Teste Qui-quadrado de independência (1)

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Teste Qui-quadrado (2) de independência 
 
 
Você já aprendeu sobre a descrição de dados por meio de tabelas de contingência. 
Agora, suponha que você queira determinar se há uma relação entre o período de 
trabalho (meio período ou integral) e dois acordos empregatícios diferentes (contrato ou 
tradicional). Essas variáveis são independentes ou dependentes? Você vai aprender 
como usar o teste qui-quadrado de independência para responder essa pergunta. Para 
fazer o teste qui-quadrado de independência, você vai usar amostras de dados que são 
organizados em uma tabela de contingência! 
 
O teste qui-quadrado de independência é muito utilizado nas mais diversas áreas. Ele 
é usado para verificar se existe associação entre duas variáveis qualitativas 
(categóricas), com base em uma amostra de observações dispostas numa tabela de 
contingência com L linhas e C colunas. 
 
O processo para a realização de um teste qui-quadrado de independência encontra-se 
descrito a seguir. 
 
1.) Definir as hipóteses estatísticas a serem testadas: 
Para testar uma hipótese estatística, você deve estabelecer cuidadosamente 
um par de hipóteses – uma representa uma alegação e a outra, seu 
complemento. Em um teste qui-quadrado de independência a hipótese nula 
afirma independência (ausência de associação) entre as duas variáveis 
estudadas, enquanto a hipótese alternativa aponta para a associação entre elas. 
Observe: 
H0: As duas variáveis em estudo não são relacionadas, isto é, são 
independentes 
versus. 
Ha: Há associação entre as duas variáveis, ou seja, elas são dependentes 
 
2.) Especificar o nível de significância (α): → Erro máximo tolerado no teste! 
O nível de significância () de um teste é a probabilidade de uma hipótese nula 
ser rejeitada, quando verdadeira. Ele é utilizado em conjunto com o valor p para 
decidir pela rejeição ou não da hipótese nula (H0). 
 
3.) Calcular a estatística de teste: 
A estatística de teste é uma estatística amostral, ou um valor baseado nos 
dados amostrais. Utiliza-se uma estatística de teste para tomar uma decisão 
sobre a rejeição ou não da hipótese nula. 
Para o teste qui-quadrado de independência a estatística de teste é calculada da 
seguinte maneira: 
( )

−
=
E
EO
Obs
2
2
 
onde O representa o valor observado em cada casela da tabela e o valor 
esperado (E) deve ser calculado para cada casela da tabela de contingência da 
seguinte maneira: 
( ) ( )
n
E
coluna da totallinha da total 
= 
 2 
 
4.) Graus de liberdade (g.l.): 
Para realizarmos o teste qui-quadrado de independência utilizamos uma 
distribuição de probabilidade denominada Qui-quadrado cujo parâmetro é o 
número de graus de liberdade (g.l.) que, para esse teste é obtido por: 
 
g.l. = (L-1)(C-1) 
 
onde L é o número de linhas e C é o número de colunas da tabela de 
contingência. 
 
5.) Valor p: 
( )22
ObsP  
 
Dada uma hipótese nula e um conjunto de dados amostrais, o valor p reflete a 
probabilidade de se obter tais resultados no caso da hipótese nula ser, de fato 
verdadeira, ou seja, quantifica o erro cometido ao rejeitar a hipótese nula. 
Um valor p muito pequeno sugere que os resultados amostrais são muito 
improváveis sob a hipótese nula, ou seja, constitui evidência contra a hipótese 
nula. 
O critério de decisão baseado no valor p é feito da seguinte maneira: 
✓ Rejeitar a hipótese nula (H0) se o valor p é no máximo igual ao nível de 
significância (). 
✓ Não rejeitar a hipótese nula (H0) se o valor p é maior do que o nível de 
significância (). 
 
 
 
*Curiosidade: A estatística qui-quadrado foi desenvolvida pelo estatístico inglês Karl Pearson (1857-
1936) em 1900, para propósitos ligeiramente diferentes dos nossos. Trata-se do mais antigo 
processo de inferência ainda usado em sua forma original. Com o trabalho de Pearson e de seus 
contemporâneos do início do século 20, a estatística despontou, pela primeira vez, como uma 
disciplina separada. 
 
