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Técnicas de integração: substituição e 
partes
Apresentação
As técnicas de integração surgem em virtude de problemas dinâmicos e geométricos. Assim, um 
dos métodos mais utilizados corresponde a integração por substituição e por partes, pois são 
ferramentas poderosas para facilitar a integração de uma ampla classe de funções.
Deste modo, as técnicas de integração estão presentes nas tomadas de decisões dos profissionais 
de agronomia, considerando a teoria de limites, além de questões utilizadas em distintas funções, 
com o intuito de se obter o estudo dos resultados, técnicas e aplicações.
Nesta Unidade de Aprendizagem você verá questões conceituais referentes as técnicas de 
integração e alguns exemplos práticos. Além disso, será possível acompanhar o passo a passo de 
cada um dos procedimentos, relacionando as técnicas com a tomada de decisões.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Descrever o método de integração por substituição.•
Relacionar o método de integração por partes com a regra do produto.•
Resolver problemas aplicados envolvendo integrais.•
Desafio
A gestão voltada para a área de agronomia consiste em um trabalho que exige o máximo de 
conhecimento e atenção por parte de quem o faz. Profissionais que são direcionados para esta 
área têm em mãos uma grande responsabilidade.
Com as mudanças que vêm ocorrendo no ambiente organizacional, em que o tempo se torna cada 
vez mais escasso, os resultados esperados pelos gestores dentro das organizações são cada vez 
mais complexos.
Assim, sempre pensando em obter melhores resultados, é preciso conhecer e superar os desafios 
no encaminhamento dos processos produtivos. É necessário ter a capacidade de unir os diversos 
setores envolvidos, integrando adequadamente soluções de transporte, custos, estoques e outros 
parâmetros importantes.
Você, profissional da área de agronomia, se deparou com a seguinte integral para realizar o cálculo, 
utilizando a técnica de integração por substituição: Devido à complexidade da integral, 
para realizar o cálculo, a técnica indicada é a de integração por substituição, pois resulta na 
simplificação da equação. Com base nessas diretrizes, como você resolve esse cálculo?
Infográfico
A integral por partes se configura em um método bastante avançado e utilizado atualmente para 
resolver problemas do cotidiano e obter resultados representatitivos.
Para ter sucesso na resolução dessas questões é necessário um bom entendimento de integrais e 
conhecer o passo a passo do procedimento. 
Quer saber mais sobre o passo a passo das técnicas de integração por partes? Veja o Infográfico a 
seguir.
Aponte a câmera para o 
código e acesse o link do 
conteúdo ou clique no 
código para acessar.
https://statics-marketplace.plataforma.grupoa.education/sagah/44151340-f484-481a-9568-6453838ef410/76be11d3-3243-4db3-bbc0-463cb2e7907e.png
 
Conteúdo do livro
O estudo de cáculo está diretamente relacionado a matemática dos movimentos e das variações, 
pois quando encontramos movimento, crescimento e forças que interagem, é possível conseguir 
informações utilizando as técnicas abordadas nessa disciplina. 
No capítulo Técnicas de integração: substituição e partes, da obra Matemática para Agronomia, base 
teórica desta Unidade de Aprendizagem, você vai aprender sobre esses métodos fundamentais na 
resolução de problemáticas envolvendo integrais. Ao longo do material, você irá compreender 
questões conceituais e alguns exemplos aplicados. 
Boa leitura.
MATEMÁTICA PARA 
AGRONOMIA 
Gustavo Silva Oliveira
Técnicas de integração: 
substituição e partes
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Descrever o método de integração por substituição.
  Relacionar o método de integração por partes com a regra do produto.
  Resolver problemas aplicados envolvendo integrais.
Introdução
Com a inserção de novas tecnologias no ambiente empresarial, aumenta 
a complexidade dos desafios enfrentados pelos profissionais de agro-
nomia para se adaptarem aos avanços tecnológicos e à dinamização 
dos processos produtivos. Assim, a fim de acompanhar as constantes 
mudanças propostas pelo dinâmico meio no qual o profissional se insere, 
é necessário desenvolver métodos de cálculo eficazes.
