Problemas de Contagem

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ATIVIDADE 30: PROBLEMAS DE CONTAGEM. 
 
OBJETIVOS: Resolver problemas por ensaio e erro. 
 Inferir resultados gerais através da indução. 
 Utilizar o raciocínio combinatório. 
 
 
PARTE 1: O TRIÂNGULO MÁGICO. 
 
MATERIAL NECESSÁRIO: Nenhum. 
 
DESENVOLVIMENTO: 
 
 Desenhe na lousa um triângulo 
como o que esta indicado ao lado e solicite aos 
alunos que por tentativa distribuam a seqüência 
dos números de 1 a 6, nos círculos de modo que 
a soma dos três números, sobre qualquer um dos 
lados do triângulo seja a mesma. Por exemplo, 
igual a 10. 
 
 Informe aos alunos que um triângulo com essa propriedade é 
chamado de triângulo mágico. 
 Dê um tempo para os alunos se organizarem em grupos de 4 e 
discutirem até chegar a uma solução. 
 Verifique em seguida quantas e quais foram as soluções 
encontradas pelos grupos. Reúna-as na lousa de modo que possa ser feita uma 
 
 
 
comparação entre as figuras, destacando as diferenças e semelhanças 
observadas. Podem ser colocadas soluções como essas: 
 
 
 
 Caso as diferenças e semelhanças não sejam observadas pelos 
alunos, na discussão, chame a atenção para os números colocados nos vértices 
e os números colocados nas posições intermediárias. 
 Considere todas as soluções apresentadas, como uma única, 
uma vez que os números localizados nos vértices ( 1, 3, 5 ) e os números 
intermediários ( 2, 4, 6 ) são sempre os mesmos. Nessa seqüência dada, os 
números ímpares ficaram nos vértices, enquanto os pares ficaram no meio. 
Além disso, a distribuição dos números intermediários não se dá de forma 
aleatória. Por exemplo: o 6 só pode ficar entre o 1 e o 3, assim como o 2 entre 
3 e o 5. Observe que nas soluções encontradas os números são fixos ocorrendo 
apenas uma rotação do triângulo. 
 Proponha outros tipos de situações para os grupos, dando um 
tempo para discutirem cada uma delas: 
 Distribua novamente os números, no triângulo, de 
modo a obter a mesma soma sobre os lados, porém, 
diferente de 10. É possível encontrar outras somas? 
Quais? 
 
 Qual é a maior e a menor soma possível de ser encontrada? 
 No processo de ensaio e erro que os alunos experimentarão 
para encontrar as soluções é provável que algumas propriedades do triângulo 
mágico sejam explicitadas. O que pode ser verificado através de uma 
sistematização das conclusões a que cada grupo chegou. Algumas delas são: 
 
 1. Há quatro soluções: 
 
 
 2. Nos triângulos de soma 10 e soma 11 houve uma inversão 
na posição dos números. No primeiro, os números ímpares ficaram nos 
vértices e os pares no meio, no segundo, os pares ficaram nos vértices e os 
impares no meio. 
 
 
 
 3. No caso do triângulo de soma 9 os números do vértice são 
os três menores ( 1, 2, 3 ) e no triângulo de soma 12 houve uma inversão, 
ficando os números maiores ( 4, 5, 6 ) nos vértices. 
 
 
 4. As soluções ocorrem aos pares, encontrada uma delas, 
troca-se os números dos vértices pelos números das posições intermediárias e 
encontra-se outra solução. 
 Ainda, usando esses mesmos critérios, proponha que eles 
construam triângulos mágicos com outras seqüências de números, por 
exemplo: 
 
1) 2, 4, 6, 8, 10, 12. 
2) 2, 3, 4, 9, 10, 11. 
 
 Pergunte se eles perceberam algum processo mais organizado, 
que permita determinar triângulos mágicos com qualquer seqüência de 
números. 
 
COMENTÁRIOS: 
 Nesse tipo de problema é importante a tentativa, o ensaio e 
erro, pois assim, os alunos percebem propriedades importantes. Através de 
questões que podem ser levantadas conforme a discussão e as conclusões do 
grupo, alguns avanço vão sendo dados no sentido de uma generalização dessas 
propriedades. 
 Assim, após verificar se os grupos perceberam ou não 
critérios gerais para a construção de triângulos mágicos com qualquer 
seqüência de números, retome a seqüência inicial: 1, 2, 3, 4, 5 e sugira que 
formem todas as ternas possíveis com esses seis números e indique ao lado a 
soma dos termos de cada terna: 
 
 
 Observando essa tabela e entendendo que cada terna pode ser 
a distribuição de três números sobre um lado do triângulo, somente algumas 
delas correspondem a triângulos mágicos, aquelas que apresentam a mesma 
soma três vezes. Por exemplo para a soma igual a 10 temos as ternas: 1 3 6, 1 
4 5 e 2 3 5, que colocadas sobre o triângulo, estarão nos vértices os números 
que aparecem duas vezes, pois eles são somados duas vezes. 
 Também é possível verificar que as somas possíveis, aquelas 
que aparecem três vezes são: 9, 10, 11 e 12. 
 
 
PARTE 2: O TABULEIRO. 
 
MATERIAL NECESSÁRIO: Um pedaço de papel quadriculado de 8 x 8. 
 
DESENVOLVIMENTO: 
 
 
 Coloque na lousa a figura quadriculada 
De 3 x 3 e pergunte aos alunos quantos quadrados há. 
 
 
 Dê um tempo para que eles discutam em grupo e cheguem a 
uma conclusão. 
 Analise as respostas dos grupos e discuta o método que 
utilizaram para descobri a quantidade de quadrados. Assim, será possível de 
imediato questionar a solução que considera 9, quando muito, 10 quadrados. 
 