 
 3 
Observe o fluxograma para a realização do teste qui-quadrado de independência: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Identificar a hipótese nula (contém a 
condição de igualdade) e a hipótese 
alternativa (complementar) 
Escolher o nível de significância com 
base na gravidade do erro tipo I. São 
muito comuns os valores 0,05 e 0,01. 
Calcular os valores esperados. 
Determinar a estatística de teste. 
Calcular o valor p. 
 
Rejeitar H0 se o valor p < α. 
Não rejeitar H0 se o valor p > α 
Formular uma conclusão que 
descreva a conseqüência prática dos 
dados e dos cálculos. 
 4 
Exemplo 
(Adaptado de Bussab & Morettin, 2008) Num laboratório foi realizada uma pesquisa de 
mercado em que se estudou a preferência com relação a dois adoçantes artificiais, A e 
B, obtendo-se os resultados seguintes: 
 
Sexo Preferência 
Total 
Adoçante A Adoçante B 
Feminino 60 120 180 
Masculino 168 50 218 
Total 228 170 398 
 
Existe associação entre o sexo do indivíduo e a preferência pelo adoçante? Utilize um 
nível de 5% de significância. → 0,05 (Erro máximo tolerado no teste). 
 
 
Estabelecendo as hipóteses: 
H0: (Indepedência) →A preferência pelo adoçante independe do sexo do indivíduo 
Ha: (Dependência) →Existe associação entre o sexo do indivíduo e a preferência pelo 
adoçante 
 
Nesse exemplo deseja-se verificar a associação entre duas variáveis categóricas (sexo 
e preferência pelo adoçante) porém, antes de iniciarmos o processo de construção do 
teste qui-quadrado é necessário verificar se todas as freqüências esperadas são no 
mínimo iguais a 5, já que temos uma tabela 2 x 2: 
 
𝐸11 =
180𝑥228
398
= 103,116 
𝐸12 =
180𝑥170
398
= 76,884 
𝐸21 =
218𝑥228
398
= 124,884 
𝐸22 =
218𝑥170
398
= 93,116 
 
Como todas as freqüências esperadas são maiores do que 5 vamos prosseguir com a 
análise: 
 
Estatística de teste: 
( )

−
=
E
EO
Obs
2
2 
𝜒𝑂𝑏𝑠
2 =
(60 − 103,116)2
103,116
+
(120 − 76,884)2
76,884
+
(168 − 124,884)2
124,884
+
(50 − 93,116)2
93,116
 
2
Obs =18,028 + 24,179 + 14,886 + 19,964 = 77,056 
 
Graus de liberdade (g.l.): 
g.l. = (2-1)(2-1)=1 
 
Valor p: 
𝑃(𝜒2 > 𝜒𝑂𝑏𝑠
2 ) = 𝑃(𝜒2 > 77,056) ≈ 0,0005 → SE eu rejeitar a H0, cometo um erro de 
0,0005 
Valor p < Nível de significância → Posso rejeitar H0 
 
 5 
Consultando a tabela da distribuição 2, na linha correspondente a 1 grau de liberdade, 
observamos que o valor mais próximo da estatística de teste (
2
Obs = 77,056) é 12,115, 
indicando que o valor p é 0,0005. 
 
Como o resultado do valor p (0,0005) é menor do que o nível de significância do teste 
(0,05), rejeitamos a hipótese nula. Dessa forma, podemos concluir com 95% de 
confiança que existe associação entre o sexo do indivíduo e a preferência pelo 
adoçante. 
 
SE você optar por utilizar o Microsoft Excel para encontrar o valor p, utilize a função: 
=DIST.QUIQUA.CD(estatística de teste; grau de liberdade) 
 
Condições para o uso do teste 2: 
• Tabelas 2 x 2 (com duas linhas e duas colunas): nenhum E pode ser menor do 
que 5. Se o esperado mínimo não for alcançado, usar o teste exato de Fisher, 
que é a versão exata do teste qui-quadrado (que não será discutido nessa 
disciplina). 
• Tabelas 2 x C (com duas linhas e mais de duas colunas): O 2 pode ser calculado 
se todos os E forem > 1. 
• Tabelas L x C (com mais de duas linhas e mais de duas colunas): O teste 2 é 
um procedimento seguro se o número Esperado Médio for > 6 para testes com 
um nível de significância  = 0,05. O Esperado Médio pode ser obtido dividindo-
se o total de indivíduos estudados pelo número de caselas. 
 
