Lista Intervalos de Confiança (1)

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1 - a) Com os valores obtidos na amostra, é possível calcular a média amostral, que
corresponde a 3,44.
b) O estimador é a média amostral, e possui uma distribuição normal, pois, de acordo com o
Teorema Central do Limite, a distribuição amostral da média tende a se aproximar de uma
distribuição normal. Também segundo o Teorema Central do Limite, a população da qual é
retirada as amostras pode ter qualquer tipo de distribuição, portanto, não é necessário que a
variável número de residentes em cada domicílio tenha distribuição normal.
c - i) P( x̅ > 4)
Fórmula para calcular o Z:
x̅ é a média que ele quer calcular (4)
μ é a média populacional (5)
σ é o desvio padrão populacional (√12,96 = 3,6)
n é o tamanho da amostra (36)
Z = 4 - 5 / 3,6 / √36 = -1,67
P ( x̅ > 4) = P (Z > -1,67)
Na tabela, Z = -1,67 corresponde a área de 0,4525, portanto a probabilidade de que na
amostra a média fique acima de 4 é de 0,5 + 0,4525 = 0,9525
ii) P( x̅ <= 6,5)
Z = 6,5 - 5 / 3,6 / √36 = 2,5
P( x̅ <= 6,5) = P(Z <= 2,5)
Na tabela, Z = 2,5 corresponde a área de 0,4938, portanto a probabilidade de que na
amostra a média fique abaixo ou igual a 6,5 é de 0,5 + 0,4938 = 0,9938
*iii) P ( x̅ = 2)
Z = 2 - 5 / 3,6 / √36 = -5
Z = -5 -> 0
iv) P (3,5 < x̅ <= 5)
Z = 3,5 - 5 / 3,6 / √36 = -2,5
Z = 5 - 5 / 3,6 / √36 = 0
Z = -2,5 -> 0,4938
Z = 0 -> 0
P(-2,5 < Z <= 0) = 0,4938
** d) 95%
n = 36 > 30 amostra grande
σ = 3,6
x̅ = 3,44
IC(μ)95% = x̅ +- e
e = z . σ / √n
Como o intervalo de confiança é de 95% o valor do z é 1,96:
e = 1,96 . 3,6 / √36 = 1,176
IC = 3,44 +- 1,176 = [2,264 - 4,616] - Gabarito?
99%
z = 2,58
e = 2,58 . 3,6 / √36 = 1,548
IC = 3,44 +- 1,548 = [1,892 - 4,988]99% - Gabarito?
2 - a) x̅ = 170
n = 100
σ = 15
1 - α = 0,95 = 95%
z = 1,96
e = 1,96 . 15 / √100 = 2,94
IC(μ)95% = 170 +- 2,94 = [167,06 - 172,94]95%
b) Aqui o intervalo de confiança é 85%, então terá 15% nas extremidades e o α/2 é 15/2 =
7,5%
Na tabela, o z que corresponde a área de 42,5% é 1,44 (aqui será 42,5% no lugar de 47,5%
naquele gráfico acima, e 7,5% no lugar de 2,5%)
e = 1,44 . 30 / √184 = 3,18
IC(μ)85% = 165 +- 3,18 = [161,82 - 168,18]85%
c) Com o coeficiente de confiança de 70% o z irá corresponder a área de 35% (1,04)
e = 1,04 . 30 / √225 = 2,08
IC(μ)70% = 180 +- 2,08 = [177,92 - 182,08]70%
3 - a) ?
b) z de 99%: 2,58
e = 2,58 . 100/√400 = 12,9
IC(μ) = 400 +- 12,9 [387,1 - 412,9]
c) A vida média da população estará, com 95% de confiança, no intervalo de [387,1 - 412,9].
d) ?
e) ?
f) Fórmula para achar o n:
n = 1,96 . 100² / 7,84² = 625
g) z de 96% - 2,06
e = 2,06 . 100 / √50000 = 0,9213
IC = 400 +- 0,9213 - Gabarito ?
