GeoGebraresolucaoproblemas-Braz-2020

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA 
PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA 
 
 
 
 
GEOGEBRA E A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA APRENDIZAGEM DA 
FUNÇÃO POLINOMIAL 
 
 
 
 
RICARDO ANTÔNIO FAUSTINO DA SILVA BRAZ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Natal-RN 
2020 
 
 
 
RICARDO ANTÔNIO FAUSTINO DA SILVA BRAZ 
 
 
 
 
 
 
GEOGEBRA E A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA APRENDIZAGEM DA 
FUNÇÃO POLINOMIAL 
 
 
 
 
 
Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-
Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática 
da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como 
requisito parcial para obtenção do título de Doutor em 
Ensino de Ciências Naturais e Matemática. 
 
Orientadora: Profa. Dra. Claudianny Amorim Noronha 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Natal-RN 
2020 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN 
Sistema de Bibliotecas - SISBI 
Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Setorial Prof. Ronaldo Xavier de Arruda - CCET 
 Braz, Ricardo Antônio Faustino da Silva. 
 GeoGebra e a resolução de problemas na aprendizagem da função 
polinomial / Ricardo Antônio Faustino da Silva Braz. - 2020. 
 137f.: il. 
 
 Tese (Doutorado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, 
Centro de Ciências Exatas e da Terra, Programa de Pós-Graduação em 
Ensino de Ciências e Matemática. Natal, 2020. 
 Orientadora: Claudianny Amorim Noronha. 
 
 
 1. Matemática - Tese. 2. Plataforma GeoGebra - Tese. 3. Resolução 
de problemas - Tese. 4. Função polinomial - Tese. I. Noronha, 
Claudianny Amorim. II. Título. 
 
RN/UF/CCET CDU 51 
 
 
 
Elaborado por Joseneide Ferreira Dantas - CRB-15/324 
 
 
 
 
 
 
RICARDO ANTÔNIO FAUSTINO DA SILVA BRAZ 
 
GEOGEBRA E A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA APRENDIZAGEM DA 
FUNÇÃO POLINOMIAL 
 
Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação em 
Ensino de Ciências e Educação Matemática da 
Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como 
requisito parcial à obtenção do título de Doutor em Ensino 
de Ciências e Educação Matemática. 
Aprovada em: 01/07/2020. 
BANCA EXAMINADORA 
 
Profa. Dra. CLAUDIANNY AMORIM NORONHA 
Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN/Natal 
Orientadora 
 
 
Profa. Dra. MARCIA GORETTE LIMA DA SILVA 
Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN/Natal 
Membro Suplente Interno 
 
 
Profa. Dra. HALANA GARCEZ BOROWSKY 
Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN/Natal 
Membro Titular Externo ao Programa 
 
 
Prof. Dr. FREDY ENRIQUE GONZALEZ 
Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN/Natal 
Membro Titular Externo ao Programa 
 
 
Profa. Dra. JOSINALVA ESTACIO MENEZES 
Universidade de Brasília – UnB/Brasília 
Membro Titular Externo à Instituição 
 
 
Prof. Dra. JUSSARA PATRÍCIA ANDRADE ALVES PAIVA 
Universidade Federal da Paraíba – UFPB/Rio Tinto 
Membro Titular Externo à Instituição 
 
 
Prof. Dra. GLAUCIANNY AMORIM NORONHA 
Universidade da Amazônia – UNAMA/Belém 
Membro Titular Externo à Instituição 
 
Natal – 2019 
 
 
AGRADECIMENTOS 
A DEUS, louvado seja Nosso Senhor Jesus Cristo, para sempre seja louvado. 
À Professora Claudianny Amorim Noronha, pela parceria, colaboração, cooperação e 
confiança em ter me selecionado para ser seu orientando nesse trabalho. 
À Professora Josinalva Estácio Menezes a quem tenho muito carinho, respeito e 
admiração pela forma como orienta e faz suas colaborações e sugestões. 
Aos professores e colegas de turma que me deram muita força para continuar no 
desenvolvimento desta tese. 
Aos funcionários do Departamento de Matemática e da empresa terceirizada que sempre 
foram solícitos com minhas necessidades. 
À Universidade Federal Rural do Semi-Árido (UFERSA), por me possibilitar o 
afastamento para que pudesse me dedicar aos estudos na elaboração desta tese. 
À minha esposa Handressa Câmara de Almeida Braz que sempre me confortou com 
palavras de otimismo, desde antes da seleção para este Programa de Doutorado. 
À minha filha Raissa Azevedo Braz que, no período quando esteve morando comigo, 
rezava junto rogando a Deus por sucesso na elaboração desta tese. 
Aos meus Pais, Antônio Faustino da Silva Braz e Lindalva Ventura Nunes Braz por 
sempre acreditarem incondicionalmente no meu potencial e rezarem toda noite pelo meu 
sucesso. 
Ao meu avô, Alberto Nunes da Costa Dias (In memoriam), por ter acreditado no meu 
potencial desde criança me motivando a ser Doutor em Matemática com seus maravilhosos 
desafios com conceitos matemáticos. 
 
 
 
RESUMO 
A motivação para este estudo se deu pela necessidade de investigar uma nova proposta dinâmica 
para o ensino de funções polinomiais usando uma plataforma de aprendizagem e buscando 
embasamento na Teoria Histórico-Cultural associada ao campo de estudo da Resolução de 
Problemas. Para a apropriação do saber pelo campo de estudo da Resolução de Problemas 
vislumbramos a possibilidade de apresentar tanto para estudantes quanto para professores o 
ensino por investigação. Desse modo, desenvolvemos uma sequência de atividades que foi 
executada via plataforma GeoGebra, a qual potencializou a elaboração das ações e protocolos 
de construção proporcionando o diálogo entre os envolvidos. Vale ressaltar que conseguimos 
estabelecer uma relação evidente entre a representação da função polinomial em suas quatro 
formas propostas pelo autor que norteou a hipótese deste estudo. Consideramos um estudo de 
pesquisa qualitativa, pois os dados foram constituídos no momento de execução do curso 
oferecido a estudantes da Licenciatura em Matemática da Universidade Federal do Rio Grande 
do Norte (UFRN). Os dados apresentados nos instrumentos escritos e gravados, tanto em áudio 
quanto em vídeo, forneceram o material para a análise posterior. Nos diálogos, os estudantes e 
o pesquisador interagiram com as atividades que foram vivenciadas na plataforma GeoGebra. 
Com o objetivo de motivar os estudantes para a resolução dos problemas apresentamos questões 
dentro do seu contexto social e cultural. A proposta de atividade elaborada e a análise dos 
resultados obtidos foram guiadas por aspectos do campo de estudos da Resolução de Problemas. 
A pretensão da investigação foi apresentar aos estudantes e professores como representar, na 
plataforma GeoGebra, construções dinâmicas que são aplicativos e validem a formação do 
conceito de funções polinomiais de forma dinâmica e interativa. No decorrer da resolução dos 
problemas buscamos aprimorar a construção e a representação dinâmica das atividades 
implementando com os comandos da plataforma GeoGebra e favorecendo a criação de novos 
aplicativos. Considerando tanto nossas avaliações instantâneas quanto as tomadas de decisões 
dos estudantes na resolução dos problemas propostos, constatamos que houve um aprendizado 
levando ao desenvolvimento do estudante. Diante disso, concluímos que uma abordagem dada 
ao ensino da função polinomial utilizando as ferramentas, os comandos e aplicativos da 
Plataforma GeoGebra favorecem ao desenvolvimento e a aprendizagem deste conteúdo. Assim, 
potencializando uma ideia nova e mais abrangente consideramos um diálogo na formação tanto 
dos estudantes quanto no apoio em sala de aula para os professores. Delimitando dificuldades 
didáticas tanto no cotidiano quanto em sala de aula em busca de formas de aprendizado, 
apontamos a tecnologia como um suporte para o ensino nas novas gerações. 
Palavras-chave: Plataforma GeoGebra, Função Polinomial, Resolução de Problemas, 
Formação Continuada de Professores de Matemática. 
 
 
 
 
 
ABSTRACT 
 
The motivation for this study was due to the need to investigate a new dynamic proposal for the 
teaching of polynomial functions using a learning platform seeking to base the Historical-
CulturalTheory associated to the field of study of Problem Solving. For to the appropriation of 
knowledge by the field to study of Problem Solving, we envision the possibility of presenting 
research teaching to both students and teachers. In this way, we developed a sequence of 
activities that was carried out via the GeoGebra platform in which it enhanced the development 
of actions and construction protocols providing dialogue between those involved. It is worth 
mentioning that we evident relationship between the representations of the polynomial function 
in its four forms proposed by the author who guided the hypothesis of this study. We consider 
it a qualitative research study, since the data were constructed at the time of the course offered 
to undergraduate students in Mathematics at the Universidade Federal do Rio Grande do Norte 
(UFRN). The date presented in the instruments written and recorded in both audio and video 
and provided material for further analysis. In the dialogues, the students and the researcher 
interacted with the activities that were performed on the GeoGebra platform. In order to 
motivate students to solve problems, we present questions within their social and cultural 
context. The aspects of the field of study of Problem Solving guided the activity proposal and 
the analysis of the results obtained. The intention of the investigation was to show students and 
teachers how to represent dynamic constructions, which are applications on the GeoGebra 
platform and which validate the formation of the concept of polynomial functions in a dynamic 
and interactive way. In the course of solving problems, we seek to improve the construction 
and dynamic representation of activities by implementing with the commands of the GeoGebra 
platform and favoring decision-making in solving the problem. Considering both our instant 
assessments and student decision-making in solving the proposed problems, we found that there 
was a learning process leading to the student's development. Therefore, we concluded that an 
approach given to the teaching of the polynomial function using the tools, commands and 
applications of the GeoGebra Platform, favor the development and learning of this content. 
Thus, potentiating a new, more comprehensive idea, we consider a dialogue in the training of 
both students and in classroom support for teachers. Delimiting didactic difficulties both in 
daily live and in the classroom in search of ways of learning, we point to technology as a support 
for teaching in new generations. 
Keywords: GeoGebra Platform, Polynomial Function, Problem Solving, Mathematics 
Teachers Continuing Education. 
 
 
 
 
LISTA DE FIGURAS E QUADROS 
 
Quadro 1. Classificação de tarefas. ......................................................................................... 38 
 
Figura 1. Divulgação no site do I Congresso Brasileiro do GeoGebra. .................................. 18 
Figura 2. Função Polinomial representada nas três janelas da plataforma. ............................. 28 
Figura 3. Função Polinomial Racional. ................................................................................... 28 
Figura 4. Apresentação inicial da plataforma GeoGebra. ....................................................... 54 
Figura 5. Página inicial da plataforma GeoGebra on-line. ...................................................... 57 
Figura 6. Página GeoGebra Gráfica. ....................................................................................... 57 
Figura 7. Resolução de uma equação. ..................................................................................... 60 
Figura 8. Representação visual de funções polinomiais. ......................................................... 61 
Figura 9. Representação paramétrica de uma função. ............................................................. 61 
Figura 10. Visualização 3D – Sólido de Revolução. ............................................................... 62 
Figura 11. Parametrização de curvas. ...................................................................................... 63 
Figura 12. Janela CAS, de álgebra e de visualização da Plataforma GeoGebra. .................... 65 
Figura 13. Exibir protocolo de construção. ............................................................................. 66 
Figura 14. Representação algébrica da função polinomial de E2. .......................................... 81 
Figura 15. Registro escrito de E2, relação entre volume e altura. ........................................... 84 
Figura 16. Apropriação do conteúdo usando os controles deslizantes. ................................... 84 
Figura 17. Estudante generalizando função polinomial do segundo grau. .............................. 85 
Figura 18. Função Polinomial de grau “n”. ............................................................................. 85 
Figura 19. Sistematização para obter a fórmula. ..................................................................... 86 
Figura 20. Fórmula obtida por E1. .......................................................................................... 87 
Figura 21. Fórmula algébrica para as duas operadoras. .......................................................... 87 
Figura 22. Representação algébrica para as operadoras. ......................................................... 88 
Figura 23. Justificando o uso das construções dinâmicas na plataforma GeoGebra. .............. 89 
Figura 24. Representado as construções e seus efeitos na plataforma GeoGebra. .................. 90 
Figura 25. Resposta do E3, plano da operadora. ..................................................................... 91 
Figura 26. Construções dinâmicas na plataforma GeoGebra na função polinomial 1º grau. .. 91 
Figura 27. Controles deslizantes na variação das famílias de funções. ................................... 91 
Figura 28. Controles deslizantes caracterizando as funções. .................................................. 92 
Figura 29. Generalização da função para a atividade da operadora. ....................................... 92 
Figura 30. Representação visual das tarifas para cada operadora. ........................................ 103 
Figura 31. Aplicativo com a representação visual da cisterna. ............................................. 104 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 10 
2. ASPECTOS TEÓRICOS ................................................................................................ 24 
2.1 Elementos da Teoria Histórico-Cultural assumidos na investigação ................................. 244 
2.2 Função Polinomial ........................................................................................................... 2626 
2.3 O campo de estudo da Resolução de Problemas .................................................................. 30 
2.4 Estado da Arte: a Plataforma GeoGebra ........................................................................... 445 
2.5 A Plataforma GeoGebra: contribuições para a educação matemática .............................. 534 
3. ELEMENTOS METODOLÓGICOS ............................................................................ 68 
3.1 Problemas e tarefas sugeridos através da Resolução de Problemas .................................... 75 
4. APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS ........................................................... 80 
4.1 Apresentação temática das respostas dos estudantes ........................................................... 80 
4.2 Registros escritos pelos estudantes ....................................................................................... 81 
4.3 Transcrições dos áudios dos participantes ........................................................................... 93 
4.4Análise dos dados construídos.............................................................................................. 98 
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS ....................................................................................... 101 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................... 107 
ANEXOS................................................................................................................................ 114 
Respostas das atividades ................................................................................................................ 115 
APÊNDICES ......................................................................................................................... 123 
Comitê de Ética – Carta de anuência ............................................................................................. 124 
Comprovante de envio do projeto .................................................................................................. 125 
Termo de concessão ....................................................................................................................... 126 
Termo de confidencialidade ........................................................................................................... 127 
Cronograma da aplicação das atividades ...................................................................................... 128 
Declaração ..................................................................................................................................... 129 
Folha de rosto para pesquisa envolvendo seres humanos .............................................................. 130 
Formulário CEP/UFRN ................................................................................................................. 131 
Termo de autorização para uso de imagens (fotos e vídeos) .......................................................... 133 
Orçamento detalhado ..................................................................................................................... 134 
Termo de autorização para gravação de voz ................................................................................. 137 
 
10 
 
1. INTRODUÇÃO 
A arte de ensinar e aprender faz com que tenhamos pretensões em articular mudanças 
na postura e prática docente em nosso laboratório, a sala de aula. Por esse viés, identificamos 
ao longo de nossa atuação, tanto no ensino na Educação Superior quanto em nossas pesquisas, 
que os estudantes apresentam dificuldades em compreender a representação visual gráfica de 
uma Função Polinomial. Nesse sentido, nossa pesquisa está voltada ao processo de ensino e 
aprendizagem da representação visual gráfica da Função Polinomial, no contexto da disciplina 
de Matemática Básica. 
Para isso, adotamos a plataforma de gestão de aprendizagem, denominada plataforma 
GeoGebra, associada a uma sequência de problemas propostos para serem resolvidos pela 
metodologia de ensino da Resolução de Problemas. Além da metodologia que utilizamos e da 
inserção em um ambiente virtual de aprendizagem nos fundamentamos nos pressupostos 
teóricos da Teoria Histórico-Cultural para a elaboração dos problemas, considerando o viés 
sociocultural dos sujeitos. 
Em se tratando do conceito da representação visual gráfica da função polinomial, 
tomamos as definições adotadas por Duval (1993), mas não mergulhamos no estudo desta teoria 
por não ser o propósito maior nesse estudo. 
Duval (1993), no âmbito da Teoria dos Registros de Representações Semióticas, define: 
Representação semiótica é uma representação de uma ideia ou um 
objeto do saber, constituída a partir da mobilização de um sistema de 
sinais. Sua significação é determinada, de um lado, pela sua forma, no 
sistema semiótica e de outro lado, pela referência, do objeto 
representado (DUVAL, 1993, p. 38). 
 