Desse modo, as técnicas de integração contam com uma gama de 
alternativas para melhorar a tomada de decisões, considerando as pro-
blemáticas importantes encontradas nos estudos de cálculo. A integral 
permite que seja determinada a área de uma figura plana. Cabe destacar 
que existe uma estreita relação entre a integral e a derivada, já que a 
operação inversa da derivação é a antiderivação, ou integração indefinida. 
Nesse contexto, os métodos de substituição e integração por partes são 
ferramentas valiosas, que visam auxiliar na integração de uma ampla 
classe de funções.
Neste capítulo, você vai estudar os métodos de integração por 
substituição e por partes, verificando, por fim, como resolver problemas 
aplicados envolvendo integrais.
Integração por substituição (u ∙ du)
A integração por substituição contribui para a utilização da integral para 
integrar o produto de duas funções, ou em casos de funções compostas. Além 
disso, permite analisar e identifi car se a técnica é adequada para a integral 
específi ca que se precisa resolver. Por meio dessa metodologia, é possível 
transformar uma determinada integral bastante complexa em uma mais sim-
plifi cada e mais fácil de ser resolvida. Trata-se, portanto, de um dos métodos 
mais utilizados e consagrados para calcular integrais. 
A grande questão desse método é encontrar a substituição correta e asser-
tiva para resolver determinada integral. Cabe destacar que, em muitos casos, 
mesmo realizando a substituição, a integral pode não ser resolvida.
O método de substituição (u ∙ du) se apresenta da seguinte maneira:
x → u (integração) → x (voltar à variável original)
A principal ação é substituir uma variável já conhecida por outra. Desse 
modo, inicia-se com uma variável em x que não pode ser resolvida pelos padrões 
da matemática. Então, identifica-se uma maneira de simplificá-la por meio de 
uma substituição, criando um procedimento para substituir a variável x por 
uma variável u. Para a efetiva condução dos procedimentos de substituição, é 
de suma importância considerar os procedimentos de antiderivadas.
Considere a seguinte integral:
Note que uma das alternativas para calcular essa integral consiste em am-
pliar (2x + 4)5 e, posteriormente, integrar o integrando resultante. No entanto, 
pode-se simplificar a integral da seguinte maneira:
u = 2x + 4 e du = 2dx
Alterando essa simplificação na equação, obtém-se:
Técnicas de integração: substituição e partes2
Substituindo u por u = 2x + 4, obtém-se:
Então, verifica-se o seguinte resultado:
Visando aplicar a regra de substituição nos procedimentos realizados, note 
que, se u = g(x) for uma função diferenciável, na qual a imagem é um intervalo 
I, e f for contínua em I, verifica-se que:
Se u = g(x), então du = g’(x) dx. Diante do exposto, a regra da substituição 
determina a utilização de dx e du posteriormente aos sinais de integrais, como 
se fossem diferenciais.
Se F for a antiderivada de f, em um dado intervalo I, F(x) = f(x) para todo x pertencente 
ao intervalo I. Assim, pode-se desenvolver o seguinte raciocínio:
Considerando (x2 + 1)60, seria muito difícil abrir esse polinômio, devido a sua comple-
xidade e extensão. Assim, uma maneira mais simplificada de resolvê-lo é, no final do 
problema, acrescentar a constante C. Adota-se que (x2 + 1) corresponde a u. Retirando 
a derivada, tem-se e a derivada de 1 = 0:
3Técnicas de integração: substituição e partes
Calculando a seguinte integral pelo método da substituição, tem-se: 
Assim, a diferencial de u é:
du = u’ → du = 2x dx
Integração por partes (u ∙ dv) 
Por meio da integração por partes, é possível realizar a reduçãode uma integral 
mais complexa em questões mais simplifi cadas. Além disso, a sua aplicação 
está agregada à habilidade de uso, na qual u e v são funções deriváveis. Desse 
modo, um dos principais pontos a se considerar na integração por partes são 
os limites de integração, conforme apresentado a seguir.
