Números Inteiros

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Números Inteiros 
 
• Objetivo: dar sentido matemático a todas 
as expressões do tipo a – b, com a, b N. 
 
• Observação: Se a, b, c, d N, b a, d c, 
vale a equivalência: 
a – b = c – d a + d = c + b. 
• O conjunto dos números inteiros a ser 
construído deve ser uma “extensão” de N. 
a – b está bem definida quando a b. 
 
No caso em que a < b, temos que b – a é 
um número natural. Então, denotemos por 
m = b – a e a – b por – m. 
 
O conjunto dos números inteiros, 
denotado por Z, é o conjunto de todos os 
números da forma m ou – m. 
Ou seja, Z = { a – b: a, b N }. 
Adição 
Lembrete: dados a, b N quaisquer, 
podemos deslocar a de b posições para a 
direita, obtendo um número denotado por 
a+b, e o número a + b é dito soma de a e b. 
 
Como definir a soma de inteiros de forma a 
preservar a ideia de deslocamento? 
Dados m, n Z, m = a – b, n = c – d, 
a,b,c,d N, temos: 
1) m e n são positivos, ou seja, a b e c d. 
Neste caso, m + n é deslocar m de n 
posições à direita. 
2) m é positivo e n negativo, ou seja, a b e 
c < d. Neste caso, m + n é deslocar m de 
d – c posições à esquerda. 
3) m é negativo e n positivo, ou seja, a < b e 
c d. Neste caso, m + n é deslocar m de 
n posições à direita. 
4) m e n são negativos, ou seja, a < b e c <d. 
Neste caso, m + n é deslocar m de d – c 
posições à esquerda. 
 
Para a adição em Z, valem as seguintes 
propriedades: 
Associativa: (m + n) + r = m + (n + r). 
Comutativa: m + n = n + m. 
Existência do elemento neutro: Existe um 
número (0) tal que m + 0 = m para todo m 
 Z. 
Existência do oposto: para cada m Z 
existe n Z tal que m + n = 0. 
 
O oposto de m será denotado por – m. 
Neste caso, se m = a – b, então –m = b – a. 
Lei do cancelamento: se m + n = m + p 
então n = p. 
Dados m, n Z, ( - m) + ( - n) = - ( m + n). 
 
Subtração 
É uma operação sobre Z que a par de 
elementos m, n Z associa a diferença 
entre m e n, denotada por m – n. 
A relação - : Z x Z Z 
 (m, n) m – n: = m + ( - n) 
Esta operação não é associativa, nem 
comutativa e tampouco admite a 
existência do elemento neutro. 
 
Valem as seguintes propriedades: 
Dados m, n Z, (m – n) + n = m. 
Dados m, n, p Z, m + p = n se, e somente 
se, p = n – m. 
 
 
Multiplicação 
Lembrar: em N, n b = b+b+b+....+ b (n vezes). 
Dados m, n Z, m = a – b, n = c – d, 
a,b,c,d N, definimos para: 
1) m e n positivos, m n=n+n+...+n (m vezes). 
2) m positivo e n negativo, m n=n+n+...+n 
(m vezes). 
3) m negativo e n positivo, m n=-(n+n+...+n) 
(-m vezes). 
4) m e n negativos, m n=-(n+n+...+n) (-m 
vezes). 
 
Propriedades: 
Associativa: (m n) r = m (n r). 
Comutativa: m n = n m. 
Existência do elemento neutro (elemento 
unidade): m 1 = m para todo m Z. 
Para cada m Z, m 0= 0. 
 
Lei do anulamento: 
Se m, n Z e m n = 0 então m = 0 ou n =0. 
Distributiva: 
m (n + r) = m n + m r 
m (n - r) = m n - m r. 
Para cada m, n Z, 
m ( - n) = ( - m) n = - (m n) 
( - m) ( - n) = m n. 
 
Relação de ordem 
• Definição ( ): Dados m, n Z, dizemos 
que m é menor do que ou igual a n 
quando existe r Z tal que n = m + r. 
 
• Notação: m n. 
 
• Definição (<): Dados m, n Z, dizemos 
que m é menor do que n quando existe 
r Z, inteiro estritamente positivo, tal que 
n=m + r. 
 
• Notação: m < n. 
 
