Potencialidades e Desafios do Ensino de Matemática Online

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ISSN 1980-4415 
DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1980-4415v36n74a14 
Bolema, Rio Claro (SP), v.36, n.74, p.1236-1255, dez. 2022 1236 
Potencialidades e Desafios do Ensino de Matemática Online: 
exemplo de uma experiência com estudantes de Engenharia do 
Ensino Politécnico em Portugal 
 
Potentialities and Challenges of Online Mathematics Teaching: example of 
an experience with Engineering students from Polytechnic Education in 
Portugal 
 
Joana Becker Paulo* 
 ORCID iD 0000-0003-4651-3808 
Catarina Oliveira Lucas** 
 ORCID iD 0000-0002-0645-2169 
 
Resumo 
Este artigo é o resultado de um projeto realizado nas turmas dos cursos de Licenciatura em Engenharia no Ensino 
Superior Politécnico em Portugal, no período em que as aulas foram lecionadas de forma remota. Para adaptar o 
processo de ensino-aprendizagem a esta nova realidade, diferentes abordagens e métodos de avaliação foram 
implementados no âmbito do ensino de cálculo. A constatação de que uma avaliação tradicional no modelo online 
poderia ter as suas potencialidades reduzidas devido à possibilidade de o aluno utilizar diferentes ferramentas de 
auxílio quando é avaliado à distância, nos levou a colocar em prática um modelo de avaliação assente em trabalhos 
de grupo fundamentado na aprendizagem baseada em problemas. Considerando a aplicabilidade da determinação 
de máximos e mínimos de uma função no dia a dia, foram criadas várias situações-problema. Para a sua resolução 
seriam necessários conhecimentos de Geometria e de Modelagem Matemática: envolvendo a formulação de 
hipóteses, o questionamento por parte do aluno e a sua capacidade de análise. Com a intenção de incrementar os 
conhecimentos tecnológicos dos alunos, foi utilizado no projeto o software GeoGebra para relacionar de um modo 
mais visual e dinâmico o cálculo diferencial com a Geometria. Os resultados obtidos e o feedback positivo dos 
grupos de alunos revelaram que o projeto é uma boa alternativa ao modelo de avaliação tradicional, podendo 
mesmo servir de referencial para o trabalho de outros professores. 
 
Palavras-chave: Aprendizagem Baseada em Problemas. Modelagem Matemática. Avaliação Online. Cálculo 
Diferencial. GeoGebra. 
 
Abstract 
This paper is the result of a project carried out in classes of Engineering Degree courses in Polytechnic Higher 
Education in Portugal, in the period when classes were taught remotely. To adapt the teaching-learning process to 
this new reality, different approaches and evaluation methods were implemented in the calculus teaching. The 
realization that a traditional evaluation in the online model could have its potentialities reduced due to the 
possibility of the student using different aid tools when being assessed at a distance, led us to put in practice an 
evaluation model based on group work founded in problem-based learning. Considering the applicability of the 
 
* Doutorada pela Universidade do Porto (UP). Professora no Instituto Superior Politécnico Gaya (ISPGAYA), Vila 
Nova de Gaia, Porto, Portugal. E-mail: jbpaulo@ispgaya.pt. 
** Doutorada pela Universidad de Vigo (UVigo). Professora no Instituto Superior Politécnico Gaya (ISPGAYA), 
Vila Nova de Gaia, Porto, Portugal. E-mail: clucas@ispgaya.pt. 
 
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determination of maxima and minima of a function in everyday life, several problem situations were created. To 
solve them it would be necessary to have geometry and mathematical modelling knowledge: involving hypothesis 
formulation, questioning by the student and their analysis capacity. With the intention of increasing the students’ 
technological knowledge, the GeoGebra software was used in the project to relate differential calculus with 
geometry in a more visual and dynamic way. The results obtained and the positive feedback from the student 
groups revealed that the project is a good alternative to the traditional assessment model and may even serve as a 
reference for the work of other teachers. 
 
Keywords: Problem-Based Learning. Mathematical Modeling. Online Assessment. Differential Calculus. 
GeoGebra. 
 
 
1 Introdução 
 
Com a pandemia generalizada e a obrigatoriedade de confinamento, o ano de 2020 
delegou aos professores o grande desafio de reformular e readaptar as suas metodologias de 
ensino e instrumentos didáticos ao Ensino Online. O foco deste artigo é dedicado aos desafios 
do Ensino da Matemática lecionada no Ensino Superior Politécnico em Portugal. De forma 
geral, trata-se do estudo dos conteúdos programáticos no âmbito do Cálculo Diferencial e, em 
particular, os relacionados com o cálculo de derivadas e suas aplicações. Estes conteúdos são 
habitualmente trabalhados na disciplina de Análise Matemática II para os diversos cursos de 
Licenciatura em Engenharia, que tiveram as suas aulas convertidas do modelo presencial para 
o modelo online. Essas aulas passaram a serem lecionadas através da plataforma Microsoft 
Teams com o apoio da ferramenta OneNote e da plataforma de ensino Nonio, já utilizada em 
anos letivos anteriores pela Instituição. 
A necessidade de uma readaptação na forma de lecionar, a transição do modelo 
presencial para o modelo remoto, fez com que novos métodos de ensino e de avaliação fossem 
desenvolvidos. Neste artigo serão compartilhados alguns dos trabalhos de grupo realizados 
pelos alunos dessa disciplina que tiveram que resolver situações-problema, adaptadas e 
contextualizadas, envolvendo a otimização de funções. A intenção dos trabalhos de grupo era 
responder à questão usual dos alunos: Em que situação vou aplicar estes conceitos? com o 
intuito de mostrar ao aluno problemas que podem ser resolvidos com os conceitos e técnicas 
aprendidas. De forma a ampliar as competências tecnológicas dos alunos, foi utilizado o 
programa computacional GeoGebra para representação gráfica e geométrica dos modelos 
funcionais construídos em cada situação-problema. Com este artigo pretende-se partilhar uma 
nova forma de apresentar e de avaliar os conteúdos programáticos relativos ao estudo do 
Cálculo Diferencial com outros professores que se debatem atualmente com os mesmos 
desafios. 
 