Nesse sentido, conforme a citação de Duval, apoiamo-nos na representação semiótica 
pelo campo da ideia constituída na mobilização de um sistema de sinais. É importante destacar 
que por não nos estendermos sobre esta teoria em nosso estudo, a menção desses elementos tem 
o intuito de elencar alguns termos bem como algumas definições. 
Os estudiosos Henriques e Almoulond (2016) chamam a atenção para o uso dos termos 
objeto e representação ao afirmar que: “nesse tratamento, dois termos não devem ser 
confundidos, a saber: objeto e representação” (HENRIQUES, ALMOULOND, 2016, p. 467). 
Sendo assim, devemos delimitar estes termos segundo as definições elencadas pelos 
pesquisadores no momento da elaboração dos problemas geradores. 
Atuando como docentes na Educação Superior em uma Instituição Pública Federal 
localizada no Estado do Rio Grande do Norte, sempre tivemos a preocupação de pesquisar 
11 
 
alternativas que pudessem favorecer a aprendizagem e a apropriação do conhecimento por parte 
dos estudantes associadas ao uso das tecnologias. Com essa aspiração fundamos o Instituto 
GeoGebra do Rio Grande do Norte em julho de 2011, iniciativa a partir da qual criamos grupos 
de pesquisa na base do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico 
(CNPq). Dando continuidade às ações do Instituto, organizamos eventos acadêmicos desde 
2013, publicamos artigos em eventos nacionais e internacionais, proferimos palestras e 
participamos de mesa-redonda. Essas ações tiveram e ainda têm o objetivo de ampliar nosso 
conhecimento sobre a plataforma GeoGebra e sobre suas potencialidades no processo de ensino 
e aprendizagem, possibilitando a disseminação desses conhecimentos. 
Observamos em nossas aulas, por experiência na prática docente na Educação Superior, 
que é comum que os estudantes apresentem dificuldades em compreender e analisar os diversos 
modelos de representação da função polinomial, especialmente por ainda não terem 
desenvolvido habilidades suficientes para construir e analisar a representação visual da função 
polinomial e os conceitos matemáticos envolvidos neste conteúdo. 
Do ponto de vista da relação do conteúdo função polinomial com a disciplina de 
Matemática Básica, tomando como referência nossa longa experiência de ensino no magistério 
superior, contatamos um elevado índice de reprovações. Rosa, Alvarenga e Santos (2019) 
discutem os índices de reprovações na disciplina de Cálculo afirmando que: “em geral os 
estudantes que conseguiram bons resultados em matemática na educação básica acreditam que 
o Cálculo não representaria obstáculos ao seu aprendizado” (ROSA, ALVARENGA, SANTOS, 
2019, p. 10). Esta afirmação procede quando estamos debatendo com os estudantes, na 
Educação Superior, a respeito do insucesso deles na aprendizagem dos conteúdos desta 
disciplina. 
Seguindo com a discussão referente às dificuldades apresentadas pelos estudantes as 
pesquisadoras avançam afirmando: “[...] na Educação Superior, têm essa expectativa frustrada, 
visto que os conteúdos são mais aprofundados, densos e complexos” (ROSA, ALVARENGA, 
SANTOS, 2019, p. 10). De fato, os estudantes não estão habituados com este aprofundamento 
de conteúdo e ainda vêm da educação básica com a vivência de uma prática docente distinta da 
apresentada no ensino superior. 
Para melhor situar nossa proposta de pesquisar o conteúdo função polinomial e em que 
curso e disciplina ele é estudado apresentamos a seguir um panorama em que sua oferta 
acontece. 
12 
 
A Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN), lócus da realização dessa 
pesquisa, apresenta na estrutura curricular do curso de Licenciatura em Matemática que se 
encontra distribuído em oito semestres, a disciplina de Matemática Básica no âmbito da qual é 
estudado o conteúdo de Função Polinomial. Essa disciplina é oferecida atualmente aos 
estudantes que cursam o primeiro semestre do curso e é pré-requisito para Cálculo I, disciplina 
ofertada no semestre seguinte. 
Umdos fatores que pode favorecer a aprendizagem é a mudança de postura de docentes 
e estudantes, levando em consideração aspectos como promover o pensamento matemático 
articulado para a apropriação do conhecimento através da Resolução de Problemas. 
Menezes et al (2001) afirmam que: 
Professores e alunos precisam estar mais sintonizados em torno de um tema 
comum que é a formação de profissionais de nível superior incluindo docentes 
de matemática em geral, e o aprofundamento do pensamento matemático 
incluindo o ensino-aprendizagem do Matemática Básica em particular. 
(MENEZES et al, 2001, p. 12). 
Essa proposição de Menezes et al (2001) sugere uma aproximação de docentes e 
estudantes voltada para a formação profissional na Educação Superior, o que desperta, ao nosso 
ver, uma sistematização para elaboração de atividades a serem vivenciadas em sala de aula 
baseada em uma teoria. Nesse caso, podemos articular a metodologia de Resolução de 
Problemas com a Teoria Histórico-Cultural, considerando os pressupostos epistemológicos 
assumidos para fundamentar nossa pesquisa. 
Sob esse olhar, articulamos atividades socioculturais para o ensino da função 
polinomial, por meio da representação visual e de uma proposta de trabalho colaborativo entre 
os estudantes que teve como foco a apropriação do conhecimento. 
Para a elaboração das atividades, consideramos as quatro formas de representação da 
função polinomial na qual Stewart (2016, p. 04) afirmou que, “é possível representar uma 
função de quatro maneiras”, são elas: a representação Verbal, quando narramos um caso de 
função; a Numérica, quando representamos em forma de tabelas valores dispostos em colunas, 
sinalizando os eixos cartesianos; Visual, que consiste na representação em forma de gráfico, 
com os valores distribuídos no plano cartesiano e ainda a representação Algébrica, quando nos 
utilizamos de uma fórmula algébrica explícita. 
Considerando as representações citadas por Stewart (2016), optamos em dar ênfase na 
representação visual, muito embora na resolução dos problemas todas as representações da 
função sejam contempladas. Para tratar do ensino da representação visual para a Função 
13 
 
Polinomial por meio do desenvolvimento de problemas entendemos que, com a aquisição da 
habilidade de representação visual do gráfico da função polinomial, o estudante poderá avançar 
a compreensão para outras famílias de funções. 
Vale ressaltar que convém uma mudança de postura no tocante ao uso de determinadas 
estratégias na educação superior para que possamos lograr êxito no ensino através da Resolução 
de Problemas, por entendermos que essa metodologia requer um esforço tanto do docente 
quanto do estudante. Essa mudança se pauta na forma crítica, colaborativa e interativa como 
cada um deveria ser portar. 
Um caminho que dirige mudanças na prática docente é a utilização da plataforma 
GeoGebra que, associada ao desenvolvimento do ensino de matemática através da Resolução 
de Problemas, pode potencializar a apropriação do conhecimento. 
Entendemos que a apresentação de qualquer conceito matemático aos estudantes, não 
apenas da função polinomial, de forma desarticulada e fragmentada pode ser um dos motivos 
do desinteresse na aprendizagem, bem como pode levar à reprovação na disciplina. O fato é 
que os índices de reprovações de diversos estudantes do ensino superior por não entenderem 
elementos conceituais podem refletir tanto no aprendizado da Matemática Básica quanto nos 
conteúdos de disciplinas correlatas. 
Em casos específicos, o fator motivação pode ser um critério de potencialidade no 
ensino de conteúdos da matemática. Mesmo que em determinados contextos matemáticos esse 
não seja um critério explícito como, por exemplo, em aplicações da Matemática Pura, a 
motivação tem seu potencial no ensino de matemática, assim como de outras áreas do 
conhecimento. Nesse ponto de vista, um elemento que pode contribuir para este panorama é 
uma mudança na prática docente com vistas a proporcionar aos estudantes um ambiente de 
discussão e desenvolvimento do conhecimento de forma colaborativa. 
Para Melo (2012) é necessário uma “[...] reflexão social sobre como a escola deve se 
comportar na condição de instituição responsável pela propagação dos conhecimentos 
historicamente construídos e acumulados pela humanidade [...]”. Esse princípio coloca a escola 
em evidência, uma que destaca como necessária e suficiente a “[...] formação das pessoas para 
entenderem e viverem de acordo com as exigências da sociedade atual” (MELO, 2012). Essa é 
uma forma valorizar uma educação preocupada com a compreensão e que destaque nossa 
realidade. 
Assim, a educação vista enquanto processo educativo e principal fator responsável pela 
transformação de uma sociedade, de forma que “deve ser concedido às pessoas, [...], o direito 
14 
 
de aprender, de ampliar e ressignificar os seus conhecimentos, habilidades, competências e 
valores que possibilitem a realização de si mesmas, tornando-as capazes de se transformar seu 
lugar no mundo” (MELO, 2012). Isto porque “[...] o desenvolvimento de uma sociedade passa 
necessariamente pela educação” (MELO, 2012). Com isso podemos reconhecer o papel 
transformador da educação para toda e qualquer sociedade. 
Ponte e Serrazina (1998) apontam para a relação das tecnologias como meio de troca de 
informações em diversas situações, e trata como uma ferramenta para o trabalho colaborativo: 
 
Na verdade, estas tecnologias (i) constituem um meio privilegiado de acesso 
à informação, (ii) são um instrumento fundamental para pensar, criar, 
comunicar e intervir sobre numerosas situações, (iii) constituem uma 
ferramenta de grande utilidade para o trabalho colaborativo e (iv) representam 
um suporte do desenvolvimento humano nas dimensões pessoal, social, 
cultural, lúdica, cívica e profissional (PONTE, SERRAZINA, 1998, p. 02). 
 
A nosso ver, um dos aspectos de inserção social que pode favorecer à quebra de 
paradigma e a relação de problemas associados com o uso das tecnologias na Educação Superior 
justifica um avanço na prática docente. 
Considerando a relação das tecnologias e os conteúdos matemáticos, Ubiratan 
D´Ambrósio (1996) fez a seguinte afirmação: 
 
Ao longo da evolução da humanidade, Matemática e tecnologia se 
desenvolveram em íntima associação, numa relação que poderíamos dizer 
simbiótica. A tecnologia entendida como convergência do conhecimento 
(ciência) e do fazer (técnica), e a matemática são intrínsecas à busca solidária 
do sobreviver e de transcender. A geração do conhecimento matemático não 
pode, portanto, ser dissociada da tecnologia disponível (D´AMBRÓSIO, 
1996, p. 40). 
 
A relação das ciências naturais e da matemática com as tecnologias favorece ao ensino 
e à aprendizagem, desde que sejam por ações educativas planejadas e articuladas para serem 
trabalhadas no ambiente de sala de aula. Esse poderá ser um diferencial relevante na mudança 
da prática docente. Diante desse panorama, justificamos o uso da plataforma GeoGebra 
apropriando-nos de seus comandos e potencialidades para desenvolver nossas ações educativas 
com os estudantes no ambiente de sala de aula, processo que pode favorecer à aproximação 
com o conhecimento. 
Além de concordar com essas ideias, cabe-nos colocar que a proposta como um todo 
está voltada para a melhoria da prática docente, bem como tem o intuito de possibilitar que o 
15 
 
estudante compreenda o conhecimento discutido em sala de aula e efetive tomadas de decisões 
sob uma postura mais consciente. 
Com base nesse argumento, entendemos que o conhecimento deva ter o rigor, mas ao 
mesmo tempo seja significativo no processo de ensino e aprendizagem. O rigor proposto por 
alguns cientistas na criação de um modelo de ciência avança para caracterização de teorias e 
modelos de aprendizagem, mas sempre focado em atender aos anseios da humanidade. Em 
nome da ciência éum rótulo dado a ela e que tentamos levar para a sala de aula em negociações 
que favoreçam a aprendizagem na representação de conceitos matemáticos. 
Nesse sentido, partimos do princípio de que a aprendizagem tem um impacto relevante 
quando trabalhada com rigor através, por exemplo, da criação de construções dinâmicas 
desenvolvidas por ferramentas tecnológicas como no caso da plataforma GeoGebra. Essa 
plataforma permite trabalharmos com rigor o aprendizado de forma interativa, colaborativa e 
participativa, proporcionando a apropriação do conhecimento, sob uma proposta de 
representação dinâmica do conteúdo. Os elementos fundamentais do conteúdo passam a ser 
aprendidos proporcionando desenvolvimento, colocando o conhecimento em movimento, em 
ciclo. 
Considerando uma proposta metodológica, podemos citar pesquisadores como Dantas 
(2016) que sinalizam para uma das mais importantes contribuições da plataforma GeoGebra: a 
visualização de construções e modelos matemáticos e objetos matemáticos que potencializam 
o pensar matematicamente. Com o apoio dessa importante ferramenta pedagógica, os 
estudantes podem visualizar a construção da Função Polinomial em distintas situações e 
compreender melhor a representação matemática dos conceitos envolvidos. 
Para promover o ensino e a pesquisa por meio de aplicação elaboradas através da 
plataforma GeoGebra, criamos e cadastramos junto ao CNPq um Grupo de Pesquisa intitulado 
Aplicativo GeoGebra no Ensino das Ciências Exatas, Tecnológicas e Engenharias. O intuito 
foi desenvolver ações tanto na instituição em que atuamos profissionalmente – a Universidade 
Federal Rural do Semi-Árido (UFERSA) – quanto divulgar ações educativas em diversos 
formatos. 
Esse Grupo de Pesquisa iniciou suas atividades em junho de 2016 e desenvolve 
trabalhos em cinco áreas do conhecimento: matemática, física, computação, engenharia civil e 
engenharia de produção. Dentre os componentes desse grupo temos nove docentes e treze 
discentes trabalhando no desenvolvimento de ações para serem discutidas e socializadas. As 
16 
 
ações são desenvolvidas por docentes e discentes do curso de bacharelado em Ciência e 
Tecnologia da UFERSA. 
Atualmente estamos engajados em um projeto de extensão cujo objetivo é desenvolver 
ações com o aplicativo GeoGebra para ministrar aulas, promover minicursos, oficinas e 
palestras tanto para os discentes quanto para docentes das diversas instituições públicas do 
Brasil. Além disso, esse projeto teve o objetivo de apresentar os resultados de nossas ações de 
pesquisa e extensão, um exemplo disso são as diversas publicações publicadas desde 2011. 
Apresentamos a seguir um panorama de publicações desenvolvidas nesse âmbito. 
O artigo intitulado Concepções dos alunos no uso do software GeoGebra como 
ferramenta de ensino e aprendizagem da matemática (BRAZ et al, 2015) apresentado como 
comunicação científica no XIII Congresso Internacional de Tecnologias na Educação, foi 
resultado de uma pesquisa desenhada em parceria com os estudantes, integrantes do Instituto 
GeoGebra do Rio Grande do Norte e do curso de Bacharelado em Ciência e Tecnologia da 
UFERSA. 
A comunicação científica intitulada A aplicação da plataforma GeoGebra no ensino de 
funções (BRAZ, BEZERRA, MARCIANO, 2011) foi fruto de resultados do grupo de pesquisa 
dos integrantes do Instituto GeoGebra do Rio Grande do Norte. Esse artigo foi publicado no 
XIII Congresso Interamericano de Educação Matemática – XIII CIAEM. 
O uso do GeoGebra nas visualizações gráficas de Teoremas (BRAZ, BRAZ, 2011) é 
um artigo que foi apresentado em um evento científico no formato de comunicação oral. Esse 
é mais um dos produtos que foram elaborados em ações promovidas pelos integrantes do 
Instituto GeoGebra do Rio Grande do Norte. Essa produção foi publicada no XIII Congresso 
Interamericano de Educação Matemática – XIII CIAEM. 
Estudando e aprendendo Funções com o GeoGebra (ARAÚJO et al, 2011) é um artigo 
que surgiu como produto de ações elaboradas e executadas nas escolas da Educação Básica 
pelos estudantes da Educação Superior. O artigo foi elaborado com apoio dos discentes e 
integrantes do Instituto GeoGebra do Rio Grande do Norte. A publicação desse artigo foi feita 
na I Conferência Latino-Americana do GeoGebra realizada na Pontifícia Universidade Católica 
(PUC/SP). 
Com objetivo de favorecer a apropriação de conteúdos de cálculos algébricos por parte 
dos estudantes, produzimos uma aplicação elaborada em uma sequência de atividades com o 
uso da plataforma GeoGebra. Esse esforço rendeu a publicação do artigo A aplicação do 
GeoGebra em cálculo algébricos (FIGUEIREDO et al, 2011) fruto de uma das ações educativas 
17 
 
desenvolvidas apresentado no modelo de comunicação científica. Essa publicação foi feita na I 
Conferência Latino-Americana do GeoGebra realizada na Pontifícia Universidade Católica 
(PUC/SP). 
Como resultado de ações educativas desenvolvidas com o objetivo de tratar a relação de 
conteúdos da Geometria e Álgebra através do GeoGebra publicamos o artigo intitulado Um 
estudo de Geometria Analítica e Álgebra Linear com o GeoGebra (MARCIANO et al, 2011). 
Esse produto foi apresentado como uma comunicação científica na I Conferência Latino-
Americana do GeoGebra realizada na Pontifícia Universidade Católica PUC/SP. 
 Avançando nas pesquisas e desenvolvimento das ações educativas fomos contemplados 
por nossos estudantes, mestrandos e orientandos que produziram pesquisas em formato de 
dissertações e artigos publicados em eventos acadêmicos e revistas científicas. 
Um trabalho publicado nesse sentido é a dissertação de mestrado intitulada Uma 
proposta para o ensino das seções cônicas no ensino básico mediante o uso de um ambiente 
dinâmico (LIMA, 2014) da qual participamos da banca de defesa. Participamos também da 
banca de defesa da dissertação de mestrado nomeada O ensino dos quadriláteros notáveis com 
o software educativo e didático GeoGebra (DAMIÃO, 2015). A defesa referida ocorreu no ano 
de 2015. 
Citamos ainda como produto dessas pesquisas, a dissertação de mestrado intitulada 
Cálculo Diferencial de Funções Polinomiais no Ensino Médio: fundamentação teórica e suas 
aplicações (RIBEIRO, 2015) e a dissertação O ensino de Funções Polinomiais do segundo 
grau: uma aplicação com o software GeoGebra (SILVA, 2015). 
No tocante à participação em eventos científicos, com o propósito de publicarmos 
nossas ações e socializarmos experiências com outros colegas e ainda com os integrantes do 
nosso Instituto GeoGebra participamos do III Seminário Internacional de Educação 
Matemática. Na oportunidade publicamos um artigo intitulado: Estudando e aprendendo 
Funções com o GeoGebra (ARAÚJO et al, 2011). A partir de 2012, iniciamos a organização 
de eventos acadêmicos com a comunidade de GeoGebra Iberoamericana. Como proposta 
inicial, organizamos em nossa instituição o I Seminário do International GeoGebra of Institute 
do Rio Grande do Norte. No ano de 2013, publicamos o artigo Ensino de Geometria plana nas 
séries iniciais no I Día de GeoGebra Iberoamericano. 
Continuando nossas ações, em 2016 organizamos o I Congresso Brasileiro do 
GeoGebra, que contou com a participação de oito convidados nacionais e de dois convidados 
de outros países. Nesse evento houve palestras, minicursos, oficinas, mesa-redonda e a 
18 
 
apresentação de artigos em comunicações orais. Atualmente estamos participando da 
organização do II Congresso Brasileiro do GeoGebra que será realizado no Instituto Federal 
do Rio Grande do Norte e ocorrerá ainda esse ano, 2020. A Figura 1 a seguir apresenta a 
divulgação que ocorreu no site mundial do Instituto GeoGebra Mundial. 
 
Figura 1. Divulgação no site do I Congresso Brasileiro do GeoGebra. 
 
Fonte. https://events.geogebra.org/archive. 
 
