aula 02 centro de massa

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Centro de Massa
Teoria: Prof. Ms. José Junio Lopes
E-mail: josejunio@uni9.pro.br
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Departamento de Ciências Exatas – Engenharia
Mecânica Geral – Aula 02
Definição de Centro de Massa de um corpo
O que é centro de massa de um corpo ou de mais corpos?
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Definição de Centro de Massa de um corpo
Uma bola arremessada para cima, segue uma trajetória parabólica. Já o centro de
massa de um taco de beisebol arremessado, também segue uma trajetória parabólica,
entretanto, outros pontos seguem uma trajetória bem mais complicada.
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Embora o movimento do taco seja mais complicado, pois cada parte
descreve uma trajetória distinta, o taco possui um ponto chamado
Centro de Massa, que descreve a trajetória parabólica mais simples.
As outras partes do taco movem-se ao redor do seu Centro de 
Massa.
Formalmente, o Centro de Massa de um sistema de partículas 
é o ponto que se move como:
• se toda massa do sistema estivesse concentrada nele;
• se todas as forças externas estivessem aplicadas nele.
Definição de Centro de Massa de um corpo
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Trata-se de um ponto em que toda a massa do corpo pode ser
considerada como concentrada, facilitando o cálculo de vários efeitos.
Esse não precisa coincidir com o centro geométrico e sequer precisa
estar dentro do corpo.
Definição de Centro de Massa de um corpo
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Um termo relacionado a Centro de Massa é Centro de Gravidade. A
diferença entre eles é que o Centro de Massa não depende da ação
gravitacional - é uma propriedade inerente do corpo. Se este corpo estiver
sujeito a um campo gravitacional homogêneo, o Centro de Massa coincidirá
com o Centro de Gravidade. Esse é o caso na maior parte das situações da
Engenharia, e por isso, muitas vezes esses termos são usados como sinônimos,
assim como o termo Baricentro. A diferença entre o Centro de Massa e o
Centro de Gravidade é importante em astrofísica e no comportamento dos
satélites, por exemplo.
Centro de Massa x Centro de Gravidade
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Centro de Massa de um Sistema de duas Partículas
Como calcular o Centro de Massa de duas partículas de massa m1 e m2?
𝑥𝐶𝑀 =
𝑥1𝑚1 + 𝑥2𝑚2
𝑚1 +𝑚2
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Centro de Massa de um Sistema de duas Partículas
Se escolhermos a posição da origem e a orientação +x de forma que a posição de m1 = 4 kg
está na origem e a posição de m2 = 6 kg está no eixo x positivo, então x1 = 0 e x2 = 8 m,
onde d é a distância entre as partículas.
O Centro de Massa, então, é dado por:
𝑥𝐶𝑀 =
𝑥1𝑚1 + 𝑥2𝑚2
𝑚1 +𝑚2
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Centro de Massa de um Sistema de N Partículas
Este resultado pode ser generalizado para um sistema de N partículas.
𝑥𝐶𝑀 =
𝑥1𝑚1 + 𝑥2𝑚2 + 𝑥3𝑚3 +⋯+ 𝑥𝑁𝑚𝑁
𝑚1 +𝑚2 +𝑚3 +⋯+𝑚𝑁
Ou em notação mais compacta,
𝑥𝐶𝑀 =
1
𝑀
෍
𝑖=1
𝑁
𝑥𝑖𝑚𝑖
Onde,
𝑀 = ෍
𝑖=1
𝑁
𝑚𝑖
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Caso as partículas estejam distribuídas em três dimensões podemos escrever:
Centro de Massa de um Sistema de N Partículas em 3D
Usando a notação vetorial, 𝑟𝑖 = 𝑥𝑖 Ƹ𝑖 + 𝑦𝑖 Ƹ𝑗 + 𝑧𝑖 ෠𝑘 é o vetor posição da i-ésima partícula. A
posição do CENTRO DE MASSA, 𝑟𝑖 , é definida por:
𝑥𝐶𝑀 =
1
𝑀
෍
𝑖=1
𝑁
𝑥𝑖𝑚𝑖 , 𝑦𝐶𝑀 =
1
𝑀
෍
𝑖=1
𝑁
𝑦𝑖𝑚𝑖 , 𝑧𝐶𝑀 =
1
𝑀
෍
𝑖=1
𝑁
𝑧𝑖𝑚𝑖 .
