Movimento Retilineo

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Aula 3- Capítulo 2 – Movimento Retilíneo 
Nesta Aula será abordado os conceitos de Deslocamento, 
Velocidade e Aceleração. Grandezas Físicas tratada por a chamada 
CINEMÁTICA: Parte da MECÂNICA que estudo o movimento. 
Para o estudo da cinemática, são definidos grandezas Físicas chaves, 
a saber: 
Deslocamento; Velocidade e Aceleração. 
Velocidade Média 
As grandezas envolvidas no estudo do movimento são grandezas vetoriais definidas como 
DESLOCAMENTO, VELOCIDADE e ACELERAÇÃO todas elas dependentes da grandeza 
TEMPO. 
VELOCIDADE MÉDIA: Razão entre a variação do deslocamento em relação a variação do 
tempo como definido abaixo: 
 
 
Onde Xfinal e Xfinal são as posições finais e iniciais do objeto nos tempos tfinal e tfinal do 
objeto. No Sistema Internacional de pesos e medidas a velocidade é dada em metro por 
segundos: [v] =[m/s]. Veja o exemplo relatado na Figura 2.1 abaixo! Se ΔX>0, a velocidade 
é positiva e o objeto está se deslocando no mesmo sentido do deslocamento; Se ΔX<0, a 
velocidade é negativa e o objeto está se deslocando no sentido contrário a do 
deslocamento. 
 
 
t
X
tt
XX
V
inicialfinal
inicialfinal
méd






Velocidade Instantânea 
A velocidade média não informa o movimento real do objeto a cada instante, por isso 
define-se o que se chama de velocidade real ou VELOCIDADE INSTANTÂNEA (v). A 
velocidade instantâneo é definida com base no cálculo diferencial e integral. Do ponto de 
vista matemático, a velocidade instantânea é definida como a derivada do deslocamento 
em relação a variável tempo. 
 
 
 
 A Figura 2.7 abaixo ilustra o cálculo da velocidade instantânea. 
dt
dx
v
dt
dx
t
txttx
t
X
v xttx 















 
)()(
limlim 00
Exemplo: Velocidade Média e Instantânea 
Aceleração Média 
Assim como foi definida a VELOCIDADE MÉDIA, A ACELERAÇÃO MÉDIA é definida como a 
razão entre a variação da velocidade em relação a variação do tempo como definido 
abaixo: 
 
 
Onde Vfinal e Vfinal são as velocidades nas posições finais e iniciais do objeto nos tempos 
tfinal e tfinal do objeto. No Sistema Internacional de pesos e medidas a aceleração é dada em 
metro por segundos ao quadrado: [a] =[m/s2]. Veja o exemplo relatado na Figura 2.12 
abaixo! Se ΔV>0, a aceleração é positiva e o objeto está se deslocando no mesmo sentido 
do deslocamento; Se ΔV<0, a aceleração é negativa e o objeto está se deslocando no 
sentido contrário a do deslocamento. 
t
V
tt
VV
a
inicialfinal
inicialfinal
méd






Exemplo: Aceleração Média 
Aceleração Instantânea 
A Aceleração instantânea (a) também é definida com base no cálculo diferencial e integral, 
ou seja, do ponto de vista matemático ela é definida como a derivada da velocidade em 
em relação a variável tempo. 
 
 
 A aceleração instantânea é definida com a derivada segunda do deslocamento em relação 
ao tempo. A Figura 2.14 abaixo ilustra o cálculo da velocidade e aceleração instantâneas. 
2
2
00
)()(
limlim
dt
xd
dt
dx
dt
d
dt
dv
a
dt
dv
t
tvttv
t
V
a x
x
ttx 





