4 - a) P (x̅ > 148)
n = 36
σ = 5
μ = 150
x̅ 148
Z = 148 - 150 / 5 / √36 = -2,41
Z = -1,67 -> 0,4525
Z = -2,41 -> 0,4920
P (x̅ > 148) = P(Z > -2,41) = 0,5 + 0,4920 = 0,9920
b) Intervalo de confiança de 98% corresponde ao α/2 = 1%. Na tabela, o valor de Z que
corresponde a área 0,49 é 2,33.
e = 2,33 . 5 / √36 = 1,94
IC(μ)98% = 150 +- 1,94 = [148,06 - 151,94]98%
c) 1,94
d) Considerando os mesmos 98% de confiança
fórmula para achar o n:
n = 2,33² . 5² / 3² = 15,0803 -> ele quer no máximo, então arredonda pra cima: 16 (quanto
menor a amostra maior o erro, então se fosse arredondar para baixo iria ultrapassar os 3
cm)
e) e = 0,98
x̅ = 150
Novamente substitui na fórmula do n, como ele quer um intervalo de confiança de 95% o
valor de Z será 1,96
n = 1,96² . 5² / 0,98² = 100
5 - σ = 2000
n = 1,96² . 2000² / 100² = 1536,64 -> arredonda pra cima pois ele pediu no máximo: 1537
6 - a)IC(μ)95% = x̅ +- e
e = z . σ / √n
x̅ = 3
e = 1,96 . 1 / √64 = 0,245
64 / 1000 = 0,064 = 6,4%
Como n/N é maior que 5%, a população é finita, então tem que multiplicar o erro por
√N - n / N - 1
0,245 . √1000 - 64 / 1000 - 1 = ~0,24
IC(μ)95% = 3 +- 0,245 = [2,755 - 3,245]95%
b) 1 - α / 2 = 1 - 99 / 2 = 0,5% -> o valor de z que corresponde a área de 0,5 - 0,005 é 2,57
e = 2,57 . 1 / √64 = 0,3212
IC(μ)95% = 3 +- 0,3212 = [2,6788 - 3,3212]
Não, a amplitude é maior.
c) No intervalo de 95% o erro é 0,245
No intervalo de 99% o erro é 0,3212
d) e = 1,96 . 2 / √64 = 0,49
Sim, é maior.
e) n = 90
e = 1,96 . 1 / √90 = 0,2066
IC(μ)95% = 3 +- 0,2066 = [2,7934 - 3,2066]
Aumentando a amostra a amplitude aumenta e o erro diminui.
7 - a) Fixe a confiança - considere que seja 95% (?)
e = 1,96 . 7 / √49 = 1,96
IC(μ)95% = 30 +- 1,96 = [28,04 - 31,96]95%
b) 1,96 minutos
* 8 - a) Como a amostra é menor que 30, a fórmula pra achar o erro é:
pra achar o t, primeiro acha o grau de liberdade:
GL = n - 1 = 25 - 1 = 24
Como é 99% de confiança, o alpha será ½ = 0,5% = 0,005.
Na tabela t, o valor que corresponde a 0,005 e 24 é 2,797
e = 2,797 . 20 / √25 = 11,188
n/N -> 25/200 = 0,125 = 12,5%
como n/N > 5%, tem que corrigir o erro, multiplicando ele por √N - n / N - 1
11,188 . √200 - 25 / 200 - 1 = 10,4912
IC = 220 +- 10,492 = [209,508 - 230,492] - Gabarito ?
b) ?
9 - Descreva a população de interesse (?)
e = 1,96 . 15 / √100 = 2,94
IC(μ)95% = 90 +- 2,94 = [87,06 - 92,94]95%
10 -
n = 1,96² . 5² / 0,98² = 100
11 - a) Afirmação verdadeira, pois a média e a proporção de alguma característica da
população são variáveis quantitativas, logo fixas.
Afirmação verdadeira, pois cada amostra é independente e possui certa precisão.
b) Afirmação verdadeira. Exemplo, quando se tem 99% de confiança de que o valor real do
parâmetro está no intervalo de confiança, significa que 99% dos intervalos de confiança
observados têm o valor real do parâmetro. Analisando a fórmula: IC = 𝜌 ± 𝐸 e 𝐸 = 𝑧 × 𝑆𝑝,
quanto maior z, maior E e assim maior IC.
c) Afirmação falsa, tanto no cálculo do erro padrão da média quanto no da proporção a
amostra aparece na fórmula como √𝑛 no denominador, logo seria necessário quadriplica-la
para diminuir pela metade a margem de erro e assim diminuir o intervalo IC pela metade.