 
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2 Objetivo 
 
O objetivo deste artigo consiste essencialmente em indagar e refletir sobre a questão: 
"O porquê de uma avaliação no ensino online em modelo diferente do tradicional”. Geralmente, 
considera-se como avaliação tradicional a que consiste na utilização de uma prova escrita ou 
oral assente no estilo pergunta-resposta. No entanto, a aplicação desse modelo no ensino remoto 
pode não alcançar o objetivo de medir o grau de conhecimento adquirido pelo aluno em relação 
aos conceitos estudados no âmbito de uma determinada unidade curricular. O aluno ao ser 
avaliado à distância, e ainda mais em modo (online), dispõe de muitas ferramentas de 
auxílio para responder corretamente às questões apresentadas, tais como: o Google, softwares 
de Matemática, calculadoras, entre outros apoios/recursos; os quais, habitualmente não se 
encontram à sua disposição numa avaliação presencial com a aplicação de uma prova escrita 
ou oral. 
No regime de avaliação online, por mais estratégias de vigilância/observação 
que utilize o professor, o aluno continua a ter mais recursos e possibilidades de comunicação e 
assim receber/partilhar as respostas às questões da prova de/com os colegas. Sendo assim, este 
regime de avaliação online foge do intuitode avaliação individual dos alunos que, até ao 
momento, um teste presencial (tradicional) permitia. Muitos professores referem que, ao 
corrigir os testes de avaliação online submetidos pelos alunos, se deparam com respostas (e 
erros) exatamente iguais, evidenciando a fragilidade desse tipo de avaliação. O professor acaba 
se sentindo desmotivado pela ausência de valorização do seu empenho e trabalho desenvolvido 
no processo de ensino-aprendizagem. Dada esta conjuntura, e com a finalidade de 
contornar resultados de avaliação camuflados pelas diferentes variáveis já descritas, 
que conduzem a análises e conclusões erradas sobre o saber do aluno, apresentaremos aqui um 
modelo diferente do tradicional para uma avaliação no ensino online. 
 
3 Embasamento teórico 
 
Este trabalho foi baseado em vertentes metodológicas que permitem tomar 
em consideração tanto os objetivos gerais de um ensino online, como os objetivos específicos 
das unidades curriculares relacionadas com o cálculo diferencial no Ensino 
Politécnico português. Seja no modelo presencial ou no remoto, a participação ativa do aluno 
ajuda tanto a uma maior e melhor dinâmica da aula, como desperta um interesse e um 
entusiasmo pelo estudo. Na certeza de que cada vez mais é necessário tornar o aluno agente 
 
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ativo no processo de ensino-aprendizagem, não assumindo apenas o papel de receptor de 
informações, o professor pode fazer uso de uma metodologia designada por: aprendizagem 
baseada em problemas (ABP) (em inglês, Problem-Based Learning (PBL)). De acordo com a 
ABP, o professor dá ao aluno autonomia, estimula o pensar, para que o mesmo saia da sua zona 
de conforto e encontre as respostas e soluções para um dado problema. Considera-se que 
a metodologia ABP apresenta uma perspectiva construtivista1, na qual o processo de 
desenvolvimento do pensar está centrado no aluno, garantindo que a compreensão por parte 
dele e a procura de solução para os problemas sejam orientados pelo professor. 
Essa metodologia permite que este último se torne um tutor ao invés de ser apenas um 
detentor, expositor, transmissor do conhecimento, estabelecendo este uma relação mais próxima 
com os alunos. Quando se usa a metodologia ABP, se está incentivando mais dois aspectos 
importantes para o crescimento do cidadão, nesse caso, do aluno. São eles: incentivar o trabalho 
individual e, ao mesmo tempo, o trabalho em grupo. Articular o desenvolvimento desses dois 
tipos de trabalho é de grande importância para o crescimento do aluno como cidadão que 
aprende a lidar com as dificuldades para resolver de forma autônoma um problema e, 
simultaneamente, a escutar a opinião dos seus colegas de grupo e promover conversas/debates 
para juntos chegarem a uma resposta unânime para o problema. 
Segundo Baldes (2021, p. 4): “O mundo contemporâneo exige uma avaliação centrada 
na resolução de problemas e conflitos, na vivência de situações-problema, na arte da 
convivência e do diálogo com os diferentes [...]”. Desta forma promove-se a expansão do 
raciocínio, de novas ideias que vão surgindo, há um aumento da curiosidade dos alunos pelos 
assuntos propostos, inseridos dentro de uma temática globalizada e estimula-se assim mais 
facilmente a aprendizagem. Além do que, quando o professor encoraja a participação ativa dos 
alunos, dando-lhes a possibilidade e responsabilidade para intervir no processo de ensino-
aprendizagem, os alunos sentem-se “mais importantes” apenas por poderem tomar esse papel, 
o que melhora a sua autoestima e motivação para o estudo, em particular, em unidades 
curriculares do âmbito da Matemática. 
Consideramos aqui o processo de ensino-aprendizagem como um processo de 
articulação do ensino com a aprendizagem, e não como dois processos que devem ser analisados 
de forma separada pelo fato de envolverem dois ou mais protagonistas tais como: o professor, 
o aluno, os grupos de alunos, a turma, a instituição, a comunidade etc. Além disso, de acordo 
 
1 A ABP é consistente com teorias construtivistas de aprendizagem (BROOKS; BROOKS, 1999; DELISLE, 
1997). Ensinar de uma perspectiva construtivista significa que, ao colocar uma questão, o professor deve dar tempo 
ao aluno para pensar e apenas conduzir o seu raciocínio (LEVIN, 2001). 
 
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com Barbosa e Canalli (2011, p. 1), 
A relação estabelecida entre professores e alunos constitui o ápice do processo 
pedagógico. Não há como segregar a realidade escolar da realidade de mundo 
vivenciada pelos discentes, e sendo essa relação uma “via de mão dupla”, tanto 
professor como aluno podem ensinar e aprender através de suas experiências. 
 