 
Exemplo: Aceleração Instantânea 
“FERRAMENTAS ”Matemática aplicadas ao 
estudo de fenômenos FÍSICOS. 
Todos os fenômenos físicos necessitam de um modelo matemático para ser melhor 
compreendido. Na verdade o modelo nos permite quantificar o fenômeno e por isso é 
imprescindível que sabermos manipular certos operadores matemáticos. Além das 
operações triviais tais como soma, subtração, multiplicação e divisão; existem dois 
operadores da matemática muito importante no estudo de fenômenos físicos que são O 
OPERADOR DERIVADA E O OPERADARO INTEGRAL. Os fenômenos físicos em geral são 
modelados por TAXA de VARIAÇÃO de uma GRANDEZA por OUTRA e isso pode ser 
modelado por meio de uma equação matemática representada por DRIVADAS. A solução 
da equação DERIVADA é uma função resultado de uma operação INTEGRAL. As funções 
DERIVADA e INTEGRAL, são os dois lados da mesma moeda e são definidas com base na 
ideia de LIMITES de INFINITÉSIMOS. Os operadores DERIVADA e INTEGRAL serão definidos 
adiante bem como as regras de derivação e integração. 
A Derivada 
Para definir a velocidade e a aceleração de um 
corpo em movimento foi usado o conceito 
matemático de DERIVADA. Em Física, a 
manipulação matemática das várias grandezas é 
tão importante quanto o conhecimento da 
própria grandeza. Nem sempre as operações 
elementares de álgebra são suficientes para tais 
manipulações, sendo necessária a introdução de 
novas operações e conceitos matemáticos. 
Dentre estes, são de extrema importância os de 
DERIVADA e INTEGRAl. 
 A derivada representa a taxa de variação 
instantânea de uma função em relação a uma 
variável em cada ponto do intervalo em que a 
função é definida. Essa taxa de variação é 
calculada por meio do conceito de limite da 
variação da função em um intervalo apropriado. 
Geometricamente, a derivada representa a 
inclinação de uma reta que tange o gráfico da 
função em cada ponto do intervalo onde a função 
é definida. 


















t
tfttf
t
f
tf
dt
d
tf tt
)()(
limlim)()( 00
Definição: seja f(t) uma função f da variável t 
definida em um intervalo apropriado. A derivada da 
função f(t) é definida como: 
Figura: Interpretação geométrica da DRIVADA 
REGRAS DE DERIVAÇÃO 
Ao invés de calcular a derivada por meio de limites, aplica-se certas regras com o objetivo 
de facilitar os cálculos de derivadas de funções. 
1) função constante: 0)(0limlim)(.)( 00 















  tf
t
KK
t
f
tf
dt
d
constKtfSe tt
2) função potência: )1()1( )()(1,)(   nnn nttfnttf
dt
d
nttfSe
3) função soma ou subtração: 
)()()()()(tan),()()( tybtxaty
dt
d
btx
dt
d
atf
dt
d
tesconssãobeaondetbytaxtfSe 
4) função produto: )()()()()()()()()( txtytytxtftf
dt
d
tytxtfSe 
5) função quociente: 
 2)(
)()()()(
)()(
)(
)(
)(
ty
tytxtytx
tftf
dt
d
ty
tx
tfSe


6) função da cadeia: 
  )()()()( tx
dx
df
dt
dx
dx
df
tf
dt
d
txftfSe 


















7) funções trigonométricas e logarítmicas: 
)()ln()()();()(sec
)cos(
1
)()()(
);()()()cos()();()cos()()()(
2
2
tfxxtf
dt
d
xtftft
t
tf
dt
d
ttgtf
tftsentf
dt
d
ttftfttf
dt
d
tsentf
tt 







Todas as regras acima podem ser demonstrada com base na definição de derivadas por 
meio de limites. 
A Integral 
A integral e a operação inversa da derivada e também é definida com base na teoria dos 
limites. A integral de uma função f(t) em um intervalo apropriado é igual ao limite do 
somatório de cada um dos valores que a função f(x) assume no intervalo multiplicados por 
uma variação da variável Δt tão pequeno (infinitésimo) que o valor da soma acima se 
aproxime do valor da área abaixo da curva da função f(t). 
