 
 
 6 
Exercícios em sala 
 
1. (Triola, 1999) Fez-se um estudo de 531 pessoas feridas em acidentes de 
bicicleta; os resultados de uma amostra aleatória constam na tabela abaixo. Com 
o nível de 0,05 de significância, teste a afirmação de que existe associação entre 
o uso de capacete e o risco de ferimentos no rosto: 
 
FerimentosCapacete 
Total 
Com Sem 
Com ferimentos faciais 30 182 212 
Todos os ferimentos não-faciais 83 236 319 
Total 113 418 531 
 
O que você pode concluir? Utilize um nível de 5% de significância. →0,05 
 
Hipóteses estatísticas: 
H0: (Independência) → O risco de ferimentos no rosto independe do uso de 
capacete. 
Ha: (Dependência) → Existe associação entre o uso de capacete e o risco de 
ferimentos no rosto. 
 
Valores esperados: 
E11=(212x113)/531=45,115 
E12=(212x418)/531=166,885 
E21=(319x113)/531=67,885 
E22=(319x418)/531=251,115 
 
Estatística de teste: 
𝜒𝑂𝑏𝑠
2 = ∑
(𝑂−𝐸)2
𝐸
=
(30−45,115)2
45,115
+
(182−166,885)2
166,885
+
(83−67,885)2
67,885
+
(236−251,115)2
251,115
=5,064+1,369+3,365+0,909=10,707 
Grau de liberdade: (L-1)x(C-1)=(2-1)x(2-1)=1 
Valor p = 0,001 → Se rejeitar H0, comete um erro de 0,001. 
 Valor p < Nível de significância → Posso rejeitar H0! 
 Conclusão do teste: Podemos concluir com 5% de significância que existe 
associação entre o uso de capacete e o risco de ferimentos no rosto. 
 
 7 
 
2. (Triola, 1999) Fez-se uma pesquisa para determinar se existe associação entre o 
sexo e a confiança que o povo deposita na polícia. Os resultados amostrais 
constam na tabela a seguir: 
 
Confiança na polícia Sexo 
Total 
Masculino Feminino 
Muita 115 175 290 
Alguma 56 94 150 
Muito pouca ou nenhuma 29 31 60 
Total 200 300 500 
 
O que você pode concluir? Utilize um nível de 5% de significância. 
 
Hipóteses estatísticas: 
H0: (Independência) → NÃO existe associação entre o sexo e a confiança que o povo 
deposita na polícia. 
Ha: (Dependência) → Existe associação entre o sexo e a confiança que o povo 
deposita na polícia. 
Valores esperados: 
E11= (290x200)/500 = 116 
E12=(290x300)/500 = 174 
E21=(150x200)/500= 60 
E22=(150x300)/500 = 90 
E31=(60x200)/500= 24 
E32=(60x300)/500 = 36 
Estatística de teste: 
𝜒𝑂𝑏𝑠
2 = ∑
(𝑂−𝐸)2
𝐸
=
(115−116)2
116
+
(175−174)2
174
+
(56−60)2
60
+
(94−90)2
90
+
(29−24)2
24
+
(31−36)2
36
=0,00862+0,00575+0,26667+0,17778+1,04167+0,69444=2,195 
Grau de liberdade = (L-1)x(C-1) = (3-1)x(2-1) = 2 
Valor p = 0,2 → Se eu rejeitar H0, cometo um erro igual a 0,2. 
Nível de 5% de significância. → Delimita o erro máximo tolerado no teste. 
Valor p > Nível de significância → NÃO REJEITO H0. 
Conclusão do teste: Conclui-se com 5% de significância que NÃO existe associação 
entre o sexo e a confiança que o povo deposita na polícia. 
 