Nesse evento, as ações foram voltadas ao desenvolvimento de pesquisas que pudessem 
ser aplicadas tanto no ambientede sala de aula da Educação Superior quanto na vida 
profissional dos futuros profissionais da matemática e das ciências naturais. As ações 
desenvolvidas, por exemplo, na matemática e na computação envolveram a robótica com 
atividades já apresentadas em eventos acadêmicos. 
Um dos resultados importantes que citamos é a permanência dos estudantes da UFERSA 
na instituição, além do interesse despertado pela pesquisa. Esse grupo de pesquisa está ligado 
ao nosso Instituto GeoGebra do Estado, com sede na mesma Universidade. 
As ações educativas desenvolvidas para serem aplicadas nas escolas partiram de 
levantamentos de dados coletados em conversas junto aos docentes com o objetivo de atender 
às necessidades dos estudantes, conforme as turmas e os conteúdos sugeridos. As atividades 
foram desenhadas para serem aplicadas com crianças desde a educação infantil com o, por 
exemplo, a criação do “GeoBolinha”, um “personagem” elaborado com o propósito de dar 
19 
 
ênfase à aproximação com o conteúdo de geometria para estudantes do segundo ao quarto ano 
da Educação Básica. Partimos da educação básica, desenvolvendo ações educativas até 
atingirmos a educação superior. Sempre selecionamos o conteúdo e o nível de ensino após 
estudo das necessidades a serem trabalhadas em sala de aula. 
Na Universidade, assim como no Instituto GeoGebra, foram elaboradas ações 
educativas com docentes e discentes integrantes do instituto, com objetivo de apresentar os 
conteúdos para os estudantes de forma motivadora em construções dinâmicas. O dinamismo 
possibilita modificar os valores das variáveis envolvidas nas construções proporcionando um 
potencial de análise dos dados. O objetivo dessas ações educativas era apresentar aos docentes 
e discentes formas de visualizações dinâmicas baseadas nos conteúdos sugeridos. 
Um dos indicadores do desempenho dos integrantes do nosso Instituto é o que os 
docentes desenvolvem em colaboração com os discentes tendo o objetivo no conteúdo a serem 
assistidos nas aulas. 
Consideramos pertinentes as informações oferecidas por diversos motivos, dentre os 
quais está a ênfase em nossa imersão tanto com relação ao ensino através da plataforma 
GeoGebra quanto com a experiência em pesquisas voltadas para a prática docente. Por esse 
motivo, recebemos em 2014 um convite para Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de 
Nível Superior (CAPES) para participar do Stanford Teacher Education Program, IStep, um 
curso de formação de docentes na Stanford University, localizada na cidade de Palo Alto no 
estado da Califórnia, Estados Unidos. 
O curso referido, considerado um padrão tanto na Califórnia quanto em outras 
províncias dos Estados Unidos, é ofertado para os futuros profissionais de matemática que 
atuarão nas escolas da educação básica. Consideramos o convite para participar dessa formação 
como um prêmio resultante do trabalho feito frente à coordenação Institucional do Programa 
de Bolsas de Iniciação à Docência (PIBID) em nossa instituição. Participamos como 
Coordenador Institucional do PIBID em nossa instituição no período de 2011 a 2015, cinco 
anos de muita dedicação e compromisso. Vale destacar que o PIBID foi aprovado junto à 
CAPES por nossa competência e trabalho, vez que em edições passadas a instituição enviou 
propostas e não logrou êxito. Ao sermos convidados pela reitoria da nossa Universidade 
começamos a elaborar uma proposta, enviamos à CAPES e aprovamos a primeira edição desse 
programa em nossa instituição. 
Os estudantes usam a Plataforma GeoGebra como aplicativo que substitui os comandos 
da calculadora gráfica, haja visto que essa plataforma tem sua versão gráfica para celular e 
20 
 
proporciona diversas formas dinâmicas para visualização de uma construção. Além de fazer 
parte de diversos projetos elaborados em sala de aula em atividades colaborativas e com a 
participação de docentes e estudantes. 
Em nosso estudo, percebemos que poderíamos trabalhar com esse método em nosso 
país. Usar a plataforma GeoGebra para desenvolver o conteúdo com os estudantes em sala de 
aula, em projetos, de forma dinâmica e colaborativa. Sendo assim surgiram os seguintes 
questionamentos: Poderia esse ser um dos potenciais da plataforma GeoGebra? Articular seus 
comandos a construções dinâmicas que tenham impacto relevante na apropriação do 
conhecimento por parte dos estudantes? Poderia ser esse um diferencial? Sob o nosso olhar, foi 
um desafio transformar essa hipótese em uma tese. 
Vale salientar que a Universidade de Stanford é uma das mais respeitadas em programas 
de formação de docentes e esse curso nos proporcionou uma troca de experiência única para 
nossa formação tanto acadêmica quanto profissional. 
Ressaltamos ainda que em 2017 veio a aprovação no Programa de Pós-Graduação de 
Ensino de Ciências Naturais e Matemática, do Centro de Ciências Exatas e da Terra no 
Departamento de Matemática na Universidade Federal do Rio Grande do Norte 
(UFRN/Campus Natal). No ano seguinte, um dos nossos orientandos do grupo de pesquisa foi 
aprovado em concurso para docente da Universidade Federal de Juiz de Fora em Minas Gerais. 
Estes são alguns dos exemplos de excelentes resultados que nosso grupo de pesquisa obteve no 
curso do tempo. 
Essa tese de doutorado foi idealizada a partir da constatação, em nosso trabalho docente, 
que os estudantes da Educação Superior quando se deparam com a disciplina de Matemática 
Básica apresentam dificuldades no entendimento da construção e análise da representação 
visual gráfica da Função Polinomial. Isso nos instigou a investigar, com mais detalhes, que 
contribuições o uso da plataforma GeoGebra em atividades direcionadas para esses aspectos 
poderia minimizar as referidas dificuldades. 
Por meio da questão de pesquisa instituída buscamos dar respostas para a afirmação: A 
utilização da Plataforma GeoGebra e do campo de estudo da Resolução de Problemas, a partir 
de uma abordagem na perspectiva da Teoria Histórico-Cultural tem impacto relevante no 
processo de ensino e aprendizagem da representação visual da Função Polinomial. 
Estamos cientes de que outras questões podem perpassar essa proposição. Para essa 
investigação, especificamente, optamos por nos limitar a investigar as questões descritas acima. 
21 
 
A princípio, buscamos uma teoria que nos possibilitasse um arcabouço de pressupostos 
teóricos e metodológicos que pudesse fundamentar nosso processo de pesquisa. Para tanto 
selecionamos a Teoria Histórico-Cultural, cujos elementos teóricos oferecem uma base que nos 
permite elaborar atividades que favoreçam a apropriação de um conhecimento para os 
estudantes. Um dos elementos importantes e de destaque no âmbito dessa teoria é a relação do 
sujeito com seus aspectos sociais e culturais. 
No caso da matemática, entendemos que estudos e discussões em grupo podem 
contribuir para amenizar essas dificuldades. De fato, transcender o conceito matemático entre 
a álgebra e a geometria não parece ser simples para alguns estudantes. Por exemplo, pode ser 
um obstáculo para o estudante ir além do entendimento produzido pela leitura da questão para 
efetivar relações com o conhecimento, em uma tarefa elaborada pelo docente. O que ocorre é 
que em determinado contexto o conhecimento se apresenta no campo da geometria ou no campo 
da álgebra, fato que levar a um descompasso e que nem todos percebam essa relação com 
facilidade. 
Com o intuito de estabelecer um trabalho colaborativo, participativo e interativo no 
desenvolvimento do conteúdo em sala de aula deixamos claro para os estudantes que nessa 
teoria o conteúdo foi tratado em conjunto com uma mudança de postura do docente e dos 
estudantes com o conhecimento. Não esqueçamos que a autonomia do docente em sala de aula 
permanece, mas essa se estende aos estudantes de forma colaborativa, participativa e interativa. 
Sendo esse um propósito de avançar nas pesquisas e darmos encaminhamentoaos 
produtos de nossa pesquisa, lançando mão das ideias teóricas escolhidas para a elaboração e 
execução da pesquisa que realizamos, trazemos algumas possíveis contribuições desse trabalho, 
tanto para o conhecimento das funções polinomiais quanto para o auxílio na prática docente. 
Vale salientar que pesquisas que apontam para algumas dificuldades no processo de 
ensino e aprendizagem da disciplina de Cálculo I nos cursos de graduação revelam que uma 
disciplina de Pré-cálculo pode aproximar os estudantes dos conteúdos propostos. Pode inclusive 
amenizar, em alguns casos, dificuldades no tocante ao aprendizado das funções polinomiais em 
pelo menos uma de suas representações, a visualização do gráfico. Por questões de análise e 
interpretação nas representações das funções polinomiais, variações das construções e 
visualizações gráficas, por exemplo. 
Partindo dessa premissa, argumentamos que do ponto de vista da utilização da 
plataforma GeoGebra seus comandos e potencialidades, as construções dinâmicas poderão 
favorecer a visualização do conteúdo de forma mais dinâmica. Após isso, outro aspecto 
22 
 
relevante que consideramos, é o fato de que desenvolvemos construções dinâmicas através da 
plataforma GeoGebra para o aprendizado da Função Polinomial, representando graficamente o 
conteúdo. 
Podemos, dessa forma, dar subsídios para o estudo de outras famílias de Funções por 
esse meio. Aqui convém destacar que entendemos por construções dinâmicas, um meio 
tecnológico como na plataforma GeoGebra, os diversos comandos, seus respectivos efeitos e 
suas potencialidades, que podem ser selecionados para a realização de tarefas dinâmicas. 
Além disso, o modelo de representação gráfica de uma função manipulada por meio de 
construções dinâmicas como o controle deslizante, na plataforma GeoGebra, pode permitir o 
dinamismo na visualização da construção de forma interativa, possibilitando uma relação no 
pensar matematicamente e na materialização do conteúdo. 
Quanto à prática docente buscamos inserir no ambiente de sala de aula uma nova 
possibilidade de materialização do conhecimento por meio da tecnologia, com o objetivo de 
potencializar o aprendizado da Função Polinomial de forma participativa, interativa e 
colaborativa. Neste sentido, planejamos uma proposta metodológica que, através da Resolução 
de Problemas e fundamentada na teoria histórico-cultural, assumiu como pressuposto a 
atualização do conhecimento por meio do trabalho coletivo e em grupos, onde docentes e 
estudantes trocam experiências para atingir o objetivo da aprendizagem. 
 Temos como objetivo geral da nossa tese de doutorado, investigar o impacto da 
utilização da plataforma GeoGebra e da Resolução de Problemas em uma perspectiva da teoria 
histórico-cultural, no processo de ensino e aprendizagem da representação visual da função 
polinomial. 
 Com a intenção de desenvolver nosso objetivo geral, elaboramos os objetivos 
específicos que descrevemos a seguir: 
 Avaliar a aplicação de uma sequência de atividades com problemas que foram 
resolvidos em grupo por meio da plataforma GeoGebra; 
 Criar categorias indicadas pelos excertos escritos pelos estudantes no 
instrumento de construção dos dados, no desenvolvimento dos problemas com 
a finalidade de identificar o avanço no aprendizado; 
 Analisar os registros apresentados pelos estudantes para identificar como 
ocorreu a evolução da aprendizagem na representação visual de gráficos da 
Função Polinomial por meio de tomada de decisões; 
23 
 
 Estabelecer relação das soluções apresentadas pelos estudantes com as 
categorias de representação da Função Polinomial indicadas por Stewart. 
 
Na medida em que os objetivos foram sendo contemplados validamos a relação com o 
referencial teórico que selecionamos tomamos como base. 
Essas pesquisas iniciais geram desdobramentos, dos quais apresentaremos aqueles 
relacionados à nossa tese mais adiante, no estado da arte. 
 
24 
 
2. ASPECTOS TEÓRICOS 
Neste capítulo apresentamos as ideias básicas da teoria que escolhemos para nortear a 
pesquisa, juntamente com os elementos que orientam os procedimentos metodológicos. Assim, 
iniciamos expondo brevemente: 
Os fundamentos de uma Subárea da Educação Matemática o Campo de Estudo da 
Metodologia de ensino de matemática através da Resolução de Problemas; discussão das 
potencialidades dos aplicativos implantados na plataforma GeoGebra para o desenvolvimento 
de habilidades do indivíduo, destacando o lado epistemológico; Exposição das ideias vigentes 
sobre a Resolução de Problemas e os efeitos de um ensino nesta perspectiva; descrição da 
Teoria Histórico-Cultural e as ideias usadas nessa tese; finalmente, comentaremos brevemente 
algumas pesquisas feitas com o uso da plataforma GeoGebra em questões semelhantes às que 
estamos tratando, e sinalizaremos as possibilidades de um trabalho com esta plataforma 
elaborado à luz das ideias apresentadas até o momento. 
Escolhemos trabalhar com a Teoria Histórico-Cultural e o campo de estudo da 
metodologia de Resolução de Problemas por entender que os pressupostos identificados, tanto 
da teoria quanto da metodologia, deram suporte ao trabalho empírico escolhido para a nossa 
investigação. 
A Teoria Histórico-Cultural ofereceu suporte ao trabalho que sinaliza para uma prática 
docente voltada para o ensino e a aprendizagem da representação visual da função polinomial 
em sala de aula. Ao nosso ver, na teoria histórico-cultural, o sentido de ensino e aprendizagem 
tem uma dimensão diferenciada de outras teorias no que diz respeito à prática docente e à forma 
como o estudante está inserido no processo. 
Na teoria histórico-cultural o saber passa a ser considerado conhecimento por meio de 
uma atualização ou materialização. 
2.1 Elementos da Teoria Histórico-Cultural assumidos na investigação 
Para iniciarmos vamos apresentar o psicólogo Lev Semenovich Vigotski, cujas 
colocações sobre funções psicológicas superiores nortearam esse estudo. Vigotski foi um 
advogado e filósofo russo que surgiu com suas contribuições após a Revolução Russa de 1917. 
Antes de mais nada, vamos destacar que as publicações de Vigotski deixaram de circular por 
motivos políticos na antiga União Soviética entre os anos de 1936 a 1956, período da ditadura 
25 
 
de Stalin, stalinista. No Brasil, suas publicações chegaram na década de 80, mais 
especificamente, no ano de 1984. 
Salientamos, dos trabalhos de Vigotski, os aspectos do materialismo histórico-dialético 
embasado na realidade do sujeito e na compreensão através de suas contradições e sobre o 
processo histórico em transformação, fundamentando um sistema psicológico atual. 
Estudiosos como Engels (2000) relacionam a concepção histórico-social do sujeito que 
elabora seu pensamento enxergando o trabalho como uma transformação da natureza, ideia aqui 
transcrita: 
 
É precisamente a modificação da natureza pelos homens, e não unicamente a 
Natureza como tal, o que constitui a base mais essencial e imediata do 
pensamento humano; e é na natureza em que o homem aprendeu a transformar 
a Natureza que sua inteligência foi crescendo. A concepção naturalista da 
história (ENGELS, 2000, p.139). 
 
É conveniente alertar que, a partir de momento em que o sujeito interage com o ambiente 
no qual está inserido com o propósito de uma aprendizagem que leve ao desenvolvimento, 
devemos ressaltar as contribuições sociais da natureza. 
No que afirma Marx (2003), as relações com as ações de consciência do sujeito estão 
ligadas às mudanças históricas tanto na vida material quanto impostas pela sociedade. 
 
O modo de produção da vida material condiciona o desenvolvimento da vida 
social, política e intelectual em geral. Não é a consciência dos homens que 
determina o ser; é o seu ser social que, inversamente, determina a sua 
consciência (MARX, 2003, p. 5). 
 
Antes de tudo queremos afirmar que a influênciado convívio social dos sujeitos permite 
que ocorra uma liderança entre eles e que, em certos casos, se faz por aquele que apresenta mais 
desenvolvimento intelectual, mesmo que aparentemente. 
No que diz respeito aos aspectos da Teoria Histórico-Cultural que utilizamos nessa 
pesquisa, podemos destacar as funções psicológicas superiores. Esse aspecto da Teoria permite 
pressupor a natureza social da aprendizagem contando com as interações sociais nas quais o 
indivíduo desenvolve as funções psicológicas superiores, “O aprendizado humano pressupõe a 
natureza social específica e um processo através do qual as crianças penetram na vida 
intelectual daqueles que as cercam” (VIGOTSKI, 2007, p.100). 
 
26 
 
Com base nessa citação, entendemos que as funções psicológicas superiores, que 
podemos considerar também como modelos mentais, mecanismos psicológicos complexos, são 
características próprias dos seres humanos como, por exemplo: as ações de consciência, a 
memória lógica, o pensamento abstrato e o comportamento intencional. 
Estes aspectos foram ressaltados em nosso estudo nos momentos de resolução dos 
problemas geradores. 
2.2 Função Polinomial 
Os estudantes têm acesso ao conteúdo de Função Polinomial a partir da Educação 
Básica, mais especificamente, no oitavo ano quando eles passam a estudar o conceito de 
polinômios e em seguida equações polinomiais com suas operações de adição, subtração, 
multiplicação e a divisão. 
Uma das principais operações a ser estudada é a divisão, que deve ser a mais utilizada 
na Educação Superior quando iniciamos o estudo de limites e, em seguida, de derivadas. No 
conteúdo de limites a importância de o estudante saber efetuar a divisão entre polinômios 
poderá garantir a ele sucesso no aprendizado desse conteúdo, haja visto que alguns exemplos 
de indeterminação de limites podem ser “fatorados” por meio da operação de divisão de 
polinômios. 
Ao longo de nossa experiência profissional na educação superior, com atuação nos 
cursos da área de ciências exatas e matemática, identificamos que os estudantes possuem 
dificuldade para efetuar a operação de divisão entre polinômios na tentativa de chegar ao 
resultado do valor numérico do limite de uma função racional formada por polinômios no 
numerador e no denominador. 
A Base Nacional Comum Curricular – BNCC – (BRASIL, 2017) traz, com relação ao 
desenvolvimento de habilidades no ensino da função polinomial do primeiro grau para o ensino 
médio: 
 
a) Investigar relações entre números expressos em tabelas para representá-los no plano 
cartesiano, identificando padrões e criando conjecturas para generalizar e expressar 
algebricamente essa generalização, reconhecendo quando essa representação é de 
função polinomial do 1 grau. 
 
27 
 
b) Investigar relações entre números expressos em tabelas para representá-los no plano 
cartesiano, identificando padrões e criando conjecturas para generalizar e expressar 
algebricamente essa generalização, reconhecendo quando essa representação é de 
função polinomial do 1 grau do tipo y = ax2. 
(BRASIL, 2017, p. 533). 
 
