Medição e Área de Figuras Planas

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ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS
Medir uma grandeza significa compará-la com outra de 
mesma espécie que é tomada por unidade.
* O que significa medir uma grandeza?
* O que é a área de uma figura plana?
É uma medida da porção do plano que é cercada (ocupada) 
pela figura.
* Como encontrar a medida da área de uma figura plana?
Devemos comparar a sua superfície (porção do plano que
ela ocupa) com a de outra figura que é tomada como uni-
dade.
* Qual uma boa sugestão para a unidade de área ?
Um quadrado cujo lado mede uma unidade de comprimento.
(ele será chamado de quadrado unitário)
Definição geral de área
Dado um polígono P associamos a esse polígono um número
 real não negativo, chamado de área de P com as seguintes
 propriedades:
I – Polígonos congruentes têm áreas iguais.
II – Se P é um quadrado de lado 1, então (área de P) = 1.
III – Se P pode ser decomposto como a reunião de n
Polígonos P1.P2,...,Pn tais que dois quaisquer deles
têm em comum no máximo alguns lados, então 
Áreas das principais figuras planas
QUADRADOS
RETÂNGULOS
PARALELOGRAMOS
TRIÂNGULOS
TRAPÉZIOS
LOSANGOS
CÍRCULOS
* Quadrados
Partindo da definição, num curso mais rigoroso, pode-se demonstrar que a medida de um quadrado de lado a é a2.
* Retângulos
Por quê?
* Paralelogramos
Por quê?
Logo, A = b.h
* Triângulos
Por quê?
* Observação importante !
Outras formas de calcular a área de um triângulo:
Sabemos que:
Mas,
E daí,
De um modo geral temos que:
Área de um triângulo em função do semi-perímetro e
do raio da circunferência inscrita.
Por quê ?
+
+
Observação importante!!!
Na verdade a fórmula A=p.r funciona para qualquer 
Polígono circunscritível
Área de um triângulo em função do raio da circunferência 
circunscrita.
Por quê ?
Lembre que:
( Lei dos senos )
Já sabemos que:
Mas, 
Fórmula de Heron
Onde,
Por quê ?
Quando 90°,
Pois, 
Assim,
Mas,
Note que =180° e
assim temos que =90°,
E daí temos que:
Mas,
Perceba que:
Mas, 
Assim, 
Sabemos que A = p.r . Assim temos que:
Lembrando que 
Segue que
Algumas observações importantes:
I. Qual dos triângulos abaixo possui a maior área?
Os dois triângulos têm a mesma área. A área de um
triângulo não se altera quando a sua base permanece 
fixa e o terceiro vértice percorre uma reta paralela 
a base
II. Num triângulo qualquer 
uma das suas medianas o 
divide em dois triângulos
 de mesma área
III. As três medianas de um triângulo o dividem em seis 
triângulos de mesma área.
IV – Se no lugar das medianas tivermos três cevianas
concorrentes quaisquer, demonstra-se que:
(Teorema de Ceva para áreas)
V – Quando dois triângulos são semelhantes com razão de
Semelhança k suas áreas apresentam razão k2. (por quê ?)
VI – Quando dois triângulos têm a mesma altura a razão
das suas áreas é igual a razão das suas bases.(por quê?)
VII - Área de um triângulo equilátero.
VIII – Área de um hexágono regular. 
* Trapézio
Por quê?
* Losango
Por quê?
* Círculos 
Já vimos que 
Tomando um polígono regular com um grande número de
 lados, isto é, o número de lados tendendo ao infinito, 
temos que esse polígono tende a uma circunferência.
Assim temos que:
(n lados)
Note que :
E daí concluímos que:
11 u.a.
(
)
n
k
k1
áreadePP
=
=
å
aa u.a.2
bbbbhhhh
A = b.hbh
A
2
b
2
h
(
)
2
22
bh2.Abh
+=++Þ
2222
b2.b.hh2.Abh
++=++Þ
Ab.h
=
A = b.hbh
bh
bh
b.h
A
2
=
a
b
c
a.h
A
2
b.h
A
2
c.h
A
2
ì
=
ï
ï
ï
=
í
ï
ï
=
ï
î
abchahbhc
abcABC
abchaABC
a
1
Aa.h
2
=
a
h
sen
c
b=
Þ
a
hc.sen
=b
1
A.a.c.sen
2
=b
1
A.a.c.sen
2
1
A.a.b.sen
2
1
A.b.c.sen
2
ì
=b
ï
ï
ï
=g
í
ï
ï
=a
ï
î
abcABCr
Ap.r
abc
Onde,p
2
=
ì
ï
í
++
=
ï
î
abcABCrrr
a.r
A
2
=
b.r
2
c.r
2
abc
A.r
2
++
æö
=
ç÷
èø
Ap.r
=
Ap.r
=
abcABCR
a.b.c
A
4.R
=
abcABCR
abc
2.R
sensensen
===
abg
bb
2.Rsen
sen2.R
=Þb=
b
1b
Aa.c.
22.R
=
a.b.c
A
4.R
=
abcABC
(
)
(
)
(
)
Ap.pa.pb.pc
=---
abc
p
2
++
=
tg.tgtg.tgtg.tg1
ab+ag+bg=
9090
a+b+g=°Þa+b=°-g
(
)
(
)
(
)
90tgtg90tgcotg
a+b=°-gÞa+b=°-gÞa+b=g
1
cotg
tg
g=
g
abcABCrrr
(
)
tgtg
1
tgcotg
1tg.tgtg
a+b
a+b=gÞ=
-abg
(
)
tgtg
1
tg.tgtg1tg.tg
1tg.tgtg
a+b
=Þga+b=-ab
-abg
(
)
tg.tgtg1tg.tg
ga+b=-abÞ
tg.tgtg.tgtg.tg1
ab+ag+bg=
abcABCrrrxxyyzz
2p2x2y2z
=++Þ
xpb
pxyzypc
zpa
=-
ì
ï
=++Þ=-
í
ï
=-
î
rrr
tg,tgetg
zxy
a=b=g=
(
)
2
222
r.xyz
r.prp
rrrrrr
...1111
zxzyxyxyzxyzp.xyz
++
++=Þ=Þ=Þ=
(
)
2
22
2
pr
rp
A
111Ap.xyz
p.xyzp.xyzp.xyz
=Þ=Þ=Þ=
(
)
(
)
(
)
Ap.xyzAp.pa.pb.pc
=Þ=---
(r)//(s)(s)
aah
123456
13526
4
A.A.AA.A.A
=
aaha
2
a3
a.
b.ha3
2
AA
224
=Þ=
aaaaaa
22
T
a33a3
A6.A6.
42
===
hBb
(
)
Bb.h
A
2
+
=
B-bbhb
(
)
(
)
Bb.hBb.h
AbhA
22
-+
=+Þ=
Dd
D.d
A
2
=
T
Dd
.
D.d
22
A4.AA4.A
22
=Þ=Þ=
D/2d/2
(
)
T
nnn
a.hnah
An.An.
limlimlim
22
®¥®¥®¥
æöæö
===
ç÷ç÷
èøèø
R
aRR
n
®¥
na2R
n
hR
®p
ì
®¥Þ
í
®
î
2
n
nah2RR
AAAR
lim
22
®¥
p
æö
=Þ=Þ=p
ç÷
èø