Propriedades: 
• 0 r, para todo r inteiro positivo. 
• s 0, para todo s inteiro negativo. 
• 0 < r, para todo r inteiro estritamente 
positivo. 
• s < 0, para todo s inteiro estritamente 
negativo. 
 
• Reflexiva: m m para todo m Z. 
• Antissimétrica: se m n e n m, então m 
= m. 
• Transitiva: se m n e n q então m q. 
• Para quaisquer m, n Z tem-se m n ou 
n m. 
• Se m é um inteiro negativo e n é um 
inteiro positivo, então m n. 
 
• Compatibilidade com a adição: se m n 
então m + p n + p, para todo p Z. 
 
 
• Compatibilidade com a multiplicação: se 
m n então: 
m p n p para 0 p, 
n p m p para p 0. 
 
• Lei da tricotomia - se m, n Z, então uma 
e somente uma das condições ocorre: ou 
m = n ou m < n ou n < m. 
• Outras propriedades: ver página 120. 
 
Valor absoluto 
 
Para todo a Z, o valor absoluto ou 
módulo de a, denotado por |a|, é definido 
pelas seguintes condições: 
 
| a | = {
 
 
. 
 
 
Propriedades: Se a, b Z, então: 
| a | = | - a |. 
- | a | a | a |. 
| a b | = | a | | b |. 
| a + b | | a | + | b |. 
| a | - | b | | a – b | | a | + | b |. 
 
 
 
 
Múltiplos e Divisores 
Dado a Z, o conjunto dos múltiplos de a: 
m(a) = { ..., - 3a, -2a, - a, 0, a, 2a, 3a, ... } 
= { ak : k Z }. 
 
m(2): conjunto dos números pares. 
 
Z \m(2): conjunto dos números ímpares. 
 
 
Dados a, b Z com a 0, dizemos que a 
divide b quando existe c Z tal que 
b = a c. 
Notação: a | b. 
a é um divisor de b ou b é múltiplo de a 
 
c é dito quociente de b por a, indicado por 
 
 
. 
 
Propriedades 
Sejam a, b, c, d Z. 
i) a | a. 
ii) Se a|b e b|a então a = b ou a = - b. 
iii) Se a|b e b|c então a|c. 
iv) Se a|b e a|c então a|(bx + cy) para 
quaisquer x, y Z. 
iv) a|b se, e somente se, |a|||b|. 
v) Se d = b + c e a|c, então a|d se, e 
somente se, a|b. 
Teorema da Divisão de Euclides em Z 
Para quaisquer a, b Z, a 0, existe um 
único par de inteiros (q, r) tal que 
b = aq + r, com 0 r < |a|. 
Dem.: existem dois números inteiros 
consecutivos, digamos n1 e n2, tais que 
an1 b < an2. 
Tomemos q = n1 e r = b – an1. 
 
 
MDC 
Dados a, b Z, define-se 
mdc(a, b) = mdc(|a|, |b|). 
 
Dados a, b Z, dizemos que a e b são 
primos entre si quando mdc(a, b) = 1. 
Proposição 1: Dados a, b Z, d=mdc(a, b) 
se e somente se, (i) d 0; (ii) d | a e d | b; 
(iii) se c | a e c | b então c | d. 
Proposição 2: Dados a, b Z, se a | b 
então mdc(a,b)=|a|. 
 
Proposição 3: Dados a, b Z, se b= aq + r, 
então mdc(a, b) = mdc(a, r). 
 
 
 
 
 
MMC 
Dados a, b Z, define-se 
mmc(a, b) = mmc(|a|, |b|). 
 
Proposição 1: Dados a, b Z, m=mmc(a,b) 
se e somente se, (i) m 0; (ii) m é múltiplo 
de a e b; (iii) se k é múltiplo de a e b, então 
k é múltiplo de m. 
 
Proposição 2: Dados a, b Z, vale a 
relação: 
mdc(a, b) mmc(a, b) = |a| |b| = |a b|. 
 
Números Primos 
Dado p Z, p é dito um inteiro primo 
quando |p| é primo em N. 
 
 
Proposição 1: Seja p Z. Então p é um 
inteiro primo se, e somente se, p 0, p 1, 
p - 1 e os únicos divisores de p são 
1, -1, p e – p. 
 
 
 
 
 
 
Teorema Fundamental da Aritmética em Z 
Seja a Z, a 0, a 1 e a - 1. Então 
existem números primos , i 1, 
estritamente positivos, tais que 
a = ... ou a = - ... .