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Matematica-Basica-Colecao-Fundamental
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Matem?tica B?sica - Cole??o Fundamental/Apostila_Matematica_ColFundamental_1_8.pdf
i
Apostila de Matemática Básica
Assunto:
MATEMÁTICA BÁSICA
Coleção Fundamental - volume 1/8
ii
Sumário
Unidade 1 – Revisão de Tópicos Fundamentais do Ensino Médio ........................................04
1.1 Apresentação ...................................................................................................................04
1.2 Simbologia Matemática mais usual ..................................................................................04
1.3 Conjuntos Numéricos.......................................................................................................05
1.4 Operações com Números Relativos..................................................................................07
1.4.1 Soma ou Adição ...................................................................................................07
1.4.2 Subtração ou Diferença.........................................................................................08
1.4.3 Multiplicação........................................................................................................09
1.4.4 Divisão .................................................................................................................09
1.4.5 Potenciação ..........................................................................................................10
1.4.6 Radiciação............................................................................................................11
1.4.7 Produto.................................................................................................................14
1.4.8 Expoente Nulo......................................................................................................15
1.4.9 Expoente Negativo ...............................................................................................15
1.4.10 Expoente Fracionário............................................................................................16
1.4.11 Emprego de Potências de Dez para simplificar a representação de certos
números................................................................................................................16
1.5 Produtos Notáveis ............................................................................................................16
1.5.1 Quadrado de um binômio......................................................................................16
1.5.2 Produto da Soma de dois termos pela diferença entre eles .....................................17
1.5.3 Cubo de um binômio ............................................................................................17
1.6 Equações..........................................................................................................................19
1.6.1 Equação do 1.º grau com uma Incógnita ...............................................................19
1.6.2 Equação do 2.º grau com uma Incógnita ...............................................................20
1.7 Progressão Aritmética (P. A.)...........................................................................................22
1.7.1 Definição..............................................................................................................22
1.7.2 Classificação ........................................................................................................22
1.7.3 Termo Geral .........................................................................................................23
1.7.4 Propriedades.........................................................................................................23
1.7.5 Soma dos n primeiros termos de uma P. A............................................................25
1.8 Progressão Geométrica (P. G.) .........................................................................................28
1.8.1 Definição..............................................................................................................28
1.8.2 Classificação ........................................................................................................29
1.8.3 Termo Geral .........................................................................................................29
1.8.4 Propriedades.........................................................................................................30
1.8.5 Soma dos n primeiros termos de uma P. G............................................................32
1.9 Coordenadas Cartesianas no Plano ...................................................................................35
1.10 Equação reduzida da Reta ................................................................................................37
1.11 Noção de Aplicação .........................................................................................................42
1.12 Exercícios Propostos........................................................................................................43
1.13 Respostas dos Exercícios Propostos .................................................................................46
1.14 Números Complexos........................................................................................................47
1.14.1 Introdução ............................................................................................................47
1.14.2 Potências de j........................................................................................................50
1.14.3 Representações e Formas de um Número Complexo.............................................51
ii
a) Representações ...............................................................................................51
b) As Fórmulas de Euler e suas decorrências .......................................................54
c) Formas............................................................................................................55
c.1) Cartesiana ou Retangular .........................................................................55
c.2) Trigonométrica ........................................................................................55
c.3) Exponencial ou de Euler ..........................................................................55
c.4) Polar ou de Steinmetz ..............................................................................55
c.5) Algumas Formas Polares Especiais ..........................................................60
c.6) Complexo Conjugado ..............................................................................60
1.14.4 Operações com Números Complexos....................................................................62
a) Igualdade........................................................................................................62
b) Adição e Subtração .........................................................................................62
c) Multiplicação..................................................................................................67
d) Divisão ...........................................................................................................69
e) Potenciação.....................................................................................................71
f) Radiciação ......................................................................................................74
1.14.5 Desigualdade do Triângulo ...................................................................................82
1.14.6 Curvas e Regiões no Plano Complexo ..................................................................84
a) Circunferência ................................................................................................84
b) Disco
Fechado ................................................................................................86
c) Disco Aberto...................................................................................................87
d) Exterior da Circunferência ..............................................................................87
e) Coroa Fechada ................................................................................................88
f) Coroa Aberta ..................................................................................................88
g) Circunferência Unitária...................................................................................88
h) Reta que une dois pontos ................................................................................89
1.15 Exercícios Propostos sobre Números Complexos .............................................................90
1.16 Respostas dos Exercícios Propostos sobre Números Complexos ......................................97
Unidade 2 – Somatórios, Produtórios e uma Introdução às Medidas de Posição...............115
2.1 Introdução aos Somatórios.............................................................................................115
2.2 Definição formal de somatório.......................................................................................116
2.3 Propriedades dos Somatórios .........................................................................................118
2.4 Somatório Duplo............................................................................................................125
2.5 Propriedade dos Somatórios Duplos...............................................................................127
2.6 Exercícios Propostos sobre Somatórios ..........................................................................128
2.7 Respostas dos Exercícios Propostos sobre Somatórios....................................................132
2.8 Introdução aos Produtórios.............................................................................................134
2.9 Definição Formal de Produtório .....................................................................................134
2.10 Propriedades dos Produtórios .........................................................................................135
2.11 Exercícios Propostos sobre Produtórios..........................................................................137
2.12 Respostas dos Exercícios sobre Produtórios ...................................................................139
2.13 Introdução às Medidas de Posição..................................................................................140
2.14 Média Aritmética – Dados Não-agrupados.....................................................................140
2.15 Média Aritmética – Dados Agrupados............................................................................141
2.16 Média Geral ...................................................................................................................143
2.17 Média Geométrica – Dados Não-agrupados ...................................................................143
2.18 Média Geométrica – Dados Agrupados..........................................................................144
2.19 Média Harmônica – Dados Não-agrupados ....................................................................145
iii
2.20 Média Harmônica – Dados Agrupados...........................................................................146
2.21 Exercícios Propostos sobre Medidas de Posição .............................................................149
2.22 Exercícios de Revisão sobre Medidas de Posição ...........................................................151
2.23 Respostas dos Exercícios Propostos sobre Medidas de Posição ......................................152
2.24 Respostas dos Exercícios de Revisão sobre Medidas de Posição.....................................152
Unidade 3 – Matrizes, um primeiro enfoque........................................................................153
3.1. Apresentação .................................................................................................................153
3.2. Introdução Histórica.......................................................................................................153
3.3. Conceitos Fundamentais ................................................................................................154
3.4. Matrizes Especiais e Operações com Matrizes................................................................160
3.4.1 Matriz Linha.......................................................................................................161
3.4.2 Matriz Coluna.....................................................................................................161
3.4.3 Matriz Quadrada.................................................................................................161
3.4.4 Matriz Triangular ...............................................................................................164
3.4.5 Matriz Diagonal..................................................................................................164
3.4.6 Matriz Escalar ....................................................................................................165
3.4.7 Matriz Identidade ou Matriz Unidade .................................................................165
3.4.8 Matriz Nula ou Matriz Zero ................................................................................166
3.4.9 Igualdade de Matrizes.........................................................................................166
3.4.10 Transposição de matrizes....................................................................................167
3.4.11 Matriz Oposta.....................................................................................................168
3.4.12 Matriz Conjugada ...............................................................................................169
3.4.13 Matriz Simétrica .................................................................................................170
3.4.14 Matriz Anti-simétrica .........................................................................................171
3.4.15 Matriz Hermitiana ..............................................................................................173
3.4.16 Matriz Anti-hermitiana .......................................................................................173
3.4.17 Soma ou Adição de Matrizes ..............................................................................174
3.4.18 Subtração ou Diferença de Matrizes....................................................................178
3.4.19 Produto de um Número Complexo por uma Matriz.............................................179
3.4.20 Produto de Matrizes............................................................................................186
3.4.21 Matriz Periódica .................................................................................................204
3.4.22 Matriz Idempotente ............................................................................................205
3.4.23 Matriz Nilpotente ou Nulipotente........................................................................206
3.4.24 Polinômio de uma Matriz....................................................................................206
3.4.25 Matrizes em Blocos ou Partição de Matrizes.......................................................207
3.5 Exercícios Propostos......................................................................................................211
3.6 Respostas dos Exercícios Propostos ...............................................................................218
iv
Unidade 1
Revisão de Tópicos Fundamentais do Ensino Médio
1.1
Apresentação
Esta é a primeira unidade da disciplina Matemática 1 dos cursos da área de Informática da
Universidade Estácio de Sá.
Devido à flagrante heterogeneidade dos alunos, e já tendo tido várias turmas anteriores de
experiência, optamos por apresentar, mesmo que de forma sucinta, alguns assuntos básicos que
entendemos como sendo absolutamente fundamentais para o restante do curso, e esperamos que os
estudantes que estejam fora do “bom combate” há algum tempo, ou há muito tempo, possam
colocar suas idéias de novo em ordem, e os conceitos fundamentais nos seus devidos lugares.
