabela 15: Intereixos mínimos padronizados
Fonte: ABNT NBR 14859/2002
100 
• Altura total da laje (h): distância entre o plano inferior e o plano superior da laje, já 
com o concreto complementa lançado, adensado e regularizado (nervuras e capa). A 
designação da altura padronizada da laje deve ser composta por sua sigla (LC, LP ou LT), 
seguida da altura total (h), da altura do elemento de enchimento (he), seguida do símbo-
lo “+” e da altura da capa (hc), sendo que todos os valores são expressos em centímetros.
Tabela 16: Designação da altura padronizada da laje
Fonte: ABNT NBR 14859/2002
• Altura da vigota (hv): Distância entre o plano inferior e o plano superior da vigota. No 
caso de vigota treliçada, o topo do banzo superior determina o plano superior. 
• Altura do elementode enchimento (he): Distância entre o plano inferior e o plano su-
perior do elemento de enchimento. Em função das alturas padronizadas dos elementos 
de enchimento, as alturas totais das lajes pré-fabricadas.
Tabela 17: Altura total da laje em função da altura do elemento de enchimento
101
Fonte: ABNT NBR 14859/2002
• Com relação à classe do concreto, a referida norma diz que: 
O concreto que compõe as vigotas pré-fabricadas e o concreto complementar devem 
atender às especificações das NBR 6118, NBR 8953, NBR 12654 e NBR 12655. A resis-
tência característica à compressão será a especificada pelo projeto estrutural, sendo 
exigida no mínimo classe C20. No caso da execução concomitante do concreto com-
plementar e do concreto da estrutura, prevalece o de classe mais alta especificado no 
projeto. 
• Os elementos de enchimento devem respeitar as dimensões padronizadas de acordo 
com o que estabelece a norma. 
Tabela 18: Dimensões padronizadas do elemento de enchimento
Fonte: ABNT NBR 14859/2002
102 
Figura 50: Elementos que compõem o enchimento
Fonte: ABNT NBR 14859/2002
• Quanto à capa de concreto: deve ser considerada como parte resistente se sua espes-
sura for no mínimo igual a 3,0 cm. No caso da existência de tubulações, a espessura mí-
nima da capa de compressão acima destas deve ser de no mínimo 2,0 cm, complemen-
tada quando necessária com armadura adequada à perda da seção resistente.
Tabela 19: Capa mínima resistente para as alturas totais padronizadas
Fonte: ABNT NBR 14859/2002
103
• Com relação à armadura de distribuição: deve haver uma armadura de distribuição 
descrita em colocada na capa de concreto complementar, com seção de no mínimo 0,9 
cm²/m para aços CA 25 e de 0,6 cm²/m para os aços CA 50 e CA 60, contendo pelo menos 
três barras por metro. 
Tabela 20: Área mínima e quantidade de armadura de distribuição
Fonte: ABNT NBR 14859/2002
7.2. Ação das lajes nervuradas unidirecionais nas vigas do pavimento
 Como característica desse processo construtivo, a laje nervurada unidirecional dispõe 
de vigotas numa única direção, o que nos faz pensar que somente as vigas em que estas se 
apoiam receberiam o carregamento da laje. Desta forma Carvalho e Filho (2014) apresentam 
dois processos estudados para o cálculo das reações destas lajes nas vigas: processo simplifica-
do e processo racional. 
7.2.1. Processo simplificado
 
 Tal processo admite que as vigas perpendiculares às nervuras recebam todo o carrega-
mento da laje e nas vigas paralelas atuem 25% desse carregamento. As expressões para cálculo 
são dadas por:
• Ação nas vigas perpendiculares às nervuras:
104 
• Ação nas vigas paralelas às nervuras:
Onde: 
lx = valor do vão na direção paralela às nervuras; 
ly = valor do vão na direção perpendicular às nervuras. 
7.2.2. Processo racional
 O processo racional admite que as reações são dadas pelas seguintes equações: 
• Ação nas vigas perpendiculares às nervuras:
• Ação nas vigas paralelas às nervuras:
Onde:
105
Para ly ≥ 2 . lx, considerar λ = 2,0.
7.3. Critérios para a determinação do tipo de laje
 Carvalho e Filho (2014) apresentam a Tabela a seguir que auxilia no pré-dimensiona-
mento das lajes pré-fabricadas, porém, reforçam que a mesma não é suficiente para o desen-
volvimento de um bom projeto, pois, não fornece a armadura necessária e não considera a 
condição de deformação excessiva.
Tabela 21: Vãos livres máximos (em metros) para laje pré-moldada tipo trilho – apoio simples 
– intereixo de 33 cm
Fonte: CARVALHO e FILHO, 2014
106 
Tabela 22:Altura inicial das lajes pré-fabricadas em função de carga e vãos livres máximos
Fonte: CARVALHO e FILHO, 2014 (adaptado por Desing Unis EAD)
7.4. Exercício Resolvido
a) Escolher uma laje pré-moldada para a laje do terraço, cuja planta de forma está apresentada 
abaixo. Supor que o terraço não tem acesso ao público e que o revestimento inferior e superior 
da laje (γ = 19,0 kN/m³) é de 1,5 cm de espessura. (Carvalho e Filho, 2014)
Figura 51: Laje pré-moldada para a laje do terraço (exercício resolvido)
Fonte: Arquivos do Autor
107
• Direção das nervuras: a direção usual para as nervuras é a menor, no caso l = 3,0 m. 
