Determinantes

Prévia do material em texto

Determinantes: propriedades, cálculo.
Os determinantes são ferramentas fundamentais na álgebra linear e são usados para determinar várias propriedades e características de matrizes. Vamos explorar as propriedades dos determinantes e como calcular determinantes de matrizes.
### Propriedades dos Determinantes:
1. **Determinante de uma Matriz Identidade:**
 O determinante de uma matriz identidade \( I \) de ordem \( n \) é sempre igual a 1: \( \text{det}(I) = 1 \).
2. **Multiplicação por um Escalar:**
 Multiplicar uma linha (ou coluna) de uma matriz por um escalar \( k \) resulta em multiplicar o determinante por esse escalar: \( \text{det}(kA) = k^n \cdot \text{det}(A) \), onde \( n \) é a ordem da matriz.
3. **Troca de Linhas ou Colunas:**
 Trocar duas linhas (ou colunas) de uma matriz troca o sinal do determinante: \( \text{det}(B) = -\text{det}(A) \), onde \( B \) é a matriz resultante de trocar duas linhas (ou colunas) de \( A \).
4. **Matriz com uma Linha (ou Coluna) Nula:**
 Se uma matriz tem uma linha (ou coluna) nula, seu determinante é zero: \( \text{det}(A) = 0 \).
5. **Matriz com Linhas (ou Colunas) Proporcionais:**
 Se uma matriz tem linhas (ou colunas) proporcionais, seu determinante é zero: \( \text{det}(A) = 0 \).
6. **Determinante da Transposta:**
 O determinante da transposta de uma matriz é igual ao determinante da matriz original: \( \text{det}(A^T) = \text{det}(A) \).
### Cálculo de Determinantes:
1. **Matriz 2x2:**
 Para uma matriz \( A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \), o determinante \( \text{det}(A) \) é dado por \( \text{det}(A) = ad - bc \).
2. **Matriz 3x3:**
 Para uma matriz \( A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \), o determinante \( \text{det}(A) \) pode ser calculado pela regra de Sarrus ou por expansão por cofatores.
3. **Regra de Sarrus:**
 O determinante de uma matriz 3x3 pela regra de Sarrus é dado pela soma dos produtos diagonais menos a soma dos produtos anti-diagonais: \( \text{det}(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \).
4. **Expansão por Cofatores:**
 A expansão por cofatores é uma técnica para calcular determinantes de matrizes maiores que 3x3, mas também pode ser aplicada a matrizes menores. Envolve calcular os cofatores de cada elemento da matriz e somá-los multiplicados pelos elementos correspondentes da matriz original.
Os determinantes são cruciais para determinar a invertibilidade de uma matriz, calcular áreas de paralelogramos e volumes de paralelepípedos na geometria, resolver sistemas de equações lineares, entre outras aplicações na álgebra linear e em diversas áreas da matemática e ciência.