1.2 Simbologia Matemática mais usual
Esperamos que o estudante conheça a seguinte simbologia:
a) = (igual à)
b) (diferente de)
c) ou (conjunto vazio)
d) (pertence à)
e) (não pertence à)
f) (está contido)
g) (não está contido)
h) (contém)
i) (não contém)
j) (existe pelo menos um)
k) (não existe)
l) | (existe e é único)
m) | (tal que / tais que)
n) (ou)
5
o) (e)
p) BA (interseção dos conjuntos A e B)
q) BA (união dos conjuntos A e B)
r) (para todo e qualquer, qualquer que seja)
s) (implica)
t) (implica e a recíproca é equivalente)
u) (donde se conclui)
1.3 Conjuntos Numéricos
É lógico que, para a Matemática, os conjuntos de maior importância são aqueles formados
por números, e certos conjuntos numéricos são especialmente importantes devido às propriedades
das operações entre seus elementos e, portanto, recebem nomes especiais, quais sejam:
a) N 4, 3, 2, 1, 0,
é o conjunto dos números inteiros não-negativos.
b) Z 3, 2, 1, 0, 1, 2, , 3 ,
é o conjunto dos números inteiros.
c) Q
q
p
xx | sendo p Z, q Z e q 0.
É o conjunto dos números racionais.
São exemplos de números racionais:
5
3
,
2
9
,
3
8
, etc.
São exemplos de números irracionais: 14159,3 (pi), 71828,2e (base dos logaritmos
neperianos), 41421,12 , 73205,13 , etc.
d) R é o conjunto dos números reais, formados por todos os números racionais e irracionais, e
costumamos associar tais números aos pontos de uma reta que, por definição, é infinita em
ambos os sentidos.
6
3
–3 –2 –1 0 1 2 3
2
2
2
1
1
3
Fig. 1.1 Representação gráfica de alguns elementos do conjunto R.
e) yxzz j |C , sendo x R, y R e é 1j , é o conjuntos dos números complexos
(voltaremos a tal assunto na seção 1.14).
Quando incluímos o símbolo * (asterisco), estamos indicando que o zero foi excluído do
conjunto. Assim, temos:
f) N* xx |5, 4, 3, 2, 1, N e 0x
é o conjunto dos números naturais.
g) Z* xx | Z e 0x
h) Q* xx | Q e 0x
i) R* xx | R e 0x
j) C* xx | C e 0x
Quando incluímos o símbolo + (mais), estamos indicando que foram excluídos todos os
números negativos dos conjunto.
k) Z xx | Z e 0x N
é o conjunto dos números inteiros não negativos.
l) Q xx | Q e 0x
é o conjunto dos números racionais não negativos
m) R xx | R e 0x
é o conjunto dos números reais não negativos.
Quando acrescentamos o símbolo – (menos) estamos indicando que foram excluídos todos os
números positivos do conjunto. Assim, temos:
n) Z xx | Z e 0x
é o conjunto dos números inteiros não positivos.
7
o) Q xx | Q e 0x
é o conjuntos dos números racionais não positivos.
p) R xx | R e 0x
é o conjunto dos números reais não positivos.
Devemos notar que o zero é elemento dos conjuntos Z , Z , Q , Q , R , R . Se excluímos o
zero destes conjuntos, teremos:
q) Z
* xx | Z e 0x
r) Z
* xx | Z e 0x
s) Q
* xx | Q e 0x
t) Q
* xx | Q e 0x
u) R
* xx | R e 0x
v) R
* xx | R e 0x
O conjunto R
* é chamado conjunto dos números reais estritamente positivos e R
* é o
conjunto dos números reais estritamente negativos. Os outros têm nomes semelhantes.
Notemos a propriedade:
CRQZN *
isto é, todo número natural é inteiro, todo número inteiro é racional, todo número racional é real e
todo número real é também complexo.
1.4 Operações com Números Relativos
Ilustração 1.1: Números relativos
3 2 1 0 1 2 3
1.4.1 Soma ou Adição
Quando os números têm o mesmo sinal basta conservá-lo e adicionar os números;
8
quando os sinais são contrários subtraímos o menor do maior, e o sinal que prevalece é o
deste último. É bom lembrar também que o sinal mais (+) antes de um parêntese não vai
alterar o sinal do número que está entre parênteses, ocorrendo o oposto quando o sinal antes
do parêntese for o de (–). Se não houver nenhum sinal antes do parêntese estará implícito que
o sinal será o de mais (+).
ILUSTRAÇÃO 1.2
a) 12210)2()10(
b) 8210)2()10(
c) 8210)2()10(
d) 12210)2()10(
Quando devemos somar mais de dois números relativos o resultado é obtido somando
o primeiro com o segundo, o resultado obtido com o terceiro, e assim por diante até a última
parcela.
ILUSTRAÇÃO 1.3
)4()3()7()3()5(
)4()3()7()2(
)4()3()5(
)4()2( 2
Podemos também adicionar separadamente todas as parcelas positivas e todas as
negativas e, em seguida, somar os dois números de sinais contrários obtidos.
ILUSTRAÇÃO 1.4
9
Efetuando a soma do exemplo anterior, temos:
— soma das parcelas positivas:
— 12)4()3()5(
— soma das parcelas negativas:
— 10)7()3(
— soma de ambos os resultados:
— 2)10()12(
1.4.2 Subtração ou Diferença
Cumpre observar que o sinal de menos (–) antes de um parêntese troca o sinal do
número que está entre parênteses e, no mais, procedemos como na operação anterior.
ILUSTRAÇÃO 1.5
a) 8210)2()10(
b) 12210)2()10(
c) 12210)2()10(
d) 8210)2()10(
Para as operações de multiplicação e divisão que virão logo a seguir vale a
seguinte regra: “Números de mesmo sinal dão sempre resultado positivo, enquanto
que os de sinais contrários conduzem sempre à resultados negativos”.
1.4.3 Multiplicação
10
Ilustração 1.6
a) 20)2()10(
b) 20)2()10(
c) 20)2()10(
d) 20)2()10(
1.4.4 Divisão
Ilustração 1.7
a) 5)2()10(
b) 5)2()10(
c) 5)2()10(
d) 5)2()10(
1.4.5 Potenciação
Quando, em uma multiplicação, os fatores são todos iguais, em módulo e em sinal, esta
operação recebe o nome de potenciação. Assim sendo, a potência de um número é o produto de
fatores iguais a este número, sendo representada por:
pa
Conforme veremos a seguir, toda potência de expoente par é positiva,
qualquer que seja o sinal da base, porém, toda potência de expoente ímpar tem o
sinal de base.
expoente (n.º de repetições dos fatores iguais)
base (é o número ou fator em questão)
11
Ilustração 1.8
a) 162)2(222 4
b) 162222)2( 4
c) 82222 3
d) 8222)2( 3
Para executar a potenciação de um número relativo em uma minicalculadora, a seqüência
de operações é simples:
(a) Determinar 42 :
1.º) Digitamos a base (2)
2.º) Pressionamos a tecla exponencial
xy
yx
(CASIO modelo fx-82LB)
ou
(CASIO modelo fx-6300 G)
,
que depende do modelo da minicalculadora.
3.º) Digitamos o expoente (4)
4.º) Pressionamos a tecla exponencial
EXE
(CASIO modelo fx – 82LB)
ou
(CASIO modelo fx – 6300G)
,
que depende do modelo da minicalculadora.
5.º) Vai
aparecer o número 16 no visor da calculadora.
(b) Determinar 42 :
Primeiramente digitamos a base (–2). Em algumas calculadoras (CASIO fx 82 – LB,
por exemplo) digitamos o número 2 e depois apertamos a tecla para trocar o
sinal para menos. Em outras (CASIO fx – 6300G) apertamos a tecla – e depois
12
digitamos o número 2. O restante da seqüência de operações é igual a do item a: tecla
exponencial, expoente...
A esta altura é interessante notar a diferença entre a potenciação seqüencial e
a potenciação escalonada, que serão analisadas logo a seguir.
Ilustração 1.9
a) Potenciação Seqüencial:
64 4 )2( 332 , que também pode ser efetuada diretamente mantendo-se a base
e multiplicando-se os expoentes:
6422 632
b) Potenciação Escalonada:
322 que pode ser entendida como 2
2
3
, ou seja:
25622 82
3
1.4.6 Radiciação
a) Raiz n-ésima de um número:
Dizemos que um número “b” é a raiz n-ésima exata de um número “a” quando
nba
e ela é representada por
ban
Denomina-se radiciação a operação pela qual se obtém a raiz n-ésima de um número. Nas
operações exatas, a radiciação é a operação inversa da potenciação.
13
Temos então:
radical do índice o é "" número O
radicando o é "" número O
radical o é sinal O
n
a
Assim sendo
39 porque 932
283 porque 823
No caso de n = 2 a raiz se diz quadrada e não é usual escrever este índice no radical.