A referência adotada para os professores e estudantes seguindo as orientações da BNCC 
(BRASIL, 2017) está voltada para a representação visual, cartesiana, da função polinomial tanto 
do primeiro grau quanto do segundo grau, mesmo que sinalize para o desenvolvimento de 
habilidades a investigação entre números, para representar em tabelas. Não identificamos a 
proposta de representação verbal, por exemplo. Há uma explanação na BNCC (BRASIL, 2017) 
para as quatro formas de representação adotadas por Stewart, mas prevalece a representação 
algébrica da função. 
Dessa forma, apresentamos uma definição para a função polinomial descrita da seguinte 
forma por Stewart (2016): 
 
Uma Função P é denominada um Polinômio se P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + 
a2x2 + a1x + a0. Onde n é um número inteiro não negativo e os números a0, a1, 
a2, ..., an são constantes chamadas coeficientes do polinômio. O domínio de 
qualquer polinômio é ℝ = (-∞, ∞). Se o coeficiente dominante an ≠ 0, logo o 
grau do polinômio será n (STEWART, 2016, p. 18). 
 
Diante dessa definição citada por Stewart, entendemos que o elemento fundamental da 
função polinomial é o monômio anxn. A partir desse elemento se consagra a função polinomial. 
Sendo assim, devemos ter o cuidado em entender as características desse elemento, pois ele 
será associado a outros monômios formando o polinômio. 
Estabelecido esse panorama, partimos para a caracterização da função polinomial que é 
formada por um conjunto de monômios associados por meio das quatro operações básicas da 
matemática. Pode-se afirmar que a função polinomial é composta por pelo menos um monômio 
como, por exemplo, r(x) = 50x2020, sendo essa uma função polinomial composta de um 
monômio, com coeficiente 50 e que apresenta grau 2020. 
Com o propósito de exemplificar uma função polinomial fazemos a representação, na 
Figura 2 a seguir, de uma função polinomial em três janelas, sendo a primeira a janela de 
álgebra, a segunda a janela de representação em duas dimensões e a terceira a janela de 
representação em terceira dimensão. 
 
28 
 
Figura 2. Função Polinomial representada nas três janelas da plataforma. 
 
Fonte. Construção elaborada pelo autor. 
Na figura 02 temos a representação algébrica, visual em duas e em três dimensões de 
uma função polinomial do quarto grau. 
É oportuno salientar que, se considerarmos uma função polinomial contendo as quatro 
operações básicas da matemática, teremos um exemplo de função polinomial real. A figura 03 
traz a representação na janela CAS, visual em duas e três dimensões. 
Figura 3. Função Polinomial Racional. 
 
Fonte. Construção elaborada pelo autor. 
 
Nesta Figura 03 estamos apresentando a entrada dos dados para a resolução da Função 
Polinomial Racional por meio da janela de Cálculo Simbólicos (CAS) e a representação da 
solução nas janelas de visualização em duas e em três dimensões. Observando na segunda linha 
da janela CAS o polinômio racional, se o valor de x for igual a 3, teremos uma indeterminação 
29 
 
como resposta. Diante dessa situação, devemos efetuar a divisão dos polinômios, usando o 
algoritmo da divisão de polinômios de “Euclides”, como resultado teremos um polinômio de 
grau 1, x – 2. Em seguida, nas janelas de visualização em duas e três dimensões temos as 
representações da solução da função polinomial racional. 
Desde a Educação Básica, o ensino de função polinomial normalmente é abordado por 
uma das representações de funções, a representação algébrica. Ou seja, os professores 
costumam apresentar aos estudantes a fórmula que está associada a função polinomial, 
escolhendo esta como a principal representação. Isto acontece desde a exposição do conteúdo 
em sala de aula com o procedimento formal que inicia com o conceito ou definição, exemplos 
e contraexemplos. Nesse modelo, o professor costuma apresentar para os estudantes em sala de 
aula, a representação algébrica da função polinomial. 
A nosso ver esta “exclusividade” ou prioridade pode ser um dos fatores que impede o 
avanço na apropriação deste conhecimento diante das demais representações da função 
polinomial. 
Diante desse panorama, um fato que nos chamou atenção foi a possibilidade de 
apresentar aos estudantes do curso de Licenciatura em Matemática uma nova proposta de ensino 
da Função Polinomial articulada com problemas de vida real para serem resolvidos pela 
plataforma GeoGebra utilizando os elementos da metodologia de ensino de matemática através 
da Resolução de Problemas. 
Nossa proposta aponta para uma mudança de prática docente utilizando o campo de 
estudo da metodologia de Resolução de Problemas aliado a um ambiente de gestão de 
aprendizagem articulando as atividades do meio social e cultural dos estudantes. Essa proposta, 
trabalhada de forma interativa e colaborativa, coloca os estudantesjuntamente com o docente 
objetivando a apropriação do conhecimento. 
Na tentativa de proporcionar uma mudança de prática docente que favoreça a 
aprendizagem devemos repensar atitudes que entendem como “as organizações matemáticas 
são globais, resultado do estabelecimento de relações entre conteúdos matemáticos e 
conhecimentos anteriores adquiridos, caracterizando-se por demonstrações e generalizações 
opostas à pura prática de procedimentos algorítmicos” (SILVA, 2011, p. 401). 
Com o intuito de amenizarmos o desafio de ensinar função polinomial aos estudantes 
propusemos levar para o ambiente de sala de aula problemas da vida real e de cunho 
sociocultural. 
 
30 
 
2.3 O campo de estudo da Resolução de Problemas 
Neste tópico apresentamos os pressupostos do campo de estudo da metodologia de 
ensino através da Resolução de Problemas que serviram como base norteadora no 
desenvolvimento e aplicação dos problemas propostos nessa tese. 
Pesquisadores como Ferreira, Silva e Martins (2017) afirmam que: 
 
Diversas pesquisas mostram que a utilização da Resolução de Problemas em 
Cursos do Ensino Superior pode ser um diferencial no processo de ensino, 
aprendizagem e avaliação de Matemática. Inclusive, nos Cursos de 
Licenciatura em Matemática no Brasil, isso é uma realidade, não apenas como 
pesquisa, mas também como prática (FERREIRA, SILVA, MARTINS, 2017, 
p. 189). 
 
Partindo da ideia apresentada na citação acima de que a mudança na prática docente 
poderá favorecer na aprendizagem, podemos considerar que o ensino através da Resolução de 
Problemas utilizando a plataforma GeoGebra pode promover a apropriação do conteúdo por 
parte dos estudantes. 
Sendo assim, percebemos que alguns estudantes, ao se depararem com elementos 
conceituais no ensino superior, ainda trazem deficiências de aprendizagem da educação básica, 
necessitando que ocorra, nesse caso, uma mudança na prática docente para uma perspectiva 
motivadora, que proporcione o aprendizado de forma significativa. 
Partindo dessa premissa, entendemos que a metodologia de ensino através da Resolução 
de Problemas é uma prática a ser levada em conta em sala de aula. Pesquisadores como Ferreira, 
Silva e Martins (2017) avançam nessa questão quando afirmam que constataram na prática que 
a “resolução de problemas pode também ser trabalhada conjuntamente com outros recursos 
metodológicos, tornando-se ainda mais eficiente” (FERREIRA, SILVA, MARTINS, 2017, p. 
193). 
As colocações desses autores fortalecem a escolha para esta pesquisa de articular 
questões a serem resolvidas com o uso da plataforma GeoGebra por meio da metodologia de 
ensino de matemática através da Resolução de Problemas. 
Consideramos também o que Borba (2010) trata a respeito da representação visual: 
Algumas particularidades do aspecto visual, em educação matemática, 
proporcionadas pelas tecnologias computacionais podem ser destacadas, 
dentre elas: visualização é parte da atividade matemática e uma maneira de 
resolver problemas. Visualização constitui um meio alternativo de acesso ao 
conhecimento matemático (BORBA, 2010, p. 03-04). 
 
31 
 
Com base na citação podemos destacar o que afirma o pesquisador e que vem corroborar 
com um dos objetivos desse trabalho: o aspecto da representação visual. Vale ressaltar que a 
particularidade da visualização é uma das potencialidades da plataforma GeoGebra e ainda que 
a proposição que trabalhamos com os estudantes tem como fator de destaque a representação 
visual da função polinomial usando a plataforma GeoGebra através da Resolução de Problemas. 
Pesquisadoras como Allevato, Jahn e Onuchic (2017, p. 249) colocam em cena a 
discussão que “na realidade, o computador privilegia o pensamento visual sem, contudo, 
implicar na eliminação do algébrico”. Essa discussão vem corroborar com o que propusemos 
nos problemas para os estudantes no momento da elaboração da atividade que foi resolvida na 
plataforma GeoGebra para potencializar a representação visual. Além disso, privilegiamos a 
representação escrita por eles no instrumento de construção dos dados. 
No tocante à representação visual Allevato, Jahn e Onuchic (2017, p. 250) alegam que 
“a abordagem visual tem demonstrado facilitar a formulação de conjecturas, refutações, 
explicações de resultados e sobre comportamentos dos objetos, dando espaço, portanto, à 
reflexão”. Nesse sentido, destacamos a abordagem visual como ponto de reflexão para os 
estudantes no momento da resolução do problema. 
No que concerne a relação de ensino e aprendizagem de forma colaborativa, em rede, 
essas pesquisadoras colocam: “As explorações implementadas conduzem-se, por vezes, por 
caminhos inesperados, configurando uma forma de aprender e pensar como “rede”, tornando 
possível estabelecer conexões e novas relações de significados na aprendizagem” 
(ALLEVATO, JAHN, ONUCHIC, 2017, p. 250). 
A nosso ver, quando os estudantes e o docente trabalham através da metodologia de 
Resolução de Problemas em problemas do convívio social e cultural próprios se estabelece uma 
relação de significados que pode favorecer à apropriação do conhecimento. 
O termo “problema” na compreensão de Onuchic (1999, p. 215) “[...] é tudo aquilo que 
não se sabe fazer, mas que se está interessado em resolver”. Nessa direção, é de fundamental 
importância como motivação que o estudante tenha acesso a problemas que estão em seu 
convívio social. 
 Um dos documentos oficiais ao qual nos reportamos, os Parâmetros Curriculares 
Nacionais – PCN (BRASIL, 1997, 2002), para o ensino de matemática, apontam para o ensino 
por meio da Resolução de Problemas. Esse viés da Resolução de Problemas que deve ser 
explorado no ensino básico poderá favorecer os estudantes em sua formação individual bem 
como futuros cidadãos que, para a vida em sociedade, necessitam de uma postura crítico-
32 
 
reflexiva. Assim sendo, a velocidade com a qual as informações se difundem, a nível 
exponencial, requer dos estudantes, cada vez mais, o desempenho do seu papel nas tomadas de 
decisões e promoção de rumos da sociedade a qual está inserido. 
Os PCN voltados para o Ensino Médio (BRASIL, 2002) abordam os temas Linguagens, 
Códigos e suas Tecnologias: 
 
Como a capacidade humana de articular significados coletivos e compartilhá-
los, em sistemas arbitrários de representação, que variam de acordo com as 
necessidades e experiências da vida em sociedade. A principal razão de 
qualquer ato de linguagem é a produção de sentido (BRASIL, 2002, p.13). 
 
Nessa perspectiva, entendemos que a atividade colaborativa favorece a aprendizagem 
bem como ao desenvolvimento, no estudante, da habilidade de representação visual por meio 
das tarefas propostas, assim como possibilita que suas concepções sejam socializadas com os 
colegas. 
Com base nesse argumento, Menezes et al (2001) avança com a seguinte ideia: 
 
Segundo esses documentos, é parte do trabalho do docente familiarizar o 
indivíduo enquanto aluno com novas situações-problema que lhe permitam 
desenvolver e mobilizar habilidades mentais conhecimentos anteriores e, 
associando com situações semelhantes vivenciadas anteriormente, seja capaz 
de encontrar soluções para esses problemas (MENEZES et al, 2001, pp. 02-
03). 
 
Com base nessa proposta de Menezes et al (2001) apresentamos para os estudantes ações 
educativas articuladas em contextos socioculturais com potencial de promover a apropriação 
do conhecimento. É importante que os estudantes busquem a solução para o problema 
rebuscando modelos mentais anteriores. Nossa ação permitiu o debate entre eles e o docente 
favorecendo a aproximação com o conhecimento. 
A BNCC define competências como “a mobilização de conhecimentos (conceitos e 
procedimentos), habilidades (práticas, cognitivas e socioemocionais), atitudes e valores para 
resolver demandas complexas da vida cotidiana, do pleno exercício da cidadania e do mundo 
do trabalho” (BRASIL,2017, p. 8). Vale ressaltar que a BNCC está voltada para a educação 
básica e nossa pesquisa é direcionada para a educação superior, porém trabalhamos um 
conteúdo que é introduzido no nível básico e que tem sua continuidade no nível superior. 
Como principal documento oficial atualmente utilizado na educação básica, no tocante 
às competências gerais, a BNCC propõe o incremento de habilidades que possibilitem a 
aprendizagem com o objetivo de que o estudante obtenha um desenvolvimento: 
33 
 
 
Ao longo da Educação Básica, as aprendizagens essenciais definidas na 
BNCC devem concorrer para assegurar aos estudantes o desenvolvimento de 
dez competências gerais, que consubstanciam, no âmbito pedagógico, os 
direitos de aprendizagem e desenvolvimento (BRASIL, 2017, p. 08). 
 
 No que diz respeito às competências específicas para a educação básica no tocante ao 
desenvolvimento de habilidades, temos: 
 
Para assegurar o desenvolvimento das competências específicas da área, a 
cada uma delas é relacionado um conjunto de habilidades, que representa as 
aprendizagens essenciais a ser garantidas no âmbito da BNCC a todos os 
estudantes do Ensino Médio. Elas são descritas de acordo com a mesma 
estrutura adotada no Ensino Fundamental (BRASIL, 2017, p. 33). 
 
Sobre as competências gerais da educação básica na BNCC, podemos destacar as que 
tem relação com a nossa pesquisa. Sendo assim, a primeira competência geral afirma que 
devemos “valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo 
físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e 
colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva” (BRASIL, 2017, 
p. 08). Para essa competência nossa pesquisa focou nos aspectos relacionados à valorização e 
utilização dos conhecimentos do mundo físico, social, cultural e digital para entender a 
realidade dos estudantes por meio dos problemas propostos. 
A segunda competência geral trata da curiosidade que desperta a imaginação e a 
criatividade, assim enunciada: 
 
Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das 
ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e 
a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e 
resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos 
conhecimentos das diferentes áreas (BRASIL, 2017, p. 08). 
 
Essa competência permite enfocar na metodologia de ensino de matemática através da 
Resolução de Problemas. Podemos nos apoiar na ideia da motivação como parâmetro para a 
apropriação do conhecimento. Essa competência geral relaciona a tecnologia e a resolução de 
problemas com o objetivo de atingir a solução do problema e tendo como ponto de partida a 
investigação de conceitos que estão presentes na natureza e no nosso cotidiano. Dessa forma, 
podemos promover o aprendizado através da provocação, por hipóteses, de problemas do meio 
social e cultural dos estudantes. 
34 
 
Por fim, elencamos a competência cinco que coloca a utilização das tecnologias digitais 
e a resolução de problemas como parâmetros a serem considerados na apropriação do 
conhecimento: 
 
Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e 
comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas 
práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e 
disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e 
exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva (BRASIL, 2017, p. 
08). 
 
Essa competência geral corrobora com nossa pesquisa por dar ênfase aos aspectos da 
formação por intermédio da informação crítica, significativa e reflexiva. Estes são fatores 
primordiais para colocarmos nossos estudantes para pensar e refletir continuamente com uma 
postura cética em relação ao que lhes é informado. 
Ante esses fatos, vamos às competências específicas de matemática para o ensino 
fundamental. Podemos avançar nas discussões contando com a quinta competência específica 
que argumenta sobre como devemos “utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive 
tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de 
outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados”. (BRASIL, 2017, p. 267). 
A sexta competência específica da matemática para o ensino fundamental indica que 
devemos: 
 
Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações 
imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, 
expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros 
e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua 
materna e outras linguagens para descrever algoritmos como fluxogramas, e 
dados (BRASIL, 2017, p. 267). 
 
Essa sexta competência específica da matemática para o ensino fundamental coloca a 
discussão sobre a elaboração de problemas para potencializar o aprendizado por relacionar a 
linguagem da matemática com a linguagem usual dos estudantes. Existem situações na qual o 
docente que elaborou a situação-problema determina suas expectativas, bem com estabelece 
algumas expectativas dos estudantes, mas no momento da resolução define uma linguagem 
especifica para desenvolver a solução do problema. 
Abordar o ensino de matemática através da Resolução de Problemas em sala de aula não 
é uma problemática atual e nem uma tarefa fácil, mas entendemos que esta metodologia propõe 
35 
 
um diálogo entre os estudantes e o docente que pode conduzir ao sucesso no desenvolvimento 
das tarefas através da Resolução de Problemas. Normalmente, as tarefas que são propostas por 
esta metodologia apresentam-se por questões abertas que permitem soluções distintas. Essa 
dinâmica favorece à relação participativa dos estudantes e colaborativa com o docente, 
proporcionando uma discussão sobre o conteúdo com diversas concepções e valorizando o 
conhecimento prévio. 
Menezes, Magalhães e Nascimento (2018) avançam na ideia da Resolução de Problemas 
em sala de aula sob o seguinte aspecto: 
 
No caso da Resolução de Problemas de matemática em particular, o trabalho 
docente deve ser feito de tal modo que permita que a aprendizagem ocorra de 
forma significativa para o aluno do ensino básico, permitindo-lhe desenvolver 
habilidades que o levem a ocupar um lugar de cidadão onde se insere e, ao 
deparar-se com situações novas, esteja habilitado a encontrar soluções a partir 
de sua formação, sua estrutura cognitiva (MENEZES, MAGALHÃES, 
NASCIMENTO, 2018, p. 03). 
 
