PCslide_12

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Pré-Cálculo
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Parte 12
Pré-Cálculo 1
A função quadrática
Pré-Cálculo 2
A função quadrática
y = f (x) = a · x2 + b · x + c com a 6= 0
(1) O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
(2) O coeficiente c é a ordenada do ponto de interseção da
parábola com o eixo y .
(3) Se o coeficiente a é > 0, a parábola é côncava para cima. Se
a é < 0, ela é côncava para baixo.
(4) Se ∆ = b2 − 4 · a · c < 0, então a parábola não intercepta o
eixo x .
Pré-Cálculo 3
A função quadrática
y = f (x) = a · x2 + b · x + c
(5) Se ∆ = b2 − 4 · a · c > 0, então a parábola intercepta o eixo x
em dois pontos de abscissas:
x1 =
−b −
√
∆
2 · a
a x2 =
−b +
√
∆
2 · a
.
(6) Se ∆ = b2 − 4 · a · c = 0, então a parábola intercepta o eixo x
no ponto de abscissa:
x1 = −
b
2 · a
.
Pré-Cálculo 4
A função quadrática
(Ir para o GeoGebra)
Pré-Cálculo 5
Completamento de quadrados
Pré-Cálculo 6
Completamento de quadrados: exemplo 1
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
x2 − 8 x + 15 =
(
x2 − 2 (x) (4) + ?
)
− ? + 15
=
(
x2 − 2 (x) (4) + 16
)
− 16 + 15
=
(
x − 4
)2
− 1
Pré-Cálculo 7
Completamento de quadrados: exemplo 1
Logo:
x2 − 8 x + 15 = 0 ⇔ (x − 4)2 − 1 = 0
⇔ (x − 4)2 = 1
⇔
√
(x − 4)2 =
√
1
⇔ |x − 4| = 1
⇔ x − 4 = −1 ou x − 4 = 1
⇔ x = 3 ou x = 5.
Pré-Cálculo 8
Completamento de quadrados: exemplo 2
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
x2 + 3 x + 2 =
(
x2 + 2 (x)
(
3
2
)
+ ?
)
− ? + 2
=
(
x2 + 2 (x)
(
3
2
)
+
9
4
)
− 9
4
+ 2
=
(
x +
3
2
)2
− 1
4
.
Pré-Cálculo 9
Completamento de quadrados: exemplo 2
Logo:
x2 + 3 x + 2 = 0 ⇔
(
x +
3
2
)2
− 1
4
= 0
⇔
(
x +
3
2
)2
=
1
4
⇔
√(
x +
3
2
)2
=
√
1
4
⇔
∣∣∣∣x + 32
∣∣∣∣ = 12
⇔ x + 3
2
= −1
2
ou x +
3
2
=
1
2
⇔ x = −2 ou x = −1.
Pré-Cálculo 10
Completamento de quadrados: exemplo 3
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
2 x2 − 3 x + 1 = 2
(
x2 − 2 (x)
(
3
4
)
+ ?
)
− ? + 1
= 2
(
x2 − 2 (x)
(
3
4
)
+
9
16
)
− 9
8
+ 1
= 2
(
x − 3
4
)2
− 1
8
Pré-Cálculo 11
Completamento de quadrados: exemplo 3
Logo:
2 x2 − 3 x + 1 = 0 ⇔ 2
(
x − 3
4
)2
− 1
8
= 0
⇔
(
x − 3
4
)2
=
1
16
⇔
√(
x − 3
4
)2
=
√
1
16
⇔
∣∣∣∣x − 34
∣∣∣∣ = 14
⇔ x − 3
4
= −1
4
ou x − 3
4
=
1
4
⇔ x = 1 ou x = 1
2
.
Pré-Cálculo 12
Completamento de quadrados: exemplo 4
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
− x2 + 2 x − 1 = −
(
x2 − 2 (x) (1) + ?
