Métodos Quantitativos

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Métodos Quantitativos 
Unidade 4. Estatística inferencial – Parte II 
 
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Sumário 
2 
Seção Slides 
4.1 – Correlação entre variáveis quantitativas 03 – 11 
4.2 – Teste de significância 12 – 19 
4.3 – Regressão linear 20 – 27 
4.4 – Estudando resíduos 28 – 43 
Anexo A – Alfabeto grego 44 – 46 
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CORRELAÇÃO ENTRE VARIÁVEIS 
QUANTITATIVAS 
Seção 4.1 
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Correlação 
• Duas variáveis estão correlacionadas quando 
existe uma relação de dependência entre elas 
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Covariância 
𝐶𝑜𝑣 𝑋, 𝑌 = 
 𝑥𝑖 − 𝑥 ∗ (𝑦𝑖 − 𝑦 )
𝑛 − 1
, 𝑐𝑜𝑚 𝑛 ≥ 2 
 
• Correlação entre as variáveis: 
– Se Cov (X,Y) > 0 ... correlação positiva 
– Se Cov (X,Y) < 0 ... correlação negativa 
– Se Cov (X,Y) = 0 ... não existe correlação 
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Covariância e relação das variáveis 
• Com covariância tradicional podemos pensar que quanto 
maior a magnitude da covariância, maior o 
relacionamento entre as variáveis. 
 
• Isso não é verdade, dado que quanto maior o valor dos 
dados maior a chance disto ocorrer. 
 
• Para corrigir tal situação, uma possibilidade é utilizar 
variáveis padronizadas. 
 
• Para corrigir esta questão (padronizar variáveis) utilizar o 
coeficiente de correlação. 
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Coeficiente de correlação 
𝑟 = 𝜌 𝑋, 𝑌 =
 𝑥𝑖 − 𝑥 ∗ (𝑦𝑖 − 𝑦 )
𝑛 − 1
𝑑𝑝 𝑥 ∗ 𝑑𝑝(𝑦)
=
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)
𝑑𝑝(𝑥) × 𝑑𝑝(𝑦)
 
 
– Se r > 0 ... variáveis são positivamente correlacionadas 
– Se r < 0 ... variáveis são negativamente correlacionadas 
– Se r = 0 ... variáveis não são correlacionadas 
– Se r = +1 ... correlação positiva perfeita 
– Se r = -1 ... correlação negativa perfeita 
Observação: Quanto mais próxima de +1 (relação direta) ou -1 
(relação inversa), mais forte é a correlação 7 
Forma alternativa de calcular 
• Mais prática do que as formulas anteriores. 
• Usar a soma dos quadrados das variáveis. 
 
 
 
 
8 
𝑆𝑄 𝑥𝑦 = 𝑥𝑦 −
( 𝑥)( 𝑦)
𝑛
 
 
𝑟 = 𝜌 𝑋, 𝑌 = 
𝑆𝑄 (𝑥𝑦)
𝑆𝑄 𝑥 𝑥 𝑆𝑄(𝑦)
 
𝑆𝑄 𝑥 = 𝑥2 −
( 𝑥)
2
𝑛
 
 
𝑆𝑄 𝑦 = 𝑦2 −
( 𝑦)
2
𝑛
 
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Exemplo 1 
• Usando a SQ(xy) calcular o coeficiente de correlação para as 
variáveis apresentadas na tabela abaixo e classifique as 
variáveis quanto à correlação 
 
 
9 
Ano PIB (X) Investimentos em 
educação (Y) 
1950 20 2 
1951 22 2 
1952 23 3 
1953 25 5 
1954 26 6 
1955 26 8 
1956 28 9 
D
ad
o
s 
h
ip
o
té
ti
co
s 
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Exemplo 1 - resolução 
Ano (n) 𝑋 𝑌 𝑋2 𝑌2 𝑋𝑌 
1950 (1) 20 2 400 4 40 
1951 (2) 22 2 484 4 44 
1952 (3) 23 3 529 9 69 
1953 (4) 25 5 625 25 125 
1954 (5) 26 6 676 36 156 
1955 (6) 26 8 676 64 208 
1956 (7) 28 9 784 81 252 
 170 35 4.174 223 894 
𝑆𝑄 𝑥 = 4174 −
170 2
7
= 45,43 
𝑆𝑄 𝑦 = 223 −
35 2
7
= 48 
𝑆𝑄 𝑥𝑦 = 894 −
170 ∗ 35
7
= 44 
𝑟 = 𝑝 𝑋, 𝑌 =
44
45,43 ∗ 48
= 0,94 
X e Y são positivamente correlacionadas (correlação forte). 10 
Exercício 1 
• Usando a SQ(xy) calcular o coeficiente de correlação para as 
variáveis apresentadas na tabela abaixo e classifique as 
variáveis quanto à correlação 
 
