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AULA 01 – Centro de Gravidade Centro de Massa Centroide Prof. Thiago R. Rodrigues Objetivo desta aula Entender os Conceitos de “Centro de Gravidade”, “Centro de Massa” e “Centroide”. Resolver diferentes tipos de problemas. Comentários e Sugestões 1 - No exercício da caixa sem tampa, meu resultado não tinha em opção, achei cm como 2 - Não consegui fazer a 3 professor !! 3 - Algumas questões foram desafiadoras, mas o teste foi bem condizente com o assunto 4 - o fato de usar letras em alguns deles é bem útil para o aprendizado 5 - O teste foi de pouca utilidade pois não consegui encontrar sequer os assuntos abordados nas questões para estudar antes de resolve-las. Comentários e Sugestões 6 - Não consegui resolver as questões do livro pois tive não consegui entender o que seriam dV, dL, dA. 7 - Gostaria de ter tido aulas sobre o assunto antes de fazer um quiz onde a minha nota está em jogo. 3 – Pouco tempo para resolver os teste. 4 - o fato de usar letras em alguns deles é bem útil para o aprendizado 5 - O teste foi de pouca utilidade pois não consegui encontrar sequer os assuntos abordados nas questões para estudar antes de resolve-las. Sistemas com um número qualquer de partículas Centro de massa Consideremos o sistema constituído de N partículas i, i=1,2,3,...,N, cujas massas são mi. O centro de massa do sistema é o ponto definido pelo vetor onde é a massa total do sistema. Exemplo – Calcule o centro de massa de um sistema de quatro partículas iguais dispostas nos vértices de um quadrado de lado L. y x L L m m m m O CM coincide com o centro geométrico do quadrado. Operação de simetria sobre um sistema é qualquer operação após a qual o sistema pareça exatamente o mesmo. Simetria Sejam três bolinhas idênticas dispostas nos vértices de um triângulo equilátero. Se uma operação de simetria for feita sem que você veja, você não será capaz de perceber que o sistema foi mudado. Este sistema tem seis operacões de simetria, que são mostradas na figura abaixo. Simetria no cálculo de centro de massa Quando efetuamos uma operação de simetria sobre um determinado corpo, estamos simplesmente permutando suas partículas. Neste caso, o somatório da equação abaixo que exprime a posição do CM sofrerá um mero rearranjo de seus termos e permanecerá com resultado inalterado. O mesmo argumento pode ser estendido para a integral da equação abaixo. Posição do CM para um sistema de N partículas Posição do CM para um corpo extenso Ou seja, uma operação de simetria de um sistema não pode deslocar o seu CM. Se a operação de simetria for uma rotação, os únicos pontos fixos estão sobre o eixo de rotação. Logo, se um sistema possuir um eixo de simetria, o seu CM necessariamente se situa sobre tal eixo Se o sistema possuir dois eixos de simetria, o CM se situa na interseção dos eixos. Exemplo Determine o centro de massa dos seguintes sistemas com o auxílio de argumentos de simetria: a) três bolinhas idênticas, com massa m cada, formando um triângulo isósceles de altura h e base de comprimento b. y x h b m m m Uma operação de rotação pelo eixo y deixará o sistema invariante. O eixo y é então um eixo de simetria e o CM do sistema situa-se sobre este eixo. Assim xCM=0. As duas bolinhas que estão no eixo x têm seu CM em y=0, pois o eixo y é um eixo de simetria do sistema composto pelas duas bolinhas. Logo teremos: b) uma chapa com espessura e densidade uniformes, cortada no formato de um paralelogramo não-reto As duas diagonais são eixos de simetria, assim o CM encontra-se na interseção das diagonais. Qual das afirmações abaixo é verdadeira? Escolha uma: a. Toda a massa de um objeto está realmente concentrada no centro de massa. b. O centro de massa de um cilindro é sempre um ponto do eixo do cilindro. c. O centro de massa de um objeto é sempre um ponto do objeto. d. O centro de massa de um objeto não pode se mover se não houver uma força resultante agindo sobre o objeto. e. Nenhuma das respostas. Questões com menos de 30% de Acerto c) uma caixa cúbica de lado a, com paredes de mesma espessura e mesmo material, sem a tampa superior. a y A caixa fica invariante a rotacões de p/2 em torno do eixo y, perpendicular à base e ao quadrado da tampa ausente, passando pelos seus centros. Logo, y é um eixo de simetria e o CM do sistema situa-se sobre ele. 0 Escolhemos o centro da caixa como a origem das coordenadas. O CM de cada face está em seu centro de simetria. Para as faces laterais, isto corresponde a y=0 e para a face inferior a y=-a/2. Supondo que cada face tenha massa m, o CM da caixa cúbica sem tampa