Deste modo, o trabalho aqui apresentado está sustentado, de uma forma geral, na 
metodologia de aprendizagem baseada em problemas (ABP) e, de uma forma mais específica, 
em atividades de Modelagem Matemática (MM). Quanto à estrutura da atividade de 
MM, esta se delineia em quatro etapas, sem entrar em detalhes ou querer prejulgar uma 
sucessão linear temporal entre elas: (1) delimitação (construção) do sistema a ser modelado; (2) 
escolha das variáveis relevantes e elaboração do modelo matemático; (3) trabalho técnico 
dentro do modelo e interpretação deste trabalho e seus resultados dentro do sistema; (4) o 
modelo torna-se independente por meio da formulação de novos problemas que podem exigir 
a realização de novos processos de modelagem (GASCÓN,1992,1994; BOLEA, 2002). 
Assim, a metodologia utilizada e os seus objetivos caminham para tornar o aluno mais 
completo como cidadão pensante, reflexivo, responsável e inserido na sociedade. Levando em 
consideração a preocupação com respeito ao modelo de avaliação, podemos dizer que as 
palavras de Baldes (2021, p. 4) promovem uma reflexão para a escolha da “melhor forma” de 
avaliar o aluno: “O objetivo da avaliação não é mais somente verificar o grau de retenção e de 
recuperação das informações, mas sim demonstrar pensamento crítico, capacidade de 
compreender o que lê e capacidade de usar novos recursos tecnológicos [...]”. 
É necessário que as atividades pedagógicas desenvolvidas nas diferentes Instituições de 
Ensino Superior permitam, por um lado, capacitar o aluno para contribuir de forma reflexiva e 
crítica em seu futuro emprego e, por outro lado, articular os papeis da escola e da sociedade na 
vida dos cidadãos. Dessa forma, mais uma vez, as ideias descritas por Baldes (2021, p. 4) nos 
impulsionam no estudo sobre uma avaliação diferente do modelo tradicional, no ensino online, 
quando ele diz que: “A avaliação deve ter condição de verificar se o indivíduo está ou não no 
caminho de um comportamento de cidadania, um comportamento inteligente, frente aos novos 
desafios [...]”. Em particular, esse é o objetivo do Ensino Superior Politécnico em Portugal 
descrito na Lei de Bases do Sistema Educativo Português (DRE, 2021/05/05, artigo 11, nº 4), 
O ensino politécnico, orientado por uma constante perspectiva de investigação 
aplicada e de desenvolvimento, dirigido à compreensão e solução de problemas 
concretos, visa proporcionar uma sólida formação cultural e técnica de nível superior, 
desenvolver a capacidade de inovação e de análise crítica e ministrar conhecimentos 
científicos de índole teórica e prática e as suas aplicações com vista ao exercício de 
atividades profissionais. 
 
Tendo em mente todos os aspectos descritos, anteriormente, podemos, mais uma vez, 
 
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deixar clara a questão referente ao processo de ensino-aprendizagem, citando outras palavras 
de Barbosa e Canalli (2011, p. 1), 
Pode-se dizer então que os métodos de ensino são as ações do professor pelas quais 
se organizam atividades de ensino e dos alunos para atingir objetivos de trabalho 
docente em relação a um conteúdo específico. Esses métodos fazem a mediação nas 
formas de interação entre ensino e aprendizagem, entre professor e aluno [...]. 
 
É neste âmbito que emerge o trabalho apresentado no presente artigo, como 
uma descrição de uma proposta de avaliação online mediante trabalhos de grupo desenvolvidos 
por estudantes do Instituto Superior Politécnico Gaya em Portugal. 
A análise didática destes trabalhos de grupo está sustentada pela teoria antropológica 
do didático (TAD). De acordo com Lucas et al. (2016): “Nessa teoria o objeto primário de 
investigação reside na análise da atividade matemática escolar com as suas relações humanas 
enquadradas numa determinada instituição ou instituições [...]” (LUCAS et al., 2016, p. 63). 
Pretende-se analisar o conjunto de interações (aluno-aluno, aluno-grupo, aluno-professor, 
professor-professor, professor-investigador) e de responsabilidades didáticas partilhadas 
entre indivíduos inseridos numa sociedade quando estão sujeitos a certas condições que as 
Instituições possuem e lhes propõem. Assim, com o objetivo de identificar os possíveis 
entraves ou restrições que impedem a exploração didática de certas tarefas matemáticas como, 
por exemplo, a resolução de problemas mediante trabalhos de grupo que envolvam atividade 
de Modelagem Matemática e o uso de ferramentas computacionais, a TAD propõe uma análise 
ecológica das condições institucionais, tal como Lucas et al. (2016, p. 64) referem: 
Com a TAD pretendemos descobrir quais são os obstáculos ou imposições (como, por 
exemplo, o tempo de aula, o número de alunos ou a extensão dos programas, a 
estrutura e dinâmica da matemática escolar) que teremos que ultrapassar para fazer 
viver as atividades didáticas numa determinada instituição. Este tipo de pesquisa e 
reflexão a priori poderá permitir que o trabalho árduo da construção sucessiva de 
novas, criativas, motivadoras e cativantes atividades didático-matemáticas seja útil, 
possível e realizável em sala de aula e que não seja um trabalho utópico. 
 
A TAD como teoria de investigação disponibiliza ferramentas de auxílio para 
a organização didática de atividades de resolução de problemas que envolvam a Modelagem 
Matemática (MM) e, em particular, no nosso caso do estudo do cálculo diferencial, a 
Modelagem Funcional (MF). Estas ferramentas tomam em consideração 
a existência/ausência de condições favoráveis para que a MF possa ser trabalhada com 
estudantes em uma determinada instituição de ensino, em um dado curso e em um semestre 
particular. Por exemplo, as restrições provocadas pela situação pandêmica, o confinamento e a 
consequente mudança repentina para uma avaliação online implicaram o desaparecimento das 
condições favoráveis para que a MF pudesse ser trabalhada em regime presencial no Instituto 
 
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Superior Politécnico Gaya em Portugal. Daí ter surgido a necessidade de uma readaptação das 
técnicas didáticas que até ao momento eram utilizadas. Nesta readaptação as tecnologias de 
informação e comunicação tiveram obviamente um papel fundamental. 
É importante referir que o termo avaliação sempre gerou discussão no meio acadêmico 
entre pedagogos, filósofos, professores e alunos, pelo fato de uns defenderem uma avaliação 
tradicional e quantitativa e outros basearem-se em uma avaliação qualitativa, contínua, que 
permite diagnosticar e acompanhar a evolução dos conhecimentos dos alunos ao longo do 
semestre. Mas, independentemente das diferentes linhas que direcionam a avaliação, existe algo 
que não podemos deixar de considerar atualmente: o mundo mudou, as pessoas mudaram, as 
necessidades e demandas exigidas são outras e, dessa forma, o ensino também deve se 
“atualizar” e buscar novas formas de avaliar o aluno, esteja ele em um ensino presencial ou 
remoto. De acordo com Baldes (2021, p. 3): “[...] A grande questão atualmente não é tanto 
avaliar, mas sim a finalidade da avaliação num contexto de globalização e mais recentemente 
de pandemia [...]”. Por esses, entre outros motivos, pensamos em estruturar uma avaliação 
distinta da tradicional aplicada em regime presencial e mais adaptada a uma realidade que nos 
foi imposta no ano de 2020. 
 