• Ações atuantes:
De acordo com a NBR 6120, para terraços sem acesso ao público q = 2,0 kN/m².
Figura 52: NBR 6120 para terraços sem acesso ao público
Fonte: NBR 6120
Revestimento inferior e superior da laje (3,0 cm): g2 = 0,03 .19,0 = 0,57 kN / m²; 
Portanto, ptotal = 2,0 + 0,57 = 2,57 kN/m² .
- Escolha da laje: para carga entre 2,0 e 5,0 kN/m² e vão de 3,0 m, resulta em laje de altura de 
12,0 cm (chamada β12), com as seguintes características: altura total h = 12,0 cm; espessura 
da capa = 4,0 cm; peso próprio g1 = 1,41 kN/m². 
b) Calcular a reação da laje nas vigas pelo processo simplificado e racional e compará-los (Car-
valho e Filho, 2014).
Processo simplificado:
lx = 3,00m (paralela às vigotas) e ly = 5,00m (perpendicular às vigotas). 
- Vigas V101 e V102:
108 
- Vigas V103 e V104:
- Verificação: teoricamente a carga total da laje deve ser igual a soma do carregamento das 
reações das lajes nas vigas, portanto: 
Carga total na laje: P = 3,98 . 3,00 . 5,00 ∴ P = 59,7 kN; 
Soma das ações nas vigas: P = [2 . (5,97 . 5,00)] + [2 . (2,49 . 3,00)] = 74,64 kN;
Processo Racional: lx = 3,00 m (paralela às vigotas); ly = 5,00 m (perpendicular às vigotas);
- Verificação: teoricamente a carga total da laje deve ser igual à soma do carregamento das 
reações das lajes nas vigas, portanto:
Carga total na laje: P = 3,98 . 3,00 . 5,00 ∴ P = 59,7 kN 
Soma das ações nas vigas: P = [2 . (5,16 . 5,00)] + [2 . (1,35 . 3,00)] = 59,7 kN 
Objetivos da Unidade
Unidade VIII - 
Pilares usuais 
em edificaçõesVIII
110 
Unidade VIII - Pilares usuais em edificações: Compressão simples, flexão nor-
mal composta, flexão obliqua composta
8.1. Pilares
 Pilares são “elementos lineares de eixo reto, usualmente 
dispostos na vertical, em que as forças normais de compressão 
são preponderantes. ” (NBR 6118, item 14.4.1.2 - Figura 4.25). Os 
pilares geralmente recebem as ações de vigas e lajes, que são 
transmitidas às fundações das edificações.
 Acoplado com as vigas, os pilares formam os pórticos, que são os responsáveis por re-
sistir às ações verticais e horizontais e garantir a estabilidade global da estrutura na maior parte 
dos edifícios. 
8.2. Cargas nos pilares
 Em estruturas habituais, compostas por lajes, vigas e pilares, 
o caminho das cargas começa nas lajes, delas vão para as vigas e, em 
seguida, para os pilares, que as transportam até a fundação. As lajes 
recebem as cargas permanentes (peso próprio, revestimentos etc.) e 
as variáveis (pessoas, máquinas, equipamentos etc.) e as transmitem 
para as vigas de apoio.
 As vigas, por sua vez, além do peso próprio e das cargas das 
lajes, recebem também cargas de paredes dispostas sobre elas, além 
de cargas concentradas provenientes de outras vigas, levando todas 
essas cargas para os pilares em que estão apoiadas.
 Assim, os pilares são responsáveis por receber as cargas dos 
andares superiores, acumular as reações das vigas em cada andar e 
conduzir esses esforços até as fundações.
Figura 53: Caminho das cargas
Fonte: Design Unis EAD
111
 Pessoal é bom ressaltar aqui que estruturas constituídas por la-
jes sem vigas, os esforços são transmitidos diretamente das lajes para 
os pilares. Nessa situação, deve-se dedicar atenção especial à verifica-
ção de punção.
8.3. Características geométricas
 A determinação das características geométricas está entre as primeiras etapas no di-
mensionamento de pilares.
Dimensões mínimas
 Com o objetivo de evitarum desempenho inadequado e propiciar boas condições de 
execução, a NBR 6118, no seu item 13.2.3, estabelece que a seção transversal dos pilares, qual-
quer que seja a sua forma, não deve apresentar dimensão menor que 19 cm. 
 Em casos especiais, permite-se a consideração de dimensões entre 19 cm e 14 cm, des-
de que se multipliquem os esforços solicitantes de cálculo a serem considerados no dimensio-
namento por um coeficiente adicional gn, de acordo com o indicado na Tabela 13.1 (tabela 23 
neste guia) e na Seção 11. Em qualquer caso, não se permite pilar com seção transversal de área 
inferior a 360 cm2.
Tabela 23: Valores do coeficiente adicional γ n para pilares e pilares-parede 
112 
Fonte: NBR 6118
Comprimento equivalente
 Segundo a NBR 6118, item 15.6, o comprimento equivalente le do pilar, suposto vincu-
lado em ambas extremidades, é o menor dos valores:
Onde:
Lo - é a distância entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos horizon-
tais, que vinculam o pilar;
h - é a altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura;
l - é a distância entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar está vincula-
do.