No caso de n = 3 a raiz se diz cúbica, mas este índice aparece no radical.
b) Valor algébrico dos radicais:
Se o radicando é considerado em valor absoluto (módulo), a radiciação é uma operação
unívoca. No entanto, se este radicando é um número relativo a unicidade, em alguns casos,
não estará mais garantida e por isso vamos considerar três casos:
1.º) Índice par e radicando positivo.
Neste caso o radical admitirá duas raízes reais e simétricas no conjunto dos números
reais, bem como um par complexo conjugado (vide exercício proposto 39, item j da seção
1.15).
2.º) Índice ímpar.
Sendo o índice do radical um número ímpar, temos uma raiz no conjunto dos
números reais, tendo o mesmo sinal que o radicando, e (n – 1) raízes no conjunto dos números
complexos (vide exercício proposto 38, item f, da seção 1.15).
3.º) Índice para e radicando negativo.
Neste caso não existe nenhum valor do conjunto do números reais que elevado ao
índice para seja igual ao radicando. Este assunto será abordado na seção 1.14.
14
Ilustração 1.10
1.º caso
6255
6255
pois 5625
648
648
pois 864
4
4
4
2
2.º caso
322 pois 232
322 pois 232
55
55
3.º caso
1.14 seção na abordado será assunto tal
mencionado já conforme e, 4 j
Observação: pelo que foi exposto, se alguém lhe perguntar qual é o valor de 9 , a resposta e
simplesmente 3. Agora se for pedido o valor algébrico do 9 teremos então 3.
A determinação de raízes através de minicalculadoras é simples:
a) Determinar 4 625 :
a.1) Utilizando uma CASIO fx-82 LB:
1.º) Digitamos o radicando 625
2.º) Pressionamos as teclas F nd2 e xy a fim de convocar a operação x y
3.º) Digitamos o expoente 4
4.º) Pressionamos a tecla
5.º) O número 5 aparece no visor de calculadora, e devemos ter em mente que se
desejamos o valor algébrico da raiz a resposta completa é 5.
a.2) Utilizando uma CASIO fx-6300 G
1.º) Digitamos o índice 4
2.º) Pressionamos a tecla x
3.º) Digitamos o radicando 625
15
4.º) Pressionamos a tecla EXE
5.º) O número 5 aparece no visor
b) Determinar 5 32 :
a.1) Utilizando um CASIO fx-82 LB
1.º) Digitamos o valor 32 e pressionamos a tecla para trocar o seu sinal
2.º) Pressionamos as teclas F nd2 e xy a fim de convocar a operação x y
3.º) Digitamos o índice 5
4.º) Pressionamos a tecla
5.º) O valor – 2 aparece no visor.
a.2) Utilizando uma CASIO fx-6300 G
1.º) Digitamos o índice 5
2.º) Pressionamos a tecla x
3.º) Pressionamos a tecla e depois o valor 32
4.º) Pressionamos a tecla EXE
5.º) O valor – 2 aparece no visor.
Observação: Devemos notar que as rotinas para calculadoras do mesmo fabricante (CASIO), mas
de modelos diferentes, são totalmente diferentes. O que não esperar de modelos de outros
fabricantes?
Por isso insistimos que cada estudante deve adquirir logo sua própria calculadora, a fim de se
familiarizar com o uso da mesma.
1.4.7 Produto e Divisão de Potências de Mesma Base
a) Para multiplicar potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes.
b) Para dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos o expoente do
denominador do expoente do numerador.
16
Ilustração 1.11
a) 2
3
2
1
423
2
1
423 aaaaaa
b) 358
5
8
bb
b
b
c) 352
5
2
xx
x
x
d) 7)4(3
4
3
II
I
I
1.4.8. Expoente Nulo
Toda potência de expoente nulo é igual à unidade.
Ilustração 1.12
10 a
Observação:
São exceções 00 e 0 , que não têm qualquer significado numérico, sendo símbolos de
indeterminação, e são abordados em Análise Matemática na parte de Limites.
1.4.9 Expoente Negativo
Toda potência de expoente negativo equivale a uma fração cujo numerador é a unidade e o
denominador é a potência com o expoente positivo ou seja: n
n
a
a
1
. (1)
17
Ilustração 1.13
a)
16
1
2
1
2
4
4
b)
9
1
3
1
3
2
2
Observações:
1ª) Em conseqüência do exposto anteriormente temos:
n
n
a
a
1
(2)
2ª) Agora podemos obter o mesmo resultado do item (d) da ilustração 11 por outro caminho:
743
4
3
III
I
I
1.4.10 Expoente Fracionário
Toda potência de expoente fracionário equivale a uma raiz cujo índice é o denominador da
fração e cujo radicando é a base elevada a um expoente igual ao numerador, ou seja:
q pq
p
aa (3)
18
Ilustração 1.14
Determinar os valores algébricos das seguintes operações:
a) 46488 33 23
2
b) 416162
1
c)
2
1
4
1
4
1
4
2
1
2
1
1.4.11 Emprego de Potências de Dez para simplificar a representação de certos Números
Ilustração 1.15
No Brasil: Nos E.U.A.:
a) 3102000 2 * — 3102000,2
b) 6104000 000 4 * — 6104000,000,4
c) 41030003,0 — 41030003.0
d) 31025025,0 — 31025025.0
(*) Antigamente representava-se 2 e 4 milhões, respectivamente por 2.000 e 4.000.000. Já há alguns anos aboliram-se
os pontos separatrizes de classes, mantendo-se agora um espaço entre as mesmas.
1.5 Produtos Notáveis
1.5.1 Quadrado de um binômio
a) 2)( ba :
22222 2)( )()( babababababababa
ou
19
22
2
2
2 baba
bab
aba
ba
ba
222 2)( bababa (4)
b) 2)( ba :
22222 2)( )()( babababababababa
ou
22
2
2
2 baba
bab
aba
ba
ba
222 2)( bababa (5)
1.5.2 Produto da soma de dois termos pela diferença entre eles
)( )( baba :
2222)( )( babababababa
ou
22
2
2
ba
bab
aba
ba
ba
22)( )( bababa (6)
1.5.3 Cubo de um binômio
20
a) )2)(())(()( 2223 babababababa
322223 22 babbaabbaa
3223 33 babbaa
ou
3223
322
223
22
33
2
2
2
babbaa
babba
abbaa
ba
baba
32233 33)( babbaaba (7)
b) )2)(())(()( 2223 babababababa
322223 22 babbaabbaa
3223 33 babbaa
ou
3223
322
223
22
33
2
2
2
babbaa
babba
abbaa
ba
baba
32233 33 babbaaba (8)
21
Ilustração 1.16
a) 222 55 25 xxaaxa
22 2510 xaxa
b) 222222 33 52535 yyxxyx
224 93025 yyxx
c) yxyxyxyx 22
d) 32233 33 2 332 3232 yyxyxxyx
3223 2754368 yxyyxx
e) 32233 22 32 32 yyxyxxyx
3223 8126 yxyyxx
1.6 Equações
1.6.1 Equação do 1º Grau com uma Incógnita
Toda equação do 1º grau com uma incógnita pode ser reduzida a forma
0 baz (9)
em que 0a .
Sua solução é:
bazbaz 0
a
b
z (10)
EXEMPLO 1.1
Resolver as seguintes equações do 1º grau:
a) 3713 zz
b)
12
15
2
5
x
22
c)
4
6
2
3
y
d) 0 qpz (sendo p 0)
Solução:
a) 3713 zz
1
4
4
44
3173
zz
z
zz
b)
12
15
2
5
x
2
30
60
6030
125152
xx
x
x
c)
4
6
2
3
y
4
6
24
246
12126
4326
yy
y
y
y
d) 0qpz
p
q
z
qpz
1.6.2 Equação do 2º Grau com uma Incógnita
A forma geral da equação do 2º grau com uma incógnita é:
02 cbzaz (11)
23
onde 0a .
Vamos então transformar a equação em outra equivalente, de modo que o primeiro
membro seja um quadrado perfeito do tipo indicado na equação (4).
a) Transpondo a constante para o segundo membro, vem:
cbzaz 2
b) Multiplicando por a4 , teremos:
acabzza 444 22
c) Somando 2b aos dois membros, resulta:
acbbabzza 444 2222
d) Verificando que o 1º membro é um quadrado perfeito, teremos:
acbbaz 42 22
e) Extraindo as raízes quadradas de ambos os membros, obtemos:
42
42
2
2
acbbaz
acbbaz
a
b
a
acbb
z
22
42
(12)
que é a conhecida fórmula da Bhaskara, onde
acb 42 .....(13)
é o discriminante da equação, e três casos podem ocorrer:
1º) 0 teremos duas raízes reais e desiguais.
2º) 0 teremos duas raízes reais e iguais.
3º) 0 não teremos raízes no conjunto dos números reais, e este caso será abordado na
seção 1.14.