4 O papel da Modelagem Funcional na articulação do Cálculo Diferencial com a 
Geometria Dinâmica mediante o GeoGebra 
 
Habitualmente as unidades curriculares que envolvem conteúdos programáticos 
relacionados com o Cálculo Diferencial são as que apresentam maior índice de reprovação e de 
insucesso dos alunos. Muitas instituições do Ensino Superior inclusive oferecem aulas de apoio 
aos alunos nas quais as bases necessárias para o avanço nessa disciplina são reforçadas. Esta é 
uma das estratégias que é usada no Instituto Superior Politécnico Gaya para atenuar as 
dificuldades dos alunos. No entanto, tem-se procurado usar outras estratégias de forma paralela 
que complementem as aulas de apoio. 
Os conteúdos relativos ao cálculo diferencial servem de base para a compreensão de 
outros conceitos e também como ferramentas auxiliares para solucionar problemas de 
diferentes áreas através da construção e trabalho de modelos funcionais úteis na rotina diária e 
profissional. Segundo Porto, Porto e Blass (2020, p. 2), o cálculo diferencial “[...] é um veículo 
para a resolução de muitos prospectos que emergem em várias áreas de conhecimento e atuação, 
nas Engenharias, na Informática, na Administração e outras [...]”. Outros autores, como, por 
exemplo, Rezende (2003), consideram o Cálculo Diferencial como uma grande rede que 
 
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interage com outras redes, repleta de possibilidades e funcionalidades, que, quando interpretada 
pelo aluno, permite-lhe fazer associações e tornar a aprendizagem de certos conteúdos mais 
fácil e palpável. Em particular, existe uma estreita relação entre o Cálculo Diferencial e a 
Geometria; relação esta que se procurou explorar com os estudantes das Licenciaturas de 
Engenharia do Instituto Superior Politécnico Gaya mediante um projeto que consistia no 
desenvolvimento de trabalhos de grupo para resolver situações-problema que envolviam 
conceitos de Cálculo Diferencial e de Geometria, tais como: o cálculo do volume máximo, a 
distância que minimiza os custos etc. Em todas as situações, os alunos tinham que interpretar o 
enunciado e esboçar geometricamente o modelo que representaria melhor a situação. Se 
observou que, ao criar atividades que permitam articular os dois temas, o aluno consegue 
visualizar o problema de forma mais ampla e o seu poder de abstração aumenta. 
De acordo com Almeida, Fatori e Souza (2010, p. 7), 
[...] ao desenvolver uma atividade de modelagem matemática o aluno 
pode desenvolver sua criatividade, conjecturar, construir o seu conhecimento, 
desenvolver sua competência crítica além de, ao perceber verdadeiras aplicações da 
matemática escolar, irá sentir-se motivado para o envolvimento com as atividades 
[...]. 
 
No entanto, quando associamos a atividades de Modelagem Funcional (como caso 
particular da ModelagemMatemática) o uso de software computacional que permita ampliar as 
técnicas matemáticas para solucionar um dado problema real, a atividade matemática torna-se 
muito mais rica e cativante para o aluno. No âmbito do estudo do Cálculo Diferencial alguns 
softwares permitem ajudar o aluno na realização de cálculos mais densos e custosos, ou no 
esboço de curvas, superfícies, entre outros. Estes softwares também permitem articular 
conteúdos programáticos como, por exemplo, o cálculo diferencial e a geometria de uma forma 
mais dinâmica e visual. 
Além do mais, o uso de tecnologias no ensino da Matemática é um recurso essencial 
nesta era e em eras futuras. De acordo com a célebre frase de Steve Jobs na campanha da 
Code.org, em 2013: “Todos deveriam aprender a programar um computador, porque isso ensina 
a pensar”, saber manusear um software ajuda a expandir o pensamento, assim como fornece ao 
aluno um upgrade em seu estudo, aumentando a sua possibilidade de sucesso no meio 
competitivo profissional. 
Neste projeto os alunos utilizaram o software de geometria dinâmica, gratuito e de 
acesso livre - GeoGebra 3D - para representar e resolver a situação-problema que lhes era 
apresentada, articulando desta forma o Cálculo Diferencial, a Geometria e a Álgebra. 
O GeoGebra é um programa de geometria dinâmica em que você pode realizar 
construções a partir de pontos, vetores, cônicas, funções e outros, podendo alternar 
 
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dinamicamente após a construção, explorando a parte geométrica. Além disso, o 
software é capaz de [...], derivar e integrar funções e ainda oferece comandos para 
encontrar raízes e pontos extremos de uma função. Além disso, o software abrange 
também a parte de análise de dados em que, a partir de um conjunto de pontos, o 
software ajusta uma curva, permitindo também simulações. Deste modo, o programa 
reúne as ferramentas tradicionais da geometria, com as mais avançadas da álgebra e 
do cálculo (MAGALHÃES; ALMEIDA, 2017, p. 4). 
 
O uso do software permite que os alunos tenham um papel mais ativo no processo 
de ensino-aprendizagem ao explorar, conjeturar, deduzir, refletir e, na eventualidade de ser 
detectado algum erro, corrigir de forma autônoma as suas respostas ao problema. 
A validação que representa no processo de modelagem um momento de grande 
importância para os alunos, implica em verificar se o modelo obtido é “adequado” 
para situação em estudo e gera no aluno a auto-confiança no sentido de sentir-se capaz 
para resolver um problema (ALMEIDA; FATORI; SOUZA, 2010, p. 13). 
 