 No caso de pilar engastado na base e livre no topo, le = 2l.
113
Figura 54: Pilar engastado na base e livre no topo
Fonte: Arquivos do autor
Raio de giração
 Define-se o raio de giração i como sendo:
 é o momento de inércia da seção transversal;
A é a área de seção transversal.
 Para o caso em que a seção transversal é retangular, resulta:
114 
Índice de esbeltez
 O índice de esbeltez é definido pela relação:
8.4 Classificação dos pilares
 Os pilares podem ser classificados de acordo com as solicitações iniciais e a esbeltez.
Pilares internos, de borda e de canto
 Quanto às solicitações iniciais, os tipos de plilares são mostrados a seguir:
Figura 55: Tipos de plilares
Fonte: Arquivos do autor
 Serão considerados pilares internos aqueles em que se pode admitir compressão sim-
ples, ou seja, em que as excentricidades iniciais podem ser desprezadas. 
115
 Nos pilares de borda, as solicitações iniciais correspondem a flexão composta normal, 
ou seja, admite-se excentricidade inicial em uma direção. Para seção quadrada ou retangular, a 
excentricidade inicial é perpendicular à borda. 
 Pilares de canto são submetidos a flexão oblíqua. As excentricidades iniciais ocorrem 
nas direções das bordas.
Classificação quanto à esbeltez
 De acordo com o índice de esbeltez (λ ≤ 2 → ), os pilares podem ser classificados em:
Figura 56: Classificação dos pilares
Adaptado do autor por Desing Unis EAD
 A NBR 6118 não admite, em nenhum caso, pilares com λ ≤ 2 → superior a 200.
8.5. Excentricidades de primeira ordem
8.5.1. Excentricidade inicial
 Em estruturas usuais de edifícios, ocorre um monolitismo nas ligações entre vigas e pi-
lares que compõem os pórticos. A excentricidade inicial, oriunda das ligações dos pilares com 
as vigas neles interrompidas, ocorre em pilares de borda e de canto.
 A partir das ações atuantes em cada tramo do pilar, as excentricidades iniciais no topo 
e na base são obtidas com as expressões:
116 
Figura 56: Excentricidades iniciais do topo e na base
Fonte: Arquivos do autor
8.5.2. Excentricidade acidental
 De acordo com a NBR 6118, na verificação do estado limite último das estruturas reticu-
ladas, devem ser consideradas as imperfeições do eixo dos elementos da estrutura descarrega-
da. Essas imperfeições podem ser divididas em dois grupos: imperfeições globais e imperfei-
ções locais.
 Muitas das imperfeições podem ser cobertas apenas pelos coeficientes de ponderação, 
mas as imperfeições dos eixos das peças não. Elas devem ser explicitamente consideradas por-
que têm efeitos significativos sobre a estabilidade da construção.
a) Imperfeições globais - análise global das estruturas reticuladas, sejam elas contraventa-
das ou não, deve ser considerado um desaprumo dos elementos verticais conforme:
117
Figura 57: Imperfeições globais
Fonte: Arquivos do autor
 Esse desaprumo não precisa ser superposto ao carregamento de vento. Entre os dois, 
vento e desaprumo, pode ser considerado apenas o mais desfavorável (que provoca o maior 
momento total na base de construção). O valor máximo de θ 1 será de 1/200.
b) Imperfeições locais - Na análise local de elementos dessas estruturas reticuladas, devem 
também ser levados em conta efeitos de imperfeições geométricas locais. Para a verificação 
de um lance de pilar deve ser considerado o efeito do desaprumo ou da falta de retilinidade 
do eixo do pilar.
118 
Figura 58: Imperfeições locais
Fonte: Arquivos do autor
 Admite-se que, nos casos usuais, a consideração da falta de retilinidade seja suficiente. 
Assim, a excentricidade acidental ea pode ser obtida pela expressão:
 No caso de elementos, usualmente vigas e lajes, que ligam pilares contraventados a 
pilares de contraventamento, deve ser considerada a tração decorrente do desaprumo do pilar 
contraventado. Para pilar em balanço, obrigatoriamente deve ser considerado o desaprumo, 
119
ou seja:
8.5.3. Momento mínimo
 Segundo a NBR 6118, o efeito das imperfeições locais nos pilares pode ser substituído 
em estruturas reticuladas pela consideração do momento mínimo de primeira ordem, dado 
por:
M1d,min = Nd (0,015 + 0,03h)
h é a altura total da seção transversal na direção considerada (em metros).
 Nas estruturas reticuladas admite-se que o efeito das imperfeições locais seja atendido 
se for respeitado esse valor de momento total mínimo. A este momento devem ser acrescidos 
os momentos de segunda ordem.
 No caso de pilares submetidos à flexão oblíqua composta, esse mínimo deve ser aten-
dido em cada uma das direções principais separadamente, isto é, o pilar deve ser verificado 
sempre à flexão oblíqua composta onde, em cada verificação, pelo menos um dos momentos 
respeitem o valor mínimo indicado.
Excentricidade de forma
 Nas edificações, as posições das vigas e dos pilares dependem especialmente do proje-
to arquitetônico. Assim, é comum em projetos a coincidência entre faces (internas ou externas) 
das vigas com as faces dos pilares que as apóiam. Quando os eixos baricêntricos das vigas não 
passam pelo centro de gravidade da seção transversal do pilar, as reações das vigas apresen-
tam excentricidades que são denominadas excentricidades de forma. 