Exemplo 1.2
Resolver as seguintes equações do 2º grau:
a) 0352 2 zz
b) 0144 2 zz
24
c) 01342 zz
Solução:
a)
3
5
2
0352 2
c
b
a
zz
4932454 22 acb
4
75
22
495
2
a
b
z
2
1
4
2
4
75
1
z
3
4
12
4
75
2
z
b)
1
4
4
0144 2
c
b
a
zz
014444 22 acb
8
04
42
04
2
a
b
z
dupla raiz
2
1
8
04
2
1
8
04
2
1
z
z
c)
13
4
1
01342
c
b
a
zz
0365216131444 22 acb
e esta equação não admite raízes no campo real. Sua solução será apresentada na subseção
1.14.1 ( 321 jz e 322 jz são as suas raízes).
1.7 Progressão Aritmética (P.A.)
1.7.1 Definição
25
É uma sucessão de termos
( , , , , , , , , , 1
termos
14321
n
n
nn aaaaaaa )
finita ou infinita, sendo que, a partir do 2º termo inclusive, a diferença entre um termo
qualquer e o seu antecedente é igual a uma quantidade constante r, denominada razão da
progressão, ou seja:
raaaaaaaa nnnn 112312
As seguintes seqüências são exemplos de P.A.:
a) ( 2 ) 22 17, 12, 7, 2, 1 a e 5r
b) ( xatxtxtxx 1 ) 6 ,4 ,2 , e tr 2
c) ( 5 ) 5 ,5 ,5 ,5 ,5 1 a e 0r
d) 7 9 ,
2
17
,8 ,
2
15
,7 1
a e
2
1
r
e) ( 8 ) 4 1, ,2 ,5 ,8 1 a e 3r
1.7.2 Classificação
As progressões aritméticas podem ser classificadas de acordo com o valor da razão r:
0r P.A. crescente
0r P.A. constante ou estacionária
0r P.A. decrescente
1.7.3 Termo geral
A partir da definição, podemos escrever os termos da P.A. da seguinte forma:
rnaraaraa
rarraraaraa
rarraraaraa
raaraa
nnnn 1
32
2
111
113434
112323
1212
26
Observe que cada termo é obtido adicionando-se ao primeiro um número de razões r igual
à posição do termo menos uma unidade, ou seja:
rnaa
raraa
raraa
raraa
n 1
143
132
12
1
114
113
112
O termo de ordem n da P.A. é dado, portanto, pela fórmula a seguir:
rnaan 11 (14)
que pode também ser obtida da seguinte maneira:
rnaa
raa
raa
raa
raa
n
nn
11
1
34
23
12
Somando membro a membro estas n – 1 igualdades obtemos a
expressão do termo de ordem n.
e
rnaan 11 (14)
que é a mesma equação anteriormente encontrada.
1.7.4 Propriedades
I) Numa P.A. cada termo, a partir do segundo, é a média aritmética entre o termo precedente e
o termo seguinte.
Com efeito, se
, , 11 nnn aaa
são termos consecutivos de uma P.A., então podemos escrever:
nnnn aaaa 11
ou seja,
112 nnn aaa
e
27
2
11 nnn
aa
a (15)
II) Em qualquer P.A. limitada, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é constante e
igual à soma dos próprios extremos.
Seja pois a P.A. limitada, com n termos, razão r, e A e B os termos eqüidistantes dos
extremos, conforme ilustrado a seguir:
(
termos
1
termos
21 , , , , , , , ,
p
nn
p
aaBAaa )
2.1 Introdução aos Somatórios 115
2.2 Definição formal de somatório 116
2.3 Propriedades dos Somatórios 118
( Ilustração 1.6
( Ilustração 1.7
( Ilustração 1.8
( Ilustração 1.9
( Ilustração 1.10
( Ilustração 1.11
Ilustração 1.12
( Ilustração 1.13
( Ilustração 1.14
( Ilustração 1.15
( Ilustração 1.16
Matem?tica B?sica - Cole??o Fundamental/Apostila_Matematica_ColFundamental_2_8.pdf
25
Apostila de Matemática Básica
Assunto:
MATEMÁTICA BÁSICA
Coleção Fundamental - volume 2/8
Autor:
Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
26
Continuação ....
Pela fórmula do termo geral,
rpaA 11 (16)
Considerando agora a progressão
termos
1 , , ,
p
nn aaB
temos pela fórmula de termo geral,
rpBan 1 (17)
Subtraindo (17) de (16) resulta:
BaaA n 1
o que nos conduz a
naaBA 1 (18) C.Q.D
I) Em uma P.A. limitada cujo número de termos é ímpar, o termo médio é a média aritmética
dos extremos.
Neste caso temos:
(
termos12 com P.A.
termos
1
termos
21 , , , , , , , ,
pn
p
nn
p
aaBMAaa )
Pelas propriedades I e II temos:
2
BA
M
e
naaBA 1
Logo,
2
1 naaM
(19) C.Q.D.
1.7.5 Soma dos n primeiros termos de uma P.A.
Com relação a P.A.:
27
( , , , , , , , , 1
termos
12321
n
n
nnn aaaaaaa )
podemos escrever:
nnnn aaaaaaS 12321 (20)
ou, invertendo-se a ordem das parcelas,
12321 aaaaaaS nnnn (21)
Somando (20) e (21) membro a membro obtemos:
1213223121 2 aaaaaaaaaaaaS
nnnnnnn , onde
temos n parênteses.
No entanto, pela propriedade II todos os parênteses são iguais a naa 1 .
Logo,
naaS nn 12
e
2
1 naaS nn
(22)
Observações:
1) Se a progressão for crescente, ilimitada, temos NSn , sendo N um número arbitrariamente
grande.
Poremos:
lim nS
n
ou
nS quando n
2) No caso de uma progressão decrescente, ilimitada, teremos as seguintes condições:
lim nS
n
28
ou
nS quando n
Exemplo 1.3
Calcule o 17: termo da P.A. ( ,31 ,8 ,3 )
Solução:
Temos que:
31 a e 5r
Logo,
83516316117 1117 raraa
Exemplo 1.4
Calcule a soma dos doze primeiros números ímpares.
Solução:
Temos então:
( ,5 ,3 ,1 )
Donde,
11 a e 2r , logo
23211111112 1112 raraa
144
2
12231
2
12121
12
aa
S
Exemplo 1.5
29
No depósito de uma firma de informática, costuma-se empilhar as caixas de um
determinado equipamento em filas horizontais superpostas, conforme ilustrado na figura. Quantas
dessas filas seriam necessárias para empilhar 171 dessas caixas?
Fig. 1.2
Solução:
Temos uma P.A. representada por
( ,3 ,2 ,1 )
onde, 11 a e 1r
Desejamos saber o n para o qual temos 171nS .
Sabemos que:
2
12
2
1
2
1111 nrnanrnaanaaS nn
Substituindo valores,
0342
,342
,1342
,12342
,
2
1112
171
2
2
nn
nn
nn
nn
nn
que é uma equação do 2º grau para a qual 1a , 1b e 342c .
Assim sendo,
30
19
18
2
371
2
13691
12
3421411
2
4
"
'
22
n
n
a
acbb
n
Como não existe número de fileiras negativo, só a 1ª raiz tem significado físico.
1.8 Progressão Geométrica (P.G.)
1.8.1 Definição
É uma sucessão de termos
( , , , , , , , , , 1
termos
14321
n
n
nn aaaaaaa )
finita ou infinita, sendo que , a partir do 2º termo inclusive, a razão entre um termo qualquer e o seu
antecedente é igual a uma quantidade constante q, denominada razão da progressão, ou seja:
q
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
n
n
1
12
3
1
2
As seqüências a seguir são exemplos de P.G.:
a) (1 , 4 , 16 , 64 , ) 11 a e 4q
b) (x , 2xt , 4xt , 6xt , ) xa 1 e
2tq
c) (8 , 2 ,
2
1
,
8
1
, ) 81 a e
4
1
q
d) (7 , 7 , 7 , 7 , ) 71 a e 1q
e) ( 4 , 8 , 16 , 32 , ) 41 a e 2q
1.8.2 Classificação
10e 0
ou
1 e 0
1
1
qa
qa
P.G. crescente
10e 0
ou
1 e 0
1
1
qa
qa
P.G. decrescente
31
1a e 0q P.G. alternante
1a e 0q P.G. constante ou estacionária
1.8.3 Termo geral
A partir da definição, podemos escrever os termos da P.G. da seguinte forma:
q
a
a
1
2 qaa 12
q
a
a
2
3 21123 qaqqaqaa
q
a
a
3
4 312134 qaqqaqaa
q
a
a
n
n
1
111
n
nn qaqaa
Observe que cada termo é obtido multiplicando-se o primeiro por uma potência cuja base é
a razão. Note que o expoente da razão é igual à posição do termo menos uma unidade, ou seja:
12
112
qaqaa
13
1
2
13
qaqaa
14
1
3
14
qaqaa
1
1
nn qaa
O termo de ordem n da P.G. é dado, portanto, pela fórmula a seguir:
1
1
nn qaa (23)
que pode também ser obtida da seguinte maneira:
32
q
a
a
q
a
a
q
a
a
q
a
a
n
n
1
3
4
2
3
1
2
Multiplicando membro a membro estas 1n igualdades
obtemos a expressão do termo de ordem n
1
13
4
2
3
1
2
n
n
n q
a
a
a
a
a
a
a
a
Fazendo os cancelamentos, obtemos:
1
1
nn q
a
a
o que nos leva a
1
1
nn qaa (23)
conforme há havia sido deduzido anteriormente.