5 Implementação do projeto 
 
O projeto foi implementado em 2 turmas de alunos do Instituto Superior Politécnico 
Gaya: uma turma constituída por 38 alunos das Licenciaturas de Eletrônica e Automação, 
Energias Renováveis e Mecânica; e uma turma constituída por 46 alunos do curso de 
Informática. Para a realização do trabalho as turmas foram divididas em grupos com o máximo 
de 5 alunos. 
Os grupos tiveram 7 dias para submeter o trabalho na plataforma Nonio (3 a 10 de maio 
de 2020). Em cada turma, cada grupo escolhia uma situação-problema de entre 8 situações 
diferentes possíveis. A escolha da situação-problema foi realizada por cada um dos grupos e por 
ordem cronológica. Cada grupo foi colocando no chat do Teams a situação problema escolhida 
para que os demais grupos tivessem conhecimento das situações-problema já selecionadas e, 
assim, evitar intersecções/repetições nas escolhas dentro da mesma turma. Cada grupo 
respondeu 10 questões adaptadas a sua situação-problema. O professor estava disponível 
para esclarecer dúvidas dos grupos (presencial ou online), tomando o papel de orientador. Cada 
grupo escolheu um representante que ficava com a responsabilidade de marcar um horário com 
o professor para que, no início ou término da aula, pudessem expor as suas questões. 
O projeto tem 2 objetivos: o pedagógico e o social. O objetivo pedagógico consiste em 
avaliar a capacidade dos alunos para resolver situações-problema que implicassem o uso de 
técnicas de Cálculo Diferencial e de Geometria, atividades de Modelagem Funcional como: a 
definição de variáveis, formulação de hipóteses, pesquisa, técnicas informáticas (com 
o GeoGebra 3D), interpretação de resultados, organização e comunicação do raciocínio em 
apresentação final. Em termos sociais pretende-se que os alunos adquiram competências para, 
 
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no seu papel de cidadão, ajudar a comunidade a solucionar problemas práticos do dia a dia, 
dando os seus contributos relacionados com técnicas do Cálculo Diferencial e Geometria. 
 
5.1 Situações-problema e análise das respostas dos alunos 
 
Por questões de espaço, para a escrita desse artigo, das 8 situações diferentes que foram 
propostas, selecionamos apenas 4 exemplos de situações-problemas que foram exploradas nos 
16 trabalhos avaliados nas 2 turmas. Esta seleção teve em consideração os seguintes critérios: 
situações de diferentes temas/áreas; situações com mais questões intermédias respondidas pelos 
grupos de alunos; situações que apresentavam respostas mais interessantes e criativas por parte 
dos alunos; situações cujas respostas apresentavam alguns erros para analisar a posteriori. 
Apresentaremos em seguida os problemas e as análises das respostas dos 4 grupos de 
alunos que trabalharam as 4 situações-problema selecionadas. Para focar no essencial, se 
ressalta que foram omitidas algumas partes das respostas dos grupos, principalmente as 
relativas ao desenvolvimento dos cálculos algébricos e descrição dos passos nas construções 
no GeoGebra. No entanto, as justificativas dos mesmos e as explicações serão apresentadas, em 
particular, as que foram solicitadas para ajudar um cidadão leigo a compreender a análise 
gráfica. 
 
Situação-Problema – Grupo 1 
 
A EDP precisa ligar um cabo de força de uma casa que se encontra no ponto C na 
margem de um rio que tem 9m de largura até um centro comercial (CC) que se encontra do 
outro lado da margem do rio, 30 m rio abaixo, isto é, considerando esse centro comercial 
paralelo e bem próximo a margem do rio. O valor gasto para “levar” o cabo pelo rio é de 5 
euros o metro, enquanto que para o levar por terra é de 4 euros o metro. Sendo assim, a EDP 
tem que determinar o percurso em que seu gasto seja o menor possível. Para isso a EDP 
precisa considerar um ponto P perpendicular ao rio, na qual a outra extremidade seja o centro 
comercial (CC). Ou seja, o ponto P se encontra na margem oposta. E um ponto Q localizado 
também na margem do rio do mesmo lado da casa, isto é, a menos de alguma distância da casa, 
na direção horizontal, ou seja, também paralelo à margem do rio, sendo esse ponto Q de muita 
importância, uma vez que é o local em que será feita a transição entre o cabo que irá por água 
ou por terra. A EDP também sabe que a distância entre os pontos Q e P é de x metros. O seu 
grupo ficou responsável de resolver essa questão. Para isso precisam: 
• Identificar a expressão da distância entre C e Q (a distância por terra); 
• Identificar a expressão da distância entre Q e CC (a distância por água); 
• Identificar a expressão algébrica da função custo total (ct) e o seu domínio; 
• Determinar os pontos críticos (possíveis de acordo com o seu domínio) da 
função custo (ct); 
• Indicar o valor do custo total mínimo (ct) gasto pela EDP. 
 
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DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1980-4415v36n74a14 
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Utilizando o programa computacional GeoGebra, represente geometricamente o 
problema; a casa principal, a margem do rio e o centro comercial; identificando os valores que 
o enunciado já disponibiliza. Esboce a curva que representa o custo total e indique onde se 
encontra o valor que torna o custo o menor possível. 
 
O grupo 1 de alunos analisou a situação, referiu no trabalho escrito que seria “benéfico 
passar o cabo maioritariamente pela terra, visto que o seu custo é inferior do que pela água”, 
e apresentou o seguinte esboço: 
 
 
Figura 1 - Modelo geométrico, algébrico e gráfico da situação-problema pelo grupo 1 
Fonte: trabalho de alunos (2020) 
 
O grupo 1 solicitou a orientação do professor para a elaboração do esquema inicial. 
Descreveram de forma simples, mas assertiva o raciocínio que utilizaram para construir o 
modelo funcional que representa o custo total, as suas funções primeira e segunda 
derivada. Indicaram de forma precisa os possíveis pontos críticos e escolheram corretamente o 
que permitia encontrar o valor da distância que minimizava os gastos da empresa (147 euros 
quando 𝑥 = 12). Revelaram ter conhecimentos básicos relacionados com triângulos retângulos 
(e hipotenusa), e aplicaram corretamente o conceito de distância/módulo na interpretação do 
problema. Ficou evidente o conhecimento dos conteúdos trabalhados em sala de 
aula. Demonstraram habilidade com o GeoGebra tanto na construção geométrica do problema, 
como na representação gráfica da função custo total, e também nos cálculos algébricos 
realizados através do software. 
 