 
 
 
 8 
Exercícios de Revisão 
 
 
1. Um inspetor de qualidade toma uma amostra de 220 artigos num centro de 
distribuição. Se sabe que cada produto pode vir de uma de três fábricas e pode ou 
não estar defeituoso. O inspetor avalia todos os produtos e obtém os seguintes 
resultados: 
 Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Total 
Defeituoso 8 15 11 34 
Não 
defeituoso 
62 67 57 186 
Total 70 82 68 220 
Utilize o teste qui-quadrado a um nível de 5% de significância para verificar se ser 
defeituoso independe da fábrica. 
 
2. Suponhamos que certo pesquisador tenha colhido uma amostra de 200 fumantes 
(homens e mulheres) e que os tenha classificado em função de três marcas de 
cigarro: A, B e C. A pesquisa tinha por objetivo verificar se as variáveis marca (do 
cigarro) e sexo (do fumante) eram dependentes (α = 5%). Utilizando o teste qui-
quadrado, o que você pode concluir? 
 
 Marca A Marca B Marca C Total 
Masculino 20 70 30 120 
Feminino 40 15 25 80 
Total 60 85 55 200 
 
 
3. Um pesquisador quer determinar se existe uma relação entre o período de trabalho 
(meio período ou integral) e dois acordos empregatícios diferentes. Os resultados de 
uma amostra aleatória de 904 trabalhadores podem ser vistos na tabela de 
contingência. 
 
Período Acordo empregatício 
 
Contrato Tradicional 
Integral 22 720 
Meio período 14 148 
 
 
O pesquisador pode usar essa amostra para testar a independência usando um teste 
qui-quadrado de independência? Por quê? 
 9 
 DISTRIBUIÇÃO QUI-QUADRADO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g.l. 0,2 0,15 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0025 0,001 0,0005 
1 1,642 2,072 2,706 3,841 5,024 6,635 7,879 9,140 10,827 12,115 
2 3,219 3,794 4,605 5,991 7,378 9,210 10,597 11,983 13,815 15,201 
3 4,642 5,317 6,251 7,815 9,348 11,345 12,838 14,320 16,266 17,731 
4 5,989 6,745 7,779 9,488 11,143 13,277 14,860 16,424 18,466 19,998 
5 7,289 8,115 9,236 11,070 12,832 15,086 16,750 18,385 20,515 22,106 
6 8,558 9,446 10,645 12,592 14,449 16,812 18,548 20,249 22,457 24,102 
7 9,803 10,748 12,017 14,067 16,013 18,475 20,278 22,040 24,321 26,018 
8 11,030 12,027 13,362 15,507 17,535 20,090 21,955 23,774 26,124 27,867 
9 12,242 13,288 14,684 16,919 19,023 21,666 23,589 25,463 27,877 29,667 
10 13,442 14,534 15,987 18,307 20,483 23,209 25,188 27,112 29,588 31,419 
11 14,631 15,767 17,275 19,675 21,920 24,725 26,757 28,729 31,264 33,138 
12 15,812 16,989 18,549 21,026 23,337 26,217 28,300 30,318 32,909 34,821 
13 16,985 18,202 19,812 22,362 24,736 27,688 29,819 31,883 34,527 36,477 
14 18,151 19,406 21,064 23,685 26,119 29,141 31,319 33,426 36,124 38,109 
15 19,311 20,603 22,307 24,996 27,488 30,578 32,801 34,949 37,698 39,717 
16 20,465 21,793 23,542 26,296 28,845 32,000 34,267 36,456 39,252 41,308 
17 21,615 22,977 24,769 27,587 30,191 33,409 35,718 37,946 40,791 42,881 
18 22,760 24,155 25,989 28,869 31,526 34,805 37,156 39,422 42,312 44,434 
19 23,900 25,329 27,204 30,144 32,852 36,191 38,582 40,885 43,819 45,974 
20 25,038 26,498 28,412 31,410 34,170 37,566 39,997 42,336 45,314 47,498 
21 26,171 27,662 29,615 32,671 35,479 38,932 41,401 43,775 46,796 49,010 
22 27,301 28,822 30,813 33,924 36,781 40,289 42,796 45,204 48,268 50,510 
23 28,429 29,979 32,007 35,172 38,076 41,638 44,181 46,623 49,728 51,999 
24 29,553 31,132 33,196 36,415 39,364 42,980 45,558 48,034 51,179 53,478 
25 30,675 32,282 34,382 37,652 40,646 44,314 46,928 49,435 52,619 54,948 
26 31,795 33,429 35,563 38,885 41,923 45,642 48,290 50,829 54,051 56,407 
27 32,912 34,574 36,741 40,113 43,195 46,963 49,645 52,215 55,475 57,856 
28 34,027 35,715 37,916 41,337 44,461 48,278 50,994 53,594 56,892 59,299 
29 35,139 36,854 39,087 42,557 45,722 49,588 52,335 54,966 58,301 60,734 
30 36,250 37,990 40,256 43,773 46,979 50,892 53,672 56,332 59,702 62,160 
 