1.8.4 Propriedades
I) Numa P.G. cada termo, a partir do segundo, é a média geométrica entre o termo precedente
e o termo seguinte.
Realmente, se
1na , na , 1na
são termos consecutivos de uma P.G., então podemos escrever:
n
n
n
n
a
a
a
a 1
1
ou seja,
11
2
nnn aaa
e
11 nnn aaa . (24) C.Q.D. Onde os sinais (+) ou (–) são usados de acordo com as
características da P.G.
II) Numa P.G. limitada, o produto de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual ao
produto dos extremos.
33
Seja então a P.G. limitada, com n termos, razão q, e A e B os termos eqüidistantes dos
extremos, conforme mostrado logo a seguir:
(
termos
1
termos
21 , , , , , , , ,
p
nn
p
aaBAaa )
Pela fórmula do termo geral,
1
1
pqaA . (25)
Considerando agora a progressão
termos
1 , , ,
p
nn aaB
temos pela fórmula do termo geral,
1 pn Bqa . (26)
Dividindo as igualdades (25) e (26) membros a membro resulta:
B
a
a
A
n
1
o que nos leva a:
naaAB 1 . (27) C.Q.D.
III) Em uma P.G. limitada cujo número de termos é ímpar, o termo médio é a média geométrica
dos extremos.
Neste caso temos:
(
termos12 com P.G.
termos
1
termos
21 , , , , , , , ,
pn
p
nn
p
aaBMAaa )
Pelas propriedades I e II temos:
ABM
e
naaAB 1
logo,
naaM 1 . (28) C.Q.D.
1.8.5 Soma dos n primeiros termos de uma P.G.
Com relação a P.G.
34
( , , , , , , , , , 1
termos
12321
n
n
nnn aaaaaaa )
podemos escrever:
nnnn aaaaaaS 12321 . (29)
Multiplicando ambos os membros por q resulta:
qaqaqaqaqaqaqS nnnn 12321
o que é equivalente a
11432 nnnn aaaaaaqS (30)
Subtraindo (30) de (29) temos:
11 nnn aaqSS
ou já que nn qaa 11 ,
n
n qaaqS 11)1(
e
1 ,
1
11
q
q
qa
S
n
n (31)
Observações:
1.ª) Se a progressão for crescente, ilimitada, temos NSn , sendo N um número arbitrariamente
grande. Poremos,
lim nS
n
ou
nS quando n
2.ª) Na hipótese da progressão decrescente 1q ,
q
qa
q
a
q
qa
S
nn
n
111
1 111
35
se admitirmos que n (cresça cada vez mais), a primeira parcela,
q
a
1
1 , não sofre qualquer
modificação, enquanto que a segunda pode ser tomada tão próxima de zero quanto quisermos.
Poremos:
lim
n q
a
Sn
1
1 (32)
Exemplo 1.6
Determine o 10º termo da P.G. (1 , 2 , 4 , )
Solução:
11 a e 2q
Logo,
5122 1 991
110
110
qaqaa
Exemplo 1.7
Determine a soma dos vinte primeiros termos da P.G. ( 22 , 12 , 02 , )
Solução:
Temos:
4
1
2
1
2
2
2
1
a e 222
2
2 2121
2
1
q
Logo,
21
21
4
1
1
1
20
20
1
20
q
qa
S
75,143 262
36
Exemplo 1.8
Um barco patrulha está distante 65 milhas de um navio carregado de contrabando de armas
pesadas. Sabendo-se que ambas as embarcações estão seguindo o mesmo rumo (movimentos na
mesma direção e mesmo sentido) e que a velocidade
do barco patrulha é o dobro da velocidade do
navio, pede-se calcular a distância que o barco deve percorrer para alcançar o navio.
Solução:
mi 65
v
2
v
0
x
Fig. 1.3
Quando o barco patrulha tiver percorrido as 65 milhas iniciais, o navio terá percorrido
2
65
milhas, uma vez que sua velocidade é a metade da do barco. Assim o barco terá que percorrer
também
2
65
milhas. Quando o barco tiver percorrido estas últimas
2
65
milhas, o navio terá
percorrido
4
65
milhas, e assim por diante, de modo que a distância total a ser percorrida pelo barco
é:
mi
4
65
mi
2
65
mi 65bx .
Temos pois uma P.G. decrescente ilimitada, para qual a 651 a mi e
2
1
q . Logo,
130
2
1
1
mi 65
1
1
q
a
xb mi.
Claro, o estudante deve estar se perguntando: o problema não poderia ter sido pelos
métodos da Cinemática aprendidos na Física do 2º grau?
Sim, é claro! Senão vejamos:
37
As equações horárias dos movimentos são:
Barco vtxb
Navio t
v
xn
2
65
No encontro nb xx
e
t
v
vt
2
65 ,
65
2
vt
vt ,
65
2
vt
e o tempo de encontro é:
v
t
130
.
Voltando à equação do barco, temos então:
130
130
v
vvtxb mi
e concluímos, mais uma vez, que o barco deve percorrer 130 mi para alcançar o navio.
Aí cabe uma outra pergunta: Por quê não termos utilizados diretamente o segundo método?
A resposta é simples: esta foi apenas uma ilustração de soma de parcelas, que são termos
de uma P.G., as quais vão se tornando cada vez menores.
1.9 Coordenadas Cartesianas no Plano
38
Este nome é em homenagem ao grande matemático francês René Descartes (Renatus
Cartesius em Latim).
Aqui em nosso curso vamos utilizar apenas as coordenadas cartesianas planas (duas
dimensões) e ortogonais, e isto nos leva a um sistema de eixos x e y, perpendiculares, que têm a
mesma origem comum, conforme ilustrado a seguir:
x
y
y
y
x
x
quadrante 2º quadrante 1º
quadrante 3º quadrante 4º
yxP ,
)(
)()(
0
)(
Plano
Fig. 1.4
A localização de um ponto P qualquer de uma plano genérico, fica então perfeitamente
determinada através de suas coordenadas x (abscissa) e y (ordenada), e a representação genérica é
yxP , . No caso presente o ponto genérico foi representado no 1º quadrante, onde 0x e 0y
mas, de um modo geral temos:
quadrante º40 e 0
quadrante º30 e 0
quadrante º20 e 0
quadrante º10 e 0
yx
yx
yx
yx
Temos também que se
i) 0x ponto situado no eixo y
ii) 0y ponto situado no eixo x
iii) 0 yx ponto situado origem
39
Exemplo 9
Marcar em um diagrama cartesiano as localizações dos pontos a seguir:
3,41P ; 5,22 P ; 4,33 P ; 6,24 P ; 0,55P ; 4,06P
Solução:
x
y
0
1
2
3
4
5
5 ,22 P
4 ,33 P
4 ,06P
6 ,24 P
3 ,41P
0 ,55P
123
5
6
4
1
2
3
1 2 3 4 5
Fig. 1.5
1.10 Equação Reduzida da Reta
Em Geometria Analítica demonstra-se que toda equação do primeiro grau em x e y
representa, no plano, uma reta, ou seja:
pmxy (33)
onde tgαm é coeficiente angular da reta, isto é, a tangente do ângulo que a mesma forma com a
direção horizontal (paralela ao eixo x), e p é o coeficiente linear, sendo igual à ordenada do ponto
onde a reta corta o eixo y. Por esta convenção teremos sempre 0 < 180º.
40
Analisemos então algumas situações mostradas na figura 1.6. São evidentes as seguintes
propriedades:
1ª) Se é agudo, então m é positivo, pois a tangente de um ângulo é sempre positiva no 1º
quadrante.
2ª) Se é obtuso, então m é negativo, pois a tangente de uma ângulo do 2º quadrante é negativa.
3ª) Se é nulo, então m é nulo, pois a tg de 0 é nula e, neste caso, a equação da reta se reduz a
constantey , uma vez que ela é paralela ao eixo x.
4ª) Se é reto, então m não é definido, pois º90tg , e neste caso a equação da reta tem a forma
constantex , uma vez que ela é paralela ao eixo y.
º90
x
y
0
é um
ângulo agudo
º900
x
y
0
é um
ângulo
obtuso
º180º90
x
y
0 x
y
0
é um
ângulo
reto
º90
0
Fig. 1.6
É também oportuno, baseados no que se viu até então, listarmos algumas situações na
figura 1.7, lembrando que, se p = 0, a reta passa pela origem, e sua equação é da forma y = mx.
