Lista_-_Aprofundamento_-_Termodinamica

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Termodinâmica
Professor Enzo Benvenga
Questão 1
Um gás segue o processo adiabático indicado pelo gráfico PxV. Qual
trabalho realizado pelo gás? (γ = 1, 67)
Questão 2
Um mol de um gás ideal, com γ = 7/5, está contido num recipiente,
inicialmente a 1 atm e 27◦C. O gás é, sucessivamente:
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1. comprimido isobaricamente até 3/4 do volume inicial Vo;
2. aquecido, a volume constante, até voltar à temperatura inicial;
3. expandido a pressão constante até voltar ao volume inicial;
4. resfriado, a volume constante, até voltar à pressão inicial.
Calcule o trabalho total realizado pelo gás.
Questão 3
0,1 mol de um gás ideal, com CV = 3
2R, descreve o ciclo representado
na figura abaixo no plano (P, T). Calcule ∆W , ∆Q e ∆U para os
processos AB, BC, CA e para o ciclo.
Questão 4
Um mol de um gás ideal, contido num recipiente munido de um pistão
móvel, inicialmente a 20◦C, se expande isotermicamente até que seu
volume aumenta de 50%. A seguir, é contráıdo, mantendo a pressão
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constante até voltar ao volume inicial. Finalmente, é aquecido, a vo-
lume constante, até voltar à temperatura inicial. Desenhe o diagrama
PxV e calcule o trabalho total realizado pelo gás neste processo.
Questão 5
Um mol de gás hélio, com CV = 3
2R, inicialmente a 10 atm e 0◦C, sofre
uma expansão adiabática reverśıvel até atingir a pressão atmosférica,
como primeiro estágio num processo de liquefação do gás. Calcule a
temperatura final e o trabalho realizado pelo gás na expansão.
Questão 6
Um mol de um gás ideal, com CV = 3
2R, a 17◦C, tem sua pressão
reduzida à metade por um dos quatro processos seguintes:
1. a volume constante;
2. isotermicamente;
3. adiabaticamente;
4. por expansão livre.
Para um volume inicial Vi, calcule, para cada um dos quatro processos,
o volume e a temperatura finais, ∆W e ∆U .
Questão 7
Um gás ideal de coeficiente adiabático γ é submetido ao ciclo ABCA
mostrado na figura, onde AB é um segmento de reta. Calcule o rendi-
mento do ciclo.
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Questão 8
Um mol de um gás ideal diatômico γ = 7/5 descreve o ciclo ABCDA
mostrado na figura, onde P é medido em bar e V em L. Calcule a
eficiência de um motor térmico operando segundo esse ciclo.
Questão 9
Um gás ideal com γ = 5/3 sofre uma expansão isotérmica em que seu
volume aumenta em 50%, seguida de uma contração isobárica até o
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volume inicial e de aquecimento, a volume constante, até a temperatura
inicial. Calcule o rendimento desse ciclo.
Questão 10
Um mol de um gás ideal descreve o ciclo ABCDA mostrado na figura
no plano (P, T), onde T = T1 e T = T2 são isotermas. Calcule o
trabalho total associado ao ciclo, em função de P0, V0, T1 e T2.
Questão 11
A figura a seguir, onde AB e CD são adiabáticas, representa o Ciclo de
Otto, esquematização idealizada do que ocorre num motor a gasolina
de quatro tempos.
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AB representa a compressão rápida (adiabática) da mistura de ar com
vapor de gasolina, de um volume inicial V0 para V0/r (r = taxa de
compressão); BC representa o aquecimento a volume constante devido
à ignição; CD é a expansão adiabática dos gases aquecidos, movendo o
pistão; DA simboliza a queda de pressão associada à exaustão dos gases
da combustão. A mistura é tratada como um gás ideal de coeficiente
adiabático γ. Mostre que o rendimento do ciclo é dado por:
η = 1− TD − TA
TC − TB
= 1−
(
1
r
)γ−1
(1)
Questão 12
O Ciclo Diesel, representado na figura a seguir, onde AB e CD são
adiabáticas, esquematiza o que ocorre num motor Diesel de quatro
tempos.
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A diferença em relação ao Ciclo de Otto é que a taxa rc = V0/V1 de
compressão adiabática é maior, aquecendo mais o ar e permitindo que
ele inflame o combust́ıvel injetado sem necessidade de uma centelha de
ignição: isto ocorre a pressão constante, durante o trecho BC; a taxa
de expansão adiabática associada a CD é re = V0/V2. Mostre que o
rendimento do Ciclo Diesel é dado por:
η = 1− 1
γ
(
TD − TA
TC − TB
)
= 1− 1
γ
·
(
1
re
)γ
−
(
1
rc
)γ
(1/re)− (1/rc)
(2)
Questão 13
Um mol de um gás varia segundo os processos 1 → 2 e 2 → 3. Se o
gás realiza um trabalho W e P2 = αP3, determine a temperatura do
gás no estado 1.
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Questão 14
Demonstre que o trabalho de uma adiabática é dado por:
W =
PfVf − PiVi
(1− γ)
(3)
Em seguida, determine qual é a quantidade de calor a ser transferida
ao nitrogênio, no processo de aquecimento isobárico desse gás, para
realizar um trabalho de 2 J.
Questão 15
Como resultado do aquecimento isobárico em ∆T = 72K, um mol de
um determinado gás ideal ganha uma quantidade de calor Q = 1,60
kJ. Encontre o trabalho realizado pelo gás, a variação de sua energia
interna e o valor de γ = CP/CV .