 
Área
DISTRIBUIÇÃO QUI-QUADRADO
( )22
TesteP  
 10 
GABARITO 
 
EXERCÍCIO EM SALA: 
 
1) 
Hipóteses estatísticas: 
H0: (Independência) → O risco de ferimentos no rosto independe do uso de 
capacete. 
Ha: (Dependência) → Existe associação entre o uso de capacete e o risco de 
ferimentos no rosto. 
Valores esperados: 
E11=(212x113)/531=45,115 
E12=(212x418)/531=166,885 
E21=(319x113)/531=67,885 
E22=(319x418)/531=251,115 
Estatística de teste: 
𝜒𝑂𝑏𝑠
2 = ∑
(𝑂−𝐸)2
𝐸
=
(30−45,115)2
45,115
+
(182−166,885)2
166,885
+
(83−67,885)2
67,885
+
(236−251,115)2
251,115
=5,064+1,369+3,365+0,909=10,707 
Grau de liberdade: (L-1)x(C-1)=(3-1)x(2-1)=2 
Valor p = 0,001 → Se rejeitar H0, comete um erro de 0,001. 
Valor p < Nível de significância → Posso rejeitar H0! 
Conclusão do teste: Podemos concluir com 5% de significância que existe associação entre 
o uso de capacete e o risco de ferimentos no rosto. 
 
 
 
2) 
Valores esperados: 
E11=116 
E12=174 
E21=60 
E22=90 
E31=24 
E32=36 
 
Estatística de teste: 
𝜒𝑂𝑏𝑠
2 = ∑
(𝑂−𝐸)2
𝐸
=0,00862+0,00575+0,26667+0,17778+1,04167+0,69444=2,195 
Grau de liberdade: (L-1)x(C-1)=(2-1)x(2-1)=1 
Valor p = 0,2 → NÃO Rejeito H0 
 
 11 
EXERCÍCIOS DE REVISÃO: 
 
1) Valores esperados: 
E11=10,82 
E12=12,67 
E13=10,51 
E21=59,18 
E22=69,33 
E23=57,49 
 
Estatística de teste: 
𝜒𝑂𝑏𝑠
2 = ∑
(𝑂−𝐸)2
𝐸
=0,73415+0,42739+0,02293+0,13420+0,07813+0,00419=1,401 
Grau de liberdade: (L-1)x(C-1)=(2-1)x(3-1)=2 
Valor p = 0,2 → NÃO rejeito H0 
 
2) Valores esperados: 
E11=36 
E12=51 
E13=33 
E21=24 
E22=34 
E23=22 
 
Estatística de teste:𝜒𝑂𝑏𝑠
2 = ∑
(𝑂−𝐸)2
𝐸
=7,111+7,078+0,273+10,667+10,618+0,409=36,156 
Grau de liberdade: (L-1)x(C-1)=(2-1)x(3-1)=2 
Valor p = 0,0005 → Rejeito H0 
 
 
3) Valores esperados: 
E11=29,55 
E12=712,45 
E21=6,45 
E22=155,55 
 
Estatística de teste: 
𝜒𝑂𝑏𝑠
2 = ∑
(𝑂−𝐸)2
𝐸
=1,9284+0,080+8,8327+0,3663=11,207 
Grau de liberdade: (L-1)x(C-1)=(2-1)x(2-1)=1 
Valor p = 0,001 → Rejeito H0