 
Ano Consumo (X) Preço (Y) 
1950 1 10 
1951 2 9 
1952 3 8 
1953 4 7 
1954 5 6 
1955 6 5 
1956 7 4 
D
ad
o
s 
h
ip
o
té
ti
co
s 
Resposta: r=-1 ; X e Y apresentam correlação negativa (perfeita) 11 
TESTE DE SIGNIFICÂNCIA 
Seção 4.2 
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Coeficiente de correlação (𝑟) 
13 
• Se 𝑟 > 0 ... Correlação positiva entre X e Y 
– Quanto mais próximo de 1, mais forte a correlação 
 
• Se 𝑟 < 0 ... Correlação negativa entre X e Y 
– Quanto mais próximo de -1, mais forte a correlação 
 
• Se 𝑟 = 0 ... Não há correlação entre X e Y 
 
• Se 𝑟 ≅ 0 ... Indício de não correlação 
 
• Tendo isto em mente, vamos fazer teste de hipótese para 
checar a força de uma correlação por meio de 𝑟 (teste de 
significância) 
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Teste de significância (hipóteses) 
14 
Hipóteses Lado 
 
𝐻0: 𝜌 ≥ 0 (não há correlação negativa significativa) 
𝐻1: 𝜌 < 0 (correlação negativa significativa) 
 
Unilateral à esquerda 
 
𝐻0: 𝜌 ≤ 0 (não há correlação positiva significativa) 
𝐻1: 𝜌 > 0 (correlação positiva significativa) 
 
Unilateral à direita 
 
𝐻0: 𝜌 = 0 (não há correlação significativa) 
𝐻1: 𝜌 ≠ 0 (correlação significativa) 
 
Bilateral 
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Fórmula para calcular hipóteses 
• Teste 𝑡 pode ser usado 
– Caso de correlação entre duas variáveis ser 
significativa 
– Distribuição 𝑡 com 𝑛 − 2 graus de liberdade 
 
𝑡𝑐 = 
𝑟
𝜎𝑟
= 
𝑟
1 − 𝑟2
𝑛 − 2
 
 
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Exemplo 1 
• Nos slides 09 e 10 foi apresentado um 
exemplo com relação a PIB e investimento, 
onde o 𝑟 = 0,9423. Com 95% de confiança, o 
valor de 𝑟 = 0,9423 indica que a correlação é 
significante? 
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Exemplo 1 - resolução 
• Passo 1: elaborar hipóteses 
Teoricamente, parece que quando investimento  , o PIB  
𝐻𝑜: 𝜌 = 0 ... Não há correlação significante 
𝐻1: 𝜌 ≠ 0 ... Correlação significante 
 
• Passo 2: Fixar nível de significância 
𝛼 = 100% − 95% = 5% 
 
• Passo 3: Calcular estatística 
𝑡𝑐 =
0,9423
1 − (0,9423)2
7 − 2
≅ 6,2940 
 
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Exemplo 1 - resolução 
• Passo 4: Tomar decisão 
Como teste é bilateral, devemos consultar a coluna 5% 
na tabela 𝑡 
 
Pegando 𝑔𝑙 = 7 − 2, vamos na linha 5, e coluna 5%, e 
dessa forma, percebemos que 𝑡 = 2,571, ou seja, nossa 
região crítica é R𝐶 = {𝑇 ∈ ℝ|𝑇 ≤ −2,571 𝑜𝑢 𝑇 ≥
2,571} 
 
Como 𝑡𝑐 = 6,2940 ∈ 𝑅𝐶, rejeitamos 𝐻0, ou seja, nossa 
correlação entre PIB e Investimento pode ser 
considerada significativa 
 
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Exercício 1: Obter o coeficiente de correlação entre o 
conjunto de dados da tabela abaixo e testar a 
significância de 𝑟 para 95% de confiança. 
– Adotar: 𝑆𝑄 𝑋 = 0,4417; 𝑆𝑄 𝑌 = 8,6363 ; 𝑆𝑄 𝑋𝑌 =
− 1,5172. (Resposta: 𝑡𝑐 = −2,75821). 
 