Partindo dessa citação, nos deparamos com pelo menos duas situações que fazem parte 
do ambiente de sala de aula. Entendemos que, se “o trabalho docente deve ser feito de tal modo 
que permita que a aprendizagem ocorra de forma significativa” (MENEZES et al, 2018, p. 03), 
um caminho seria apontar para a mudança na prática docente, de um modo compatível com o 
que propõe o conteúdo a ser ensinado. Além disso, corroborando com o que afirma a citação, 
devemos propor ações educativas que favoreçam ao desenvolvimento de habilidades quando os 
estudantes se depararem com situações novas e que necessitem efetivar tomadas de decisões 
conscientes. 
O grupo de trabalho e estudos coordenados pela Professora Doutora Lourdes de La Rosa 
Onuchic revelam que, por meio da Resolução de Problemas proposta por Polya (1944), foram 
desenvolvidos estudos com o objetivo de enxergar como resolver problemas e como ensinar 
estratégias para resolvê-los. Este grupo desenvolve pesquisas baseadas na metodologia de 
Resolução de Problemas para o ensino de conteúdos matemáticos nos anos iniciais do ensino 
fundamental e, recentemente, no ensino superior. 
Em suas pesquisas, a Professora Lourdes Onuchic considerou que Polya desenvolveu a 
metodologia de Resolução de Problemas baseado em estudosvoltados para a tendência no 
ensino de matemática na aritmética significativa. Este foi apontado como um dos caminhos que 
induziram Polya a desenvolver o método da Resolução de Problemas como proposta para 
36 
 
apresentar soluções aos questionamentos feitos nas atividades (ONUCHIC, ALLEVATO, 
2011). 
O grupo liderado por Onuchic atualmente continua desenvolvendo pesquisas voltadas 
para a aplicação da Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática através 
da Resolução de Problemas, com o objetivo de identificar as concepções de docentes e 
estudantes no desenvolvimento e aplicação dessa metodologia. 
Na nossa visão, a metodologia proposta por Onuchic em suas pesquisas contribui para 
que possamos ter um parâmetro com considerações a respeito do desenvolvimento e aplicações 
do método. 
Nesse caso, o que nos chamou atenção é o fato de que o grupo de pesquisa referido 
apoia suas investigações nos aspectos históricos, que são como um norteador para as tendências 
em trabalhar o ensino da matemática através das estratégias de Resolução de Problemas. O 
grupo observou, em diversos estudos, com leituras em artigos, dissertações e teses, trabalhos 
que avançam na questão da Metodologia da Resolução de Problemas proposta por Polya, haja 
visto que ocorreram divergências na interpretação da ideia inicial sobre como tratar um 
problema e ter sua solução. 
Para Schroeder e Lester (1989), as interpretações voltadas para a metodologia de 
Resolução de Problemas ocorreram em descompasso devido ao entendimento ou abordagem 
dada ao conceito. Para alguns se deveria ensinar sobre Resolução de Problemas, para outros se 
trata de ensinar matemática para resolver problemas e, ainda para alguns, seria ensinar 
matemática através da Resolução de Problemas. Este conflito das ideias interpretadas por 
professores da educação básica levou ao fracasso no uso da metodologia de Resolução de 
Problema proposta por Polya. 
Considerando o disposto a respeito das três indicações sobre entendimento do conceito 
da Metodologia de Resolução de Problemas fizemos as seguintes interpretações: o conceito de 
ensino para a Resolução de Problemas está, a nosso ver, voltado para o método tecnicista que 
tem como parâmetro a escolha de técnicas que levem à solução para chegada na resolução do 
problema. O conceito de ensino sobre a Resolução de Problemas diz respeito aos métodos da 
exaustão, indução ou até mesmo da intuição. O conceito de ensino através da Resolução de 
Problemas, por sua vez, trata da metodologia proposta por Polya e o Grupo de Onuchic que tem 
a ver com as diversas soluções que poderão aparecer promovidas por questões abertas. 
Os estudantes que participam de uma metodologia de ensino de matemática através da 
Resolução de Problemas passam a entender novos conceitos e conteúdo de forma dinâmica, 
37 
 
significativa. Desse modo, os estudantes deixam de ser espectadores para atuarem como 
coautores no processo de avanço do conhecimento e apropriação dele. Este avanço deve ser 
percebido pelo docente, o qual deverá estimular o estudante com novas tarefas, que os motivem 
segundo o nível de dificuldade do conteúdo proposto. 
Nossa pesquisa assume um perfil com características que apontam para aplicação da 
metodologia da Resolução de Problemas e se identifica com a ideia do Grupo de Estudos 
liderado pela Professora Onuchic, com ênfase para o destaque da postura adotada nas pesquisas 
para o perfil de trabalhar através da Resolução de Problemas (ONUCHIC, ALLEVATO, 2011). 
Do ponto de vista da Teoria Histórico-Cultural, relacionamos essa investigação com os aspectos 
das funções psicológicas superiores propostas por Vigotski que são pensamento algébrico, 
memória lógica, ações de consciência e comportamento intencional, por exemplo. 
Diante desses aspectos desenvolvemos um trabalho em que os estudantes trataram de 
conceitos e conteúdos de representações matemática em tarefas propostas por atividades 
sequenciadas que objetivaram desenvolver habilidades como, por exemplo, de representação 
visual dos gráficos da função polinomial. Consideramos isto como o avanço na formação do 
conhecimento matemático, vez que partimos de um conhecimento específico, que por 
motivação e necessidade de aprender dos estudantes, pôde tornar-se conhecimento, 
consolidando assim o aprendizado do conteúdo proposto. 
Para avançar em nossos estudos por meio das intervenções tanto nas pesquisas quanto 
em sala de aula investigamos o uso da Metodologia da Resolução de Problemas com o objetivo 
de proporcionar aos estudantes uma nova concepção na aprendizagem de conceitos e conteúdos 
matemáticos. Na proposta de Polya, a Resolução de Problemas se desenvolve por quatro fases 
sendo elas: compreensão do problema, é preciso compreender o problema; estabelecimento de 
um plano, devemos encontrar a relação entre os dados e a incógnita; execução do plano, execute 
o seu plano de ação; e por fim, faça o retrospecto, analise a solução obtida. 
Na fase inicial, o estudante deve fazer a leitura individual da questão e compreender os 
dados que o problema aponta. Para isso, ele pode considerar suas concepções e relações com o 
universo de informações que acumulou em sua experiência de vida. 
O plano de ação, mesmo que intuitivo e discreto, é uma característica endereçada ao 
método de Resolução de Problemas. No momento em que estamos tentando chegar à resposta 
de uma questão ou a solução de um problema, planejamos uma estratégia para atingirmos o 
resultado. Isso decorre do entendimento que temos dos dados e da organização destes em nossa 
38 
 
mente, o intuito é selecionar os dados e construir um plano de ação mesmo que, intuitivamente, 
com o propósito de chegarmos à solução do problema. 
Ao final, o estudante poderá investigar se o plano de ação e a estratégia utilizadas nesta 
situação-problema podem ser úteis para outras situações, modelando suas concepções e 
modelos mentais. 
Ponte (2003), no artigo intitulado Investigar, ensinar e aprender, afirma que o termo 
tarefa para o ensino de matemática está representado nos exercícios, nos problemas e nas tarefas 
investigativas. Com esse entendimento, o pesquisador classifica um problema como uma tarefa 
de objetivo claro e direto admitindo apenas uma solução e considera um grau de dificuldade 
elevado. 
Para Ponte (2003), o exercício é considerado uma tarefa de resposta fechada, mas bem 
organizada e simples de resolver. No caso de tarefa investigativa de resposta aberta, permite-se 
mais de uma solução e com grau de dificuldade elevado. Um detalhe é que nas tarefas 
investigativas os dados são incompletos, o que dá a oportunidade para quem for resolver de 
buscar auxílio em outras fontes. 
Silva (2017a) apresentou o Quadro 1 a seguir com exemplos que permitem diferenciar 
exercícios, problemas e tarefas investigativas, além de situações-problema elaborados com base 
em Ponte (2003), Zômpero e Laburú (2011). 
Quadro 1. Classificação de tarefas. 
Exercício Problema Tarefa de Investigação 
Simplifique o 
polinômio. 
 
 
Escreva o domínio e 
a imagem da função 
polinomial. 
 
 
 
Em nossa região, duas operadoras de 
telefonia móvel que são representadas por: A 
e B oferecem planos de telefonia para seus 
usuários com as seguintes condições: a 
operadora A oferece os serviços com um custo 
de R$2,30 pelos três primeiros minutos, 
R$4,40 para seis minutos, R$6,50, para nove 
minutos, R$8,60 para doze minutos. Já a 
operadora B apresenta a oferta de seus 
serviços com a seguinte proposta: R$1,22 
para três minutos iniciais, R$2,42 para seis 
minutos, R$3,62 para nove minutos, R$4,82 
para doze minutos. Um consumidor precisa de 
ajuda para conhecimento qual o custo que as 
operadoras cobram para 60 minutos, 100 
minutos e 240 minutos... 
Três irmãos árabes 
estavam com um 
problema de herança a ser 
resolvido, eles receberam 
de seu pai 35 camelos e 
que no testamentoinformava a divisão 
proporcional para os 
irmãos conforme a idade. 
O mais velho deveria 
receber a metade, o 
segundo irmão a terça 
parte e o mais novo a nona 
parte da herança. 
Como resolver a partilha 
desta herança se os 
valores não são exatos? 
½, 1/3 e 1/9. 
Fonte. Adaptado pelo pesquisador a partir de Silva (2017a). 
39 
 
Neste quadro estamos contextualizando a apresentação de exercícios, problemas e 
tarefas investigativas. Sobre os exemplos acima Silva (2017a) destaca que na primeira coluna 
se encontram tarefas “[...] que não apresentam contextos enunciativos que impliquem no 
estímulo à interpretação e reflexão do aluno, assim, essas questões apresentam como principal 
objetivo a utilização de habilidades instrumentais básicas. Sob essa perspectiva, essas 
atividades são classificadas como exercícios” (SILVA, 2017a, p. 35). 
Nesta perspectiva, elaboramos o quadro iniciando com o exemplo de um exercício 
considerando a simplificação de polinômios, um dos assuntos temidos pelos estudantes desde 
a educação básica, por entendermos que são apresentadas dificuldades no conceito de divisão 
de polinômios. Na sequência, apresentamos uma questão de domínio e imagem da função 
polinomial que tem como base o polinômio da simplificação na questão anterior. Ao lado, no 
quadro, temos o exemplo de um problema que se diferencia do exercício devido à 
contextualização de uma situação real. Por fim, temos a tarefa investigativa que, como 
diferencial com relação aos exercícios, apresenta um problema aberto e com grau de dificuldade 
elevado, onde o estudante necessita buscar dados que estão faltando na questão. 
Segundo Butts (1997, p. 48), “estudar matemática é resolver problemas. 
Consequentemente, cabe aos professores de matemática, em todos os níveis, ensinar a arte de 
resolver problemas”. Sendo assim, um problema é visto como “uma situação que se enfrenta 
sem contar com um algoritmo que garanta uma solução” (KANTOWSKI, 1997, p. 270). 
Pesquisadores como Polya (1997) trazem a seguinte afirmação: 
 
[...] resolver um problema é encontrar um caminho onde nenhum outro é 
conhecido de antemão, encontrar um caminho a partir de uma dificuldade, 
encontrar um caminho que contorne um obstáculo, para alcançar um fim 
desejado, mas não alcançável, por meio adequados (POLYA, 1997, p. 01). 
 
O pesquisador Butts (1997) estabelece uma classificação para os problemas 
matemáticos descrevendo que os exercícios de reconhecimento são “[...] tipo de exercício 
normalmente que pede ao resolvedor para reconhecer ou recordar um fato específico, uma 
definição ou enunciado de um teorema” (BUTTS, 1997, p. 33). Este pesquisador considera os 
exercícios algorítmicos como aqueles que “[...] podem ser resolvidos com um procedimento 
passo-a-passo, frequentemente um algoritmo numérico” (BUTTS, 1997, p. 34). 
No que se refere aos problemas de aplicação, Butts (1997) afirma ser os que “[...] 
envolvem algoritmos aplicativos. Os problemas tradicionais caem nesta categoria, exigindo sua 
resolução: (a) formulação do problema simbolicamente e depois (b) manipulação dos símbolos 
mediante algoritmos diversos” (BUTTS, 1997, p. 34). 
40 
 
Vale salientar que este pesquisador classifica os problemas de pesquisa aberta que são 
“[...] aqueles em cujo enunciado não há uma estratégia para resolvê-los. (...). Normalmente, tais 
problemas expressam-se por: “Prove que...” “Encontre todos ...” ou “Para quais... é...”, mas 
muitas outras variações mais interessantes são possíveis” (BUTTS, 1997, p. 35). 
Como último elemento da classificação proposta por este pesquisador temos as 
situações-problema que “[...] neste subconjunto não estão incluídos problemas propriamente 
ditos, mas situações nas quais uma das etapas decisivas é identificar o(s) problema(s) inerente(s) 
à situação, cuja solução irá melhorá-la” (BUTTS, 1997, p. 36). 
Um fator que nos auxiliou nessa investigação, com relação à classificação proposta por 
Butts, foi entendermos como elaborarmos nossas tarefas. Diante disso, entendemos que as 
tarefas que utilizamos são classificadas como problemas. 
No tocante ao ensino de matemática sobre a Resolução de Problemas, Polya (2006) em 
seu livro A arte de resolver problemas aponta este modo de ensinar com o objetivo de 
proporcionar aos estudantes o desenvolvimento de habilidades para os estudantes resolverem 
problemas. 
Com base na resolução de problemas proposta por Polya, em nossa pesquisa podemos 
elencar as fases por destacadas por esse pesquisador como pressupostos na análise dos 
resultados, muito embora utilizemos as características apresentadas pelo grupo liderado pela 
professora Onuchic. 
Polya (2006) afirmou que os professores precisam ensinar estratégias ou heurísticas para 
que os estudantes possam atingir seus objetivos. O pequeno dicionário de heurística de Polya, 
(2006) em destaque no capítulo três do livro A arte de resolver problemas, aponta 
características de algumas palavras. 
Iniciando pela característica de Analogia que ele conceitua como: “ser uma espécie de 
semelhança. Objetos semelhantes coincidem uns com os outros em algum aspecto; objetos 
análogos coincidem em certas relações das suas respectivas partes” (POLYA, 2006, p. 33). 
Como exemplo para a palavra analogia Polya (2006, p. 33) traz “um paralelogramo 
retângulo é análogo a um paralelepípedo retângulo”. Dessa forma, o pesquisador personaliza 
seu exemplo atribuindo as características de coincidências elementares entre duas figuras 
geométricas. 
A palavra condicionante Polya (2006, p. 41) destaca como “uma das partes principais 
de um problema de determinação”. Para este pesquisador, “uma condicionante é chamada 
redundante quando contém partes supérfluas” (POLYA, 2006, p. 41). Este autor ainda 
41 
 
caracteriza como: “é dita contraditória quando suas partes são reciprocamente opostas e 
incompatíveis, de tal maneira que não possa ser satisfeita” (POLYA, 2006, p. 41). 
Nesta mesma direção, Polya (2006) destaca a palavra considere a incógnita como: “este 
é um velho conselho. Correspondente ao ditado latino respice finem, isto é, olhe para o fim. 
Lembre-se do seu objetivo. Não esqueça a sua meta” (POLYA, 2006, p. 33). Devemos traçar 
um plano para atingirmos nossos objetivos e, na metodologia de ensino através da resolução de 
problemas, não poderia ser diferente. Este pesquisador avança destacando a palavra incógnita 
afirmando: “pense naquilo que deseja obter. Não perca de vista o que é necessário. Tenha em 
mente aquilo para que está a trabalhar. Considere a incógnita. Considere a conclusão” 
(POLYA, 2006, p. 33). 
No que diz respeito à palavra contradição, Polya (2006, p. 47) apenas escreve “ver 
condicionante”. Ou seja, o pesquisador propõe que a contradição deve-se basear no oposto do 
que traz a ideia de condicionante. 
Com relação à palavra corolário, o pesquisador atribui a ideia de que “é um teorema 
que se demostra facilmente pelo exame de outro teorema que se acabou de demonstrar”. Esta 
palavra é de origem grega e a sua tradução mais literal seria “galardão” ou “recompensa”. 
(POLYA, 2006, p. 47). 
As palavras decomposição e recombinação para Polya (2006, p. 47) “constituem 
importante operações mentais. Examina-se um objeto que desperta ou provoca a curiosidade: a 
casa que se pretende alugar, por exemplo”. 
Para Polya (2006, p. 54) as definições de termos “são descrições de seus significados 
por meio de outros termos que se supõe sejam bem conhecidos”. Neste sentido, o pesquisador 
aponta para dois termos técnicos da matemática que são os primitivos, não se definem, e os 
derivados, que se definem. Os termos derivados podem ser definidos de outros termos 
primitivos ou termos derivados já definidos. 
As demonstrações por absurdo e demonstrações indiretas compõe o conjunto de 
palavras heurísticas com o seguinte significado “a demonstração por absurdo mostra a 
falsidade de uma suposição derivando delaum absurdo flagrante” (POLYA, 2006, p. 60). No 
que se trata da demonstração indireta “estabelece a verdade de uma afirmativa por revelar a 
falsidade da suposição oposta” (POLYA, 2006, p. 60). 
O diagnóstico é um dos elementos do conjunto de palavras da heurística, delimitada por 
Polya (2006). Segundo este pesquisador, “o diagnóstico é empregado aqui como um termo 
42 
 
técnico de educação, com o significado de caracterização mais rigorosa do aproveitamento do 
aluno” (POLYA, 2006, p.67). 
Equacionamento faz parte do conjunto de heurísticas destacado por Polya (2006) que 
traz a seguinte afirmação: “significa expressar por símbolos matemáticos uma condicionante 
que está formulada por palavras; é a tradução da linguagem corrente para a linguagem das 
fórmulas matemáticas” (POLYA, 2006, p.84). 
Considerando o termo examine a sua suposição “devemos analisar se a sentença 
proposta é verdadeira, para não aceitarmos simplesmente como afirmativa. Precisamos analisar 
e nos posicionarmos baseados em fatos” (POLYA, 2006, p. 87). 
Vale ressaltar que para a execução do plano em uma ação educativa, por exemplo, 
devemos compreender que “conceber um plano e executá-lo são duas coisas distintas” 
(POLYA, 2006, p. 91). 
Seguindo as palavras do conjunto de heurística destacadas por esse pesquisador temos 
as figuras. Figuras “são apenas o objeto dos problemas geométricos, como também um 
importante auxílio para problemas de todos os tipos, que nada apresentam de geométrico na sua 
origem” (POLYA, 2006, p. 94). 
Por fim, Polya (2006) destaca a palavra generalização com a seguinte caracterização, 
“é a passagem da consideração de um elemento para a consideração de um conjunto que contém 
esse elemento; ou a passagem de consideração de um conjunto para um conjunto mais 
abrangente, que contém o conjunto restrito” (POLYA, 2006, p. 97). 
Vale salientar que o pesquisador Larson (1983 apud FERREIRA, MARTINS, 
ANDRADE, 2018, p. 146) elaborou uma lista de estratégias fundamental para o desempenho 
satisfatório dos estudantes no momento da resolução dos problemas de matemática. Este 
pesquisador defende que “diante de um problema o estudante deve buscar, de acordo com a 
especificidade do problema, algumas estratégias”. 
Dentre as estratégias apontadas por Larson (1983 apud FERREIRA, MARTINS, 
ANDRADE, 2018, p. 146) estão: busca por padrões; apresentação por figuras; formulação de 
problemas equivalentes; modificação de um problema; escolha de uma notação científica; 
exploração de simetrias; divisão em casos; fazer um retrocesso; arguição por contradição; busca 
por paridade; consideração de casos extremos; generalização. 
Pesquisadores como Ferreira, Martins e Andrade (2017, p. 146) afirmam que tanto 
Polya quanto Larson, dentre outros, que utilizam da metodologia de Resolução de Problemas 
necessitam fazer um estudo para compreender as diversas estratégias a serem trabalhadas. 
43 
 