120 
Excentricidade suplementar
 A excentricidade suplementar leva em conta o efeito da fluência. A consideração da 
fluência é complexa, pois a duração de cada ação tem que ser levado em conta, ou seja, o his-
tórico de cada ação precisaria ser conhecido.
 O cálculo da excentricidade suplementar é obrigatório em pilares com índice de esbel-
tez λ ≤ 2 → > 90.
8.6. Esbeltez limite
 O conceito de esbeltez limite surgiu a partir de análises teóricas de pilares, consideran-
do material elástico-linear. Corresponde ao valor da esbeltez a partir do qual os efeitos de 2a 
ordem começam a provocar uma redução da capacidade resistente do pilar.
 Em estruturas de nós fixos, dificilmente um pilar de pórtico, não muito esbelto, terá seu 
dimensionamento afetado pelos efeitos de 2a ordem, pois o momento fletor total máximo 
provavelmente será apenas o de 1a ordem, num de seus extremos.
 Diversos fatores influenciam no valor da esbeltez limite. Os preponderantes são:
excentricidade relativa de 1a ordem e1/h
vinculação dos extremos do pilar isolado
forma do diagrama de momentos de 1a ordem
a) Pilares biapoiados sem forças transversais
MA é o momento fletor de 1a ordem no extremo A do pilar (maior valor absoluto ao 
longo do pilar biapoiado);
MB é o momento fletor de 1aordem no outro extremo B do pilar (toma-se para MB o 
sinal positivo se tracionar a mesma face que MA e negativo em caso contrário).
121
b) Pilares biapoiados com forças transversais significativas, ao longo da altura
c) Pilares em balanço
MA é o momento fletor de 1a ordem no engaste;
MC é o momento fletor de 1a ordem no meio do pilar em balanço.
d) Pilares biapoiados ou em balanço com momentos fletores menores que o momento 
mínimo - 
8.7. Excentricidade de segunda ordem
 A força normal atuante no pilar, sob as excentricidades de primeira ordem (excentrici-
dade inicial), provoca deformações que dão origem a uma nova excentricidade, denominada 
excentricidade de segunda ordem.
 A determinação dos efeitos locais de segunda ordem, segundo a NBR 6118, em bar-
ras submetidas à flexo-compressão normal, pode ser feita pelo método geral ou por métodos 
aproximados.
 A consideração da fluência é obrigatória para índice de esbeltez λ ≤ 2 → > 90, acrescentando-
-se ao momento de 1a ordem M1d a parcela relativa à excentricidade suplementar ec.
8.8. Métodos de cálculo
 Apresentam-se conceitos do método geral, do pilar padrão e dos métodos simplifica-
dos indicados pela NBR 6118:2014.
122 
8.8.1. Método geral
 O método de cálculo geral consiste em estudar o comportamento da barra à medida 
que se dá o aumento do carregamento ou de sua excentricidade. Pode ser aplicado a qualquer 
tipo de pilar, inclusive nos casos em que as dimensões da peça, a armadura ou a força aplicada 
são variáveis ao longo do seu comprimento. A utilização desse método é justificada pela quali-
dade dos seus resultados, que retratam com maior precisão o comportamento real da estrutu-
ra.
 Considere-se o pilar da Figura abaixo engastado na base e livre no topo, sujeito à força 
excêntrica de compressão Nd.
Figura 59: Pilar engastado na base e livre no topo, sujeito à força excêntrica de compressão Nd
Fonte: Arquivos do autor
 Sob a ação do carregamento, o pilar apresenta uma deformação que, por sua vez, gera 
nas seções um momento incremental Nd.y, provocando novas deformações e novos momen-
tos. Se as ações externas (Nd e Md) forem menores que a capacidade resistente da barra, essa 
interação continua até que seja atingido um estado de equilíbrio para todas as seções da barra. 
Tem-se, portanto, uma forma fletida estável. Caso contrário, se as ações externas forem maiores 
que a capacidade resistente da barra, o pilar perde estabilidade. A verificação que se deve fazer 
123
é quanto à existência da forma fletida estável.
Figura 60: Deformação e equilíbrio estável e equilíbrio instável
Fonte: Arquivos do autor
8.8.2. Pilar padrão
 Em função do método geral ser extremamente trabalhoso, devido ao grande número 
de operações matemáticas, torna-se inviável a utilização desse método sem o auxílio do com-
putador. A NBR 6118:2014 permite a utilização de alguns métodos simplificados, como o do pi-
lar padrão e o do pilar padrão melhorado, cujas aproximações são relativas às não-linearidades 
física e geométrica.
 Por definição, pilar padrão é um pilar em balanço com uma distribuição de curvaturas 
que provoque na sua extremidade livre uma flecha a dada por:
124 
8.8.3. Cálculo simplificado
 A NBR 6118:2014, item 17.2.5, apresenta processos aproximados para dimensionamen-
to à flexão composta normal e à flexão composta oblíqua.