 
Pessoa Índice de placa 
bacteriana (X) 
Tempo de escovação 
em minutos (Y) 
1 0,08 2,50 
2 0,18 1,20 
3 0,78 0,50 
4 0,03 2,80 
5 0,20 1,18 
6 0,00 4,00 
7 0,05 2,50 
19 
REGRESSÃO LINEAR 
Seção 4.3 
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Regressão linear 
• Princípio básico: reta que melhor se ajusta a 
um conjunto de pontos (X,Y) observados 
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Matematicamente 
• De modo intuitivo, pensar numa função de grau 
1: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, em que 𝑎 e 𝑏 são números 
desconhecidos, e para ser uma função de grau 1, 
𝑎 ≠ 0. 
 
• Regressão linear: Dada uma amostra de dadosbivariados, vamos montar função: 𝑦 = 𝑎 𝑥 + 𝑏 
– Como se trata de uma “reta média” entre os pontos 
observados, é importante perceber que existe um 
erro entre cada valor da amostra e da reta. 
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Calculando os coeficientes 
𝑦 = 𝑎 𝑥 + 𝑏 
 
𝑎 = 𝑟
𝑠(𝑌)
𝑠(𝑋)
 
 
𝑏 = 𝑦 − 𝑎 . 𝑥 
 
 
• Legenda: 
𝑎 = coeficiente angular 
𝑏 = intercepto 
𝑟 = coeficiente de 
correlação 
𝑠 = desvio-padrão amostral 
𝑦 = média dos valores de Y 
𝑥 = média dos valores de X 
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Fórmulas alternativas 
𝑦 = 𝑎 𝑥 + 𝑏 
 
𝑎 =
𝑛 𝑥𝑦 − ( 𝑥)( 𝑦)
𝑛 𝑥2 − ( 𝑥)
2 = 
𝑆𝑄(𝑥𝑦)
𝑆𝑄(𝑥)
 
 
𝑏 = 𝑦 − 𝑎 𝑥 = 
 𝑦
𝑛
− 𝑎 
 𝑥
𝑛
 
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Exemplo 1 
• Obter a regressão linear do conjunto de dados 
da tabela abaixo: 
 
 
Pessoa Índice de placa 
bacteriana (X) 
Tempo de escovação 
em minutos (Y) 
1 0,08 2,50 
2 0,18 1,20 
3 0,78 0,50 
4 0,03 2,80 
5 0,20 1,18 
6 0,00 4,00 
7 0,05 2,50 
25 
Exemplo 1 – resolução 
n X Y X^2 Y^2 XY 
1 0,08 2,50 0,0064 6,2500 0,2000 
2 0,18 1,20 0,0324 1,4400 0,2160 
3 0,78 0,50 0,6084 0,2500 0,3900 
4 0,03 2,80 0,0009 7,8400 0,0840 
5 0,20 1,18 0,0400 1,3924 0,2360 
6 0,00 4,00 0,0000 16,0000 0,0000 
7 0,05 2,50 0,6903 6,2500 0,1250 
Soma 1,32 14,68 0,6906 39,4224 1,2510 
Média 0,18857 2,09714 
dp 0,27132 1,19975 
26 
Exemplo 1 – resolução 
𝑆𝑄 𝑋 = 0,6906 −
1,32 2
7
 
𝑆𝑄(𝑋) = 0,44169 
 
𝑆𝑄 𝑌 = 39,4224 −
14,68 2
7
 
𝑆𝑄(𝑌) = 8,63634 
 
𝑆𝑄 𝑋𝑌 = 1,2510 −
1,32 ∗ 14,68
7
 
𝑆𝑄(𝑋𝑌) = −1,51723 
 
 
𝑎 =
𝑆𝑄(𝑋𝑌)
𝑆𝑄(𝑋)
=
−1,51723
0,44169
 
𝑎 = −3,43509 
 
𝑏 = 𝑦 − 𝑎 . 𝑥 
𝑏 = 2,09714 − (−3,43509)(0,18857) 
𝑏 = 2,74490 
 
𝑦 = 𝑎 𝑥 + 𝑏 
𝑦 = −3,43509𝑥 + 2,74490 
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SEÇÃO 4.4 
Estudando os resíduos 
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Recapitulando - Exemplo 1 
• Supondo dados da tabela, 
𝒏 𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝒙𝒊
𝟐 𝒚𝒊
𝟐 𝒙𝒊. 𝒚𝒊 
1 2 8 4 64 16 
2 4 8,5 16 72,25 34 
3 5 9 25 81 45 
4 6 10 36 100 60 
5 8 10,5 64 110,25 84 
6 9 11 81 121 99 
7 10 12 100 144 120 
 44 69 326 692,5 458 
Média 6,28571 9,85714 
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Exemplo 1 – coeficiente de correlação 
• 𝑆𝑄 𝑥 = 326 −
44 2
7
= 49,42857 
 