t
t
n
n
n
n
i
in
b
a
lIntergrávefunçãoumatfdttftFtF
DefinidaIntegral
txtytytxtytx
PartesporInteral
neconst
t
dttfttf
PolinômiodeInteral
tdte
n
n
ab
tttfdttfArea
0
!)(:)()()(
:
)()()()()()(
:
)1(.)()(
:
:
)(
)(lim)(
0
1
1
1
Todas as regras acima podem ser demonstrada com base na definição de integrais por 
meio de limites. 
Classificação de Movimentos 
Na cinemática o movimento é caracterizado com 
base em alguns parâmetros relacionados as 
grandezas de velocidade e aceleração. 
O movimento é dito uniforme na condição em 
que sua velocidade é constante no tempo. Ele é 
chamado de uniformemente variado quando a 
grandeza aceleração é constante e é dito variável 
na condição de que a aceleração tambem varia 
com a grandeza tempo. 
Movimento Uniforme 
O movimento uniforme é caracterizado por possuir velocidade constante. Assim, a função 
horária do deslocamento é dada calculada aplicandoa integração na equação que 
descreve a velocidade. 
.:;:
)(
)0()()(
00
00
00
0
0
)(
0
0
corpodovelocidadeVcorpodoinicialposiçãoxOnde
tVxtx
tVxtxdtVdxtx
dt
d
V
x
x
x
t
t
x
tx
x
x

 

A função horária que descreve o deslocamento no movimento uniforme é uma reta, cujo 
o coeficiente angular é a velocidade (V0). Ela é numericamente igual a AREA sob a curva 
do gráfico da velocidade. 
Movimento Uniformemente Variado 
Função Horária da Velocidade 
A característica principal do MOVIMENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO (MUA) é que a 
aceleração não varia no tempo, ou seja, sua aceleração é constante no percurso. Assim, 
tem-se duas funções horárias, a da velocidade e a do deslocamento. Essas funções 
horárias podem ser calculadas aplicando o operador integral na equação da aceleração e 
velocidade, respectivamente. 
.tan:
;:
)(
)0()()(
0
00
00
0
0
)(
0
0
temponoteconspermanecequecorpodoaceleraçãoa
corpodoinicialvelocidadeVOnde
taVtV
taVtVdtadVtV
dt
d
a
xx
x
xxx
xxx
t
t
x
tV
xV
xxx

 

Movimento Uniformemente Variado 
Função Horária do Deslocamento 
 
.:
;:
2
)(
2
)(
)(;)(
)()()()(
0
0
2
000
2
00
00
00
0
0
0
0
0
00
0
0
)(
00
0
)(
0
0
corpodoaceleraçãoa
corpodoinicialvelocidadeVOnde
t
atVxtx
t
atVtdtadtVxtx
tdtadtVdttaVdttVxtxdx
taVtVdttVdxtx
dt
d
tV
x
x
xx
xx
t
t
xx
t
t
x
t
t
x
t
t
x
t
t
xx
t
t
x
tx
x
xxx
t
t
x
tx
x
x










Movimento Uniformemente Variado 
Função Horária do Deslocamento 
      .:)(2)(
)(
2
)(
)(
)(
)(
2
)(
00
2
0
2
2
0
00
0
0
0
0
0
0
00
2
000
TorricellideEquaçãoxtxaVtV
a
VtVa
V
a
VtV
xtx
a
VtV
ttaVtVe
t
atVxtx
xxx
x
xxx
x
xx
x
xx
xxxxx








 







 



Exemplo 2.4: 
Exemplo 2.5: 
Movimento Uniformemente Variado 
Movimento de Queda Livre 
As características principais do de QUEDA LIVRE são que a aceleração não varia no 
tempo e nas imediações da Terra e é igual a chamada aceleração da gravidade e que o 
movimento está livre dos efeitos da resistência do ar. A aceleração da gravidade aponta 
sempre para o centro da Terra. Adotando o eixo vertical como o eixo y a função horária 
do movimento é descrita como mostrada abaixo. 
      .:)(2)(
)(
2
)(
)(
)(
)(
2
)(
0
2
0
2
2
0
0
0
0
0
0
2
00
TorricellideEquaçãoytygVtV
g
VtVg
V
g
VtV
yty
g
VtV
ttgVtVe
t
gtVyty
yy
yyyy
yy
yyy






 





 



Exemplo 2.6: 
Exemplo 2.7: 
Continuação do Exemplo 2.7: 
Exemplo 2.8: 
Resumo: 
Resumo: Continuação