)
+ ? − 1
= −
(
x2 − 2 (x) (1) + 1
)
+ 1 − 1
= −
(
x − 1
)2
Pré-Cálculo 13
Completamento de quadrados: exemplo 4
Logo:
− x2 + 2 x − 1 = 0 ⇔ − (x − 1)2 = 0
⇔ (x − 1)2 = 0
⇔
√
(x − 1)2 =
√
0
⇔ |x − 1| = 0
⇔ x − 1 = 0
⇔ x = 1.
Pré-Cálculo 14
Completamento de quadrados: exemplo 5
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
x2 + 2 x + 4 =
(
x2 + 2 (x) (1) + ?
)
− ? + 4
=
(
x2 + 2 (x) (1) + 1
)
− 1 + 4
=
(
x + 1
)2
+ 3
Pré-Cálculo 15
Completamento de quadrados: exemplo 5
Logo:
x2 + 2 x + 4 = 0 ⇔ (x + 1)2 + 3 = 0
⇔ (x + 1)2 = −3.
Moral: como (x + 1)2 ≥ 0 para todo x ∈ R e −3 < 0, segue-se
que a equação x2 + 2 x + 4 = 0 não possui solução real.
Pré-Cálculo 16
Completamento de quadrados: caso geral
Hipótese: a 6= 0.
a x2 + b x + c = a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2 a
)
+ ?
)
− ? + c
= a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2 a
)
+
b2
4 a2
)
− ? + c
= a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2 a
)
+
b2
4 a2
)
− b
2
4 a
+ c
= a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2 a
)
+
b2
4 a2
)
−
(
b2
4 a
− c
)
= a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2 a
)
+
b2
4 a2
)
−
(
b2 − 4 ac
4 a
)
= a
(
x +
b
2 a
)2
−
(
∆
4 a
)
Pré-Cálculo 17
A forma canônica do trinômio
Pré-Cálculo 18
A forma canônica do trinômio
Forma canônica do trinômio: se a 6= 0, então
a x2 + b x + c = a
(
x +
b
2 a
)2
−
(
b2 − 4 ac
4 a
)
Pré-Cálculo 19
Aplicação: raízes de uma equação
quadrática
Pré-Cálculo 20
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0.
a x2 + b x + c = 0 ⇔ a
(
x +
b
2 a
)2
−
(
∆
4 a
)
= 0
⇔ a
(
x +
b
2 a
)2
=
∆
4 a
⇔
(
x +
b
2 a
)2
=
∆
4 a2
.
Moral: se ∆ = b2 − 4 ac < 0, então
∆
4 a2
< 0 e
(
x +
b
2 a
)2
≥ 0.
Logo, a equação quadrática a x2 + b x + c = 0 não possui
solução real.
Pré-Cálculo 21
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0 e ∆ = b2 − 4 ac ≥ 0.
a x2 + b x + c = 0 ⇔
(
x +
b
2 a
)2
=
∆
4 a2
⇔
√(
x +
b
2 a
)2
=
√
∆
4 a2
⇔
∣∣∣∣x + b2 a
∣∣∣∣ =
√
∆√
4 a2
=
√
∆
2|a|
=
∣∣∣∣∣
√
∆
2a
∣∣∣∣∣
⇔ x + b
2 a
= −
√
∆
2a
ou x +
b
2 a
= +
√
∆
2a
⇔ x = − b
2 a
−
√
∆
2a
ou x = − b
2 a
+
√
∆
2a
⇔ x = −b −
√
∆
2a
ou x =
−b +
√
∆
2a
.
Pré-Cálculo 22
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação
do segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume
aparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essa
fórmula na literatura internacional), não é adequado pois:
1. Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase
4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha era
uma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensina como proceder
para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos.
2. Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equação
do segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras os
coeficientes de uma equação. Isso passou a ser feito a partir de François Viète,
matemático francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara,
não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação do
segundo grau.
Fonte: Revista do Professor de Matemática, SBM, vol. 39, p. 54.
Pré-Cálculo 23
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os mais
antigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos há
quase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar dois
números conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procurados
são raízes da equação de segundo grau x2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é um
dos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser igual
a s). Logo, o seu produto é igual a
p = x(s − x) = s x − x2,
de modo que
x2 − s x + p = 0.
Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de um
retângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p.
Pré-Cálculo 24
Escalas em Gráficos
Pré-Cálculo 25
Cuidado!
Se os eixos coordenados são desenhados com escalas
diferentes, distorções podem aparecer!
1 x
1
y
0 1 x
1
y
0
(escalas iguais para os eixos) (escalas diferentes para os eixos)
Pré-Cálculo 26
Cuidado!
Um círculo é desenhado como uma elipse.
1 x
1
y
0
Pré-Cálculo 27
Cuidado!
Um quadrado é desenhado como um retângulo.
1 x
1
y
0
Pré-Cálculo 28
Cuidado!
Ângulos são distorcidos.
1 x
1
y
0
Pré-Cálculo 29
Contudo, escalas diferentes podem ser necessárias!
y = f (x) = 1000 x2
1 x
1
y
0
Pré-Cálculo 30
Transformações de Funções
Pré-Cálculo 31
Transformações de funções
Objetivo:
dado o gráfico de uma função y = f (x) e uma constante c,
obter os gráficos das funções
y = f (x + c), y = f (x) + c, y = c · f (x), y = f (c · x),
y = f (|x |) e y = |f (x)|.
Pré-Cálculo 32
Caso g(x) = f (x + c)
Pré-Cálculo 33
Transformações de funções: g(x) = f (x + c)
Se f está definida no intervalo [1,3] e c = 5, qual é o domínio natural
(efetivo) de y = g(x) = f (x + c) = f (x + 5)?
x ∈ domínio de g ⇔ x + c ∈ domínio de f ⇔ 1 ≤ x + c ≤ 3
⇔ 1− c ≤ x ≤ 3− c ⇔ x ∈ [1− c,3− c]
⇔ x ∈ [−4,−2].
Se f está definida no intervalo [1,3] e c = −3, qual é o domínio
natural (efetivo) de y = g(x) = f (x + c) = f (x − 3)?
x ∈ domínio de g ⇔ x ∈ [1− c,3− c] ⇔ x ∈ [4,6].
Pré-Cálculo 34
Transformações de funções:g(x) = f (x + c)
(Ir para o GeoGebra)
Pré-Cálculo 35
Transformações de funções: g(x) = f (x + c)
(Ir para o GeoGebra)
Pré-Cálculo 36
Moral
Somar uma constante c a variável independente x de uma função f
tem o efeito geométrico de transladar horizontalmente para a direita
(quando c < 0) ou para a esquerda (quando c > 0) o gráfico de f .
f (x) = x2
g(x) = f (x + 2) = (x + 2)2
f (x) = x2
g(x) = f (x − 2) = (x − 2)2
Pré-Cálculo 37
Atividade
Esboçar o gráfico da função definida por g(x) =
√
x + 2.
Relembremos o gráfico da função definida por f (x) =
√
x :
Pré-Cálculo 38
Atividade
Esboçar o gráfico da função definida por g(x) =
√
x + 2.
Note que g(x) =
√
x + 2 = f (x + 2), portanto o gráfico de g é o de f ,
transladado 2 unidades para a esquerda:
Pré-Cálculo 39
Atividade
Esboçar o gráfico da função definida por g(x) =
√
x + 2.
O domínio de f (x) =
√
x é [0,+∞), logo o domínio de g(x) =
√
x + 2
é [−2,+∞).
Pré-Cálculo 40
Caso g(x) = f (x) + c
Pré-Cálculo 41
Transformações de funções: g(x) = f (x) + c
Se f está definida no intervalo [1,3] e c = 1, qual é o domínio natural
(efetivo) de y = g(x) = f (x) + 1?
x ∈ domínio de g ⇔ x ∈ domínio de f ⇔ x ∈ [1,3].