Após a substituição, não se pode conservar os limites de integração; por-
tanto, deve-se trocar esses limites.
A integração por partes consiste na regra do produto para diferenciação, 
propondo que, se f e g são funções diferenciáveis, tem-se:
Agora, calculando a integral de u60, obtém-se:
Após esse procedimento, deve-se voltar à variável original, conforme mencionado 
anteriormente. 
Recapitulando: 
Técnicas de integração: substituição e partes4
Adotando integrais indefinidas, obtém-se:
Nessa equação, verifica-se que: 
Assim, verificam-se as diferenciais:
Cabe destacar que a regra do produto na forma integral é de suma im-
portância para a resolução de diversas questões relacionadas à integração 
por partes. De acordo com Thomas (2002), quando u e v se constituem em 
funções deriváveis de x, a regra do produto se apresenta da seguinte maneira: 
Posteriormente, para alcançar a equação da integral, é necessário integrar 
os dois lados:
5Técnicas de integração: substituição e partes
Diante do exposto, quando se obtém a notação de diferencial, encontra-se 
a equação de integração por partes:
Assim, quando o profissional de agronomia se deparar com uma integral 
que não seja possível calcular, é possível substituir por outra, visando obter 
o resultado esperado. 
Considere a seguinte equação: . Inicialmente, realiza-se a derivada:
Diante da explanação dessa equação, deve-se atentar para completar a solução 
da problemática proposta. Desse modo, é necessário que seja calculada a seguinte 
integral:
Essa integral pode ser alcançada utilizando-se o método de integração por partes. 
Para isso, adota-se o seguinte procedimento:
Aplicação dos métodos de integração
Um dos grandes desafi os do profi ssional de agronomia é conciliar a qua-
lidade e a produtividade dos processos produtivos com os cuidados com 
o meio ambiente. Além disso, deve-se atentar para os cuidados com as 
Técnicas de integração: substituição e partes6
plantações e os produtos agroindustriais, cuidando do planejamento, da co-
ordenação e da execução das atividades relacionadas a todas as etapas de um 
agronegócio. Os métodos de integração estão constantemente no dia a dia 
desses profi ssionais, seja para resolver problemas de taxas de crescimento, 
seja para mensurar as questões de previsibilidade e tomada de decisões. 
Por isso, na sequência são apresentados exemplos importantes para a 
prática do profi ssional.
A taxa estimada de produção de soja de uma lavoura t anos após a produção ter 
começado é dada por: R(t) = 100te–0,1t, em milhares de toneladas por ano. Encontre 
uma expressão que descreva a produção total de soja ao final do ano t.
Solução: 
Seja T(t) a produção total de soja da lavoura ao final do ano t(t ≥ 0). Então, a taxa de 
produção de soja será dada por T ’(t) toneladas de soja por ano. Logo:
Usando a técnica de integração por partes para calcular essa integral, obtém-se:
Assim:
7Técnicas de integração: substituição e partes
Considere a originalidade da integral proposta por Stewart (2016):
Deve-se buscar uma alternativa para u e dv.
Aplicando-se a integração por partes, com o objetivo de resolver essa integral da 
maneira mais eficiente, tem-se que:
Conforme o resultado obtido com a aplicação do método, conclui-se que, nessa 
situação, a integração por partes foi totalmente eficaz, pois a derivada da função 
f(x) = ln x se apresenta mais simples do que f. 