√81 + 𝑥2 
30 − 𝑥 
 
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Situação-problema - Grupo 2 
 
Uma empresa fabrica tanques para guardar substâncias inflamáveis no formato de um 
cilindro circular reto. Essa empresa recebeu uma encomenda para fabricar um tanque desse 
tipo para ser colocado dentro de uma superfície de um cone circular reto com as seguintes 
dimensões: 12cm de altura e 5 cm de raio. O comprador deseja que esse cilindro tenha volume 
máximo e que seja possível inscrever dentro do cone que ele possui. 
O seu grupo faz parte dos funcionários que ficaram encarregados de resolver essas 
questões. Para isso vocês precisam: 
• Identificar a expressão do volume do cilindro V; 
• Identificar a expressão da altura (h). Dica: utilize semelhança de triângulos 
para a expressão da altura em função do seu raio; 
• Identificar a expressão algébrica da função volume do cilindro em função 
do raio e seu domínio; 
• Determinar os pontos críticos (possíveis de acordo com o seu domínio) de V; 
Para que o volume do cilindro seja máximo, identificar qual o valor do raio e a altura 
do mesmo. 
Utilizando o programa computacional GeoGebra, esboce a representação do cilindro 
inscrito dentro do cone, a semelhança entre triângulos, a curva que representa a equação do 
volume em função da sua base de raio r e o valor onde este se torna o maior possível. 
 
 
Figura 2 - Modelo geométrico, algébrico e gráfico da situação-problema do grupo 2 
Fonte: trabalho de alunos (2020) 
 
O grupo 2 teve dificuldade na determinação do domínio da função volume indicando 
que seria igual a [0,5]. No entanto, nas conclusões não consideraram o cilindro degenerado 
como possível solução do problema (para r = 0). 
No GeoGebra, os estudantes trabalharam as várias tarefas, descreveram passo a passo a 
construção da curva que representava o volume do sólido e determinaram o seu valor máximo 
(139,6 𝑐𝑚3). De forma detalhada explicaram a construção dos dois sólidos (cilindro inscrito 
 
Situação problema 2: 
Uma empresa fabrica tanques para guarda substâncias infláveis no formato de um 
cilindro circular reto. Essa empresa recebeu uma encomenda para fabricar um tanque 
desse tipo para ser colocado dentro de uma superfície de um cone circular reto com as 
seguintes dimensões: 12 cm de altura e 5cm do raio. O comprador deseja que esse 
cilindro seja de maior volume, e que caiba, inscrito, dentro da forma desse cone que ele 
possui. Partindo dessas informações e preciso determinar: 
 
 
 
Dimensões do tanque 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na última parte do programa Geogebra 3D fez se a junção do cone e cilindro criando o 
tanque com os valores dimensionados nas expressões. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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no cone) em 3D. 
 
Situação-problema - Grupo 3 
 
Em tempos de Covid-19, devido ao isolamento social e a quarentena, não tem sido 
possível sair para comprar presentes para aniversários ou dia da mãe. Sendo assim, as pessoas 
estão tendo que improvisar com o que têm em casa para tornar um dia especial em algo mais 
humano e personalizado. Foi quando surgiu a ideia de, a partir de uma folha retangular de 
papel fazer uma caixa. Pretende-se cortar um quadrado (de lado 𝑥 𝑐𝑚) em cada canto da folha 
para fazer uma caixa com o maior volume possível. As dimensões da folha são 60 cm e 40 cm. 
A partir dos dados fornecidos, se tivessem que construir essas caixas primeiro deveriam 
determinar: o valor do lado (x) de cada quadrado e o volume máximo da caixa. 
O seu grupo ficou responsável por resolver essa questão para construir a caixa com o 
volume máximo. Para isso precisam de: 
• Identificar qual o sólido que representa o formato da caixa de presente; 
• Identificar as dimensões da caixa. Por exemplo: comprimento, largura, altura; 
• Identificar a expressão algébrica da função volume V da caixa e o seu domínio; 
• Determinar os pontos críticos (possíveis de acordo com o seu domínio) de V; 
• Após analisar os pontos críticos identificar qual (quais) pontos satisfazem o 
objetivo; 
• Mediante esse(s) ponto(s) encontrar o valor de x que torne o volume máximo. 
Utilizando o programa computacional GeoGebra, esboce a caixa, a curva que 
representa a função volume e o valor onde este se torna máximo. 
 
O grupo de estudantes apresentou as seguintes representações: 
 
 
Figura 3 - Modelo geométrico, algébrico e gráfico da situação-problema do grupo 3 
Fonte: trabalho de alunos (2020) 
 
O grupo 3 foi bastante sucinto na descrição da sua resposta. Alguns cálculos não ficaram 
explícitos, assim como algumas análises não foram feitas, como, por exemplo, o grupo verificar 
que, para o intervalo de domínio indicado [0,20) quando o valor de 𝑥 vale zero, não é possível 
construir a caixa. Alcançaram o objetivo do problema: encontrar o valor de 𝑥 que maximizava 
 
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o volume da caixa. No GeoGebra, realizaram o solicitado de forma transparente e satisfatória. 
 
Situação-Problema Grupo 4 
 
Um espaço de lazer retangular com 2000 m2 de piso deve ser construído em um terreno. 
São necessários recuos de 5 m na frente e nos fundos, e 4 m nas laterais. A construtora precisa 
determinar as dimensões desse terreno para que a área de lazer seja construída com a menor 
área possível. 
O seu grupo ficou encarregado de resolver essa questão. Para isso o grupo precisa: 
• Identificar a expressão que representa a largura do terreno; 
• Identificar a expressão que representa o comprimento do terreno; 
• Identificar a área (Ac) do espaço de lazer; 
• Identificara área (At) do terreno; 
• Determinar os pontos críticos (possíveis de acordo com o domínio) de At; 
• Identificar qual ou quais pontos críticos satisfazem o objetivo; 
• Mediante esse(s) ponto(s), encontrar os valores das dimensões do terreno 
(largura e comprimento) que permitam obter a área mínima onde esse espaço de 
lazer possa ser construído; 
• Calcular o valor da área do terreno; 
Utilizando o programa computacional GeoGebra, esboçar o terreno e a área de lazer, 
a curva que representa a função, e indicar onde se encontra o valor de x que torne a área a 
mínima possível. 
 