Diante deste panorama, seguiremos na discussão do ensino de matemática para a 
Resolução de Problemas. Para os pesquisadores Schroeder e Lester (1989), ao ensinar na 
perspectiva para resolver problemas, o professor se concentra na maneira como a matemática 
ensinada pode ser aplicada na solução de problemas rotineiros ou não rotineiros, destacando 
que, embora a apropriação do conhecimento por parte do estudante seja importante, vale 
ressaltar a capacidade do mesmo em utilizar-se destes conceitos. 
Esta perspectiva de ensino de matemática oferece um modelo onde o professor explana 
no quadro o conteúdo seguindo a sequência de definição/conceito, exemplos e contraexemplos 
e exercícios. Este procedimento se desenvolve de forma mais direta e simplificada. Após a 
explanação do conteúdo, o professor sugere uma lista de questões com um quantitativo 
abrangente de situações, com o objetivo de que no final o estudante deverá ser capaz de resolver 
problemas deste conteúdo. 
Pesquisadores como Ferreira, Martins e Andrade (2018, p. 148) afirmaram que “o 
professor que utiliza essa abordagem não está preocupado em desenvolver as habilidades 
matemáticas do aluno”. Dessa forma, prevalece a ideia do estudante resolvedor de questões. 
Diante desse cenário, é importante afirmar que quando o docente se propõe a ensinar 
matemática para resolver problemas é preciso se apropriar dos conceitos de problema e 
exercício, destacando suas diferenças. Considerando o que afirmam Onuchic e Alevatto (2011, 
p. 81) problema “é tudo aquilo que não se sabe fazer, mas que se está interessado em fazer”. 
O fato é que pesquisadores como Dante (2002) apresentam uma concepção sobre 
exercício afirmando que: 
 
Exercício, como o próprio nome diz, serve para exercitar, para praticar um 
determinado algoritmo ou processo. Problema ou problema-processo [...] é a 
descrição de uma situação onde se procura algo desconhecido e não se tem 
previamente nenhum algoritmo que garanta sua solução (DANTE, 2002, p. 
43). 
 
Essa ideia de problema caracterizada por procurar algo desconhecido e não ter 
previamente nenhum algoritmo nos indica a situação de um problema aberto, onde precisamos 
buscar dados externos para complementar a resolução da questão. 
Com relação à essa metodologia, Onuchic e Alevatto (2011) afirmam que o modo de 
trabalhar esse método é através da resolução de problemas, essa postura permite aos estudantes 
participarem do processo de aprendizagem desenvolvendo seu conhecimento. 
44 
 
Como forma de abordar a metodologia no ambiente de sala de aula, a pesquisadora e 
seus colaboradores desenvolveram a metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação de 
Matemática através da Resolução de Problemas. 
O docente deve seguir, em sala de aula, as etapas sugeridas como roteiro para atingir os 
objetivos dessa metodologia. As etapas propostas pelo grupo de trabalho e estudo são: formação 
de grupos; preparação do problema: selecionar um problema visando à construção de um novo 
conceito, princípio ou procedimento, problema gerador; leitura individual; leitura em conjunto; 
resolução do problema; observação e incentivo; registro das resoluções no quadro; plenária; 
busca de consenso; formalização do conteúdo. 
O pesquisador Van de Walle (2001 apud FERREIRA, MARTINS, ANDRADE, 2018, 
p. 156) indica três elementos fundamentais e necessários na construção de um novo 
conhecimento: ferramentas, materiais e esforços. Partindo do primeiro elemento constituímos 
as ferramentas, que usamos para formar novos conhecimentos, novas ideias e novas concepções 
possibilitando a interlocução com os conhecimentos já elaborados. O segundo elemento, os 
materiais, são caracterizados por objetos, coisas que vemos, sentimos e ouvimos e que estão a 
nosso alcance, podendo ser nosso pensamento e nossas ideias. Como terceiro elemento, temos 
os esforços que: “são pensamentos ativos e reflexivos, e este elemento é o mais importante, pois 
as ferramentas e os materiais são coisas pré-existentes e só vão se mover se sofrer alterações 
por meio dos nossos esforços, se a mente não pensar ativamente, nada acontece” (FERREIRA, 
MARTINS, ANDRADE, 2018, p. 157). 
Nesse tópico, situamos a metodologia de Resolução de Problemas, desde a ideia adotada 
por Polya até as colaborações do Grupo de Trabalho e Estudo – GTERP – coordenado pela 
professora Lourdes Onuchic. Nas entrelinhas, incluímos a nossa ideia de como trabalhamos a 
Resolução de Problemas em nossa pesquisa, que foi seguindo as orientações atuais da 
pesquisadora Onuchic e seus colaboradores, bem como do professor Ferreira. 
No tópico a seguir apresentamos os conceitos da plataforma GeoGebra e suas 
contribuições para a educação matemática dando ênfase às potencialidades que trabalhamos em 
nossa pesquisa. 
2.4 Estado da Arte: a Plataforma GeoGebra 
Com a finalidade de nortear a hipótese inicial dessa tese, elaboramos uma estratégia de 
pesquisas em sites de buscas como o Portal de Periódicos da Capes, sites de instituições de 
ensinosuperior de pós-graduação e de grupos de pesquisas. Como forma de articular nossas 
45 
 
buscas nos periódicos da Capes fizemos um treinamento on-line oferecido pelo Portal, em que 
nos foram apresentadas diversas formas de pesquisas, desde a generalizada até as mais 
refinadas, de acordo com o uso dos descritores. 
Nosso objetivo foi pesquisar publicações em artigos, dissertações e teses para nortear 
nossa tese de doutorado fizemos as buscas com os descritores combinados. As pesquisas foram 
feitas pelo Portal em três categorias selecionadas segundo o uso dos descritores. Na primeira 
busca usamos o descritor mais amplo GeoGebra considerando o período de 2012 a 2017 e que, 
dessa forma escrito obtivemos como resposta um retorno de 1045 artigos que contém o descritor 
informado para essa categoria. Esse retorno não satisfez o que buscávamos, haja visto que os 
artigos não apresentaram, em termos qualitativos, o que pretendíamos para nossa pesquisa, 
porém o processo serviu de referência para entendermos o grau de publicações seletas que 
temos para motivar pesquisadores a tratar a informação e até mesmo desenvolver novas 
pesquisas. 
Na segunda pesquisa usamos os descritores associados GeoGebra e Análise de Gráficos. 
Seguindo as orientações que recebemos no treinamento do Portal de periódicos Capes, 
escrevemos os descritores em inglês e conectados pelo “descritor Booleano” AND, assim ficou 
a busca, GeoGebra AND Graphics Analysis. Considerando o período de 2012 a 2017 essa busca 
nos retornou 42 artigos. 
Na terceira busca nosso interesse foi de confrontar e perceber se existia interseção de 
publicações conforme os descritores. Nessa busca usamos os descritores associados, escritos 
em inglês e conectados pelo “descritor Booleano” AND. De acordo com a estrutura sugerida 
pela categoria para essa busca, GeoGebra AND Graphics Analysis AND Functions, no período 
de 2012 a 2017, obtivemos um retorno de 31 artigos. Muito embora ocorra, nesse caso, a 
interseção de alguns artigos entre as categorias GeoGebra AND Graphics Analysis com a 
categoria GeoGebra AND Graphics Analysis AND Functions, temos 10 artigos em destaque, 
sendo 08 artigos em comum e 02 novos artigos do total dessa categoria. 
Entre estas publicações de artigos tivemos os que interessaram do ponto de vista 
qualitativo para nosso objeto e para embasar nossas pesquisas. 
Outras buscas foram feitas em sites dos programas de Pós-Graduação que estudam e 
pesquisam com a plataforma GeoGebra. Além da busca por correio eletrônico divulgado por 
nós entre nossos pares tanto no Brasil quanto fora do País, em países como o Uruguai, na 
América latina e na Europa – por meio da Espanha – com colegas pesquisadores, 
desenvolvedores e divulgadores de ações com a plataforma GeoGebra. Fizemos estas buscas 
46 
 
com o objetivo de mapear os descritores sugeridos para nortear nossa pesquisa, de forma a 
contemplar o nosso objeto. Os artigos que apresentamos a seguir serviram de motivação para 
investigarmos nosso objeto de tese por nos apresentarem, tanto no conteúdo metodológico 
quanto na fundamentação teórica, um referencial indicativo para nós como exemplo. 
Como resultado de nossas pesquisas, para iniciarmos as considerações através das 
leituras que fizemos nos artigos, dissertações e teses, sinalizamos Saha, Ayub e Tarmizi (2010). 
Estes autores produziu um artigo para a Conferência Internacional de Pesquisas em Educação 
Matemática publicado na Science Direct sob o título “Os efeitos do GeoGebra na matemática: 
para aprendizagem de coordenadas geométricas”. Nesta pesquisa os autores usaram 
ferramentas tecnológicas, no caso a plataforma GeoGebra, com o objetivo de apoiar o ensino e 
aprendizagem de conteúdos matemáticos por visualização de imagens como diferencial. 
Saha, Ayub e Tarmizi (2010) ainda afirmaram que diversas pesquisas apontam para as 
novas tecnologias como principal motivador no aprendizado dos estudantes e que, tanto em sala 
de aula quanto fora, as tecnologias podem contribuir para o desejo de aprender e explorar 
conteúdos matemáticos favorecendo a compreensão de conceitos matemáticos. 
A pesquisa utilizou a plataforma GeoGebra para investigar os efeitos da utilização na 
aprendizagem de elementos das coordenadas geométricas no plano cartesiano. Os sujeitos dessa 
pesquisa foram estudantes do Ensino Médio que foram distribuídos em dois grupos: um usando 
a plataforma GeoGebra e o outro com o método lápis e papel. Como resultado esperado houve 
um bom desempenho dos estudantes no aprendizado de coordenadas geométricas através da 
plataforma GeoGebra. 
Em nossa investigação utilizamos um sistema de gestão de aprendizagem tecnológica, 
a plataforma GeoGebra como ambiente virtual de ensino associado à uma sequência de 
atividades com o objetivo de estudar a representação de elementos matemáticos que levam ao 
aprendizado na representação da visualização de gráficos da função polinomial com estudantes 
de Ensino Superior. Nossa proposta se desenvolveu através da plataforma GeoGebra por esta 
favorecer à visualização da construção para observação e análise dos dados apresentados na 
resolução do problema. 
Outra pesquisa que destacamos foi elaborada por Caligaris, Schivo e Romiti (2015) para 
tratar da parceria entre a aprendizagem da matemática básica como a utilização da plataforma 
GeoGebra. Caligaris, Schivo e Romiti (2015), no artigo intitulado Calculus & GeoGebra an 
interesting partnership, afirmam que a formação dos estudantes nos cursos de engenharia 
inicia-se no primeiro período com a proposta de apresentar elementos conceituais como 
47 
 
definições e teoremas que tratem da informação representada simbólica e visualmente. Com a 
plataforma GeoGebra a análise simbólica e visual torna-se possível devido à potencialidade de 
janelas de construções, favorecendo a análise das construções de conceitos matemáticos. Os 
sujeitos dessa pesquisa foram estudantes do ensino superior de uma instituição argentina. 
A parceria GeoGebra e o Cálculo não seria interessante apenas para apontar elementos 
e representações de conceitos matemáticos, mas sim para que os estudantes percebessem que 
podem alterar as variáveis envolvidas nas construções de modelos matemáticos. Este é um 
diferencial em nossa pesquisa, tornar ativa a visualização da construção de modelos 
matemáticos em que os estudantes analisem suas alterações por livre vontade e desejo. 
Em nossas buscas encontramos o artigo de Tall e Katz (2014) publicado na Revista 
Educational Studies in Mathematics sob o título “Uma análise cognitiva das concepções de 
função de Cauchy continuidade, limite e infinitesimal, com implicações para ensinar o 
cálculo”. Nesse trabalho, os autores fazem uma relação da influência da psicologia cognitiva 
na educação matemática para investigar as ideias de Cauchy de funções, continuidade e limites, 
como representações de conceitos matemáticos. 
Há a análise do desenvolvimento do pensamento a partir da percepção humana e nas 
ações em formas mais avançadas de raciocínio dadas como respostas nesta pesquisa. A 
pesquisa também destaca o poder conceitual da visão de Cauchy e a mudança fundamental 
envolvida no momento da variabilidade dinâmica do matemática básica para a moderna 
formulação teórica dos conjuntos. A análise matemática. Isto nos fez refletir sobre os princípios 
que usamos para investigar o desenvolvimento do pensamento matemático dos estudantes e 
dirigir esforços para entender a lógica de diferentes pontos de vista teóricos. 
Entendemos que as representações dos conceitos matemáticos permitem que façamos 
releituras e até mesmo buscas por bases filosóficas e epistemológicas para embasar nossa 
pesquisa. A psicologia histórico-cultural foi uma das bases para avançarmos nas discussões e 
sustentar nossa tese, porém o que nos chama atenção nessa pesquisa de Tall e Katz (2014) é a 
análise do desenvolvimento do pensamentoa partir das percepções humanas nas relações com 
a aprendizagem. 
Este é o nosso desejo: tratar o desenvolvimento do pensamento matemático dos 
estudantes nas etapas da sequência de atividades sustentadas por tarefas através da Resolução 
de Problemas e proporcionar o desenvolvimento matemático dos estudantes por meio de tarefas 
que os façam pensar matematicamente pelo fato de poderem alterar as variáveis conforme seus 
48 
 
desejos, necessidades e motivações próprias, ou em momentos de interações e colaborações 
com os colegas. 
A partir desse momento apresentaremos as estratégias de buscas que foram utilizadas 
para a fundamentação teórica e metodológica da nossa pesquisa. A estratégia de apresentação 
dos dados segue o formato: ano de publicação, objeto de pesquisa, público, referência e 
contribuições para nossa investigação. 
 Para filtrar nossas buscas usamos como parâmetros os dez últimos anos. Como 
destaque, no ano de 2012, obtivemos três artigos como retorno das buscas que consideramos 
algumas contribuições para nossa investigação. O trabalho com título O software GeoGebra na 
formação de docentes de matemática: uma visão a partir de dissertações e teses de autoria de 
Cyrino e Baldini (2012) aborda uma pesquisa voltada para docentes e apresenta potencialidades 
didático-pedagógicas da plataforma GeoGebra como auxílio na prática docente. 
O trabalho intitulado Possibilidades didático-pedagógicas do software GeoGebra no 
estudo de conceitos de Cálculo Diferencial e Integral: Perspectivas na formação continuada 
de professores de matemática (RICHIT, MISKULIN, 2012) está voltado para auxiliar os 
docentes e usa o ambiente virtual como espaço de discussão pedagógica envolvendo tecnologias 
e cálculo diferencial. 
O trabalho Esboço de gráficos nos ambientes papel, lápis e GeoGebra: funções afins e 
funções quadráticas (SANTOS, 2012) desenvolveu situações didáticas apresentando formas 
representativas para o ensino das funções sugeridas tendo como público estudantes do ensino 
superior 
Considerando as pesquisas partir do ano de 2013, obtivemos como retorno em nossas 
buscas os trabalhos a seguir: Explorando os conceitos iniciais da disciplina de cálculo 
diferencial e integral: utilizando a plataforma GeoGebra (ALVES, CORREIA, MELO, 2013), 
artigo que tem como público em destaque estudantes e docentes do ensino superior. 
Consideramos como contribuições que identificamos para nossa pesquisa a presença do uso da 
plataforma GeoGebra na disciplina de Cálculo direcionando as ações para a relação de ensino 
e aprendizagem. 
Em seguida, retornou o trabalho intitulado Cálculo diferencial e integral e tecnologias 
digitais: compreensões na direção da formação de docentes a partir da perspectiva 
conhecimento da prática (RICHIT, MISKULIN, 2013). O público ao qual as autoras 
direcionaram o trabalho foram à docentes, quem sabe pensando em uma mudança na prática 
49 
 
em sala de aula. Este trabalho tem a intenção de articulação das tecnologias com o ensinar e 
aprender elemento matemático no cálculo diferencial. 
Outro trabalho encontrado foi “Atividades Investigativas de Aplicações das Derivadas 
utilizando o software GeoGebra” (GONÇALVES, REIS, 2013) que teve como público 
estudantes do ensino superior. Neste trabalho, percebemos algumas contribuições elaboradas 
em atividades investigativas, estudo de publicações para serem trabalhadas em sala de aula. 
Uma das respostas que retornaram em nossas buscas foi o trabalho intitulado Utilização 
do software GeoGebra como auxílio no ensino de funções (SUGUIMOTO, 2013) que está 
direcionado para estudantes e docentes do ensino superior e aponta como relevante as atividades 
com funções e gráficos, mas não direciona a representação gráfica. 
O trabalho Utilização do software GeoGebra no estudo de pontos de máximo e pontos 
de mínimo de funções de uma variável (MORAES, 2013) está direcionado para estudantes do 
ensino superior e aborda a situação problema no desenvolvimento das ações valorizando apenas 
a construção sem se preocupar em analisar respostas. 
Cálculo no ensino médio: uma abordagem possível e necessária com auxílio do 
software GeoGebra (MOLON, 2013) foi uma dissertação desenvolvida para atender aos 
estudantes do ensino médio assumindo como premissa a abordagem de ideias intuitivas de 
limites de uma função. 
Cálculo Diferencial e Integral e Tecnologias Digitais: Perspectivas de Exploração no 
software GeoGebra (RICHIT, FARIAS, 2013) é um trabalho escrito para estudantes do ensino 
superior que apresenta ações de interação com a tecnologia e a representação matemática. 
No ano de 2014, obtivemos como respostas em nossas buscas, trabalhos como: 
Construindo o conceito de derivada por meio do software GeoGebra como estratégia 
de ensino e aprendizagem na educação superior (SARAIVA et al, 2014), trabalho escrito para 
estudantes do ensino superior que tem como proposta de ação educativa uma sequência de 
atividade construtivista em que o sujeito trabalha individualmente para apropriar-se do 
conhecimento. 
O trabalho Interação e Aprendizagem de conhecimentos sobre Derivadas em Espaços 
Virtuais (LOPES, SCHERER, 2014) prestigia os estudantes do ensino superior por meio de 
interações entre os aluno, os colegas e o docente. A proposta de interação foi estabelecida 
apenas entre a atividade e o estudante com o ambiente virtual, o docente não participa do 
desenvolvimento da atividade com os estudantes. 
50 
 