Flexão composta normal
 O cálculo para o dimensionamento de seções retangulares ou circulares com armadura 
simétrica, sujeitas a flexo-compressão normal, em que a força normal reduzida (ν ) seja maior 
ou igual a 0,7, pode ser realizado como um caso de compressão centrada equivalente, em que:
Sendo o valor de α dado por:
α = -1/ αS, se αS < 1 em seções retangulares;
α = αS, se αS ≥ 1 em seções retangulares;
α = 6, se αS < 6 em seções retangulares;
α = -4, em seções circulares.
 Supondo que todas as barras sejam iguais, αS é dado por:
125
Flexão composta oblíqua
 Nas situações de flexão simples ou composta oblíqua, pode ser adotada a aproximação 
dada pela expressão de interação:
MRd,x; MRd,y são as componentes do momento resistente de cálculo em flexão oblíqua 
composta, segundo os dois eixos principais de inércia x e y, da seção bruta, com um 
esforço normal resistente de cálculo NRd igual à normal solicitante NSd. Esses são os 
valores que se deseja obter;
MRd,xx; MRd,yy são os momentos resistentes de cálculo segundo cada um dos referidos 
eixos em flexão composta normal, com o mesmo valor de NRd. Esses valores são calcu-
lados a partir do arranjo e da quantidade de armadura em estudo;
α é um expoente cujo valor depende de vários fatores, entre eles o valor da força nor-
mal, a forma da seção, o arranjo da armadura e de suas porcentagens. Em geral pode 
ser adotado α = 1, a favor da segurança. No caso de seções retangulares, pode-se 
adotar α = 1,2.
8.9. Disposições construtivas
 
 Serão considerados nas disposições construtivas o cobrimento das armaduras dos pila-
res e alguns aspectos relativos às armaduras longitudinais e às transversais.
8.9.1. Cobrimento das armaduras
 O cobrimento das armaduras é considerado no item 7.4.7 da NBR 6118:2014, onde o co-
brimento mínimo é o menor valor que deve ser respeitado ao longo de todo o elemento con-
siderado. Para garantir o cobrimento mínimo (cmin), o projeto e a execução devem considerar 
126 
o cobrimento nominal (cnom), que é o cobrimento mínimo acrescido da tolerância de execução 
(∆c). Assim, as dimensões das armaduras e os espaçadores devem respeitar os cobrimentos 
nominais, estabelecidos pela NBR 6118, para ∆c = 10 mm.
cnom = cmin + ∆c
Tabela 24: Correspondência entre a classe de agressividade ambiental e o cobrimento nominal para ∆c = 10 mm
Fonte: NBR 6118
127
 Nas obras correntes, o valor de ∆c deve ser maior ou igual a 10 mm. Quando houver um 
adequado controle de qualidade e rígidos limites de tolerância da variabilidade das medidas 
durante a execução, pode ser adotado o valor ∆c = 5 mm, mas a exigência de controle rigoroso 
deve ser explicitada nos desenhos de projeto. Os cobrimentos são sempre referidos à super-
fície da armadura externa, em geral à face externa do estribo. O cobrimento nominal deve ser 
maior que o diâmetro da barra. A dimensão máxima característica do agregado graúdo utiliza-
do não pode superar em 20% o cobrimento nominal, ou seja:
d max ≤ 1,2 . cnom
8.9.2. Armaduras longitudinais
 A escolha e a disposição das armaduras devem atender não só à função estrutural como 
também às condições de execução, particularmente com relação ao lançamento e adensa-
mento do concreto. Os espaços devem permitir a introdução do vibrador e impedir a segrega-
ção dos agregados e a ocorrência de vazios no interior do pilar (item 18.2.1 da NBR 6118:2014).
 As armaduras longitudinais colaboram para resistir à compressão, diminuindo a seção 
do pilar, e também resistem às tensões de tração. Além disso, têm a função de diminuir as de-
formações do pilar, especialmente as decorrentes da retração e da fluência.
 O diâmetro das barras longitudinais não deve ser inferior a 10 mm e nem superior a 1/8 
da menor dimensão da seção transversal (item 18.4.2.1 da NBR 6118:2014).
 É muito importante a compreensão da NBR 6118, no que tange 
os pilares. Aconselho a leitura completa dos itens citados nessa unida-
de.
Objetivos da Unidade
Unidade IX - 
Torção em vigas de 
concreto armado IX
129
Unidade IX - Torção em Vigas de Concreto Armado
9.1. Introdução 
 Um combinado que tende a torcer uma peça fazendo-a girar sobre o seu próprio eixo 
é chamado “momento de torção”, momento torçor ou torque. O caso mais comum de torção 
ocorre em eixos de transmissão.
 A torção simples também conhecida como torção uniforme ou torção pura (não atua-
ção simultânea comM e V) ocorre raramente na prática. Na maioria das vezes a torção ocorre 
combinada com momento fletor e força cortante, mesmo que esses esforços sejam causados 
apenas pelo peso próprio do elemento estrutural. De modo aproximado, os princípios de di-
mensionamento para a torção simples são aplicados às vigas com atuação simultânea de mo-
mento fletor e força cortante (LEONHARDT & MÖNNIG, 1982).
 Nas estruturas de concreto, a ligação monolítica entre vigas e lajes e entre vigas com 
vigas de apoio origina momentos de torção, que podem ser desprezados por não serem essen-
ciais ao equilíbrio dos elementos. Contudo, no caso da chamada “torção de equilíbrio”, como 
se verá adiante, a consideração dos momentos torçores é imprescindível para garantir o equi-
líbrio do elemento.