Pré-Cálculo 42
Transformações de funções: g(x) = f (x) + c
(Ir para o GeoGebra)
Pré-Cálculo 43
Transformações de funções: g(x) = f (x) + c
(Ir para o GeoGebra)
Pré-Cálculo 44
Moral
Somar uma constante c a uma função f tem o efeito geométrico de
transladar verticalmente para cima (quando c > 0) ou verticalmente
para baixo (quando c < 0) o gráfico de f .
f (x) = x2
g(x) = f (x) + 2 = x2 + 2
f (x) = x2
g(x) = f (x) − 2 = x2 − 2
Pré-Cálculo 45
Atividade
Esboçar o gráfico da função definida por h(x) =
√
x + 2− 1.
Relembremos o gráfico da função definida por g(x) =
√
x + 2, da
atividade anterior:
Pré-Cálculo 46
Atividade
Esboçar o gráfico da função definida por h(x) =
√
x + 2− 1.
Note que h(x) =
√
x + 2 − 1 = g(x) − 1, portanto o gráfico de h é o
de g, transladado 1 unidade para a baixo:
Pré-Cálculo 47
Atividade
Esboçar o gráfico da função definida por h(x) =
√
x + 2− 1.
O domínio de h é o mesmo de g, dado por [−2,+∞).
Pré-Cálculo 48
Caso g(x) = f (c · x)
Pré-Cálculo 49
Transformações de funções: g(x) = f (c · x)
Se f está definida no intervalo [2,4] e c = 0.4, qual é o domínio
natural (efetivo) de y = g(x) = f (c · x) = f (0.4 · x)?
x ∈ domínio de g ⇔ c · x ∈ domínio de f ⇔ 2 ≤ c · x ≤ 4
(c > 0)⇔ 2/c ≤ x ≤ 4/c ⇔ x ∈ [2/c,4/c]
⇔ x ∈ [5,10].
Se f está definida no intervalo [2,4] e c = 4, qual é o domínio natural
(efetivo) de y = g(x) = f (c · x) = f (4 · x)?
x ∈ domínio de g (c > 0)⇔ x ∈ [2/c,4/c] ⇔ x ∈ [1/2,1].
Pré-Cálculo 50
Transformações de funções: g(x) = f (c · x)
(Ir para o GeoGebra)
Pré-Cálculo 51
Transformações de funções: g(x) = f (c · x)
(Ir para o GeoGebra)
Pré-Cálculo 52
Moral
Multiplicar a variável independente de uma função f por uma constante
não-negativa c tem o efeito geométrico de alongar (para 0 < c < 1)
ou comprimir (para c > 1) horizontalmente o gráfico de f .
fHxL=senHxL g2HxL=fHx�2Lg1HxL=fH2xL
Π
4
Π
2
3 Π
4
Π
3 Π
2
2 Π 3 Π 4 Π
x
-1
1
y
Pré-Cálculo 53
Atividade
Esboçar o gráfico da função definida por i(x) =
√
2x + 2− 1.
Relembremos o gráfico da função definida por h(x) =
√
x + 2− 1, da
atividade anterior:
Pré-Cálculo 54
Atividade
Esboçar o gráfico da função definida por i(x) =
√
2x + 2− 1.
Note que i(x) =
√
2x + 2 − 1 = h(2x), portanto o gráfico de i é o de
h, comprimido horizontalmente à metade (fator 1/2):
Pré-Cálculo 55
Atividade
Esboçar o gráfico da função definida por i(x) =
√
2x + 2− 1.
O domínio de h é [−2,+∞), logo o domínio de i é dado por
[−2/2,+∞) = [−1,+∞).
Pré-Cálculo 56
Caso g(x) = c · f (x)
Pré-Cálculo 57
Transformações de funções: g(x) = c · f (x)
Se f está definida no intervalo [1,3] e c = 2, qual é o domínio natural
(efetivo) de y = g(x) = 2 · f (x)?
x ∈ domínio de g ⇔ x ∈ domínio de f ⇔ x ∈ [1,3].