41
x
y
0
0 e 02 pmR
p
0 e 03 pmR
0 e 01 pmR
0 e 04 pmR
0 e 05 pmR
0 e 06 pmR
Fig. 1.7
Exemplo 1.10
Representar graficamente as seguintes retas:
a) 1R : 12 xy
b) 2R : 1
2
x
y
c) 3R : xy 2
d) 4R : 4y
e) 5R : 5x
Solução:
As representações das retas 4R e 5R são imediatas. Entretanto, para as retas 1R , 2R e 3R
vamos construir as tabelas a seguir onde os valores assumidos para x, ao serem substituídos nas
equações conduzem aos valores de y correspondentes. Bastaria um par de pontos para determinar
cada reta, uma vez que, por dois pontos do plano passa tão somente uma reta ou, em outras
42
palavras: dois pontos determinam uma reta. No entanto, a fim de que o estudante possa verificar, na
prática, que uma equação do 1.º grau em x e y representa uma reta, optamos por eleger três pontos
para cada uma delas, e concluir que, em cada caso, os três pontos estão alinhados ao longo de uma
mesma direção, ou seja, pertencem a uma mesma reta.
1R 2R 3R
X y x y x y
0 1 0 1 0 0
1 3 1 2
1 1 2
2 5 2 0 2 4
x
y
0
1
2
3
4
5
1R
2
1
1 2 3 4 5
2R
3R
5R
4R
Fig. 1.8
Exemplo 1.11
Uma firma de projeto A cobra R$ 1000,00 fixos mais R$ 600,00 por dia de trabalho e uma
firma B cobra R$ 400,00 fixos mais R$ 800,00 por dia.
43
a) Representar em um mesmo diagrama cartesiano os custos dos serviços de ambas as empresas.
b) Estabelecer um critério para a escolha da melhor firma pelo usuário, sob o ponto de vista
financeiro, admitindo que, hipoteticamente, ambas tenham a mesma competência.
Solução:
a) Do enunciado vem que:
Custo de A: 1000,00 R$600,00/dia R$ dCA
Custo de B: 400,00 R$800,00/dia R$ dCB
em que AC e BC representam, respectivamente, os custos dos serviços das empresas e d os dias
trabalhados.
Temos então as seguintes correspondências:
dx
Cy
Tratam-se, portanto, das equações de duas retas e a reta A começa em um ponto de ordenada
mais baixa (p
A
= 400) e a reta B em um ponto de ordenada mais alta (p
B
= 1000). No entanto, o
coeficiente angular de B (m
B
= 800) é maior do que o coeficiente angular de A (m
A
= 600). Isto
significa que tg
B
> tg
A
, ou seja
B
>
A
, e as retas vão se interceptar. Determinemos pois as
coordenadas do ponto de intersecção:
400,00 R$800,00/dia R$R$1000,00600,00/dia R$ ddCC BA
dd 600,00/dia R$800,00/dia R$400,00 R$1000,00 R$
d200,00/dia R$600,00 R$
2800,00 R$ dias 3 BA CCd
Lembrando também que para 0d temos
1000,00 R$AC
e
400,00 R$BC
podemos traçar as retas de custos. Assim sendo:
44
0 1 2 3 dias d
2800,00 R$
custos , BA CC
1000,00 R$
400,00 R$
A
B
Fig. 1.9
b) Uma rápida análise dos gráficos nos conduzem às seguintes conclusões:
1.ª) d < 3 dias B é mais econômica.
2.ª) d = 3 dias o custo é o mesmo.
3.ª) d > 3 dias A é mais econômica.
1.11 Noção de Aplicação
Dados dois conjuntos A e B, denominamos aplicação de A em B a toda correspondência
em que a cada elemento x A temos associado um único y B.
45
Por exemplo: dados os conjuntos A = {5, 6, 7,
8} e B = {g, h, i, j, l} vamos apresentar a
seguir algumas aplicações de A em B:
87658765 8765
hg i l jhg i l jhg i l
(b)(a) (c)
Fig. 1.10
A flecha indica a correspondência entre os elementos de A e B. Na parte (a), a aplicação é
o conjunto de pares ordenados.
{(5, g), (6, h), (7, i), (8, j)}
na parte (b)
{(5, g), (6, i), (7, j), (8, l)}
e na parte (c)
{(5, g), (6, g), (7, i), (8, l)}.
Devemos ressaltar que cada elemento de A é unido pela flecha a um só elemento de B.
Assim sendo, do mesmo elemento x A não podem partir duas ou mais flechas.
Deste modo a correspondência
46
8765
jhg i l
Fig. 1.11
não é uma aplicação.
O conjunto A é denominado domínio da aplicação e o elemento y, correspondente de x, é
denominado imagem de x. No exemplo (a) da figura 1.9 temos.
Elemento de A Imagem
5 g
6 h
7 i
8 j
O conjunto das imagens de uma aplicação f de A em B denomina-se imagem da aplicação
e será representado por f(A). Devemos notar que f(A) é uma sucessão, ou seja, um conjunto
ordenado. Para o exemplo (a) da figura 1.9 temos:
jihgA , ,, f e não
incorreta ordem
, ,, ijgh
1.12 Exercícios Propostos
1) Calcular as seguintes expressões:
a) 125
b) 7,07,3
c) 28,072,1
d) 352472
47
e) 751269
2) Calcular as seguintes expressões:
a) 24
b) 410
c) 39
d) 57
e) 26
3) Calcular as seguintes expressões:
a) 54
b) 54
c) 12
d) 52314
e) 54132
4) Calcular as seguintes expressões:
a) 312
b) 315
c) 436
d) 642
e) 981
5) Calcular as seguintes potências:
a) 52
b) 33
c) 32
d) 37
e) 410
6) Calcular os valores algébricos das seguintes raízes:
48
a) 4 625
b) 3 8
c) 4 81
d) 3 27
e) 5 32
7) Efetuar os seguintes produtos notáveis:
a) 2343 52 mbym
b)
2
52
4
3
3
2
xa
c) 25 25 aa
8) Resolver as seguintes equações do 1.º grau:
a) 5
2
x
b) 22132435 zzz
c) y
y
5
52
6
9) Resolver as seguintes equações do 2.º grau:
a) 01582 zz
b) 0156 12 zz
c)
6
7
1
zz
d) 0442 zz
e) 0
3
12 zz
10) Calcular 13a na progressão aritmética
: 1 , 5 , 9 ,
11) Calcular 1a em uma progressão aritmética, sabendo-se que 4r e 318 a .
12) Somar os 15 primeiros termos da progressão aritmética : 3 ,
2
7
, 4 ,
49
13) Quantas vezes bate um relógio em 24 horas, admitindo-se que apenas bata as horas?
14) Calcular o 5.º e 8.º termos da progressão geométrica :: 2 , 4,
15) Em uma progressão geométrica, sabemos que 1284 a e 4q . Achar 1a .
16) Sendo x e y positivos, calcular os limites das expressões a seguir quando o número de radicais
cresce indefinidamente.
a) xxxx
b) yxyx
c) xxxx
1.13 Respostas dos Exercícios Propostos
1) a) 7 ; b) 0,3 ; c) 44,1 ; d) 1 e) 2
2) a) 2 ; b) 6 ; c) 12 ; d) 2 e) 8
3) a) 20 ; b) 20 ; c) 2 ; d) 120 e) 120
4) a) 4 ; b) 5 ; c) 9 ; d) 7 ; e) 9
5) a) 32 ; b) 27 ; c) 8 ; d) 343 ; e) 000.10
6) a) 5 ; b) 2 ; c) 3 ; d) 3 ; e) 2
7) a) 2644386 25204 mbymbym
b) 10524
16
9
9
4
xxaa
c) 2225 a
8) a) 10x ; b) 4z ; c) 5y
9) a) 31 z ; 52 z
b) 31 x ; 22 x
c) 71 y ; 62 y
d) z = 2
e) Não admite raízes no conjunto dos números reais. Voltaremos a esse assunto após
estudar a seção 1.14 (suas raízes são:
6
3
2
1
1 jz ; 6
3
2
1
2 jz ).
50
10) 4913 a
11) 31 a
12)
2
195
15 S
13) 156
14) 325 a ; 2568 a
15) 21 a
16) a) x; b) 3 23
1
3
2
yxyx c)
2
411 x
Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
Matem?tica B?sica - Cole??o Fundamental/Apostila_Matematica_ColFundamental_3_8.pdf
47
Apostila de Matemática Básica
Assunto:
MATEMÁTICA BÁSICA
Coleção Fundamental - volume 3/8
Autor:
Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
48
1.14 Números Complexos
1.14.1 Introdução
(a) Do mesmo modo que a generalização da noção de raiz de índice qualquer para um número po-
sitivo exigiu a introdução do conceito de número irracional (p.ex.: 414,12 , 732,13 ), tam-
bém a impossibilidade da determinação de raízes de índice par de um número negativo levou à no-
ção de número imaginário.
(b) Os números positivos e negativos recebem, em conjunto, o nome de números reais.
Em contrapartida, denomina-se número imaginário ou número complexo à toda ex-
pressão de forma x + jy 1, na qual x e y são números reais e 1j é a unidade imaginária.