9.2. Casos mais comuns
 Casos comuns de torção nas vigas de concreto ocorrem quando existe uma distância 
entre a linha de ação da carga e o eixo longitudinal da viga, como mostrado na próxima Figura. 
130 
Figura 61: Casos comuns de torção nas vigas de concreto 
 
 
 
Viga em balanço com 
carregamento 
excêntrico. 
 Viga do tipo pré-moldada para apoio 
de estrutura de piso ou de 
cobertura. 
Fonte: Arquivos do autor
 Tal situação apresentada pode ocorrer durante a fase de execução ou mesmo quando 
atuarem os carregamentos permanentes e variáveis, se estes forem diferentes nas estruturas 
que se apóiam na viga pré-moldada.
 Um dos casos mais comuns a torção, geralmente ocorrem com lajes em balanço, engas-
tadas em vigas de apoio, como por exemplo lajes (marquises) para proteção de porta de en-
trada de barracões, lojas, galpões, etc. Pois o fato da laje em balanço não ter continuidade com 
outras lajes internas à construção faz com que a laje deva estar obrigatoriamente engastada na 
viga de apoio, de modo que a flexão na laje passa a ser torção na viga. A torção na viga torna-se 
flexão no pilar, devendo ser considerada no seu dimensionamento.
131
 
 
Torção em viga devido a engastamento de laje em balanço. 
Figura 62: Torção em lajes em balanço
Fonte: Arquivos do autor
 Um outro caso de torção em viga comum nas edificações, ocorre em vigas com mu-
dança de direção, nesse ponto de mudança de direção um tramo aplica sobre o outro um mo-
mento de torção. A torção também ocorre em vigas curvas, com ou sem mudança de direção. 
Caso a torção seja necessária ao equilíbrio da viga e não for apropriadamente considerada no 
seu dimensionamento, pode se desenvolver intensa fissuração, prejudicando a segurança e a 
estética da construção.
132 
Figura 64: Torção em vigas com mudança de direção
 
 
Torção em viga devido à mudança de direção. 
 
 
 
 
 
 
Vigas curvas e com mudança de direção são solicitação por torção 
Fonte: Arquivos do autor
9.3. Formas de ruptura por torção
 Após a fissuração, a ruptura de uma viga sob torção pura pode ocorrer de alguns mo-
dos:
• escoamento dos estribos, 
• da armadura longitudinal, 
• escoamento de ambas as armaduras. 
133
 No caso de vigas superarmadas à torção, o concreto comprimido compreendido entre 
as fissuras inclinadas pode esmagar pelo efeito das tensões principais de compressão, antes do 
escoamento das armaduras. 
9.3.1. Ruptura por Tração
 A ruptura brusca também pode acontecer por efeito de torção, através do surgimento 
das primeiras fissuras. Podemos evitar a ruptura brusca pela colocação de uma armadura míni-
ma, para resistir às tensões de tração por torção.
 Conforme apresenta LEONHARDT & MÖNNIG (1982) sendo as armaduras longitudinal 
e transversal diferentes, a menor armadura determinará o tipo de ruptura. No entanto, uma 
pequena diferença nas armaduras, pode ser compensada por uma redistribuição de esforços.
 Ao contrário do esforço cortante, onde a inclinação do banzo comprimido pode dimi-
nuir a tração na alma da viga, na torção essa diminuição não pode ocorrer, dado que na analo-
gia de treliça espacial não existe banzo comprimido inclinado.
9.3.2. Ruptura por Compressão
 Com as armaduras 
montadas longitudinalmente 
e transversalmente pode sur-
gir forte empenamento das 
faces laterais, ocasionando 
tensões adicionais ao longo 
das bielas comprimidas, po-
dendo ocorrer o seu esmaga-
mento.
Figura 65: Empenamento da viga originando tensões adicionais de flexão
Fonte: LEONHARDT & MÖNNIG, 1982
134 
9.3.3. Ruptura dos Cantos
 A mudança de direção das tensões de compressão nos cantos, origina uma força que 
pode levar ao rompimento dos cantos da viga. Os estribos e as barras longitudinais dos cantos 
contribuem para evitar essa forma de ruptura. Vigas com tensões de cisalhamento da torção 
muito elevadas devem ter o espaçamento dos estribos limitados a 10 cm para evitar essa forma 
de ruptura.
Figura 66: Possível ruptura do canto devida à mudança de direção das diagonais comprimidas
Fonte: LEONHARDT & MÖNNIG, 1982
 Para compreensão dessa unidade vocês devem fazer a leitura 
dos itens 18.3.4 e 24.5.6 para entendimento e aprofundamento dessa 
unidade.
Objetivos da Unidade
Unidade X - Estru-
turas de Fundações 
Superficiais (Sapa-
tas): definição e tiposX
136 
Unidade X - Estruturas de Fundações Superficiais (Sapatas): Definição e Ti-
pos
10.1. Introdução
 A fundação é a parte de uma estrutura composta por elementos estruturais, geralmen-
te construídos abaixo do nível final do terreno, e que são os responsáveis por transmitir ao solo 
todas as ações (cargas verticais, forças do vento, etc.) que atuam na edificação. 