O grupo 4 apresentou de forma detalhada cada passo da construção do raciocínio: 
 
 
Figura 4 - Modelo geométrico, algébrico e gráfico apresentado pelo Grupo 4 
Fonte: trabalho de alunos (2020) 
 
Ao observar as respostas deste grupo, verificamos que na representação gráfica no 
GeoGebra selecionaram incorretamente a função que representaria a área total, e ainda 
confundiram a noção de mínimo, minimizante e assíntota horizontal, o que levou a conclusões 
 
 
 
 
 
 
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erradas ao identificarem a assíntota ao gráfico da função com o valor que tornaria a área a menor 
possível. Este grupo não solicitou a ajuda online dos professores, o que revela um desafio de 
uma avaliação contínua online relativa a uma menor percepção do professor em relação à 
construção dos trabalhos dos alunos. 
 
5.2 Discussão dos resultados 
 
Observou-se que cada trabalho exposto neste artigo seguiu um modelo próprio de 
exposição. Os alunos, de maneira geral, se sentiram muito confortáveis na realização das 
tarefas, indicando que a teoria apresentada em sala de aula foi bem entendida. 
Comprovaram, também, o conhecimento dos conteúdos dos anos anteriores, principalmente na 
área da Geometria, o que era fundamental para a realização do trabalho. Deixaram explícito o 
interesse no uso do software GeoGebra, mostrando entusiasmo e o gosto que tiveram ao final 
do projeto por trabalhar com uma parte mais prática e palpável no aspecto visual para eles. 
Podemos indicar que essa observação reforça a utilização de um software computacional de 
geometria dinâmica como uma potencialidade para o ensino de Matemática online e, ao mesmo 
tempo, um desafio por se introduzir algo novo para o aluno. Mas, em todo momento, tínhamos 
plena consciência de que nossos alunos, com as condições que nosso Instituto proporciona, no 
ensino online também, seriam capazes de implementar, o que nos permite afirmar que a nossa 
análise didática fundamentada pela TAD levou os alunos a um sucesso na execução e resultado 
geral do trabalho proposto. 
A metodologia adotada ABP permitiu, como já referido, uma maior autonomia do aluno 
em seu estudo, que se sentiu mais livre para realizar a tarefa, buscando as suas próprias 
respostas. O desenvolvimento desta competência, associada a uma maior responsabilidade do 
aluno no contrato didático, é uma das potencialidades deste método. Porém, foi perceptível que 
com alguns grupos não foi possível manter esse equilíbrio na gestão de responsabilidades 
professor-aluno, talvez devido à própria situação-problema, à constituição do próprio grupo de 
estudantes ou à sua adaptação a um novo tipo de avaliação. Em particular, alguns grupos 
revelaram pouca interação com os professores, dificultando a detecção precoce de erros 
científicos, ausência de interpretação de resultados. Quando o aluno renuncia ao “direito” de 
ajuda de um tutor para o guiar por um caminho mais assertivo, isso requer um estudo mais 
aprofundado por parte dele, ou seja, passamos por mais um desafio: aluno mais autônomo 
versus qualidade de estudo mais aprofundado. Em concreto, na situação-problema do grupo 2 
ocorreram erros na interpretação dos domínios das funções (tomando, por exemplo, o intervalo 
 
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fechado [0,5] sem referência aos casos de cilindros degenerados); na situação-problema do 
grupo 3 faltou explicar se era possível a construção da caixa dentro do intervalo [0,20); na 
situação-problema do grupo 4 faltou representar o gráfico da função correta no GeoGebra. 
Em geral, os grupos de alunos demonstraram alguma fragilidade na adaptação ao novo 
método de avaliação online. Entretanto, devemos deixar claro que o Instituto, assim como os 
professores que fizeram parte do projeto, proporcionaram aos alunos todas as condições 
favoráveis para tais interações, o que nos faz inferir que ainda há uma grande necessidade de 
testar, experimentar, investigar e analisar as potencialidades e desafios deste tipo de avaliação 
e, no formato proposto de trabalhos coletivos, explorar as condições e restrições (no sentido da 
TAD) para realizar propostas de ensino-aprendizagem mais adaptadas ao tipo de aluno da 
Instituição de Ensino Superior Politécnico, no sentido de reforçar o novo papel desse modelo 
atual de avaliação em um ensino remoto. 
De qualquer forma, apesar destes desafios não totalmente alcançados e que podem ser 
melhorados em uma próxima experimentação, aplicação e análise de avaliação online nos 
moldes do projeto proposto, podemos descrever algumas potencialidades desta metodologia, 
tais como: permitir que o uso ilustrações, agregado à utilização do software GeoGebra por parte 
dos alunos para representar graficamente e realizar cálculos algébricos para confirmar 
resultados, o que deixa evidente que a utilização da programação no ensino da Matemática e na 
formação acadêmica do estudante é um dos caminhos para tornar conceitos matemáticos mais 
densos, como é o caso dos relativos ao cálculo diferencial, mais acessíveis à compreensão do 
aluno. Podemos ainda destacar a riqueza de possibilidades para a elaboração dos projetos. Cada 
grupo teve a sua própria linha de estrutura e organização do trabalho. Foi interessante terem 
diferentes visualizações para promover uma reflexão de que não existe apenas uma maneira de 
resolução e apresentação das técnicas matemáticas utilizadas no desenvolvimento de trabalhos 
de Modelagem Funcional. 
 
6 Conclusão 
 
O projeto descrito neste trabalho é uma proposta alternativa de instrumento de avaliação 
online da aquisição e aplicação de conceitos relacionados com a Geometria e com o Cálculo 
Diferencial. Verificou-se que o projeto permitiu estimular, motivar, aumentar o interesse dos 
alunos pelo conteúdo teórico e promover uma maior interação entre eles. Foi possível observar 
que a maioria dos alunos gostou do fato de o professor lhes ter possibilitado 
 