• 𝑆𝑄 𝑦 = 692,5 −
69 2
7
= 12,35714 
 
• 𝑆𝑄 𝑥𝑦 = 458 −
44∗69
7
= 24,28571 
 
• 𝑟 =
24,28571
49,42857∗12,35714
= 0,98266 
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Exemplo 1 - 𝑟 significante (95%) 
• 𝐻0: 𝜌 = 0 (não há correlação significante) 
• 𝐻1: 𝜌 ≠ 0 (há correlação significante) 
 
• 𝑡𝑐 =
𝑟
1−𝑟2
𝑛−2
=
0,98266
1−(0,98266)2
7−2
= 11,85022 
 
• 𝛼 = 100% − 95% = 5% 
 
• 𝑅𝐶 = 𝑇 ∈ ℝ|𝑇 ≤ −2,571 𝑜𝑢 𝑇 ≥ 2,571 
 
• Como 𝑡𝑐 ∈ 𝑅𝐶, rejeitamos 𝐻0, ou seja, existem indícios que 
permitem considerar a correlação entre 𝑥𝑖 e 𝑦𝑖 
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Exemplo 1 – regressão linear 
• 𝑎 =
𝑆𝑄(𝑥𝑦)
𝑆𝑄(𝑥)
=
24,28571
49,42857
 
• 𝑎 = 0,49133 
 
• 𝑏 = 𝑦 − 𝑎 ∗ 𝑥 = 9,85714 − 0,49133 ∗ 6,28571 
• 𝑏 = 6,76878 
 
• 𝑦 = 𝑎 𝑥 + 𝑏 
• 𝑦 = 0,49133𝑥 + 6,76878 
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Contexto 
• Mesmo ajustando a regressão aos dados 
observados, ainda assim é comum que o 
ajuste esteja sujeito a erros, o qual chamamos 
de desvios 
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Tipos de desvios 
• Desvio não explicado: diferença entre valor amostrado e 
o valor previsto pela regressão (𝑒𝑖 = 𝑦𝑖 − 𝑦 𝑖) 
– Diferença entre valor previsto e o amostrado 
 
• Desvio explicado: diferença entre o valor previsto pela 
regressão e o valor médio da mesma (𝑦 𝑖 − 𝑦 ) 
– Desvio totalmente entendido pela regressão 
 
• Desvio total: diferença entre o valor amostrado e o valor 
médio (𝑦𝑖 − 𝑦 ) 
– Ou seja, desvio total = desvio explicado + desvio não explicado 
 
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Fórmula dos desvios 
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑣𝑎𝑟. 𝑒𝑥𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 + 𝑣𝑎𝑟. 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 
 
 (𝑦𝑖 − 𝑦 )2 = (𝑦 𝑖 − 𝑦 )2 + 𝑦𝑖 − 𝑦 𝑖
2 
 
 
 
 
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Exemplo 1 - desvios 
𝒏 𝒙𝒊 𝒚𝒊 Regressão DT DE DNE 
1 2 8 7,75145 3,44898 4,43396 0,06178 
2 4 8,5 8,73410 1,84184 1,26122 0,05480 
3 5 9 9,22543 0,73469 0,39906 0,05082 
4 6 10 9,71676 0,02041 0,01971 0,08022 
5 8 10,5 10,69942 0,41327 0,70943 0,03977 
6 9 11 11,19075 1,30612 1,77851 0,03639 
7 10 12 11,68208 4,59184 3,33040 0,10107 
 69 - 12,3571 11,93229 0,42486 
Média 9,85714 - - - - 
Desvio total: 𝐷𝑇 = (𝑦𝑖 − 𝑦 )2 
 
𝐷𝑇 = 𝐷𝐸 + 𝐷𝑁𝐸 
Desvio explicado: 𝐷𝐸 = (𝑦 𝑖 − 𝑦 )2 
 
Desvio não explicado: 𝐷𝑁𝐸 = 𝑦𝑖 − 𝑦 𝑖
2 
36 
Coeficiente de determinação (ou explicação) 
• Medida que mostra em termos percentuais, quanto de Y e 
explicado por X. Por exemplo, se o resultado do coeficiente de 
determinação for 0,8: 
– Significa que 80% da variação de Y se deve a X 
– Significa que 20% não pode ser explicado por X 
 
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜 = 
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
 
 
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜 = 𝑟2 
 
 
 