12 - Como ele não disse a confiança considere que é 95%
Como as amostras são pequenas, primeiro tem que descobrir se a variância é homogênea
ou heterogênea:
H0 = σ1/σ2 = 0 (variâncias são iguais - homogênea)
Ha = σ1/σ2 > 1 (variâncias são diferentes - heterogênea)
Fórmula para ver se é homogênea ou heterogênea:
F = 530,07² / 516,03² = 1,0552
GL do numerador: n - 1 = 12 - 1 = 11
GL do denominador: n - 1 = 12 - 1 = 11
Na tabela F de 5% o 11 - 11 corresponde a 2,818
1,0552 não ultrapassa 2,818, portanto a hipótese nula foi confirmada e as variâncias são
homogêneas.
IC para diferença de médias:
IC(μ1 –μ2) +- e
Fórmulas do erro para diferença de médias para variâncias homogêneas:
Sp = √(12 - 1) . 530,07² + (12 - 1) . 516,03² / 12 + 12 - 2 = 523,097
GL = 12 + 12 - 2 = 22
para achar o t tem que olhar na tabela t o valor de 22 - 0,025 = 2,074
e = 2,074 . 523,097 . √1/12 + 1/12 = 442,909
IC(1349 - 1267) 442,909 = 82 +- 442,909 = [-360,909 - 524,909]95%
O zero está dentro do IC, então μ1 - μ2 pode ser igual a 0, então μ1 = μ2 (as médias dos
restaurantes são iguais.
13 - Fórmula do IC para diferença de média:
IC(μ1 –μ2) +- e
Fórmula do erro para diferença de média em amostras grandes:
Considerando EUA como σ1 e japão como σ2
e = 1,96 . √1989² / 50 + 1843² / 30 = 859,598
IC = (11545 - 12243) +- 859,598 = -698 +- 859,598 = [-1557,598 - 161,598]
b) O zero está dentro do IC, então μ1 - μ2 pode ser igual a 0, então μ1 = μ2 (as médias de
preços entre os mercados americanos e japoneses são iguais.
14 - Fórmula do IC para diferença de média:
IC(μ1 –μ2) +- e
Fórmula do erro para diferença de média em amostras grandes:
Considerando σ1 como o do grupo de 80 alunos
e = 1,96 . √0,5² / 80 + 0,4² / 70 = 0,1440
IC (6,3 - 6,1) +- 0,1440 = 0,2 +- 0,1440 = [0,056 - 0,344]
O zero não está dentro do IC, então μ1 - μ2 é diferente de 0, então as médias são
diferentes.
Como μ1- μ2 (6,3 - 6,1) é maior do que 0, então μ1 (média do grupo que fez cursinho) é
maior que μ2 (média do grupo que não fez cursinho).
15 - 30 páginas danificadas
30/200 = 0,15
p = 0,15
q = 0,85
IC(p)95% = p +- e
e = z . √p . q / n
e = 1,96 . √0,15 . 0,85 / 200
e = 0,04949
IC(p)95%= 0,15 +- 0,04949 = 15% +- 4,95%
O nível de confiança de 95% indica que a proporção de livros danificado na biblioteca está
entre 10,05% a 19,95%, com chance termos errado essa proporção em 5%
16 - 100/1200 = 0,08 = 8% - população finita, tem que corrigir o erro
p = 70/100 = 0,7
q = 0,3
z = 1,65
e = 1,65 . √0,7 . 0,3 / 100 = 0,0075
0,0075 . √1200 - 100 / 1200 - 1 = 0,0072
IC(p)90% = 0,7 +- 0,0072 = 70% +- 0,72% - Gabarito ?
17 - a)
n = 1,65² . 0,7 . 0,3 / 0,01² = 5718 - Gabarito ?
b) e = 1,65 . √0,5 . 0,5 / 5718 = 0,0109
IC(p)90% = 50% +- e = 50% +- 1,09% = [48,91% - 51,09%]90% - Gabarito ?
c) A amplitude do intervalo anterior (2,18%) é maior que a amplitude do intervalo de 0,01
(2%) - Gabarito ?
18 - 120/15000 = 0,008 = 0,8% - população infinita.
z = 2,58
p = 25% = 0,25
q = 75% = 0,75
e = 2,58 . √0,25 . 0,75 / 120 = 0,102
IC(p)99% = 25% +- 10,2% = [14,8% - 35,2%]
Na amostragem com reposição a população é finita (?)