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uma maior autonomia para explorar a atividade proposta com ferramentas informáticas. Foi 
evidente o entusiasmo deles, mais do que em uma aula expositiva ou avaliação tradicional. 
É de salientar que um dos objetivos consistia em promover uma avaliação diferente 
mediante esse novo modelo e a sua necessidade surgiu perante o desafio de aplicar uma prova 
escrita elaborada segundo os moldes tradicionais no ensino remoto. Assim, e uma vez que o 
professor não conseguiria evitar totalmente a troca/compartilhamento de informações entre 
alunos (e alunos e explicadores) durante as avaliações online, tornou-se possível, com este 
projeto, transformar este desafio da avaliação online em uma potencialidade de cooperação 
entre os alunos, beneficiando assim poresta suscetibilidade todos os intervenientes no contrato 
didático (professores, aluno, grupos de alunos, instituição). 
Este tipo de proposta por parte do professor/instituição permite, por um lado, ir mudando 
gradualmente certas atitudes dos alunos nos momentos de avaliação, tornando estes mais 
conscientes, responsáveis e sem necessidade de “trapacear” a avaliação ou enganar o professor. 
Por outro lado, conduz a uma avaliação online mais justa, imparcial, motivadora para o 
professor, que se sente orgulhoso por incentivar o desenvolvimento de determinadas 
competências matemáticas e computacionais nos seus alunos diante desta nova perspectiva. 
Mais ainda, o comprometimento dos alunos com a sua própria avaliação permite atenuar o 
sentimento de frustração por parte do professor no seu papel de avaliador de competências ou 
conhecimentos adquiridos pelos alunos. 
Observamos que a utilização da metodologia da aprendizagem baseada em problemas 
(ABP) originou vantagens e sucessos no processo de ensino-aprendizagem permitindo: uma 
maior participação, dinâmica, autonomia no questionamento e interesse em procurar respostas 
por parte do aluno; a observação e consequente análise de um conjunto de interações (aluno-
aluno, aluno-grupo, aluno-professor) por parte do professor/pesquisador; o acompanhamento 
da evolução a nível dos conhecimentos matemáticos e tecnológicos dos estudantes. A 
metodologia ABP associada à exploração do software GeoGebra permitiu que a avaliação 
online assentasse na avaliação das competências matemáticas desenvolvidas pelos alunos e não 
apenas na avaliação de conhecimentos adquiridos nas aulas de Cálculo Diferencial que 
pudessem não ser tão evidentemente aplicáveis. Também se verificou que uma avaliação online 
tem as suas potencialidades, tais como, promover momentos exploratórios online, de 
investigação, de uso de software de Geometria em modo mais dinâmico e interativo. 
Outro ponto assertivo foi a proposta de expor os conteúdos apresentados nas aulas 
através da sua ligação com o dia a dia e a sua utilidade nas diferentes profissões. Enunciar as 
situações-problema dessa forma, e assim trabalhar com ABP, acelerou e facilitou o processo da 
 
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aquisição do conhecimento por parte do aluno. Mesmo sem se aperceber, o aluno aprendeu a 
aprender, a pensar, a exercitar o raciocínio lógico através de hipóteses que os levariam a 
estruturar e esboçar seu problema, o que confirmou a importância da Modelagem Matemática 
(MM) no aprendizado. A forma como o trabalho de grupo foi proposto, permitiu que o aluno 
avançasse e fosse além do que foi solicitado, ou seja, o aprendizado não foi limitador, mas sim 
globalizante. A utilização de um programa computacional também os instigou e favoreceu a 
adaptação por se aproximar do “mundo” deles, uma vez que a maioria, pelo fato de estudar 
Engenharia, vive conectado com essas ferramentas. 
A utilização da TAD como marco teórico de referência para o desenvolvimento deste 
projeto também originou vantagens na análise a posteriori da avaliação da atividade didática 
desenvolvida: na observação do uso de várias técnicas, por parte dos alunos, para resolver as 
tarefas propostas; no incentivo a um questionamento tecnológico pelos estudantes para 
comparar a economia das diferentes técnicas; no desenvolvimento de capacidades de 
modelação funcional para descrever as situações-problema (delimitação do sistema, definição 
de variáveis, construção de modelos geométricos, gráficos e algébricos, trabalho técnico dentro 
dos modelos com lápis e papel e/ou com o software GeoGebra; na interpretação de resultados 
no contexto do sistema) (LUCAS, 2015). 
Relativamente aos insucessos desta proposta de projeto de avaliação online baseada na 
metodologia ABP, concluiu-se que, apesar do professor se mostrar sempre disponível para 
esclarecer as dúvidas dos grupos de trabalho, os alunos tornaram-se demasiado autônomos e 
não recorreram a ajuda do professor, cometendo erros científicos na resolução e análise das 
situações-problema. No entanto, segundo a TAD, ainda existe uma grande dificuldade em gerir 
as responsabilidades do professor e do aluno em uma aula, principalmente num contrato 
didático que implique uma maior autonomia do estudante, como, por exemplo, numa avaliação 
de trabalhos de grupo e online. Ao efetuar uma análise didática a priori desta nossa experiência, 
sob o olhar da TAD, podemos concluir que existem desafios no processo de ensino-
aprendizagem online relativos ao papel do professor como tutor de um trabalho de grupo, e 
estes desafios provocam entraves numa avaliação contínua online eficiente. 
Em suma, por um lado, ao analisar o trabalho didático que foi desenvolvido sob o olhar 
da TAD, estamos atualmente a pensar em propostas de projetos futuros que partam de situações-
problema mais abertas (sem conduzir tanto o trabalho dos grupos), sem tarefas guiadas no 
enunciado, para permitir a elaboração de mais conjeturas por parte do aluno e o 
desenvolvimento de um trabalho mais rico de Modelagem Funcional. Também seria relevante 
instigar estes estudantes de Engenharia a um questionamento tecnológico das técnicas utilizadas 
 
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pelos diferentes grupos, no sentido de comparar a economia das técnicas matemáticas. Por outro 
lado, uma análise a priori das condições e restrições institucionais para tornar possível uma 
avaliação online, coletiva (em grupo) justa e eficiente, poderiam auxiliar o professor neste 
processo e incrementar a eficácia de uma avaliação à distância em futuros períodos de 
isolamento social obrigatório. 
 
Agradecimentos 
 
Esse trabalho foi financiado pelo Instituto Superior Politécnico Gaya (ISPGAYA). As 
autoras agradecem aos alunos: Nuno Feiteira, Hugo Teixeira, Pedro Rodrigues, João Pinho, 
Ivan Carvalho, Helder Martins, Flavio Oliveira, Diogo Mota, José Pinheiro, Ismael Marques, 
Pedro Santos, Tiago Lacerda. 
 
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(Doutorado em Educação – Área de Ensino de Ciências e Matemática) – Programa de Pós-Graduação 
em Educação, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2003. 
 
 
Submetido em 21 de Maio de 2021. 
Aprovado em 23 de Maio de 2022.