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Exemplo 1 – coeficiente de determinação (𝑟2) 
𝑟2 = 
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
=
11,93229
12,35714
= 0,96562 
 
Ou 
 
𝑟2 = 0,982662 = 0,96562 
 
– Isso significa que 96,56% da variação de Y se deve a X 
– E que 3,44% não pode ser explicado por X 
 
 
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Intervalo de previsão (IP) 
• Intervalo de previsão: quando fazemos uma 
regressão linear 𝑦 = 𝑎 𝑥 + 𝑏 , é natural se 
construir um intervalo de confiança para a 
estimativa 
 
• Dada 𝑦 = 𝑎 𝑥 + 𝑏 , para cada valor específico 
𝑥𝑖, o intervalo de confiança para 𝑦𝑖 será: 
𝑦 𝑖 − 𝐸 < 𝑦𝑖 < 𝑦 𝑖 + 𝐸, ou, 𝑦 𝑖 − 𝐸, 𝑦 𝑖 −𝐸 , 
onde 𝐸 é a margem de erro. 
 
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IP 
• Dada regressão 𝑦 = 𝑎 . 𝑥 + 𝑏 , margem de erro 𝐸 para estimativa 𝑦 0, 
calculada a partir de um valor 𝑥0, é dada por: 
 
𝐸 = 𝑡𝛾 ∙ 𝑆𝑒 ∙ 1 +
1
𝑛
+
𝑛 𝑥0 − 𝑥 2
𝑛 𝑥2 − 𝑥 2 
 
𝑡𝛾 é obtido a partir da tabela T com n-2 graus de liberdade e erro 
padrão da estimativa obtido pela fórmula: 
 
𝑆𝑒 =
 (𝑦𝑖 − 𝑦 𝑖)
2
𝑛 − 2
=
 𝑦𝑖
2 − 𝑏 𝑦𝑖 − 𝑎 𝑥𝑖𝑦𝑖
𝑛 − 2
 
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Exemplo 1 - IP 
𝑦 = 0,49133𝑥 + 6,76878 com 95% de 
confiança para 𝑦 0, dado 𝑥𝑜 = 4 
 
Resolução: 
𝑦 0 = 0,49133 ∗ 4 + 6,76879 = 8,73410 
 
𝑆𝑒 =
 (𝑦𝑖 − 𝑦 𝑖)
2
𝑛 − 2
=
0,42486
7 − 2
= 0,29150 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 1 – IP (continuação) 
• 𝛼 = 100% − 95% = 5% ... 𝑡𝛾 = 2,571 
 
• 𝐸 = 𝑡𝛾 ∙ 𝑆𝑒 ∙ 1 +
1
𝑛
+
𝑛 𝑥0−𝑥2
𝑛 𝑥2− 𝑥 2 
 
• 𝐸 = 2,571 ∙ 0,29150 ∙ 1 +
1
7
+
7(4−6,28571)2
7(326)−(44)2
 
• 𝐸 = 0,83742 
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Exemplo 1 – IP (continuação) 
• 𝐼𝐶 𝑦 0 = 8,73410 ; 95% 
• 𝐼𝐶 = 8,73410 − 𝐸; 8,73410 + 𝐸 
• 𝐼𝐶 = 8,73410 − 0,83742; 8,73410+0,83742 
• 𝐼𝐶 = 7,89668; 9,57152 
 
Conclusão: Há 95% de probabilidade de 𝑦 0, 
calculado a partir de 𝑥0 = 4, pertencer ao 
intervalo 7,89668; 9,57152 . 
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ALFABETO GREGO 
Anexo 
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A. Alfabeto grego 
45 
Nome Pronúncia Minúscula Maiúscula Equivalente latino 
Alfa Alpha   a 
Beta Vita   b 
Gama Ghama   gh = g = j 
Delta Dhelta   dh = d 
Epsilon Épsilon   e 
Zeta Zita   z 
Eta Ita   e ou h 
Teta Thita   th = t 
Iota Iota   i = j 
Kapa Kappa   k = c = qu 
Lambda Lambda   l 
Mi Mi   m 
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B. Alfabeto grego (continuação) 
46 
Nome Pronúncia Minúscula Maiúscula Equivalente latino 
Ni Ni   n 
Ksi Ksi ou xi   ks = cs = ch (X) 
Omicron Ômikron   o 
Pi Pi   p 
Ro Ro   r = rh 
Sigma Sigma   s 
Tau Taf   t 
Upsilon Ípsilon   u = y = i 
Phi Fi   ph = f 
Psi Psi   Os 
Chi Khi (ri)   kh = x (H) 
Omega Omega   o 
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