 A estrutura sobreposta e que se apoia na subestrutura é chamada superestrutura. As 
ações que atuam na superestrutura das edificações são transferidas na direção vertical geral-
mente por pilares ou paredes de concreto. Como o solo geralmente tem resistência muito infe-
rior à do concreto do pilar, é necessário projetar algum outro tipo de elemento estrutural com 
a função de transmitir as ações ao solo. 
 Os elementos mais comuns para cumprir essa função são as sapatas e os blocos, sendo 
que os blocos atuam como elementos de transição das ações, dos pilares para as estacas ou 
tubulões.
 A fundação superficial, também chamada fundação rasa ou direta, é definida no item 
3.1 da NBR 6122 como o “elemento de fundação em que a carga é transmitida ao terreno pelas 
tensões distribuídas sob a base da fundação, e a profundidade de assentamento em relação ao 
terreno adjacente à fundação é inferior a duas vezes a menor dimensão da fundação.” 
 O elemento de fundação superficial mais comum é a sapata, que pela área de contato 
base-solo transmite as cargas verticais e demais ações para o solo, diretamente, onde B é a me-
nor dimensão em planta. Existe também o elemento de fundação profunda, definido na NBR 
6122 (item 3.7) como o 
“elemento de fundação que transmite a carga ao terreno ou pela base (resistência de 
ponta) ou por sua superfície lateral (resistência de fuste) ou por uma combinação das 
duas, devendo sua ponta ou base estar assente em profundidade superior ao dobro 
de sua menor dimensão em planta, e no mínimo 3,0 m. Neste tipo de fundação in-
cluem-se as estacas e os tubulões.”
137
 A sapata é definida na NBR 6122 (item 3.2) como o “elemento de fundação superficial, de 
concreto armado, dimensionado de modo que as tensões de tração nele resultantes sejam resisti-
das pelo emprego de armadura especialmente disposta para esse fim.” Na NBR 6118 (item 22.6.1), 
sapata é definida como as “estruturas de volume usadas para transmitir ao terreno as cargas de 
fundação, no caso de fundação direta.”
10.2. Tipos de Sapatas 
 A sapata é o elemento mais comum na fundação rasa e devido à grande variabilidade 
existente na configuração e forma dos elementos estruturais que nela se apoiam, existem di-versos tipos de sapatas.
a) A sapata isolada é a mais comum nas construções, sendo que esta transmite ao solo as 
ações de um único pilar. As formas que a sapata isolada pode ter, em planta, são muito va-
riadas, mas a retangular é a mais comum, devido aos pilares retangulares.
Figura 67: Sapata isolada
Fonte: Arquivos do autor
138 
b) A sapata corrida conforme a NBR 6122 (item 
3.6), é aquela “sujeita à ação de uma carga distribu-
ída linearmente ou de pilares ao longo de um mesmo 
alinhamento. ” As sapatas corridas são comuns em 
construções de pequeno porte, como por exemplo, 
edificações de baixa altura, galpões, muros de divi-
sa e de arrimo, em paredes de reservatórios e pisci-
nas, etc.
Figura 68: Sapata corrida
Fonte: Arquivos do autor
c) A sapata associada é definida pela NBR 6122 (3.5) como aquela “comum a mais de um 
pilar”. Geralmente esse tipo de sapata se dá quando ocorre à proximidade entre os pilares, 
não é possível projetar uma sapata isolada para cada pilar. Nessa situação, uma única sapata 
pode ser projetada como a fundação para dois ou mais pilares. 
Figura 69: Sapata associada
Fonte: Arquivos do autor
d) Segundo a NBR 6122 (3.3.6), a viga alavanca ou de viga de equilíbrio é o “elemento 
estrutural que recebe as cargas de um ou dois pilares (ou pontos de carga) e é dimensionado de 
139
modo a transmiti-las centradas às fundações. Da utilização de viga de equilíbrio resultam car-
gas nas fundações diferentes das cargas dos pilares nelas atuantes.”
Figura 70: Viga alavanca ou de viga de equilíbrio
Fonte: Arquivos do autor
10.3. Classificação das Sapatas quanto a sua Rigidez
 As sapatas rígidas têm a preferência no projeto de fundações, por serem menos de-
formáveis, menos sujeitas à ruptura por punção e mais seguras. Enquanto as sapatas flexíveis 
são caracterizadas pela altura “pequena”, e segundo a NBR 6118 (item 22.6.2.3): “Embora de uso 
mais raro, essas sapatas são utilizadas para fundação de cargas pequenas e solos relativamente 
fracos. ”
10.4. Distribuição de cargas no solo
 A tensão de apoio que a área da base de uma sapata desempenha no solo é o fator mais 
140 
importante relativo à interface base-solo. Vários estudos demonstram que a pressão ou tam-
bém chamada de tensão exercida no solo não é necessariamente distribuída uniformemente, 
e depende de vários fatores, como:
• existência de excentricidade do carregamento aplicado; 
• intensidade de possíveis momentos fletores aplicados; 
• rigidez da fundação;
• propriedades do solo; 
• rugosidade da base da fundação. 
Figura 71: Distribuição de pressão no solo em sapata sob carga concentrada
Fonte: Arquivos do autor
141
 Assim, devido à sua complexidade de análise ao se considerar a pressão como não uni-
forme, é comum adotarmos a uniformidade sob carregamentos concêntricos, onde dessa ma-
neira o erro cometido com a facilitação não é significativo.