(c) Conforme já vimos na subseção 1.6.2, as raízes de uma equação do 2º grau,
az
2
+ bz + c = 0
são dadas pela conhecida fórmula
a
acbb
z
2
42
. (12)
Obtemos, então duas raízes reais e desiguais quando o discriminante é positivo e uma ra-
iz real dupla se ele for nulo.
Quando o discriminante é negativo, a fórmula (12) não conduz a nenhuma raiz real e o
trinômio az
2
+ bz + c = 0 é sempre diferente de zero qualquer que seja o valor real que se atribua à z.
Por exemplo, se tentarmos resolver a equação
z
2
+ 4z + 1 3 = 0
que já havia sido abordada no Exemplo 2, item c, somos conduzidos a:
2
364
12
131444 2
z
que não representa nenhum número real. Por outro lado, se operarmos normalmente como se 1
fosse um número, teremos:
1 Os matemáticos usam i no lugar do j e os eletricistas preferem a letra j minúscula normal, já que estes últimos usam a
letra i para representar a corrente. No entanto, na Unidade 3, Matrizes, é quase que universal a notação ija para repre-
sentar o elemento genérico. Assim sendo optamos por j minúscula em negrita e itálica para representar a unidade imagi-
nária.
49
132
2
164
2
1364
z
ou seja
1321 z
e
1321 z
Vamos substituir tais “números” na equação original a fim de verificar se eles são real-
mente raízes. Ao procedermos desta forma devemos encarar o símbolo 1 como se ele fosse
mesmo um número em especial, lembrando inclusive que o seu quadrado é:
11 2 .
Temos então:
013112891124
131324132134
2
1
2
1
zz
e
013112891124
131324132134
2
2
2
2
zz
A partir de tais considerações conclui-se ser possível resolver a equação do 2º grau
mesmo quando temos 042 acb , se operarmos com o símbolo 1j como se fosse um nú-
mero. Conforme já mencionado ele deve ter a propriedade de que 12 j , e deve operar ao lado
dos números reais com as mesmas leis que regem formalmente tais números. Temos então os núme-
ros complexos da forma yx j onde, conforme já mencionado, x e y são reais e 1j , tais co-
mo:
64 j , 2
3
1
j ,
9
4
3 j ,
7
3
2 j
onde o novo elemento 1j é denominado unidade imaginária.
Utilizando tal notação, as raízes da equação que acabamos de resolver assumem as for-
mas seguintes:
321 jz
e
50
322 jz
e no final da subseção 1.14.3 veremos por que tais raízes constituem um par complexo conjugado.
Temos então de forma geral:
yxz j (34)
onde as grandezas reais x e y são denominadas as partes
real e imaginária de z, respectivamente.
Podemos, inclusive, usar as notações )Re(z e )Im(z para representar tais partes, ou seja:
)Re(zx (35)
e
)Im(zy (36)
Em particular quando 0x temos a expressão yj que será denominada número imagi-
nário puro ou simplesmente imaginário, reservando-se o nome número complexo para o caso
geral.
Quando y = 0 o número complexo reduz-se à sua parte real x.
(d) Uma vez que os números complexos não pertencem ao corpo dos números reais, alguns “desa-
visados de plantão” podem pensar que tais soluções são meramente fictícias e não representam ne-
nhum fenômeno físico real. Para estes é bom mencionar que a corrente alternada que chega às in-
dústrias, hospitais e residências, é representada por funções senoidais ou cossenoidais, que têm a
mesma representação gráfica a menos de uma defasagem de 90º. Acontece que o equacionamento
de circuitos elétricos sob excitação harmônica (senoidal) é bem mais simples no domínio da fre-
qüência, no qual a solução para a corrente é dada por um “fasor” I, que é um número complexo.
A fim de relacionarmos o domínio da freqüência com o domínio do tempo é utilizada a relação
teIti jRe
i
mI
mI
0 t
corrente alternada
Fig. 1.12
que é bem conhecida do pessoal da área da Eletricidade. Ora, a corrente alternada senoidal do tipo
tIti m cos tem existência física real (qualquer dúvida é só tocar com um dedo no terminal
da fase de uma tomada energizada!). Assim sendo, as soluções complexas ou imaginárias (sendo
este último termo um tanto impróprio pois pode levar à conclusões erradas) estão bem longe de se-
51
rem fictícias sendo, é bem verdade, artifícios engenhosos, nascidos no problema primordial de lidar
com raízes de índices pares de números negativos.
Exemplo 1.12
Determine x R para que o número complexo 775 2 j xx seja imaginário puro.
Solução:
Para ele ser um número imaginário puro devemos ter parte real nula, ou seja:
5
7
0
075075 2
x
ou
x
xxxx
1.14.2 Potências de j
As potências sucessivas de j reproduzem-se periodicamente de quatro em quatro, ou
seja:
10 j
jj 1
11 22 j
jj jj .23
111. 224 j jj
jj j jj 1. 325
1. 2336 jj jj jj
jjjjj 1 . 437
111. 448 j jj
jj j jj 1. 549
.........................................................
Podemos escrever em geral:
52
144 pp jj
jjjj pp 414
12424 jjj pp
jjjj 3434 pp
Regra geral: para determinar o valor de uma potência de j qualquer, basta dividir o expoente
da potência por 4 e elevar j à potência determinada pelo resto da divisão.
Exemplo 1.13
Efetuar as seguintes potências:
a) 7j ; b) 513j ; c) 1998j ; d) 500j
Solução:
a) 7 4
3 1
jjj 37
b) ''' 315 4
11 128
jj 513
33
1
c) '''' 8991 4
39 499
121998 jj
38
2
d) ''' 005 4
10 125
1jj 0500
20
0
1.14.3 Representações e Formas de um Número Complexo:
a) Representações:
Um número complexo pode ser geometricamente representado por um ponto no pla-
no complexo ou plano de Argand-Gauss, conforme mostrado a seguir:
53
yxz j
)( imaginário
Eixo
y
)( real
Eixo
xx
y
0
Complexo
Plano
Fig. 1.13
Uma representação geométrica equivalente, conforme na próxima figura, é feita por
um segmento orientado, da origem ao ponto yxz j .
yxz j
)( imaginário
Eixo
y
)( real
Eixo
xx
y
0
Fig. 1.14
Assim a adição ou subtração de duas grandezas complexas pode ser realizada grafi-
camente, conforme ilustração nas partes (a) e (b) da figura 1.15, por meio das regras comumente
usadas para a adição e subtração de vetores, já que tanto as grandezas complexas quanto os vetores
podem ser representados por intermédio de segmentos orientados.
Na figura 1.16 o símbolo | z | significa o comprimento do segmento orientado que re-
presenta z, ou seja, é a distância da origem até o ponto representado pelo complexo z, e é denomi-
nado módulo, norma ou valor absoluto de z.
54
)( imaginário
Eixo
y
)( real
Eixo
x0
21 zz
2z
1z
)( imaginário
Eixo
y
)( real
Eixo
x0
2z
1z
21 zz
2z
Fig. 1.15
O ângulo do segmento orientado, medido positivamente no sentido anti-horário e ne-
gativamente no sentido horário, a partir do semi-eixo real positivo, é notado por ou arg z, sendo
chamado de ângulo polar, argumento ou fase de z.
yxz j
)( imaginário
Eixo
y
)( real
Eixo
xx
y
0
z
Fig. 1.16
Da última figura depreende-se que:
zzx cos (37)
zzy sen (38)
22 yxz (39)
x
y
arc tgθ (40)
Observações:
(1ª) Nos livros de origem americana encontra-se, muitas vezes, a notação 1tg ao invés de
55
arc tg para a função inversa da tangente. Isto também ocorre nas calculadoras eletrônicas.
(2ª) Para um dado 0z , o ângulo (argumento) é determinado a menos de múltiplos in-
teiros de 360º ( rad 2 ), ou seja,
º3600 k ; 0k , 1 , 2 . . .
ou
rad 20 k ; 0k , 1 , 2 . . .
O valor de que existe no intervalo rad rad º180º180 é
chamado de valor principal do argumento de z, e notado por 0 nas equações acima. Na
prática, salvo observação em contrário, estaremos sempre trabalhando com o argumento
principal.
Face às orientações de ângulos já mencionadas e levando-se em conta os inter-
valos entre os limites º180 e 180º, teremos:
- ângulos no 1º e 2º quadrantes º1800 serão sempre positivos e orientados no
sentido anti-horário a partir do semi-eixo real positivo.
- ângulos no 3º e 4º quadrantes 0180 serão sempre negativos e orientados no
sentido horário a partir do semi-eixo real positivo.
(3ª) Levando em conta tais convenções e limites, concluímos que quando z for um número
real negativo o seu argumento principal será º180rad ao invés de 180rad , uma
vez que o valor º180 não está incluído no intervalo º180º180 .
56
b) As Fórmulas de Euler e suas decorrências:
Antes de passarmos às diversas formas de um número complexo vamos instituir as
fórmulas de Euler, que são de importância capital para o prosseguimento de nosso estudo.