Conforme os profissionais que utilizam as técnicas de integração obtêm experiência, 
a possibilidade de assertividade se torna cada vez maior. Um dos maiores pontos de 
dificuldade dos iniciantes é a escolha correta da maneira como se realizará a substi-
tuição. Assim, deve-se aplicar as alternativas de substituição até o acerto. Observe a 
seguinte integral:
Realizando a substituição, obtém-se:
Conforme abordado por Stewart (2016), a diferencial é:
O fator “4” aparece na integral; assim, verifica-se que:
Técnicas de integração: substituição e partes8
Diante do exposto, ressalta-se que o sucesso dos métodos de substituição 
depende de que seja encontrada uma substituição coerente, que transforme 
uma integral que não se pode calcular em outra. Já para o método de integração 
por partes, o alcance de bons resultados está diretamente relacionado com 
a escolha assertiva dos procedimentos a serem realizados, obtendo-se uma 
integral mais simplificada e menos complexa de ser resolvida. 
STEWART, J. Cálculo. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016. v. 1.
THOMAS, G. B. Cálculo. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2002. v. 1.
A partir da regra da substituição, obtém-se:
Observe que, na fase de finalização, a variável inicial “x” foi novamente empregada.
9Técnicas de integração: substituição e partes
Dica do professor
As questões de cálculo de integral se apresentam como uma das principais ferramentas da 
matemática, tendo diversas aplicações científicas e tecnológicas em quase todos os campos das 
ciências puras e aplicadas. 
É importante o conhecimento e a percepção de como as técnicas de integração podem ser 
resolvidas de maneira menos complexa e com eficiência na obtenção de resultados. 
Veja na Dica do Professor uma abordagem descomplicada para reolução da técnica de integração 
por substituição, realizada considerando alguns conceitos básicos de derivada e integral. 
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
 
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/2c51ed1fb60dd7f14f1ff079449e176f
Exercícios
1) Reconhecendo que (x3/3) - x2 +5x é uma primitiva de x2 - 2x +5, se pode calcular a integral. 
Caso não seja possível reconhecer a primitiva de imediato, como ela pode ser gerada?
A) Termo a termo, utilizando a regra da soma e da diferença.
B) Termo a termo, utilizando a regra da subtração e da diferença.
C) Utilizando a regra da potência.
D) Termo a termo, utilizando a regra da potência.
E) Reescrevendo a constante de integração.
2) Calcule a seguinte integral a partir dos conhecimentos do método de integração por partes:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
3) A integração por substituição se apresenta como um importante instrumento que busca 
descomplicar a complexidade de algumas integrais. Realize o cálculo da seguinte integral 
aplicando o método de substituição. 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
4) Considere a integral: 
Calcule utilizando o método de substituição:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
5) Considerando a praticidade e objetividade na aplicação de métodos que pretendem otimizar 
a resolução de algumas questões, calcule a integral utilizando a integração por partes:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
Na prática
Os profissionais da área de agronomia devem estar constantemente buscando conhecimento e 
aprimorando seus métodos de análise e condução dos processos. Esta área compreende um campo 
que agrega as ciências agrárias, mas se apresenta como uma área multidisciplinar, com subáreas 
aplicadas das ciências naturais, exatas, sociais e econômicas.
Na Prática você verá uma situação em que cabe ao profissional trazer resultados, visando 
desenvolver a compreensão e aperfeiçoar as práticas por intermédio de técnicas e tecnologias em 
favor de uma otimização da produção, sob a ótica ambiental, social e econômica. 
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
GRINGS - Integral Método da Substituição
Este vídeo contempla os procedimentos da técnica de integração com o passo a passo de cada 
exemplo abordado. 
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Curso de cálculo
Esta material traz uma abordagem teórica e conceitual sobre a integral e alguns exemplos práticos 
para desenvolver integrais e as técnicas de integração.
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Cálculo avançado AB
Este material contempla um conteúdo bastante completo sobre cálculo, que vai colaborar no 
entendimento da matemática básica para posterior aplicação nas técnicas de integração, tanto de 
substituição quanto por partes.
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https://www.youtube.com/embed/Covl8sgci7E
http://www.conhecer.org.br/download/cp/CURSO%20CALCULO/Modulo%204.pdf?v=970898296?v=1027866573
https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab?v=620540952?v=531841014