Distância entre dois pontos numa superfície terrestre

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS ANIMAIS 
CURSO DE ECOLOGIA 
DISCIPLINA: CARTOGRAFIA AMBIENTAL 
PROFESSOR: FRANCISCO DE ASSIS DE OLIVEIRA 
 
Distância entre dois pontos numa superfície terrestre 
 
 
Sabendo-se as coordenadas - Latitude e Longitude dos pontos sobre o globo terrestre é possível, 
utilizando as fórmulas da trigonometria esférica, calcular a distância entre eles. A Longitude de um ponto 
no globo terrestre é a distância medida em graus desde o Meridiano de Greenwich, que é a referência de 
Zero graus - até o Meridiano que passa por esse ponto. 
A Latitude de um ponto no globo terrestre é a distância medida em graus desde o Equador 
Terrestre, que é a referência de Zero Graus - até o círculo paralelo que passa por esse ponto. O Meridiano 
de Greenwich é o meridiano de referência, para as medidas de longitude, sendo que o ponto sobre a 
Terra pode estar à esquerda ou à direita deste Meridiano. O Equador é a referência, para as medidas de 
Latitude, sendo que o ponto pode estar ao Norte ou ao Sul do Equador. Tendo-se as coordenadas dos 
pontos, calcula-se a distância em graus formada pelos arcos de circunferência entre esses pontos e desses 
pontos em relação ao ponto A mostrado na figura abaixo. De posse desses dados utilizando equações da 
trigonometria esférica calcula-se a distancia entre esses dois pontos. 
 
ALGUMAS MEDIDAS NA ESFERA TERRESTRE 
 
A título de curiosidade, para ganhar familiaridade com as grandezas terrestres apresentamos 
algumas medidas simplificadas e aproximadas utilizando o modelo esférico terrestre (modelo 
simplificado). 
Comprimento de um grau de Latitude (Meridiano) 2 x 3,141592(PI) x 6378160m / 360=111320 m 
Comprimento de um grau de Longitude (Paralelo) 2 x 3,141592(PI) x 6378000 x cos(Lat) / 360 = 
variável com a Latitude do lugar no Equador é igual ao grau de Latitude 111320 m na Latitude de 45° = 
78715 m na Latitude de 60° = 55660 m. 
 
 
 
 
Latitude Perímetro (km) Compr. 1° (km)
0° Equador 40.076,64 110,664;
10° 39.471,84 109,644;
20° 37.674,36 104,651;
22°26' Trópicos 36.787,56 102,188;
30° 34.725,60 96,490;
40° 30.743,28 85,338;
45° 28.812,47 80,035;
50° 25.811,64 71,699;
60° 20.089,08 55,830;
67°34' C. Polares 15.986,00 44,405;
70° 13.747,68 38,188;
80° 6.978,60 19,395;
90° polos 0 0
C=110664*cos(Latitude) => 110664*cos(60°) = 55.332 
 
À distância d(A-B) entre dois pontos A e B é, essencialmente, o menor dos comprimentos das 
trajetórias ligando A e B, é razoável que a distância (em S) entre dois pontos A e B seja o comprimento 
do arco menor AB da circunferência máxima que parra por A e B. 
O calculo desse comprimento pode ser feito a partir do conhecimento da medida do ângulo AOB, 
onde O é o centro da superfície esférica S. Como o comprimento do arco é proporcional à medida do 
ângulo central correspondente, uma regra de três simples nos dá o valor procurado. 
Sendo ‘r’ o raio da superfície esférica, temos: 
 
360º ---------------2π 
αº-------------------d(A-B) 
 
de modo que: 
 
 
Todos os meridianos estão contidos e, circunferências máximas enquanto que, entre os paralelos, 
apenas o Equador é uma circunferência máxima. Logo quando A e B possuem a mesma longitude, a 
diferença entre as latitudes pode ser usada para achar a medida α. Analogamente quando A e B estão, 
sobre o equador é a diferença entre as longitudes que nos permite calcular α. 
 
Vejamos como. 
As cidades de Curitiba e Goiânia estão sobre o mesmo meridiano (49ºW) e suas latitudes são 26ºS 
e 17ºS, respectivamente. 
Estão assim separados por 9º de latitude e, tomando-se o raio da Terra como 6400 km, segue que a 
distância entre elas é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
As cidades de Quito, no Equador, e Entebe, em Uganda estão ambas sobre o Equador. A longitude 
é de Quito é de 79ºW enquanto que a de Entebe é de 32ºE. Logo a diferença entre suas longitudes é de 
111º, de modo que a distância entre elas é de aproximadamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando duas cidades A e B estão sobre um mesmo paralelo, que não seja o equador, o caminho 
mais curto possível entre elas, ao contrário do que diz nossa intuição, não é o comprimento do arco menor 
A-B daquele paralelo, e sim o comprimento do arco menor A-B da circunferência máxima que passa por 
A e B. 
 