O trabalho “Um levantamento sobre pesquisas com o uso da plataforma GeoGebra no 
ensino das funções matemáticas” (AMARAL, FRANGO, 2014) foi desenvolvido para auxiliar 
os estudantes do ensino superior utilizando de aplicações com a plataforma GeoGebra e ensino 
de funções. 
Aprendizagem significativa da função afim com o auxílio da Plataforma GeoGebra: 
uma Proposta Didática (SOUZA, SOUSA, CRUZ, 2014), um trabalho que auxilia na 
aprendizagem para os estudantes do ensino médio e aborda a Teoria da Aprendizagem 
significativa. 
A dissertada intitulada Limite e continuidade: um enfoque acessível ao ensino médio 
com o auxílio do software GeoGebra (SILVA, 2014) auxilia os estudantes do ensino médio 
com a aplicação de uma sequência didática. 
Apresentamos agora algumas pesquisas que foram desenvolvidas no ano de 2015 e que 
nos serviram como referência: O uso do GeoGebra em aulas de matemática no ensino superior 
(SPILIMBERGO, PIVA, DORNELES, 2015) é artigo escrito para auxiliar estudantes na 
aprendizagem de conteúdos matemáticos no ensino superior. Vale destacar que esse trabalho 
nos auxiliou na escrita com o exemplo do uso da plataforma GeoGebra em aulas de cálculo. 
O artigo Cálculo no ensino médio: uma abordagem possível e necessária com o auxílio 
do software GeoGebra (MOLON, FIGUEIREDO, 2015) atende aos interesses dos estudantes 
do ensino médio. Contamos com a contribuição deste trabalho em atividades elaboradas para 
serem resolvidas na plataforma GeoGebra. 
A dissertação Ensino de derivadas em Cálculo I: aprendizagem a partir da visualização 
com o uso do GeoGebra (MARTINS JUNIOR, 2015) investigou o ensino de derivadas, por 
representação visual, para auxiliar a aprendizagem dos estudantes do ensino superior. Como 
proposta de contribuição para nossa tese, este trabalho auxiliou na aprendizagem e na 
visualização gráfica de construções dinâmicas. 
Estudando limites com o GeoGebra (JARDIM et al, 2015) foi um trabalho teve como 
proposta auxiliar os estudantes do ensino superior na aprendizagem do conteúdo matemáticos. 
Não contribui com os elementos da didática francesa, por não ser nosso objetivo tratar dessa 
tendência na matemática em nossa pesquisa. Estamos apenas citando mais um trabalho com a 
plataforma GeoGebra que encontramos em nossas buscas. 
O trabalho Modelagem matemática com a plataforma GeoGebra no ensino de Cálculo 
Diferencial e Integral (MAMED et al, 2015) foi elaborado para auxiliar os estudantesdo ensino 
superior na aprendizagem de conteúdos de Cálculo com atividades elaboradas na plataforma. 
51 
 
A contribuição dada neste trabalho propõe o estudo por meio da modelagem matemática, mas 
esperávamos a apresentação da construção de modelos com auxílio da plataforma GeoGebra. 
Uma proposta para o ensino de cálculo diferencial no ensino médio (CONCORDIDO, 
BARBOSA, GODINHO, 2015) é um trabalho que traz uma proposta até certo ponto ousada, 
pois elabora uma ação para o ensino de cálculo com estudantes do ensino médio. Como ponto 
de destaque podemos considerar a elaboração de atividades para serem resolvidas através da 
plataforma GeoGebra. 
Entre as respostas obtidas como retorno das buscas realizadas para o ano de 2016, 
obtivemos os seguintes trabalhos: GeoGebra no Ensino de Cálculo Diferencial e Integral I. 
(HELLMANN et al, 2016) propõe auxiliar na aprendizagem de conteúdos matemáticos com 
estudantes do ensino superior. Consideramos relevante este trabalho no que diz respeito ao 
desenvolvimento de atividades no uso da plataforma GeoGebra com conteúdo de limites e 
derivadas. 
GeoGebra: uma tendência no Ensino de Matemática (LEMKE, SILVEIRA, SIPLE, 
2016) é um trabalho que propõe ações voltadas para a formação docente e nos apresenta uma 
abordagem quantitativa de teses e dissertações. 
A análise dos erros dos alunos em Cálculo I como estratégia de ensino (CARVALHO, 
2016) é um trabalho auxilia estudantes do ensino superior e traz contribuições significativas 
considerando os erros como estratégia de ensino. 
A proposta desta investigação intitulada O uso do GeoGebra como ferramenta auxiliar 
para estudo da reta tangente a um gráfico foi ajudar os estudantes do ensino superior na 
aprendizagem de conteúdos matemáticos e que tem como contribuições o uso de ações 
trabalhadas através da plataforma GeoGebra, além da relação com o ensino de cálculo, 
derivadas, reta tangente, e gráfico. 
O transitar entre a matemática do matemático, a matemática da escola e a matemática 
do Geogebra: um estudo de como docentes de matemática lidam com as possibilidades e 
limitações do Geogebra (GONÇALVES, 2016) é uma tese de doutorado que prioriza as práticas 
docentes, mas que enfatiza algumas potencialidades e limitações da plataforma GeoGebra. Esta 
tese nos apresentou potencialidades e limitações que ainda não tínhamos acessado de forma a 
oferecer um suporte nestes dois pontos para nossa tese. 
A dissertação O Uso do software GeoGebra em Atividades Exploratórias de Ensino-
Aprendizagem no Cálculo Diferencial: uma Experiência com Acadêmicos de Licenciatura em 
Matemática da Unir Ji-Paraná (PANIZZI, 2016) apoia a aprendizagem de conteúdos 
52 
 
matemáticos para os estudantes do ensino superior além de contribuir com o desenvolvimento 
de atividades exploratórias. 
O trabalho O ensino e a aprendizagem de conceitos de cálculo usando modelos 
matemáticos e ferramentas tecnológicas (SILVA, JARDIM, CARIUS, 2016) auxilia os 
estudantes e docentes do ensino superior, dando ênfase no desafio da aprendizagem de 
conteúdos matemáticos. 
Para as pesquisas que retornaram no ano de 2017, obtivemos como respostas o retorno 
dos trabalhos: Proposta de tarefas para um estudo inicial de derivadas (FONSECA, 2017) é 
uma dissertação que teve como público os estudantes do ensino superior e traz como 
contribuição para nossas pesquisas a compreensão do conceito de derivadas. 
Noção de limite de funções reais e GeoGebra: um estudo em Epistemologia Genética 
(SILVA, 2017b) é um trabalho voltada para estudantes e docentes do ensino superior e traz 
contribuições para a formação de conceitos, o uso de metodologias para mudança na prática 
docente, bem como a inserção de teorias. 
O trabalho Conhecimento profissional de docentes de matemática e o conceito de 
função: uma revisão de literatura (PAZUCH, RIBEIRO, 2017) foi direcionado tendo como 
objetivo auxiliar os professores de matemática da educação básica nas aulas sobre o conceito 
de função. 
Apresentamos o panorama acima com o resultado das pesquisas que buscamos nos 
diversos meios como consulta para: identificar o tratamento inédito da nossa proposta de tese 
de doutorado; nos situarmos com o que existe de pesquisas nos últimos anos; entender em que 
vertente os resultados estão indicando como potencialidades e limitações e, principalmente, no 
que diz respeito a representação visual da função polinomial usando a plataforma GeoGebra. 
Nesse sentido, vamos destacamos os pontos apresentados nas pesquisas e enfatizamos 
no que pode contribuir com a nossa tese, além de apontar para novas possibilidades de trabalhos 
a serem desenvolvidos com este viés. 
Elencamos agora os principais aspectos encontrados nas pesquisas que tanto nos 
auxiliou quanto nos deu um direcionamento para sugerir o desenvolvimento de novos trabalhos 
científicos. Do ponto de vista de considerações e suporte para nossa pesquisa, entendemos que 
pontos como auxiliar aos docentes na questão da mudança na prática docente com a inserção 
de potencialidades didático-pedagógicas em um ambiente virtual de gestão de aprendizagem 
podem beneficiar a apropriação com o conhecimento. 
53 
 
Além disso, são importantes pontos como apontar aspectos da Teoria Histórico-Cultural 
ligados a funções psicológicas superiores tais como as ações de consciência, o pensamento 
abstrato, a memória lógica e o comportamento intencional. 
Vale ressaltar que associar as tecnologias para elaborar formas representativas que 
beneficiem o ensino de funções polinomiais potencializa a aprendizagem destes conceitos 
matemático e pode proporcionar uma motivação para os estudantes. 
A partir do que observamos nos trabalhos científicos analisados fica evidente a 
utilização da plataforma GeoGebra em atividades associadas ao ensino e aprendizagem, 
proposta de mudança na prática docente, articulação com os meios tecnológicos para o 
aprendizado de elementos matemáticos em atividades investigativas, mas nem sempre com o 
objetivo de ensinar a função polinomial através da resolução de problemas que é o nosso 
objetivo. 
Observamos nas buscas trabalhos científicos que foram desenvolvidos para o ensino de 
funções, mas não especificamente a função polinomial e nem tão pouco associado com o ensino 
através da resolução de problemas. Além disso, encontramos trabalhos científicos que propõem 
o ensino da função em geral por meio de atividades que estudam a representação de gráficos. 
2.5 A Plataforma GeoGebra: contribuições para a educação matemática 
GeoGebra é considerada uma plataforma que torna dinâmico o estudo de conceitos das 
áreas de Ciências Naturais e Matemática nos diversos níveis de ensino, tais como: Álgebra, 
Geometria, Trigonometria, Planilhas de Cálculo, Probabilidade, Estatística, dentre outras áreas 
de conhecimento correlatas. 
Segundo o International GeoGebra Institute, responsável por desenvolver e dar suporte 
ao software GeoGebra, atualmente a comunidade de usuários do aplicativo conta com milhares 
de pessoas acessando em diversos países do mundo. Essa plataforma possui uma comunidade 
de milhões de usuários na grande maioria dos países do mundo e virou uma das mais utilizadas 
no desenvolvimento da matemática dinâmica por auxiliar o processo de ensino e aprendizagem 
em Matemática, Engenharia, Ciência Naturais e Tecnologias. 
O estudioso Preiner (2008, p. 36) a plataforma GeoGebra foi desenvolvida “durante o 
trabalho de dissertação de mestrado de Markus Hohenwarter no ano de 2001 junto à 
Universidade de Salzburg, na Áustria”. O objetivo do docente foi desenvolver uma plataforma 
de fácil acesso, gratuito, fácil manuseio e ainda que possibilitasse aos estudantes tratar de forma 
54 
 
dinâmica e simultânea as representações algébricas e geométricas, voltando-se para os níveis 
escolares que denominamos de Educação Básica e Educação Superior. 
A Figura 04 traz a apresentação inicial da plataforma GeoGebraquando o usuário faz o 
acesso, após ter baixado no computador e instalado para dar início ao uso de seus comandos, 
ferramentas e janelas. 
 
Figura 4. Apresentação inicial da plataforma GeoGebra. 
 
Fonte. GeoGebra Classic 5.0. 
 
Apesar de o site International GeoGebra Institute ainda considerá-lo como um software 
e alguns ainda o denominam aplicativo, defendemos a ideia de que atualmente devemos 
considerar como uma Plataforma de Gestão de Aprendizagem. Isso porque entendemos que 
assume as características para tal categoria como, por exemplo, de um Sistema de Gestão de 
Aprendizagem que disponibiliza de uma série de recursos, síncronos e assíncronos que dão 
suporte ao processo de aprendizagem, permitindo seu planejamento e avaliação. 
Consideramos o GeoGebra não simplesmente como um software ou aplicativo, 
defendemos a tese de que estamos diante de um Sistema de Gestão de Aprendizagem e Ensino 
por entendermos que suas potencialidades atuais caracterizam e a classificam como tal. 
Aqui temos um exemplo de plataforma de gestão de ensino e aprendizagem: “A 
plataforma MOODLE é um ambiente de virtual de aprendizagem em regime de código aberto” 
(LOPES, GOMES, 2007, p. 817), característica presente na plataforma GeoGebra que associa 
a outras além desta citada. 
55 
 
Pesquisadores como Lopes e Gomes (2007) apresentam características da plataforma 
Moodle a denominando como sistema de gestão de aprendizagem afirmando: “à semelhança da 
generalidade dos Learning Management Systems, a MOODLE, inclui um conjunto de funcionalidades 
que podemos sistematizar em quatro dimensões básicas” (LOPES, GOMES, p. 817, 2007). 
 
Estes pesquisadores trazem como dimensões básicas da plataforma a “disponibilização 
de conteúdos e de exercícios e avaliações, permitindo ao professor disponibilizar online 
conteúdos em diversos formatos, e definir os momentos e formas de acesso dos alunos a esses 
mesmos conteúdos” (LOPES, GOMES, p. 817, 2007). Em se tratando da Plataforma GeoGebra, 
em um de seus ambientes podemos trabalhar com estas dimensões proporcionando um impacto 
relevante para a aprendizagem através desta plataforma. 
Seguindo as dimensões básicas propostas pelos pesquisadores Lopes e Gomes (2007, p. 
817) destacamos as “ferramentas e serviços de comunicação, quer de natureza síncrona como 
o bate-papo quer de natureza assíncrona como os fóruns, permitindo assim estabelecer formas 
de comunicação a distância entre os professores e alunos e entre eles”. A plataforma GeoGebra 
permite dentre as associações uma interligação com outros ambientes como o Google salas, ou 
ainda, criarmos salas e grupos para estudos, permitindo que possamos estabelecer discussões 
sobre a resolução dos problemas. Estes ambientes podem ser aplicados tanto presencialmente 
quanto a distância, favorecendo a aprendizagem. 
Ante as dimensões básicas podemos destacar o: “acesso protegido e gestão de perfis de 
utilizador, o que permite criar um ambiente de acesso limitado aos alunos e professores de um 
determinado curso ou disciplina e definindo diferentes tipos de controle do sistema” (LOPES, 
GOMES, p. 817, 2007). No ambiente da plataforma GeoGebra podemos promover a elaboração 
de atividades nas quais os estudantes possam resolver em determinado período preestabelecido 
sendo avaliados por suas construções dinâmicas e suas respostas. 
Por fim, a dimensão básica apontada por Lopes e Gomes (2007, p. 817), no que diz 
respeito ao controle das atividades, caracteriza o Moodle como “sistema de controle de 
atividades, permite o registro de todas as atividades realizadas pelos alunos e professores”. 
Podemos destacar mais uma dimensão possível de ser atendida pela plataforma GeoGebra. 
Sendo assim, consideramos ser pertinente usar a plataforma GeoGebra como meio que 
apresenta estes recursos que auxiliam no processo de ensino e aprendizagem, assim como 
possibilita o planejamento de problemas e tarefas para serem aplicadas nesse ambiente virtual 
de aprendizagem. Desse modo, o GeoGebra deixa de ser simplesmente um software para ser 
56 
 
considerado uma plataforma de gestão de aprendizagem por ter subsídios que contemplam as 
categorias descritas. 
GeoGebra é uma plataforma gratuita e que auxilia no ensino de conteúdo nas diversas 
áreas das ciências exatas e da matemática; desperta cada vez mais interesse de docentes dos 
diversos níveis de ensino e das mais diferentes áreas de conhecimento devido à sua ampla 
utilização; é simples e de fácil manuseio, fato que possibilita o acesso dos estudantes, além de 
possuir amplos recursos que possibilitam o desenvolvimento de estruturas de objetos de 
aprendizagem simples e de alta complexidade (ALBERTO, COSTA, CARVALHO, 2010). É 
possível utilizá-la por manipulação dinâmica das variáveis, programação em linha, desenho de 
estruturas geométricas e planilhas, vez que oferece uma estrutura gráfica que permite visualizar 
construções e gráficos em duas e três dimensões. 
Vale ressaltar que, na plataforma GeoGebra, as áreas de Geometria, Álgebra e Planilhas 
de Cálculo se apresentam interconectadas e com construções completamente dinâmicas. Essa 
plataforma conta com uma interface simples, de fácil manuseio e que disponibiliza um conjunto 
de ferramentas que potencializam sua utilização, além de disponibilizar ferramentas de 
desenvolvimento para a construção e visualização dinâmica de materiais didáticos, promovendo 
ações educativas que dão sentido e significado à aprendizagem. Por fim, essa plataforma está 
disponível nos diversos idiomas, podendo ser usada no mundo inteiro e instalada gratuitamente 
em Linux, Windows, iOS, Android, Mac e Chromebook. 
A Figura 5 a seguir apresenta a página principal da Plataforma GeoGebra no formato 
on-line, sendo assim o usuário pode acessar os materiais, as construções dinâmicas e ter acesso 
aos formatos de baixar e instalar a plataforma em suas diferentes modalidades. Ainda é possível 
utilizar o recurso de busca de diversos materiais produzidos por membros da comunidade 
GeoGebra nas diversas cidades e países do mundo. 
57 
 
Figura 5. Página inicial da plataforma GeoGebra on-line. 
 