Admitindo que uma função xF pode ser representada por uma série de potências
de x, essa série deve ser da forma de McLaurin,
0
!1
0
!3
0
!2
00 1
132
n
n
F
n
x
F
x
F
x
FxFxF
em que a função e todas as suas derivadas existem para 0x .
Desenvolvendo sen , cos e je em potências de pela série de McLaruin temos:
!7!5!3
sen
753
!6!4!2
1cos
642
!7!6!5!4!3!2
1
765432
jjjjje
Reagrupando os termos de je , temos:
sen cos
!7!5!3!6!4!2
1
753642
jjj e .
Assim sendo temos:
sen cos jje (41)
e
sen cos jje (42)
conhecidas como fórmula de Euler, bem como suas decorrências:
2
cos
jj ee
(43)
2
sen
j
jj
ee
(44)
57
que são de grande utilidade no trato com os números complexos de um modo geral.
c) Formas
c.1) Cartesiana ou Retangular
É a que já foi apresentada no início da presente seção, na equação (34), ou seja:
yxz j . (34)
c.2) Trigonométrica
Substituindo
(37) e (38) em (34) temos:
sencos zzyxz jj
o que implica em
sencos jzz (45)
que é forma trigonométrica.
c.3) Exponencial ou de Euler
Pela equações (41) e (45) temos que:
jezz (46)
que é a forma exponencial ou de Euler.
c.4) Polar ou de Steinmetz
A equação (46) pode também ser colocada na forma polar ou de Steinmetz:
zz
(47)
Na realidade o símbolo é, simplesmente, uma notação abreviada para je ,
muito utilizada pelas pessoas da área de Eletricidade em geral.
58
É importante notar que uma interpretação correta do fator je necessita que o
ângulo seja expresso em radianos. Na prática, o ângulo é muitas vezes apresentado em graus
(lembrar que 1 grau = 1º
180
radiano
180
rad), mas toda vez que houver chance de confusão
no emprego das equações (41) a (47), o ângulo deverá ser convertido de graus para radianos. A
notação je com expresso em graus é, normalmente, considerada uma prática inadequada,
mas escrever com em graus é bastante usual.
Observações:
1ª) Ao passarmos um complexo da forma retangular (cartesiana) para a forma polar, devemos utili-
zar as equações (39) e (40). Acontece que quando esta última equação é utilizada, a determinação
do quadrante onde se situa o complexo yxz j pode ser feita pela inspeção dos sinais de x e y, a
não ser que a calculadora em uso já tenha as rotinas REC POL e POL REC, que já fazem as
transformações diretamente.
2ª) Cumpre ressaltar que no caso da transformação acima citada, as calculadoras científicas mais
sofisticadas fornecem diretamente z e 0 (argumento principal), seguindo para este último as re-
gras de orientação de ângulos já descritas na 2ª observação da subseção 1.14.3.a:
- ângulos no 1º e 2º quadrantes ( º1800 ou rad 0 ) sempre positivos, e orientados no
sentido anti-horário a partir do semi-eixo real positivo.
- Ângulos no 3º e 4º quadrantes ( 0º180 ou 0rad ) sempre negativos, e orienta-
dos no sentido horário a partir do semi-eixo real positivo.
Exemplo 1.14
Exprimir cada um dos seguintes números complexos na forma polar:
a) 420
j
e ; b) 3
2
10
j
e ; c) 6
5
2
j
e
Solução:
a) 2020 4
je 4 20 45
b) 1010 3
2
je 32 10 120
c) 22 6
5
je 65 2 150
59
Exemplo 1.15
Passar os seguintes números complexos da forma polar para a forma retangular:
a) 0,53 160
b) 050,0 20
c) 156,0 170
Observação: se a sua calculadora tem as rotinas RET POL e POL RET você pode e deve
fazer as transformações diretamente, e depois voltar à forma original a fim de checar seus resulta-
dos.
Solução:
Pelas equações (34), (37) e (38) temos que:
a) 0,53 160 1,188,49º160sen0,53º160cos0,53 jj
b) 050,0 20 017,0047,0º20sen050,0º20cos050,0 jj
c) 156,0 170 027,0154,0º170sen156,0º170cos156,0 jj
Exemplo 1.16
Converter os seguintes números complexos da forma retangular para a polar:
a) 43 j
b) 43 j
c) 43 j
Solução:
Se a sua calculadora não possuir as rotinas REC POL e POL REC, você deve
tomar cuidado com os sinais das partes real e imaginária dos complexos, a fim de identificar com
acerto o quadrante onde estão situados os números. A figura seguinte é de grande utilidade.
60
x
y
0
4
3
2
1
4
321
433 jz
431 jz432 jz
3
2
1
123
5
5
5
3
2
1
Fig. 1.17
a) Pelas equações (39) e (40) temos que:
3
4
tgarc
543
1
22
1
z
A tangente é positiva no 1º e 3º quadrantes. Uma vez que 0x e 0y , 1 pertence ao 1º qua-
drante (vide figura 1.17).
º1,531
Temos então:
1z 1,53
b) 543 222 z
3
4
tgarc2
61
A tangente é negativa no 2º e 4º quadrantes. Sendo 0x e 0y , 2 pertence ao 2º quadrante.
Da figura 1.16 temos, em módulo,
3
4
tg
donde
º1,53
e
º9,126º1,53º1802 .
Então,
52 z 9,126
c) 543 223 z
3
4
tgarc3
Temos 0x e 0y , logo 3 é do 3º quadrante. Da mesma figura tiramos:
3
4
tg
logo º1,53
e
º1,233º1803
o que implica em
53 z 1,233 , que não é uma forma usual, visto que o argumento principal deve estar entre os
valores º180º180 , o que nos leva então a escrever 53 z 9,126 (que é a resposta da
calculadora CASIO fx-82LB).
Vamos a seguir apresentar as rotinas de operações para as transformações RET POL e POL
RET para duas minicalculadoras usuais no mercado
1.º) CASIO fx-82LB
a) RET POL:
(convocamos a transformação para polares r )
62
x a y b F 2nd a |z| b
b) POL RET:
|z| a b F 2nd b x b y
2.º) CASIO fx-6300 G
a) RET POL:
SHIFT x SHIFT ( y ) EXE |z| ALFA ) EXE
b) POL RET:
SHIFT |z| SHIFT ( ) EXE x ALFA ) EXE y
(*) Em Português Retangular (RET)
Em Inglês Rectangular (REC)
c.5) Algumas Formas Polares Especiais
As equações (41), (46) e (47) conduzem a uma nova interpretação para o número i-
maginário puro j, anteriormente definido como sendo 1j ou 12j . Se
2
rad nas refe-
ridas equações, jj
2e , de modo que j é um número complexo com módulo unitário e fase igual a
90º, ou seja:
12
π
e jj 90 (48)
por outro lado,
1
1
2
2
jj
j
j
j
e 90 (49)
entradas saída
entradas
(convocamos a transformação para retangular xy)
saída
convocamos a
transformação POL (
convocamos
a ,
entradas saída
convocamos J
convocamos a
transformação REC* (
convocamos
a ,
entradas
convocamos J
saída
63
Finalmente,
11 0 (50)
e
11 180 (51)
x
y
0
1
j
j
1
1
1
º90
º90º180
Fig. 1.18
c-6) Complexo Conjugado:
O complexo conjugado de yxz j é definido, na forma retangular, por 2 :
yxz j* (52)
e tem a mesma parte real que o complexo z, porém, a parte imaginária é simétrica.
2 Alguns autores preferem usar z ao invés de *z para representar o complexo conjugado porém, na área da Eletricida-
de a notação
*z é uma unanimidade.
64
yxz j
imaginário
Eixo
)( real
Eixo
x
x
y
0
y
yxz j*
Fig. 1.19
Pela definição de módulo,
zyxyxz 2222*
e da definição de fase fica claro que o ângulo de fase é simétrico.
Assim sendo, temos também que:
jezz* (53)
zz * (54)
zz ** (55)
Ilustração 1.17
a) 4343 *11 jj zz
b) 33 1010 *22
jj
ezez
c) 53 z 30 5
*
3 z 30
d) 24 z 2
*
4 z
65
Fica agora fácil entender que as raízes 321 jz e 322 jz da equação resolvida
na subseção 1.14.1 constituem um par complexo conjugado.
1.14.4 Operações com Números Complexos
a) Igualdade:
Dois números complexos 11111
1 zezyxz jj 1 e 22222
2 zezyxz jj 2 são
iguais se, e somente se 21 xx e 21 yy ou, equivalentemente, 21 zz e 21 .
b) Adição e Subtração:
A adição e a subtração são facilmente efetuadas se os números estiverem na forma retangular, em-
bora as calculadoras mais sofisticadas (HP48GX por exemplo) sejam capazes de efetuarem tais ope-
rações quer os números estejam na forma polar ou na retangular, e ainda darem a opção de obter o
resultado final em uma forma ou outra. Na forma retangular,
2121
2211221121
yyxx
yxyxyxyxzz
j
jjjj
e
2121
2211221121
yyxxCompartilhar
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