 
 
 
 Observe se concluíram que há 14 quadrados já que devem 
considerar os quadrados de 1 x 1, 2 x 2 e 3 x 3. 
 
 
 Proponha a extensão desse raciocínio, apresentando na lousa 
ou entregando um papel quadriculado de 8 x 8, para cada aluno, através do 
seguinte problema: 
 
 Sendo esta, uma representação 
de um tabuleiro de xadrez de 8 x 8. Determine a 
quantidade de quadrados da figura. 
 Dê um tempo para a discussão 
em grupo e verifique junto a cada um o processo 
utilizado para chegar ao resultado. 
 
 Caso eles apresentem dificuldades, chame a atenção para a 
situação anterior e observem como chegaram ao resultado. Se houver ainda 
alguma dificuldade, sugira que particularizem a situação, tomando outros 
quadriculados menores, de 4 x 4, 5 x 5, etc. para auxiliar nessa tarefa. 
 Após, os grupos terem chegado a uma conclusão, analise-as 
de modo a sistematizar o processo utilizado nesse cálculo. Para isso, será 
necessário destacar os diferentes tipos de quadrados que podem ser vistos na 
figura. Neste caso, há os quadrados que percebemos imediatamente, por isso é 
possível que apareçam inúmeras respostas, e há quadrados superpostos, cuja 
 
 
 
percepção não é imediata, provocando algumas dificuldades. Sugira então que 
verifiquem por partes: 
 1. Os quadrados de 1 x 1: 
 
 8 x 8 
 
 2. Os quadrados de 2 x 2 
 
 
 
 3. Os quadrados de 3 x 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Após o cálculo da quantidade de cada tipo de quadrado, 
encontra-se o total de quadrados do tabuleiro de xadrez, que pode ser 
organizado da seguinte forma: 
Tipo de quadrado Quantidade de cada tipo 
1 x 1 8 x 8 = 64 
2 x 2 7 x 7 = 49 
3 x 3 6 x 6 = 36 
4 x 4 5 x 5 = 25 
5 x 5 4 x 4 = 16 
 
 
6 x 6 3 x 3 = 9 
7 x 7 2 x 2 = 4 
8 x 8 1 
Total de quadrados 204 
 
 
COMENTÁRIO: 
 
 Houve nesse tipo de problema o procedimento indutivo, em 
que de situações particulares foi-se deduzindo uma regra geral, para 
quadriculados com números de quadrados cada vez maior. Situações dessa 
natureza começam a ser mais freqüentes a partir da 7ª série. Proponha então 
aos alunos que indiquem um modo de calcular o número de quadrados de um 
tabuleiro de n x n. 
 
PARTE 3: AS CORDAS. 
 
MATERIAL NECESSÁRIO: Nenhum. 
 
DESENVOLVIMENTO: 
 
 Peça aos alunos para desenharem diferentes círculos e 
marquem sobre a circunferência de cada um, 1, 2, 3, 4, 5, ... pontos e 
proponha o seguinte problema:Verificar o número de cordas que podem ser traçadas em um 
círculo em função do números de pontos colocados sobre a circunferência. 
 Dê um tempo para os alunos discutirem em grupo e por ensaio 
e erro tentarem chegar a uma conclusão. 
 
 Após esse trabalho organize as conclusões a que os grupos 
chegaram e explicite o processo utilizado pelo grupo. 
 Proponha a construção de uma tabela relacionando as duas 
grandezas: número de pontos e números de cordas. 
 
 
nº de pontos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
nº de cordas 0 1 3 6 10 15 21 28 36 
 
 
 Faça perguntas do seguinte tipo: 
 
 Quantas cordas podemos traçar com 5 pontos sobre a 
circunferência? E com 10? 
 Que propriedade você observa na seqüência de números 
de cordas? 
 É possível encontrar uma regra para determinar o 
número de cordas para qualquer quantidade de pontos? 
 
 Proponha então que eles analisem a tabela. Pode-se observar 
que a seqüência do número de cordas pode ser formada adicionando-se o 1 ao 
0, o 2 ao 1, o 3 ao 2, o 4 ao 3 e assim sucessivamente. Desse modo podemos 
obter o número de cordas para 6 pontos, somando-se 5 ao número de cordas 
correspondente a 5 pontos na circunferência. Para se achar o número de cordas 
de n pontos, deve-se adicionar ( n- 1 ) ao número de cordas relativos a ( n – 1 ) 
pontos sobre a circunferência. A regra de formação da seqüência é: 
 
 
 
 
 Outra propriedade observada na seqüência do número de 
cordas e que permite uma lei geral é: 
 nº pontos nº cordas 
 1 0 
 2 1 = 0 + 1 
 3 3 = 0 + 1 + 2 
 4 6 = 0 + 1 + 2 + 3 
 5 10 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 
 6 15 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 
 
 Assim, para n pontos, o número de cordas é: 
0 + 1 + 2 + 3 + 4 + .... + ( n – 1 ). 
 
COMENTÁRIO: 
 
 Da mesma forma que na parte 2, o raciocínio indutivo foi 
aplicado aqui também. Chame a atenção dos alunos que cada parcela da adição, 
corresponde ao número de cordas que podemos traçar a partir de cada ponto, 
sem repetir nenhuma. 
 Embora a idéia de combinação esteja presente nesse 
problema, não é necessário aplicar a expressão: 
C n . 2 = n ! 
 2! . ( n – 2 ) 
 
que envolve definições desnecessárias nesse momento.