matrizes-determinantes-e-sistemas-lineares-2o-ano

1 INSTITUTO FE DERAL DE M INAS GERAIS Cam pus Ava nçado Conselhei ro Laf aiete A po stil a elabor ada pel o docen te Al exandre Cor reia F ernandes ESTUDO DAS MA TRIZES Def in içã o de matriz Considerem o s a t abela a bai xo, construí da a part i r da col eta de i nf o r mações sobre o preço do quil o do ar roz tipo 1, do f e ijão pre to e do m acarrão , em quat ro superm ercados de um a capital bras il e ira: Super m ercado A Super m ercado B Super m ercado C Super m ercado D A rro z 2,40 2,57 2,38 2,49 Feijão 3,02 3,17 2,91 3,20 macar rão 1,99 2,05 1,87 2,12 Uma matri z é u ma tabel a de elemento s di sposto s em linhas e co l u nas. Portanto, se abstrai r mos os s ignificados das linhas e co l u nas da t abela acima, obt erem o s a matri z ú ú ú û ù ê ê ê ë é 12 , 2 87 , 1 05 , 2 99 , 1 20 , 3 91 , 2 17 , 3 02 , 3 49 , 2 38 , 2 57 , 2 40 , 2 Uma matri z ge n ér i ca A , co m m li nhas e n co l u n as po de ser represen tada por [ ] n m ij mn m m n n n m a a a a a a a a a a A ´ ´ = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é ... ... ... 2 1 2 22 21 1 12 11 M M M M em que o s índices \u201c i \u201d e \u201c j \u201d in dica m , respect iv a men t e, a li nha e a co l una à qual pertence o e l e men t o a ij . 2 Escr evendo uma matr iz a parti r de sua l ei de formação § Escreva a m atr i z A = [ ] 2 3 x ij a , t al que a i j = 2i \u2013 j + 1 . De acor d o co m o s dados f o rneci dos, a m atr i z deve t er 3 li nhas e duas co l u nas, o u seja, ú ú ú û ù ê ê ê ë é = 32 31 22 21 12 11 a a a a a a A . Subs t i t uin do- se i e j p e l o s val o res co rr esponden t es, para cada e lemento, o b t é m - se: a 11 = 2.1 \u2013 1 + 1 = 2 a 22 = 2. 2 \u2013 2 + 1 = 3 a 12 = 2.1 \u2013 2 + 1 = 1 a 31 = 2. 3 \u2013 1 + 1 = 6 a 21 = 2.2 \u2013 1 + 1 = 4 a 32 = 2. 3 \u2013 2 + 1 = 5 Logo, ú ú ú û ù ê ê ê ë é = 5 6 3 4 1 2 A . Exercíci o s pr opost o s Q1. Determine a m atr iz A = [ ] 2 2 x ij a tal que j i a ij + = 2 . Q2. Dada a matr i z A = [ ] 7 5 x ij a t al que A = î í ì + + - = ímpar é j i se ij par é j i se i a ij , 2 , 2 , det ermi ne 42 32 a a + . Tipos es peciais de matrizes a) Matriz quad rada \u2013 é aquel a cu j o número de li nha s é i gu a l ao número de col u n as. Numa matr i z quadrada de o rde m n , o s e lemen to s a 11 , a 22 , a 33 , . .., a nn , isto é, o s el emento s a ij co m i = j , co nst i t uem a diagonal principal da m at r i z e os elem ento s a ij para o s qua i s ver ifi ca-se que i + j = n+1 const i t uem a diagonal secundária da matri z. b) M a triz nu la \u2013 é aque la e m que to dos os el e mento s são nul o s, i st o é, a ij = 0, para todo i e j . É com u m indicar-se a matr i z nula por [ ] n m ij O ´ = 0 . 3 c) M atr i z tr iangu lar \u2013 é u ma m atr i z quadrada na qua l t o dos os elementos acima ou abaix o da di agonal pr in c ipal são nul os. superi or triangul ar Matriz infer i or tri angul ar M atri z ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - ú ú ú û ù ê ê ê ë é 8 0 0 0 5 6 0 0 2 3 4 0 1 0 1 2 5 0 9 0 3 4 0 0 1 d) M a triz diagonal \u2013 é u ma matr i z quadrada em que to dos os elemento s acima e abaix o da d i agonal pr in c ipal são nul o s. e) Matr i z ident idade \u2013 é um a m atr i z diagona l em que to dos os el emento s da diagon al pr in cipal são i guais a 1. Indi ca- se a m at riz iden t i dade de o rdem n por I n . identi dade M atri z di agonal Matri z ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = ú ú ú û ù ê ê ê ë é 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 5 0 0 0 3 0 0 0 1 4 I f) Mat r iz linha \u2013 é aquel a que po ssui apenas 1 l inha (m = 1) . g) Matriz co l una \u2013 é aquela que possui um a ú ni ca col una (n = 1) h) Mat r iz si métrica \u2013 é um a matr i z quadrada na qual se verifi ca que a ij = a ji . [ ] simétrica m atri z col una m atr iz li nha m atr iz ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é ú ú ú û ù ê ê ê ë é o h g d h i f c g f e b d c b a 11 9 5 7 1 0 2 Igualdade de matrizes Duas matrizes A e B são d i t as iguais se, e so men te se, t êm o mesm o t a m a nho e seus e lemen t os corresponden t es são i gua is . Determinando incógnitas par a que duas matrizes sejam iguais § Determine a, b, c e d, sabendo que ú û ù ê ë é - = ú û ù ê ë é + + - + 8 3 0 1 3 2 d c b a d c b a . Da defini ção de i gualdade de matri ze s segue que 4 î í ì - = + = + 3 2 1 b a b a e î í ì = + = - 8 3 0 d c d c So l uc i o n ando- se os si st e m as acima, encontra-se a = \u2013 4, b = 5, c = 2 e d = 2. Operaç ões com matri zes a) Adição e subt ração : A ad ição e su b t ração de duas matr i z es A m x n e B m x n , de m e sma or dem , é u m a matriz C m x n cu j o s elemento s são o b t i do s pela soma ou diferen ça do s el emento s corresponden t es de A e B, respectivamen t e. Propriedades da adição Dadas as m at rizes A , B e C, de m esma o rdem , são válidas a s segu i ntes pro pri edades para a adi ção de matri ze s: i) Com utat iv a A + B = B + A ii ) As soc iativa (A+B ) + C = A + (B + C) iii ) E l e mento neutro A + 0 = 0 + A = A iv) Cancelamen t o A = B Û A + C = B + C b) Multiplicação de um número r ea l po r uma matriz: Se j a [ ] n m ij a A ´ = e a um número rea l . A matr i z a A, m x n, é a mat ri z cuj o s elemento s são b ij = a .a ij . Se a = \u2013 1, o bté m -se a matr i z oposta d e A, isto é, a matr i z que so m ad a co m A dá co m o resul t ado a m at r i z nula. Propriedades Dadas a s matri zes A e B, de m es ma o rde m , e os números rea is a , a 1 e a 2 , verifi ca-se que: i) a (A + B) = a A + a B ii ) ( a 1 + a 2 )A = a 1 A + a 2 A iii ) 0. A = 0 iv) a 1 ( a 2 A ) = ( a 1 a 2 )A c) Transposição: Dada u ma m atr i z [ ] n m ij a A ´ = , den o mi na-se t rans post a de A a m at ri z [ ] m n ij t b A ´ = , cuj as li nhas são as c o l u nas de A. 5 Propriedades i) ( A t ) t = A ii ) ( A + B) t = A t + B t iii ) ( a A) t = a A t Oper ando mat rizes § Dadas as matri zes ú û ù ê ë é = 5 3 4 2 A e ú û ù ê ë é - = 4 7 1 5 B , cal cule A + B, A \u2013 B e B A 2 1 5 + . ú û ù ê ë é = ú û ù ê ë é + + - + + = + 9 10 3 7 4 5 7 3 ) 1 ( 4 5 2 B A ú û ù ê ë é - - = ú û ù ê ë é - - - - - = - 1 4 5 3 4 5 7 3 ) 1 ( 4 5 2 B A ú ú ú û ù ê ê ê ë é = ú ú ú û ù ê ê ê ë é + + - + = ú û ù ê ë é - + ú û ù ê ë é = + 27 2 37 2 39 2 25 2 25 2 7 15 2 1 20 2 5 10 4 7 1 5 2 1 5 3 4 2 5 2 1 5 B A § Dadas as matr i ze s ú ú ú û ù ê ê ê ë é - = 4 1 3 1 0 2 A e ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - = 2 3 0 2 5 1 B , encontre a matr i z X, t al que 2X \u2013 A + 3B = 0 Isolan do X, obt ém -se B A X 2 3 2 1 - = . Logo, ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ë é - - - = ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ë é + - - - - + = ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - - ú ú ú û ù ê ê ê ë é - = 5 4 2 3 2 7 2 15 2 5 3 2 2 9 2 1 2 3 3 2 1 2 15 0 2 3 1 2 3 0 2 5 1 2 3 4 1 3 1 0 2 2 1 X § Calcule as matrizes X e Y que verifi ca m as condições î í ì - = - + = + B A Y X B A Y X 3 2 3 2 , considerando que ú û ù ê ë é = 1 0 2 1 A e ú û ù ê ë é = 1 1 2 1 B . Resolven do -se o sis te m a, o btém -s e B A X 3 2 3 5 - = e B A Y 3 7 3 1 + - = . Portanto, ú ú û ù ê ê ë é - = 1 3 2 2 1 X e ú ú û ù ê ê ë é = 2 3 7 4 2 Y . 6 § Sejam ú ú ú û ù ê ê ê ë é - = 3 1 2 5 1 4 3 1 3 A e ú ú ú û ù ê ê ê ë é - = 1 2 3 4 1 0 5 4 2 B . Cal cule ( A + B) t ú ú ú û ù ê ê ê ë é - = + 4 3 5 9 2 4 8 5 5 B A e, p ortanto, ( ) ú ú ú û ù ê ê ê ë é - = + 4 9 8 3 2 5 5 4 5 t B A d) Multiplicação de matrizes: Se j am [ ] n m ij a A ´ = e [ ] p n ij b B ´ = duas matri zes. O produto da m atriz A pela matr i z B, in dicado por A B, é a m at riz [ ] p m ij c C ´ = t al que o e lemento c ij é o bt i do m u l t iplicando-se o rdenadam e nte os e l e men t os da linha i , da matr i z A , pe l o s e lement os da col una j, da matr i z B, e somando-se os pro du tos o b tidos. Cabe ressal t ar que o produto A B só é po ss ív e l se o número de col unas de A é igual ao núm ero de li nhas de B. Propriedades i) Geralmen t e, AB ¹ BA . ii ) AI = IA = A iii ) A (B + C) = AB + AC iv) (A + B)C = AC + BC v) ( A B)C = A(BC ) vi) (AB) t = B t A t vii ) 0. A = A.0 = 0 Multiplicando matrizes § Dadas as matri zes ú û ù ê ë é = 4 3 2 1 A e ú ú ú û ù ê ê ê ë é - = 3 2 2 0 1 1 B , obtenh a a m at r i z AB t . ú û ù ê ë é - - = ú û ù ê ë é + + - + + + - + = ú û ù ê ë é - ú û ù ê ë é = 18 8 1 8 4 1 3 . 4 2 . 3 2 . 4 0 . 3 ) 1 ( 4 1 . 3 3 . 2 2 . 1 2 . 2 0 . 1 ) 1 ( 2 1 . 1 3 2 1 2 0 1 4 3 2 1 t AB § Sejam ú û ù ê ë é = 1 0 2 1 A e ú û ù ê ë é = 4 3 B . Determinar a matri z X, t al que A.X = B. 1 2 . 1 2 2 2 = = Þ = n e m B X A x n x m x . Lo go, a m atr i z X é do t i po 2 x 1. Representan do X por ú û ù ê ë é b a , segue que ú û ù ê ë é = ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é 4 3 . 1 0 2 1 b a . 7 Desenvo l ven do- se o produto m at r i c ial , verifi ca-se que ú û ù ê ë é = ú û ù ê ë é + 4 3 2 b b a , ou sej a, î í ì = = + 4 3 2 b b a . Logo, ú û ù ê ë é - = 4 5 X . Exercíci o s pr opost o s Q3. Det ermi nar o s números rea i s a e b d e m o do que as matri zes A e B sejam iguais, dadas ú û ù ê ë é + - = b a b a A 1 6 2 5 e ú û ù ê ë é = 5 1 6 4 B . Q4. Dadas as m at rizes ú û ù ê ë é = 3 2 2 1 A , ú û ù ê ë é = 6 7 5 0 B e ú û ù ê ë é - - = 2 5 7 1 C , deter m ine a matr i z X t al que X + A = B \u2013 C. Q5. Dadas a s matr i z es ú ú ú û ù ê ê ê ë é - = 1 0 2 2 1 0 0 0 1 A e ú ú ú û ù ê ê ê ë é = 1 3 2 B , deter m ine a matriz X na equação matr i c ial AX = B. M atriz i n versa Seja A u ma matr iz quadr ada d e o rdem n. Se X é u m a matr i z t al qu e A X = I n e XA = I n , então X é cham ada de matriz inversa de A e é i ndicada por A -1 . Val e ressa l t ar que n em to da m atr i z quadrada ad mi t e um a m at r i z inversa. Encontrando a invers a de uma matr i z § Determine, se exi st i r , a inv ersa da m at r i z ú û ù ê ë é - = 1 2 2 1 A . Sendo ú û ù ê ë é - = 1 2 2 1 A e fazendo ú û ù ê ë é = - d c b a A 1 , t em -s e: ú û ù ê ë é = ú û ù ê ë é + - + - + + Þ ú û ù ê ë é = ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é - Þ = - 1 0 0 1 2 2 2 2 1 0 0 1 . 1 2 2 1 . 2 1 d b c a d b c a d c b a I A A Da condição de i gualdade de duas m atr i zes, seguem o s seguin t es siste mas : 8 5 2 5 1 0 2 1 2 = = Þ î í ì = + - = + c e a c a c a 5 1 5 2 1 2 0 2 = - = Þ î í ì = + - = + d e b d b d b Portanto, ú ú ú û ù ê ê ê ë é - = - 5 1 5 2 5 2 5 1 1 A . Questões propostas Q6. ( UNI-RIO) Dada a m atr i z ú û ù ê ë é - - = 2 3 3 5 A , deter m ine o val or de A \u2013 1 + A t \u2013 I 2 . Q7. Verifi car se \ue601 = \ue601 2 3 3 5 \ue601 é inv ersível e o bter, caso exi sta, sua i nvers a. Questões compleme ntares Q8. (UERJ) A t em peratur a corpor al de u m pacient e fo i medida, e m gr aus Celsius , t rês vezes ao dia, dur an te c in co d i as. Cada elemento a ij da m at ri z co rr esponde à t em perat ura observ ada no in st an te i do dia j . ú ú ú û ù ê ê ê ë é 2 , 39 0 , 37 1 , 36 7 , 35 5 , 35 4 , 40 5 , 40 2 , 37 0 , 37 1 , 36 0 , 36 0 , 38 6 , 38 4 , 36 6 , 35 Determine: a) o instante e o di a e m que o paci e nte apresent ou a m ai or t em perat ura; b) a t em perat ura m éd i a do paci e nte no t ercei ro di a de o b serv ação . Q9. (UFG) Sej a [ ] xn n ij a M = um a matriz quadrada de ordem n, onde a ij = i + j . Nessas condi ções, a som a do s el emento s da di ago nal pr incipal d a dess a matriz é: a) n 2 b) 2n + 2n 2 c) 2n + n 2 d) n 2 + n e) n + 2n 2 Q10. ( UCS-BA ) A equação m atr ici al ú ú ú û ù ê ê ê ë é - = ú ú ú û ù ê ê ê ë é ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - 1 2 3 1 0 0 2 1 1 0 1 2 z y x é verdadei ra se x, y e z são tais que x + y + z é i gu a l a: a) \u2013 3 b ) \u2013 1 c) 0 d ) 1 e) 3 9 Q11. (UFSC) Se jam [ ] 3 4 x ij a A = e [ ] 4 3 x ij b B = duas matrizes d efi n i das p or a ij = i + j e b ij = 2 i + j , r espectiv a mente. Se A .B = C, então qual é o el emento c 32 da m atr iz C? Q12. (UFC-CE) O val o r de a par a que a igualdade matr i c ial ú û ù ê ë é = ú û ù ê ë é - - ú û ù ê ë é 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 2 a seja v erdadeira é: a) 1 b) 2 c) 0 d) \u2013 2 e) \u2013 1 Q13. ( UFR S) A m at r i z C fornece, em rea is , o custo das por ç ões de ar roz , carn e e salada usadas e m u m restaur an te: salada carne arr oz C ú ú ú û ù ê ê ê ë é = 2 3 1 A matr i z P fornece o número de por ç ões de arro z, carn e e s alada us adas na co m pos i ç ão dos pra to s t i po P 1 , P 2 e P 3 desse restaurante: 3 2 1 0 2 2 1 2 1 1 1 2 P prato P prato P prato P salada carne arroz ú ú ú û ù ê ê ê ë é = A matri z que f o rnece o custo de produção, em reais, dos pratos P 1 , P 2 e P 3 é: a) ú ú ú û ù ê ê ê ë é 8 9 7 b) ú ú ú û ù ê ê ê ë é 4 4 4 c) ú ú ú û ù ê ê ê ë é 4 11 9 d) ú ú ú û ù ê ê ê ë é 8 6 2 e) ú ú ú û ù ê ê ê ë é 4 2 2 Q14. (UFAM) Sejam A, B e C matr izes quadr adas quaisquer de o rdem n. Então é correto afi r mar que: a) Se AB = AC, então B = C. b) AB = B A c) Se A 2 = 0 n (matr i z nula), então A = 0 n d) (AB)C = A(BC) e) (A+B ) 2 = A 2 + 2AB+B 2 Q15. (UFRRJ)Dada a m at r i z A = \ue601 1 2 \u2212 1 0 \ue601 , denotam os por A -1 a matr i z inversa de A . Então A + A -1 é i gua l a: a) \ue601 2 3 1 0 \ue601 b) \ue601 1 \u2212 1 2 0 \ue601 c) \ue609 \ue601 1 1 \u2212 \ue601 \ue601 \ue601 \ue601 \ue601 d) \ue609\ue609 \ue601 0 \u2212 1 \ue601 \ue601 \ue601 \ue601 \ue601 e ) \ue601 2 4 \u2212 2 0 \ue601 10 Q16. (UFRR J) U m a fábrica de guarda-ro upas utiliza t rês t i pos de f e chaduras (do urada, prat eada e bro n zeada) par a guar da-ro upas em mogno e cerej e ira, n os m ode l o bás ico, luxo e requ in t e. A t ab ela 1 m o str a a pro duçã o de m ó vei s dura nte o mês d e o utubro de 2005, e a t abela 2, a quanti dade de f e chaduras u t ili zadas em cada t i po de armári o no mesm o mês . Tabela1: Pro duçã o de arm ários em out ubro de 2005. Mode l o Madei r a Básico Luxo Requin te Mogno 3 5 4 Cerej eira 4 3 5 Tabela 2: Fech adura s usadas em out ubro de 2005 Madei r a Ti po Mogno Cerej eira Dour ada 10 12 Prat eada 8 8 Bronzeada 4 6 A qua nt i dade de f echaduras usadas nos ar m ár i o s do m ode l o r equin t e nes s e m ê s fo i de: a) 170 b) 192 c) 120 d) 218 e) 188 Q17. (Udesc) Consi der e a s matri zes A = \ue601 1 \ue601 \ue601 1 \ue601 , I = \ue601 1 0 0 1 \ue601 e O= \ue601 0 0 0 0 \ue601 , a s oma dos v al or es n umér i cos de x , para os quai s a i gualdade A² - 2 A \u2013 3I=0 é verif icada é: a) x = 0 b) x = 2 c) x = 1 d) x = -2 e) x = -1 Q18. ( UEL-PR) uma da s for m a s de se e nviar u ma mensagem secreta é po r m ei o de códi go s m ate m át i co s, segu in do o s passos: 1- Tanto o des tinatár i o quanto o rem etente po ssuem uma matr i z c hav e C . 2- O destinatári o r ecebe do r em etente u ma matri z P , t al que MC=P, o nde M é matr i z m ensagem a ser deco difi cada. 3- Cada número da matri z M corr esponde a u ma l et ra do a lf abeto : 1=a, 2=b, 3=c,..., 23=z 4- Considerem os o al fabeto c om 23 letras, excl uindo as l et ras k , w e y . 5- O número zero corresp o nde ao p onto de excl amaç ão.

matrizes-determinantes-e-sistemas-lineares-2o-ano

Matemática

Colégio Objetivo

Matemática

Continue navegando

Materiais relacionados

Perguntas relacionadas

O livro Raciocínio Lógico Simplificado, volume 2, apresenta conteúdos de qual disciplina? Análise Combinatória Probabilidade Sequências Lógicas Pr...

Quais são os conceitos, operações e propriedades de matrizes? a) Matrizes: conceito, tipos especiais, operações e matriz inversa. b) Determinante...

8. Matrizes e Sistemas Lineares: - Introdução às matrizes e operações com matrizes. - Resolução de sistemas de equações lineares com matrizes...

O cálculo de determinantes de matrizes desempenha um papel fundamental na engenharia, pois fornece informações essenciais sobre sistemas lineares, ...

Outros materiais