superior será então: Questões com menos de 30% de Acerto Centroide Consideremos a densidade constante onde é a massa total do sistema. Onde, Centroide de volume Centro de Gravidade Consideremos a densidade constante Onde, Exemplo – Uma barra de densidade uniforme e igual a r tem seção ortogonal de área uniforme A e comprimento L. Determine a distância, ao longo da barra, do seu centro de massa a uma das extremidades. y x -L/2 L/2 O CM está no centro da barra à distância L/2 das extremidades. y A Questões com menos de 30% de Acerto Exemplo – Duas barras de mesmo comprimento L e mesma seção ortogonal de área uniforme A, com densidades uniformes r1 e r2, são soldadas de modo a compor uma barra de comprimento 2L, como mostra a Figura abaixo. Determine a posição do centro de massa da barra composta. y x -L L r1 r2 Mas (1) (2) (2) em (1): * * Solução alternativa: xCM1 xCM2 * Solução alternativa – continuação: como obtido anteriormente. A equação diz que, sabendo-se as posições dos CM de duas partes com massas M1 e M2 de um sistema, podemos considerar estas massas concentradas em seus respectivos centros de massas e usar a equação para o CM de um sistema de duas partículas para encontrar o CM do sistema completo. Esta é uma regra geral. Vale para mais do que uma dimensão e também para sistemas compostos de várias partes ao invés de apenas duas. Exemplo - Determine o centroide de área de um triangulo de base b e altura h. y h dy b Exemplo - Determine o centro de massa de um cone homogêneo de base circular de raio R e altura h. y R h r dy y O cone tem densidade uniforme (é homogêneo), assim seu CM estará em algum ponto do eixo de simetria (y). Mas dV=pr2dy. Como r varia em função de y, por semelhança de triângulos temos: (1) (2) (2) em (1): Como dV=pr2dy image1.png image2.jpeg image3.wmf 1 1 N CMii i m M = = å rr image4.wmf 1 N i i Mm = = å image5.wmf 1 (00) 4 CM xmLmL m =+++ image6.wmf 2 L = image7.wmf 1 (00) 4 CM ymLmL m =+++ oleObject5.bin oleObject6.bin oleObject1.bin oleObject2.bin oleObject3.bin oleObject4.bin image8.wmf 1 1 1 2 2 2 3 3 3 M 1 M 2 M 3 E C 1 C 2 1 1 1 2 2 2 3 3 3 M 1 M 2 M 3 (a) (b) (d) (e) (f) (c ) oleObject7.bin image9.png image10.wmf 1 CM dm M = ò rr oleObject8.bin oleObject9.bin image11.wmf 2 0 3 CM mmh y m + = xx image12.wmf 3 h = oleObject10.bin oleObject11.bin image13.png image14.wmf 4 0 (-/2) 5 CM mma y m + = xx image15.wmf 10 a =- oleObject12.bin oleObject13.bin image16.png oleObject14.bin image17.png image18.png image19.png image20.png image21.png image22.wmf 1 CM xxdm M = ò image23.wmf 1 xdV M r = ò image24.wmf /2 /2 L L xAdx M r - = ò image25.wmf 2 2 2 0 2 L L Ax M r - æö == ç÷ èø oleObject15.bin oleObject16.bin oleObject17.bin oleObject18.bin image26.png image34.wmf 21 21 () 2() CM L x rr rr - Þ= + image35.wmf 0 12 12 0 12 11 L CM L MM xxAdxxAdx MMMM rr - =+ òò image36.wmf ( ) 11221 CMCM MxMx M =+ image27.wmf 1 L L xAdx M r - = ò image28.wmf 0 22 12 0 22 L L AA xx MM rr - æöæö =+ ç÷ç÷ èøèø image29.wmf 0 12 0 11 L CM L xxAdxxAdx MM rr - =+ òò image30.wmf 22 12 22 AA LL MM rr =-+ image31.wmf 2 21 () 2 CM AL x M rr =- image32.wmf 12112212 () MMMVVAL rrrr =+=+=+ image33.wmf 2 21 21 () 2() CM AL x AL rr rr - = + oleObject23.bin oleObject24.bin oleObject25.bin oleObject26.bin oleObject27.bin oleObject28.bin oleObject29.bin oleObject30.bin oleObject19.bin oleObject20.bin oleObject21.bin oleObject22.bin image37.wmf 21 () 2 CM L xMM M =- image38.wmf 21 21 () 2() MM L MM - = + image39.wmf 21 21 () 2() LV V rr rr - = + image40.wmf 1122 1 () CMCMCM xMxMx M =+ image41.wmf 12 1 22 MLML M - æö =+ ç÷ èø image42.wmf ( ) 1122 1 CMCMCM xMxMx M =+ oleObject35.bin oleObject36.bin oleObject37.bin oleObject31.bin oleObject32.bin oleObject33.bin oleObject34.bin image43.png image44.wmf 1 CM yydm M = ò image53.wmf 24 2 4 Rh Vh p = image54.wmf 22 4 Rh V p = image55.wmf 2 R dVydy h p æö Þ= ç÷ èø image56.wmf 2 2 2 0 h R Vydy h p Þ= ò image57.wmf 23 2 3 Rh h p = image58.wmf 2 1 3 Rh p = image59.wmf 22 2 3 4 CM Rh y Rh p p Þ= image60.wmf 3 4 h = image45.wmf 1 ydV V r r = ò image46.wmf 1 ydV V = ò image47.wmf 2 0 h CM yrydy V p Þ= ò image48.wmf ry Rh = image49.wmf R ry h Þ= image50.wmf 2 0 h CM R yyydy Vh p æö = ç÷ èø ò image51.wmf 2 3 2 0 h R ydy Vh p = ò image52.wmf 24 2 0 4 h Ry Vh p æö = ç÷ èø oleObject42.bin oleObject43.bin oleObject44.bin oleObject45.bin oleObject46.bin oleObject47.bin oleObject48.bin oleObject49.bin oleObject50.bin oleObject51.bin oleObject38.bin oleObject52.bin oleObject53.bin oleObject54.bin oleObject39.bin oleObject40.bin oleObject41.bin
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