Ԧ𝑟𝐶𝑀 =
1
𝑀
𝑚1 Ԧ𝑟1 +𝑚2 Ԧ𝑟2 +⋯+𝑚𝑁 Ԧ𝑟𝑁 =
1
𝑀
෍
𝑖=1
𝑁
𝑚𝑖 Ԧ𝑟𝑖
Onde,
Ԧ𝑟𝐶𝑀 = 𝑥𝐶𝑀 Ƹ𝑖 + 𝑦𝐶𝑀 Ƹ𝑗 + 𝑧𝐶𝑀 ෠𝑘
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Exemplo 2: Três partículas de massas 1,2 kg, 2,5 kg e 3,4 kg formam um
triângulo equilátero de lado a = 140 cm. Onde fica o Centro de Massa
deste sistema?
Centro de Massa de um Sistema de N Partículas em 3D
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✓ Para objetos extensos como bolas, tacos, etc., podemos imaginá-los como se
fossem constituídos por um número muito grande de partículas.
✓ Do ponto de vista de cálculo, este fato dá origem a uma distribuição contínua
de massa.
✓ Para objetos altamente simétricos, a localização do CM coincide com o centro
de simetria do objeto.
✓ Os Centro de Massas de um cilindro ou de uma esfera uniformes coincidem
com o Centro Geométrico da figura.
✓ Para objetos com um eixo ou plano de simetria, o Centro de Massa encontra-se
em algum lugar sobre este eixo ou plano.
Centro de Massa de Objetos Extensos
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O Centroide de um corpo representa seu Centro Geométrico. Em outras palavras,
ao passo que o Centro de Massa se refere à distribuição das massas, o Centroide se
refere à distribuição dos volumes.
O Centroide, o Centro de Gravidade e o Centro de Massa podem, no entanto,
coincidir entre si, caso em que podemos usar os termos de forma intercambiável
apesar de se tratar de conceitos diferentes.
O Centroide de área é definido como sendo o ponto correspondente ao Centro de
Gravidade de uma placa de espessura infinitesimal.
De uma maneira bem simples: Centroide é o ponto pelo qual, se suspendermos o
corpo, ele permanece na horizontal.
Centroide
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No dimensionamento de:
• polias,
• correias,
• engrenagens,
• parafusos,
• eixos,
• vigas, etc.
Na Resistência dos Materiais, vê-se a enorme importância da localização do
Centroide de uma área como, por exemplo, sabe-se que para produzir uma
distribuição uniforme de tensões, as cargas devem ser aplicadas de tal modo que a
linha de ação de sua resultante coincida com o Centroide da seção reta do
componente.
A posição do Centroide de uma área é também importante para determinar a
localização do eixo neutro (linha ao longo da qual as tensões são nulas) passa através
do Centroide da seção reta da viga.
Aplicação
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Centro de Massa de um objeto com área A
O CENTRO DE MASSA de uma área 𝑨 define o Centro Geométrico dela, através do ponto
𝑃( ҧ𝑥, ത𝑦).
Caso esta área tenha uma forma arbitrária como na figura abaixo, temos que 𝒙 e 𝒚 são
definidos como:
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Centro de Massa de um objeto com área A
✓ Em alguns casos, a localização do CM pode ser feita a partir de propriedades de
simetria da figura plana.
✓ Quando a área tiver um eixo de simetria, o CM necessariamente estará localizado sobre
este eixo.
✓ Quando houverem dois eixos de simetria, o CM localiza-se na intersecção dos dois.
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Centro de Massa e Centro de Gravidade
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Centro de Massa de uma área composta
Muitas vezes, uma área pode ser dividida em várias partes. Conhecendo a posição do CM
de cada uma das partes podemos determinar o CM da área total através de:
𝑥𝐶𝑀 =
σ𝑖=1
𝑁 𝑥𝑖𝐴𝑖
σ𝑖=1
𝑁 𝐴𝑖
, 𝑦𝐶𝑀 =
σ𝑖=1
𝑁 𝑦𝑖𝐴𝑖
σ𝑖=1
𝑁 𝐴𝑖
.
Os termos dentro da somatória representam as posições dos CMs de cada área composta
e o denominador representa a soma das áreas de cada parte, ou a área total.
Atenção, se houver um furo ou uma região geométrica onde não exista material, estes
devem ser incluídos como uma parte composta adicional, mas com área negativa.
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Exemplo : Determine o CM das figuras abaixo: