Potenciação e Radiciação

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Matemática
1o bimestre – Aula 1
Ensino Médio
3a
SÉRIE
2024_EM_B1_V1
Potenciação.
Identificar a potência como representação de uma multiplicação repetitiva de um mesmo fator;
Calcular potências de expoentes positivos ou negativos;
Calcular potências de números decimais (de representação finita);
Realizar cálculos com potências de expoente fracionário.
Conteúdo
Objetivos
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(EF08MA02) Resolver e elaborar situações-problema usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como potência de expoente fracionário.
(EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
Virem e conversem
5 MINUTOS
Uma das utilidades da multiplicação é simplificar soma de parcelas iguais. Por exemplo: 3 + 3 + 3 + 3 = 4 x 3.
E da potenciação é simplificar produtos de fatores iguais, como:
3 x 3 x 3 x 3 = . 
Então, por que = 1?
#conceitos_matemáticos_importantes
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Para começar
Professor, sugerimos que peça aos estudantes para apresentarem outros exemplos, como os que foram demonstrados acima, a fim de solidificarem a aprendizagem. Para a pergunta: Por que= 1?, acolha as respostas dos estudantes, sem emitir juízo de valor certo ou errado. Posteriormente, esta pergunta será respondida com o vídeo.
Por exemplo, = 2.2.2 = 8; em que 2 é a base e 3 é o expoente da potência. Dentre as propriedades da potenciação, destacamos:
 com , com 
=, com 
Potenciação e radiciação
Em Matemática, potência é a representação de produto de fatores iguais. A operação que tem a potência como resultado é a potenciação.
Base: é o fator que se repete de acordo com o expoente.
Expoente: indica quantas vezes a base se repete na multiplicação. 
Fonte: Elaborado para fins didáticos
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Foco no conteúdo
Todo mundo escreve
Tudo o que você sempre quis perguntar
https://www.youtube.com/watch?v=3WqedJZh2aA
Para as atividades iniciais desta Sequência, vocês assistirão ao vídeo “”, os primeiros 5 minutos. Nele, Luciano e o professor Rubão conversam sobre alguns questionamentos relacionados a temas da Matemática que, costumeiramente, aguçam a curiosidade dos estudantes. A partir das informações tratadas no vídeo e dos seus conhecimentos sobre cálculos de potências e raízes, leia atentamente as atividades e responda cada uma delas. 
10 MINUTOS
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Foco no conteúdo
Professor, indicamos a importância de organizar o recurso para a exibição do vídeo com antecedência. Esse vídeo tem cerca de 10 minutos, mas, para realizar a Atividade 1, é necessário que os estudantes assistam até o tempo de 4:54 minutos, no qual aborda os conteúdos matemáticos relacionados com a execução da atividade. Recomende que eles registrem partes importantes do vídeo para posterior discussão. É muito importante a participação de todos durante a realização das atividades. Assim, sugerimos que prepare perguntas relacionadas com o vídeo, para que seja promovida uma discussão com a classe, a fim de garantir a participação e a melhor compreensão das informações tratadas no vídeo. As perguntas devem ser direcionadas aos estudantes, chamando-os pelo nome.
Potenciação e radiciação
De acordo com o vídeo, responda:
Por que = 1?
Por que = ?
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Foco no conteúdo
Correção
A propriedade fundamental da potenciação garante que = . Usando essa propriedade e fazendo b=0, temos que: = , ou seja, . Contudo, para que o produto entre um número e outro forneça como resultado o próprio número, esse outro número deve ser igual a 1. Assim, =1, e isso mostra que, de acordo com a propriedade fundamental da potenciação, todo número real, diferente de zero, elevado a zero é igual a 1; logo, = 1.
Continua...
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Foco no conteúdo
Correção
Utilizando expoentes negativos, ocorre: = . Dessa forma, teríamos: = = 1. 
Seguindo essa mesma ideia, . = 1; então, dividindo ambos os lados da sentença por , ficamos com: /=1/. 
Logo, =e, portanto, .
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Foco no conteúdo
E o que acontece quando a base ou o expoente são iguais a 1? Por exemplo, qual é o valor de ? E quanto vale ?
Atividade 2
Mostre-me
5 MINUTOS
Atividade 3
Há diferença entre - e -? E com as potências e , o que acontece? Escreva um breve comentário, explicando as suas ideias.
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Na prática
Correção
Quando a base é igual a 1, o resultado da potenciação é igual a 1. Quando o expoente é 1, a potência é a própria base. 
 = 2020 = 1
Entre e , há diferença quanto aos resultados, embora ambos sejam negativos: 
 = -5. 5.5 = -125 
 = -5. 5 = -25
Para e , teremos um resultado positivo e um negativo: 
 = (-5).(-5).(-5) = -125 
 = (-5).(-5) = 25
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Na prática
Mostre-me
5 MINUTOS
Se a base for um número decimal, há alguma particularidade? Explique e calcule:
a) =
b) =
c) =
d) =
Atividade 4
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Na prática
Correção
a) = 0,9 . 0,9 = 0,81
b) = 0,01 . 0,01 . 0,01 = 0,000001
c) = 0,14 . 0,14 . 0,14 = 0,002744
d) = 2,5 . 2,5 = 6,25
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Na prática
Potenciação e radiciação
Sendo assim, explique: como pode ser escrito como uma potência de base 2? Qual o valor da potência obtida?
É possível escrever uma potenciação como uma radiciação. Isso acontece quando temos expoente na forma de fração. Veja:
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Foco no conteúdo
Correção
O radical pode ser escrito na forma de potência com expoente fracionário:
 
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Foco no conteúdo
#ampliando nosso conhecimento 
Um homem passeava um dia pela rua, quando encontrou um jovem que conheceu há pouco tempo. O jovem propôs o seguinte negócio: iria lhe pagar R$ 1.000,00 a cada dia, durante 15 dias; em contrapartida, o homem daria ao jovem R$ 1,00 no primeiro dia, R$ 2,00 no segundo dia, R$ 4,00 no terceiro dia e assim sucessivamente, dobrando o valor dia a dia, até completar os 15 dias. Quem sairia ganhando mais dinheiro, caso a proposta fosse aceita pelo homem? 
 
Virem e conversem
10 MINUTOS
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Aplicando
Se o homem receber R$ 1.000,00 por dia, após o período de 15 dias, ele terá R$ 15.000,00. No entanto, o jovem sugeriu receber, do homem, sempre o dobro do valor recebido no dia anterior. 
Então, no primeiro dia, ele receberia R$ 1,00; no segundo dia, R$ 2,00; no terceiro dia, R$ 4,00; e assim seria até o décimo quinto dia.
As quantias recebidas pelo jovem podem ser escritas da seguinte maneira:
Correção
Continua...
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Aplicando
Correção
No total, ele receberia o valor de R$ 32.767,00 (1+2+4+8+16+32+...+16384), e, como o homem receberia R$ 15.000,00, o jovem sairia ganhando muito mais dinheiro.
	Dia	1	2	3	4
	Quantia	 = 1			
	5	6	...	14	15
					
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Aplicando
Calculamos potências de expoentes positivos, negativos e fracionários;
Calculamos potências de números decimais;
Resolvemos problemas, envolvendo potências.
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O que aprendemos hoje?
LEMOV, D. Aula nota 10 3.0: 63 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula.
Porto Alegre: Penso, 2023.
SÃO PAULO (ESTADO). Secretaria da Educação. Aprender Sempre v.1 – 3ª Série do Ensino Médio. São Paulo, 2022.
Slide 5 - COSTA, M. G.; BERCHARA, M.; FIRER, M. Tudo que você sempre quis perguntar. Matemática Multimídia, UNICAMP. Campinas. Disponível COSTA, M. G.; BERCHARA, M.; FIRER, M. Tudo que você sempre quis perguntar. Matemática Multimídia, UNICAMP. Campinas.
Disponível em: https://m3.ime.unicamp.br/recursos/1186. Acesso em: 12 dez. 2023
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Referências
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