Pré-Cálculo 58
Transformações de funções: g(x) = c · f (x)
(Ir para o GeoGebra)
Pré-Cálculo 59
Transformações de funções: g(x) = c · f (x)
(Ir para o GeoGebra)
Pré-Cálculo 60
Moral
Multiplicar uma função f por uma constante não-negativa c tem o efeito
geométrico de alongar (para c > 1) ou comprimir (para 0 < c < 1)
verticalmente o gráfico de f .
fHxL=senHxL
g2HxL=fHxL�2
g1HxL=2 fHxL
Π
2
Π
3 Π
2
2 Π
x
-2
-1
1
2
y
Pré-Cálculo 61
Atividade
Esboçar o gráfico da função definida por j(x) = 3
√
2x + 2− 3.
Relembremos o gráfico da função definida por i(x) =
√
2x + 2− 1, da
atividade anterior:
Pré-Cálculo 62
Atividade
Esboçar o gráfico da função definida por j(x) = 3
√
2x + 2− 3.
Note que j(x) = 3(
√
2x + 2 − 1) = 3i(x), portanto o gráfico de j é o
de i , expandido verticalmente:
Pré-Cálculo 63
Atividade
Esboçar o gráfico da função definida por j(x) = 3
√
2x + 2− 3.
O domínio de j é o mesmo de i , dado por [−1,+∞).
Pré-Cálculo 64
Caso g(x) = −f (x)
Pré-Cálculo 65
Transformações de funções: g(x) = −f (x)
Multiplicar uma função f por −1 tem o efeito geométrico de refletir com
relação ao eixo-x o gráfico de f . M M M M M M M M M M M M M M M
M M M M M M M
Pré-Cálculo 66
Caso g(x) = f (−x)
Pré-Cálculo 67
Atividade
Esboçar o gráfico da função definida por `(x) = −3
√
2x + 2 + 3.
Relembremos o gráfico da função definida por j(x) = 3
√
2x + 2 − 3,
da atividade anterior:
Pré-Cálculo 68
Atividade
Esboçar o gráfico da função definida por `(x) = −3
√
2x + 2 + 3.
Note que `(x) = −(3
√
2x + 2− 3) = −j(x), portanto o gráfico de ` é o
de j , refletido com relação ao eixo x :
Pré-Cálculo 69
Atividade
Esboçar o gráfico da função definida por `(x) = −3
√
2x + 2 + 3.
O domínio de ` é o mesmo de j , dado por [−1,+∞).
Pré-Cálculo 70
Transformações de funções: g(x) = f (−x)
Multiplicar a variável independente x de uma função f por −1 tem o
efeito geométrico de refletir com relação ao eixo-y o gráfico de f . M M
M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M
Pré-Cálculo 71
Atividade
Esboçar o gráfico da função definida por m(x) = −3
√
−2x + 2 + 3.
Relembremos o gráfico da função definida por `(x) = −3
√
2x + 2 + 3,
da atividade anterior:
Pré-Cálculo 72
Atividade
Esboçar o gráfico da função definida por m(x) = −3
√
−2x + 2 + 3.
Note que m(x) = −3
√
2(−x) + 2 + 3 = `(−x), portanto o gráfico de
m é o de `, refletido com relação ao eixo y :
Pré-Cálculo 73
Atividade
Esboçar o gráfico da função definida por m(x) = −3
√
−2x + 2 + 3.
O domínio de ` é [−1,+∞), logo o de m é (−∞,1].
Pré-Cálculo 74
Caso g(x) = |f (x)|
Pré-Cálculo 75
Transformações de funções: g(x) = |f (x)|
g(x) = |f (x)| =
{
+f (x), se f (x) ≥ 0,
−f (x), se f (x) < 0.
f (x) = x2 − 1 g(x) = |f (x)| = |x2 − 1|
Pré-Cálculo 76
Caso g(x) = f (|x |)
Pré-Cálculo 77
Transformações de funções: g(x) = f (|x |)
g(x) = f (|x |) =
{
f (+x), se x ≥ 0,
f (−x), se x < 0.