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Questão 16
Um mol de um gás monoatômico ideal realiza o ciclo mostrado na
figura abaixo. O processo BC é uma expansão adiabática: Pb = 10
atm; Vb = 10−3 m3 e Vc = 8Vb. Calcule, para o ciclo, o calor adicionado
ao gás; o calor que é expelido pelo gás; o trabalho total realizado pelo
gás e o rendimento deste ciclo.
Questão 17
A figura mostra um recipiente, com êmbolo, contendo um volume ini-
cial Vi de gás ideal, inicialmente sob uma pressão Pi igual à pressão
atmosférica, Pat. Uma mola não deformada é fixada no êmbolo e num
anteparo fixo. Em seguida, de algum modo é fornecida ao gás uma
certa quantidade de calor Q. Sabendo que a energia interna do gás é
U = (3/2)PV , a constante da mola é k e a área da seção transver-
sal do recipiente é A, determine a variação do comprimento da mola
em função dos parâmetros intervenientes. Despreze os atritos e consi-
dere o êmbolo sem massa, bem como sendo adiabáticas as paredes que
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confinam o gás.
Questão 18
Certa quantidade de oxigênio (considerado aqui como gás ideal) ocupa
um volume vi a uma temperatura Ti e pressão pi. A seguir, toda essa
quantidade é comprimida, por meio de um processo adiabático e quase
estático, tendo reduzido o seu volume para vf = vi/2. Indique o valor
do trabalho realizado sobre esse gás.
Questão 19
Uma certa massa de gás ideal realiza o ciclo ABCD de transformações,
como mostrado no diagrama pressão x volume da figura. As curvas
AB e CD são isotermas. Pode-se afirmar que:
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a) o ciclo ABCD corresponde a um ciclo de Carnot.
b) o gás converte trabalho em calor ao realizar o ciclo.
c) nas transformações AB e CD o gás recebe calor.
d) nas transformações AB e BC a variação da energia interna do
gás é negativa.
e) na transformação DA o gás recebe calor, cujo valor é igual à
variação da energia interna.
Questão 20
Um gás em uma câmara fechada passa pelo ciclo mostrado no diagrama
PxV da figura abaixo. A escala do eixo horizontal é definida por Vs = 4
m3. Calcule a energia ĺıquida adicionada ao sistema em forma de calor
durante um ciclo completo.
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Gabarito
1. W = 57,3 kJ.
2. W = 208 J.
3.
4. W = 176 J.
5. Tf = −164, 3◦C e W = 2045 J.
6.
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7. η = 1
3 −
1
3γ
8. η = 8, 3%
9. η = 8%
10. W = R (T2 − T1) +RT2 ln
(
P0V0
RT2
)
−RT1 ln
(
RT1
P0V0
)
11. Demonstração.
12. Demonstração.
13. T1 =
W
R(α−1)
14. Veja o Apêndice 2; Q = 7 J.
15. W = 600 J; ∆U = 1000 J e γ = 1, 6.
16. QAB = 1468 J; QCA = −552, 3 J; W = 915,7 J e η = 62, 4%.
17. x =
−( 3kVi
A +5PatA)+
√
( 3kVi
A +5PatA)
2
+16kQ
8k
18. 5
2 (pivi)
(
20,4 − 1
)
19. Alternativa E.
20. -30 J.
Apêndice 1 - Trabalho de uma Isotérmica
Como sabemos, o trabalho é dado pela área abaixo da curvaque re-
presenta a transformação. Observe, portanto, a curva que denota a
transformação isotérmica.
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Note que podemos escrever o trabalho na forma integral da seguinte
maneira:
W =
∫
P · dV (4)
Devemos, agora, definir os limites de integração, isto é, os limites que
definem a isoterma.
W =
∫ V2
V1
P · dV (5)
Pela Equação de Clapeyron, sabemos que:
W =
∫ V2
V1
nRT
V
· dV (6)
Como n, R e T são termos constantes, temos:
W = nRT
∫ V2
V1
dV
V
(7)
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Logo,
W = nRT ln
V2
V1
(8)
Apêndice 2 - Trabalho de uma Adiabática
Assim como na isotérmica, o trabalho da adiabática pode ser escrito
como uma integral definida entre os estados iniciais e finais. No en-
tanto, há uma maneira mais simples de escrever o trabalho. Antes
disso, veja o gráfico abaixo, que define uma curva adiabática.
A prinćıpio, devemos definir três relações importantes para as trans-
formações adiabáticas reverśıveis. São elas:
• Relação de Mayer: CP − CV = R
• Coeficiente de Poisson: γ = CP/CV
• Lei geral dos gases para uma adiabática reverśıvel: PV γ = cte.
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Agora, podemos analisar, com base na Primeira Lei da Termodinâmica,
a transformação adiabática:
∆U = Q−W (9)
Para uma adiabática, Q = 0. Assim,
∆U = −W (10)
Como sabemos, podemos representar a energia interna de um gás nos
termos da capacidade caloŕıfica molar:
∆U = nCV∆T (11)
Retornando à relação (10), temos:
W = −nCV∆T (12)
Essa é uma das formas de escrever o trabalho de uma adiabática. No
entanto, podemos, ainda, reescrever essa expressão, a fim de utilizar
somente os parâmetros fornecidos pelo gráfico. Sabemos que:
CP = CV +R (13)
CP = CV γ (14)
Com base nas relações acima, temos:
CV γ = CV +R (15)
Dessa maneira,
CV (γ − 1) = R (16)
CV =
R
(γ − 1)
(17)
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Substituindo em (12), temos:
W = − nR
(γ − 1)
∆T (18)
Abrindo a expressão,
W =
nR
(1− γ)
(Tf − Ti) (19)
W =
1
(1− γ)
(nRTf − nRTi) (20)
Pela Equação de Clapeyron, temos, por fim:
W =
PfVf − PiVi
(1− γ)
(21)
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