 
 
No entanto, quando duas cidades A e B estão sobre paralelos diferentes, a distância será 
determinada utilizando-se uma das seguintes equações trigonométricas: 
 
cos (b) = cos (a) x cos (c) + sem (a) x sem (c) x cos (B) (equação 1) 
 
b - arco de círculo máximo entre A e B 
a - latitude de A 
c - latitude de B 
B - diferença de longitude entre A e B 
 
 
cos (c) = cos (b) x cos (a) + sem (b) x sem (a) x cos (C) (equação 2) 
 
c - arco de círculo máximo entre A e B 
a - latitude de A 
b - latitude de B 
C - diferença de longitude entre A e B 
 
 
 
cos (a) = cos (b) x cos (c) + sem (b) x sem (c) x cos (A) (equação 3) 
 
c - arco de círculo máximo entre A e B 
b - latitude de A 
c - latitude de B 
A - diferença de longitude entre A e B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os dados de Latitude e Longitude dadas em graus, minutos e segundos, tem que ser transformados 
para graus para que possam expressados em forma decimal e trabalhados dessa maneira. 
Antes coloquemos as coordenadas utilizando a orientação de sinal negativo quando vamos do 
Meridiano de Greenwich para sua esquerda e orientação de sinal positivo quando vamos do Meridiano de 
Greenwich para a direita. 
A Latitude é positiva ao Norte do Equador e Negativa ao sul do Equador. 
 Assim, a longitude da cidade de Nova York, que está à esquerda de Greenwich é igual a -73º 58’, que 
corresponde a 73,97º. 
A latitude da cidade de Nova York, que está acima do equador é 40º49’, que corresponde a 40,82º 
. 
A longitude do Rio de Janeiro, que está a esquerda de Greenwich é – 43º10’, que corresponde a –43,17º 
A latitude do Rio de Janeiro, que está ao sul do Equador é igual a –22º54’, que corresponde a –22,9º 
Uma vez convertidas as coordenadas desses pontos, calculemos agora os arcos a, b e c. 
ARCO BC = a: 
Observe que o arco a é igual à diferença entre os arcos das longitudes das duas cidades: 
Assim o arco a = –7 3,96º – (–43,17º) 
ARCO a = –30,8 
ARCO AB = c 
Observe que o arco AB = c é a diferença (90º – 40,82º) 
ARCO AB = c = 49,18º 
 ARCO AC = b 
 
 Observe que o arco AC = b é igual a 90º – (–22,9º) 
AC = b = 112,9º 
 
 
 
Olhando para estas fórmulas verificamos que a que nos convém utilizar é esta: 
 
cos (a) = cos (b) . cos (c) + sen (b) . sen (c) . cos (A) 
cos (a) = cos (112,9). cos (49,183333) + sen (112,9) . sen (49,18333) . cos (-30,8) 
cos (a) = -(0,3891239 . 0,6536407 +( 0,9211854 . 0,7568049) . (0,8589599) 
cos (a) = -(0,2543472) + (0,6971576 . 0,8589599) 
cos (a) = -(0,2543472) + (0,5988304) 
cos (a) = 0,3444832 
arc cos (0,3444832) = 69,849748 graus 
 
Sabendo-se que o Raio da Terra = 6.371 km, calculamos o arco completo da circunferência da Terra. 
 
C= 2. pi . Raio da Terra = 2 . pi . 6.371 = 40.030 Km. 
Agora é so armar uma regra de três simples: 
360 graus -> 40.030 Km 
69,849748 -> X km 
X = (40.030. 69,849748)/360 = 7.766,9078 KM 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mais um exemplo: 
 
Seja determinar a distância entre São Paulo e Rio de Janeiro conhecendo suas coordenadas, Latitude e 
Longitude. 
 
Conversões: 
 
Rio de Janeiro: 
Latitude: –22º54’10” = – 22,90º 
Longitude: – 43º12’24” = – 43,21º 
 
São Paulo: 
Latitude: – 23º32’51” = – 23,55º 
Longitude: – 46º38’10” = – 46,64º 
 
ARCO AB = c 
90º – (–23,55º) = 90º +23,55º = 113,55º 
ARCO AC = b 
90º –(–22,90º) = 112,90º 
 
Arco BC = a 
Diferença das lontitudes: 
– 43,21º – (–46,64º) = – 43,21+46,64 = 3,43º 
 
Aplicando a fórmula: 
 
cos(a)= cos(b).cos(c)+sen(b).sen(c).cos(A) 
cos(a)= cos(112,90º).cos(113,55º)+ sen (112,90º).sen (113,55º).cos(3,43º) 
cos(a)= – 0,3891686. (–0,3995224) + (0,9211665.(0,9167234).(0,9982092)) 
cos(a)= 0,1554815+0,8429427 
cos(a)= 0,9984242 
arc cos (0,9984242) 
a = 3,22º 
 
2.pi.Raio da Terra = 6,28.6.371= 40.030 Km 
 
360 graus = 40.030 Km 
3,2169287 = x 
 
x = (40.030 . 3,22)/360 
x≈ 358,05 km 
 
A distância entre as cidades São Paulo e Rio de janeiro é de aproximadamente 358,05 km. 
Certamente durante uma viagem de carro entre essas duas cidades, o odômetro do carro irá marcar 
a distância de 400 km. Essa diferença é devido ao percurso do carro, pois o aumento da distância se deve 
as curvas, subidas e descidas do veículo.