f (x) = x3 − 3 x2 + 2 x + 1 g(x) = f (|x |) = |x |3 − 3 |x |2 + 2 |x |+ 1
Pré-Cálculo 78
Exercício resolvido
Pré-Cálculo 79
Exemplo: esboce o gráfico de y = 4− |x − 2|
y = f (x) = |x | y = g(x) = f (x − 2) = |x − 2|
y = h(x) = −g(x) = −|x − 2| y = l(x) = h(x) + 4 = 4− |x − 2|
Pré-Cálculo 80
Exemplo: esboce o gráfico de y = 4− |x − 2|
y = f (x) = |x | y = g(x) = −f (x) = −|x |
y = h(x) = g(x) + 4 = 4− |x | y = l(x) = h(x − 2) = 4− |x − 2|
Pré-Cálculo 81
Atividade
Esboçar o gráfico da função definida por f (x) = −
∣∣∣(x − 2)2 − 1∣∣∣+ 3.
Pré-Cálculo 82
Atividade
Esboçar o gráfico da função definida por f (x) = −
∣∣∣(x − 2)2 − 1∣∣∣+ 3.
Resposta:
1 2 3 4
x
-4
-2
2
3
4
y
Pré-Cálculo 83
Atividade
Esboçar o gráfico da função definida por f (x) = −
∣∣∣(|x | − 2)2 − 1∣∣∣+3.
Pré-Cálculo 84
Atividade
Esboçar o gráfico da função definida por f (x) = −
∣∣∣(|x | − 2)2 − 1∣∣∣+3.
Resposta:
-4 -3 -1 2 3 4
x
-4
-2
2
3
4
y
Pré-Cálculo 85
Aplicação: o gráfico de uma função
quadrática
Pré-Cálculo 86
Aplicação: o gráfico de uma função quadrática
Uma vez que
a x2 + b x + c = a
(
x +
b
2 a
)2
−
(
b2 − 4ac
4 a
)
,
segue-se que se f (x) = x2 e g(x) = a x2 + b x + c, então
g(x) = a f (x + r) + s, onde r =
b
2 a
e s = −b
2 − 4 ac
4 a
.
Moral:
o gráfico de qualquer função quadrática pode ser obtido via um
alongamento/compressão vertical, uma translação horizontal e
uma translação vertical do gráfico da função f (x) = x2.
Pré-Cálculo 87
Aplicação: o gráfico de uma função quadrática
(Ir para o GeoGebra)
Pré-Cálculo 88
Aplicação: o gráfico de uma função quadrática
O vértice da parábola que é gráfico da função quadrática
f (x) = a x2 + b x + c = a
(
x +
b
2 a
)2
−
(
b2 − 4 ac
4 a
)
,
têm coordenadas
V =
(
− b
2 a
,−b
2 − 4 ac
4 a
)
.
Pré-Cálculo 89
Atividade
[01] Se f (x) = a(x − vx )2 + vy é a expressão de uma função
quadrática na forma canônica, prove que f (vx + k) = f (vx − k).
Substituindo, temos
f (vx + k) = a((vx + k)− vx )2 + vy = a(k)2 + vy = ak2 + vy
f (vx − k) = a((vx − k)− vx )2 + vy = a(−k)2 + vy = ak2 + vy .
Assim, f (vx + k) = f (vx − k).
E o que isto significa?
Pré-Cálculo 90
Simetria do gráfico da função quadrática
Se f (x) = a(x − vx )2 + vy , lembre-se de que o vértice da
parábola tem coordenadas (vx , vy ). Provamos então que a
parábola é simétrica em relação à reta vertical x = vx .
Pré-Cálculo 91
	A função quadrática
	Completamento de quadrados
	A forma canônica do trinômio
	Aplicação: raízes de uma equação quadrática
	Escalas em Gráficos
	Transformações de Funções
	Caso g(x) = f(x + c)
	Caso g(x) = f(x) + c
	Caso g(x) = f(c x)
	Caso g(x) = c f(x)
	Caso g(x) = -f(x)
	Caso g(x) = f(-x)
	Caso g(x) = |f(x)|
	Caso g(x) = f(|x|)
	Exercício resolvido
	Aplicação: o gráfico de uma função quadrática