Referências Bibliográficas
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mado. v.I. São Carlos: Editora Universidade Federal de São Carlos. 2007.
CARVALHO, Roberto Chust. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto ar-
mado. v.II. São Paulo: Editora Pini. 2009.
PINHEIRO, Libânio Miranda. Concreto Armado – Tabelas e Ábacos – Apostila. Escola de Enge-
nharia de São Carlos/USP – Departamento de Estruturas, S.P., 1986.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto de estruturas de concre-
to: procedimento. Rio de Janeiro, 2014.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6120. Cargas para o Cálculo de Estrutu-
ras de Edificações. São Paulo: Associação Brasileira de Normas Técnicas, 1980.
BOTELHO, Manoel Henrique Campos; MARCHETTI, Osvaldemar. Concreto armado eu te amo. 
6. ed. São Paulo: Blucher, 2010.
FUSCO, Péricles Brasiliense. Estruturas de Concreto. São Paulo: Guanabara Dois S/A, 1981.
	Unidade I - Histórico
	1.1. Histórico
	1.1.1. Concreto Armado no Mundo
	1.1.2. Concreto Armado no Brasil
	1.2. Importância das Estruturas de Concreto Armado
	1.2.1. Materiais Constituintes das Estruturas de Concreto
	1.2.2. Vantagens e Desvantagens da Estruturas de Concreto Armado
	1.3. Definições Básicas
	1.4. Principais Normas Técnicas
	Unidade II - Características e Propriedades do Concreto
	2.1. Características e propriedades do concreto fresco
	2.2. Características e propriedades do concreto endurecido
	2.3. Características do aço
	2.4. O projeto estrutural
	2.5. Método dos estados limites
	2.5.1. Estado limite último (ELU)
	2.5.2. Estado limite de serviço (ELS)
	2.6. Resistências de cálculo e coeficientes de ponderação
	2.7. Ações
	2.7.1 Valores representativos das ações
	2.7.1 Combinações de ações
	2.8. Durabilidade das estruturas de concreto
	Unidade III - Dimensionamento da Armadura de Flexão
	3.1. Processo de colapso de vigas sob tensões normais
	3.2. Domínios de deformação na seção transversal
	3.3. Hipóteses básicas de cálculo
	3.4. Cálculo da armadura longitudinal em vigas sob flexão normal para concretos de classe até C50
	Unidade IV - Lajes
	4.1. Definição
	4.2. Laje Maciça
	4.3. Classificação quanto à direção
	4.4. Vão Livre, Vão Teórico e Classificação das Lajes
	4.4.1. Vão Efetivo
	4.5. Espessuras e Cobrimentos Mínimos
	4.6. Ações a Considerar 
	4.7. Laje Armada em Duas Direções 
	Unidade V - Dimensionamento e detalhamento das armaduras longitudinais – critérios normativos relativos ao projeto executivo de Laje
	5.1. Roteiro para o cálculo de lajes de concreto armado
	5.2. Discretização do pavimento
	5.3. Pré-dimensionamento da Altura da Laje
	5.4. Cálculo das cargas atuantes
	5.5. Verificação das flechas
	5.6. Cálculo dos momentos
	5.7. Determinação das armaduras longitudinais
	5.8. Reação das lajes nas vigas
	Unidade VI - Verificação da Necessidade de Armadura Transversal em Lajes Maciças
	6.1. Dimensionamento
	6.2. Flexão
	6.3. Força Cortante
	6.3.1. Lajes sem Armadura para Força Cortante
	6.3.2. Lajes com Armadura para Força Cortante
	Unidade VII - Pavimentos com lajes nervuradas unidirecionais 
	7.1. Descrição das lajes nervuradas unidirecionais
	7.2. Ação das lajes nervuradas unidirecionais nas vigas do pavimento
	7.2.1. Processo simplificado
	7.2.2.	Processo racional
	7.3. Critérios para a determinação do tipo de laje
	7.4. Exercício Resolvido
	Unidade VIII - Pilares usuais em edificações: Compressão simples, flexão normal composta, flexão obliqua composta
	8.1. Pilares
	8.2. Cargas nos pilares
	8.3. Características geométricas
	8.4 Classificação dos pilares
	8.5. Excentricidades de primeira ordem
	8.5.1. Excentricidade inicial
	8.5.2. Excentricidade acidental
	8.5.3. Momento mínimo
	8.6. Esbeltez limite
	8.7. Excentricidade de segunda ordem
	8.8 Métodos de cálculo
	8.8.1. Método geral
	8.8.2. Pilar padrão
	8.8.3. Cálculo simplificado
	8.9. Disposições construtivas
	8.9.1. Cobrimento das armaduras
	8.9.2. Armaduras longitudinais
	Unidade IX - Torção em vigas de concreto armado
	9.1. Introdução 
	9.2. Casos mais comuns
	9.3. Formas de ruptura por torção
	9.3.1. Ruptura por Tração
	9.3.2. Ruptura por Compressão
	9.3.3. Ruptura dos Cantos
	Unidade X - Estruturas de Fundações Superficiais (Sapatas): definição e tipos
	10.1. Introdução
	10.1. Tipos de Sapatas 
	10.2. Classificação das Sapatas quanto a sua Rigidez
	10.3. Distribuição de cargas no solo
	Referências Bibliográficas