Fonte. https://www.GeoGebra.org/ 
Tanto na versão on-line quanto na off-line a plataforma GeoGebra apresenta as janelas 
de álgebra e janela de visualização em duas e em três dimensões, bem como a janela de entrada 
de dados. O campo de entrada é a porta de acesso dos dados que serão representados de forma 
algébrica e visualizados na janela de duas e três dimensões. 
Na figura que segue temos a representação das janelas CAS e da janela de álgebra para 
a modalidade de GeoGebra gráficos na versão 6.0. 
Figura 6. Página GeoGebra Gráfica. 
 
Fonte. geogebra.org/graphing 
A tela acima apresenta o ambiente para o desenvolvimento das tarefas com o auxílio da 
plataforma GeoGebra, neste o estudante insere as variáveis e cria os controles deslizantes que 
potencializam a visualização dinâmica da construção. 
A plataforma GeoGebra foi apresentada ao público no início do ano de 2002 quando 
estudantes e docentes passaram a utilizar nas universidades. Como essa plataforma teve uma 
58 
 
aparente aceitação na Europa, o docente Markus recebeu apoio e continuou suas pesquisas no 
doutorado, investigando as implicações da plataforma no desenvolvimento de representações 
matemática de forma dinâmica. Dessa forma, a plataforma continuou a ser desenvolvida e as 
ações serem laureadas com outros 14 prêmios internacionais e, com esse avanço, obteve apoio 
financeiro de Fundações Científicas a apoio de diferentes Instituições Educacionais em vários 
continentes 
Inicialmente, a plataforma estava somente sob uma licença de código livre e gratuito, 
permitindo e motivando pesquisadores e profissionais especializados em diversas áreas a 
contribuir com o autor original. Atualmente, é uma Plataforma de Código Aberto, disponível 
gratuitamente para usuários não comerciais. 
Desdeo ano de 2003, devido ao trabalho de vários voluntários, a plataforma é 
disponibilizada em diversos idiomas, atualmente são 68 opções de idiomas que alcançam 
usuários de pelo menos 190 países. A princípio, era escrito somente em linguagem de 
programação código Java7, permitindo utilizá-lo em navegadores de Internet e instalá-lo em 
diferentes sistemas operacionais de computadores pessoais. Com o desenvolvimento dos 
dispositivos móveis, uma versão em código HTML5 foi implementada e agora pode ser usado, 
também em celulares e tablets. 
Outras plataformas, geralmente classificadas como de Geometria Dinâmica, permitem 
apenas criarmos objetos e representações a partir de processos e ferramentas que simulam 
construções com régua e compasso e, em alguns casos, apresentam a visualização da 
representação algébrica correspondente. Na plataforma GeoGebra além destas possibilidades, 
o usuário pode criar e modificar objetos através da interação direta sobre ambas. Também é 
possível criarmos e interagirmos a partir de entradas na forma de comandos que são 
desenvolvidos com aproximações de sua sintaxe com a notação matemática usual aos ambientes 
científicos e escolares. 
Na plataforma GeoGebra também é possível criarmos intricados textos matemáticos por 
meio do uso da linguagem Látex. Por intermédio do teclado, mouse ou toque direto sobre a tela 
do computador qualquer modificação efetuada pelo usuário resulta em modificação simultânea 
a todas as representações correspondentes. 
No tocante às áreas de conhecimento matemático, a plataforma GeoGebra reúne 
funcionalidades específicas para: geometria bi e tridimensional; álgebra elementar e linear; 
gráficos cartesianos, polares e isométricos; probabilidade; estatística e matemática financeira, 
em um único ambiente virtual integrando todas as representações por meio de seis interfaces 
59 
 
visuais, duas janelas de visualização 2D, uma janela de visualização 3D, uma janela de 
visualização das representações algébricas, uma janela com planilha eletrônica e uma janela 
para cálculos simbólicos, a janela CAS. Todas as janelas e elementos são customizáveis, 
podendo-se modificar a aparência e omitir ou exibir qualquer um deles. 
No final de 2007, os desenvolvedores da plataforma GeoGebra criaram uma 
organização não governamental, o International GeoGebra Institute (IGI) que se constitui em 
um sítio da internet que a distribui gratuitamente, além de ter formalizado uma equipe 
diretamente responsável em fornecer atualizações, material instrucional e suporte técnico. Este 
sítio fornece espaços para a formação e desenvolvimento de comunidades virtuais na forma de 
fóruns de discussão e grupos de produção colaborativa. Todas as produções feitas na plataforma 
GeoGebra podem ser postadas em um repositório de mídias digitais (Endereço eletrônico: 
geogebratube.org) que atualmente conta com mais de 450 mil materiais, crescendo a cada 
instante. 
Estes materiais, geralmente envolvem construções dinâmicas que permitem interação 
imediata, cópia e reuso direto em outros sites, blogs ou ambientes virtuais de ensino. A partir 
de cada material, pode-se acessar o perfil do autor e verificar que muitos usuários são de 
diversas nacionalidades, profissões e interesses. 
A quantidade e diversidade de perfis é um fator para justificar a versatilidade da 
plataforma GeoGebra. O fórum de discussões virtuais mantido pelo IGI possui mais de 40 mil 
membros que se dividem em 27 idiomas com mais de 120 mil publicações distribuídas em mais 
de 27 mil itens. Atualmente, o IGI é composto de uma rede de 41 Institutos GeoGebra, onde 
cada Instituto está ligado a uma instituição de ensino que, em sua maioria, estão instalados em 
universidades. 
Vale ressaltar que existem potencialidades e limitações que a plataforma GeoGebra 
permeia nas diversas áreas da matemática como, por exemplo: geometria e álgebra, dessa forma 
deu origem ao nome desta plataforma, além das áreas, estatística, probabilidade, planilhas de 
cálculos, assim como construções de gráficos. Podendo destacar a aplicação nas Ciências 
Naturais, bem como nas áreas de Exatas e Engenharias. Ainda podemos destacar a 
potencialidade que favorece a prática docente associada à resolução de atividades nesse sistema 
de gestão de aprendizagem. 
Sistema de gestão de aprendizagem é denominado de plataforma digital ou sistema de 
gerenciamento de cursos. Um sistema pautado neste conceito dispõe de uma série de recursos, 
síncronos e assíncronos, que proporcionam suporte no processo de aprendizagem, permitindo 
60 
 
seu planejamento, implementação e avaliação. Sendo a plataforma livre e que ocupa pouca 
memória, pode ser instalada em qualquer smartfone favorecendo o uso em qualquer ambiente, 
mesmo sem acesso à rede de internet. 
É oportuno destacar algumas potencialidades da plataforma GeoGebra por partes. 
Considerando a área de álgebra, podemos trabalhar os diversos conteúdos potencializando-os 
com a elaboração de atividades a serem executadas nessa plataforma. Conteúdos como 
equações, inequações, polinômios, sistemas de equações lineares, números complexos, 
parametrização de funções, funções polinomiais de grau “n”, funções exponenciais, tanto a 
solução algébrica quanto a representação visual gráfica, em duas e em três dimensões, quanto 
a representação em tabelas e até mesmo a representação verbal. 
A resposta a esses conteúdos acima citados pode ser apresentada na plataforma 
GeoGebra nas janelas de visualização 2D, na janela de visualização 3D e ainda na janela CAS, 
todos na versão Classic 5.0. A janela CAS permite representar tanto cálculos simbólicos quanto 
aproximações numéricas. 
A Figura 7 a seguir apresenta a resolução numérica de uma equação por meio da janela 
CAS, onde a solução está representada entre chaves, conforme a linguagem matemática de 
representação. 
Figura 7. Resolução de uma equação. 
 
Fonte. Elaborada pelo autor. 
No exemplo apresentado acima temos a representação visual da solução da equação para 
a variável x. Essa representação na janela CAS potencializa, na dimensão algébrica, a busca por 
soluções de equações e inequações e a aprendizagem desses conhecimentos. 
61 
 
Figura 8. Representação visual de funções polinomiais. 
 
Fonte. Construção elaborada pelo autor. 
Nessa representação visual temos a construção da função polinomial de primeiro e 
segundo graus, no intervalo definido para valores de x que variam entre -3 e 2, esse valor foi 
selecionado por acaso, apenas para ilustrar a construção. Nesse exemplo, potencializamos a 
utilização dos controles deslizantes proporcionando a dinâmica na visualização da construção. 
A seguir apresentamos um exemplo onde temos a utilização de várias janelas da 
plataforma GeoGebra favorecendo a compreensão nos ambientes de álgebra e visualizações em 
duas e três dimensões. 
Figura 9. Representação paramétrica de uma função. 
 
Fonte. Visualização elaborada pelo autor. 
No contexto da representação acima temos a visualização da parametrização de uma 
função composta duas funções trigonométricas, seno e cosseno. 
62 
 
A área da geometria pode ser potencializada com o uso da plataforma GeoGebra 
elementos da base como a representação do ponto seguida da representação da reta e suas 
derivações, seguimento de reta e uma representação de semirreta. 
Com o comando “função a mão livre”, por exemplo, podemos desenhar uma função ou 
um objeto geométrico. Esse comando permite traçarmos uma catenária, curva de uma ponte, 
apenas com a habilidade de desenhar, como resposta a plataforma nos apresenta tanto a 
representação visual gráfica quanto a representação algébrica. 
Temos as opções de construção de representações geométricas de retas paralelas, retas 
perpendiculares, retas tangentes, retas polares ou diametrais e retas de regressão linear. 
Cabe-nos ressaltar que, simultaneamente, as representações algébricas e geométricas 
são representadasnas respectivas janelas de álgebra e nas janelas de visualização de duas e três 
dimensões, 2D e 3D. Em vista disso entendemos uma potencialidade da plataforma GeoGebra 
a visualização das representações permitindo que os estudantes socializem suas concepções 
referentes ao conteúdo proporcionando a apropriação do conhecimento, desde que eles estejam 
visualizando a mesma construção. 
Com o exemplo a seguir, na figura abaixo, temos a construção de sólidos de revolução 
admitindo uma aplicação para funções trigonométricas, seno e cosseno associadas um a 
parâmetro qualquer. Dessa forma, a construção é direcionada na sua construção tanto por esse 
parâmetro quanto pelo eixo central de visualização, podendo ser y ou x ou z. 
Figura 10. Visualização 3D – Sólido de Revolução. 
 
Fonte. Construção elaborada pelo autor. 
Nesse exemplo relacionamos as funções trigonométricas associadas a um parâmetro 
qualquer e ainda com o ângulo de visualização variando de 0 a 360 graus. Na representação, 
podemos visualizar na janela de álgebra os valores assumidos nos controles deslizantes a e b; 
63 
 
temos a função parametrizada com as trigonométricas seno e cosseno variando de a para b. Na 
janela de visualização, temos a curva parametrizada e a representação dos controles deslizantes 
e, finalmente, temos a janela de visualização em 3D, com a representação visual da construção 
dinâmica de um sólido de revolução. 
Avançando com as potencialidade da plataforma GeoGebra na geometria e seus 
elementos conceituais destacamos ainda conceitos como mediatriz, bissetriz, lugar geométrico, 
caminho poligonal, vetores, interseção de dois objetos, ponto médio, centro, números 
complexos, otimização, raízes de gráficos, linha poligonal, polígonos, polígonos regulares, 
círculo, compasso, semicírculo, arco circular, setor circular, elipse, hipérbole, parábola, ângulo, 
distância, comprimento, perímetro, área, inclinação, reflexão em relação a uma reta, reflexão 
em relação a um ponto, inversão, rotação em torno de um ponto, translação por um vetor e 
homotetia. Todos esses conteúdos podem ser trabalhados pela metodologia de ensino através 
da Resolução de Problemas associados a uma atividade com o objetivo de favorecer a 
apropriação do conhecimento. 
Com a intenção de apresentarmos potencialidades da plataforma GeoGebra na área da 
geometria temos que ressaltar alguns comandos que são destacados apenas na janela de 
visualização de três dimensões, 3D. Comandos como interseção de duas superfícies que é um 
comando que constrói a curva de interseção de duas superfícies quando abordamos o conteúdo 
parametrização de funções em relação aos eixos, x, y e z. Seguindo os comandos da janela de 
visualização 3D, temos a representação do plano, de um plano definido por três retas, plano 
perpendicular, plano paralelo. 
Figura 11. Parametrização de curvas. 
 
Fonte. Instituto Goiano do GeoGebra. 
Podemos ainda representar as construções em três dimensões e estudar os elementos 
matemáticos algébricos e geométricos, simultaneamente das pirâmides, dos prismas, cone, 
64 
 
cilindro, fazer extrusão para pirâmide ou cone, extrusão para prisma ou cilindro, tetraedro, cubo, 
planificação e esfera. 
Dentre as potencialidades que apresentamos entendemos que a principal característica 
que a plataforma GeoGebra proporciona na aprendizagem é, a nosso ver, a visualização das 
construções nas diversas janelas, bem como representações simultâneas de conteúdos na 
álgebra e geometria e a possibilidade de visualização em duas e três dimensões. 
Nóbriga (2015) aborda algumas limitações e dificuldades operacionais da plataforma 
GeoGebra no que diz respeito ao ambiente de texto. Segundo este pesquisador, “apesar de ser 
uma ferramenta poderosa para edição de texto em alta qualidade, tal recurso não é intuitivo e 
exige do usuário conhecimentos de comandos necessários para especificar a estrutura lógica do 
texto” (NÓBRIGA, 2015, p. 87). 
Nesse sentido, o usuário precisa ter conhecimento sobre o uso da linguagem Látex, outro 
editor de texto, que limita a utilização desse comando e ferramenta. Segundo o site Vidageek 
(2020) temos que Látex é uma linguagem de marcação de texto, isto é, uma sintaxe na qual 
você escreve textos já com as indicações de layout, como deve aparecer na página final. Esta 
linguagem nos possibilita, na prática, escrevermos fórmulas algébricas, gráficos e símbolos, tal 
qual visualização nos livros que favorece a representação no texto em outros formatos como o 
word. 
Gonçalves (2016) traz uma discussão sobre algumas limitações da plataforma GeoGebra 
com relação aos aspectos computacionais e históricos do desenvolvimento. Essa tese de 
doutorado trabalha a matemática do matemático e relaciona com matemática da plataforma 
GeoGebra. Em suas pesquisas, o autor aponta a limitação no uso da quantidade de casas 
decimais como sendo um fator de divergência na resposta quando do estudo na interseção entre 
funções representadas nas janelas de visualização e janela CAS dessa plataforma. Nestes casos, 
ocorrerá uma divergência na apresentação dos resultados. Na janela CAS retorna uma resposta 
diferente do apresentado na janela de visualização. Vamos ilustrar e exemplificar com a figura 
abaixo. Esta limitação está representada na figura a seguir. 
65 
 
Figura 12. Janela CAS, de álgebra e de visualização da Plataforma GeoGebra. 
 
Fonte. Plataforma GeoGebra. 
A figura acima representa uma das limitações da plataforma GeoGebra no momento de 
representar a interseção entre duas funções ocorre a divergência. Na janela CAS retorna como 
resposta que não há interseção entre as funções “f” e “g”. A resposta que visualizamos na janela 
de álgebra, o ponto “B” identificado por indefinido, porém na mesma janela de álgebra 
apresenta-se o ponto “A = (0,1) ” como interseção das funções “f” e “g”, bem como a 
representação gráfica contendo a interseção entre as funções está representada na janela de 
visualização. 
Temos ainda que considerar as potencialidades e ferramentas disponibilizadas pela 
plataforma GeoGebra que exploramos na resolução dos problemas em nossa tese. A priori, 
vamos dar ênfase ao artefato controle deslizante que é uma das principais ferramentas a nossa 
ver, por potencializar o dinamismo nas construções possibilitando alterarmos os valores das 
variáveis. Outra potencialidade da plataforma GeoGebra que foi fundamental para o 
desenvolvimento dos problemas da nossa tese foi a possibilidade de trabalharmos com mais de 
uma janela no momento da visualização e resolução do problema. 
O fato de podermos buscar elementos, materiais dinâmicos que são os vídeos curtos, 
exemplos de construções, que permitem a análise por meio do comando “protocolo de 
construção” disponível na plataforma também foi um diferencial se compararmos com outras 
ferramentas. Esse comando “protocolo de construção” permite seguir o passo a passo da 
construção que elaboramos ou, até mesmo, entender como uma construção foi elaborada para 
que possamos analisar e efetuar um novo modelo a partir do que foi visualizado. 
66 
 
Figura 13. Exibir protocolo de construção. 
 
Fonte. Plataforma GeoGebra. 
Com relação às limitações podemos destacar que são as de infraestrutura, dos 
laboratórios de matemática ou informática, sem acesso à internet ou até mesmo aos 
computadores. Isso ocorre tanto nas escolas de educação básica quanto em algumas instituições 
de ensino superior. 
O impacto relevante proporcionado pela plataforma GeoGebra em nossa pesquisa se dá 
pela possibilidade de favorecer o desenvolvimento na aprendizagem da função polinomial por 
meio da resolução de problemas. Estes problemas foram elaborados considerando informações 
sociais e culturais dos estudantes, bem como, valorizando os aspectos das funções psicológicas 
superiores adotadas por Vigostki na Teoria Histórico-Cultural. 
Vale salientar que a importância dada à aprendizagemda função polinomial, associando 
o conteúdo matemático com a tecnologia educacional, a plataforma GeoGebra, propiciou uma 
apropriação do conhecimento para o estudante. 
Dessa forma, se faz necessário a investigação para promover a aprendizagem de 
conteúdos matemáticos, como a função polinomial, através de propostas desenvolvidas em 
ambientes de aprendizagem que apresente um impacto relevante em sala de aula. Sendo assim, 
entendemos que a aprendizagem pode ser validada quando utilizamos da associação do 
67 
 
conteúdo com a tecnologia educacional por meio de uma proposta interativa em que a 
ferramenta apresente um impacto relevante. 
Identificamos algumas contribuições que a plataforma GeoGebra proporcionou no 
processo de aprendizagem do conteúdo função polinomial. Dentre elas, destacamos as 
representações da solução nas janelas de álgebra, de visualização em duas e em três dimensões. 
Estas foram, portanto, algumas das contribuições que a plataforma GeoGebra apoiou nossa tese. 
 
 
 
 
68 
 
3. ELEMENTOS METODOLÓGICOS 
O desenho metodológico estabelecido em nossa tese baseou-se nos requisitos do campo 
de estudos da Resolução de Problemas proposta pelo GTERP com o propósito de favorecer o 
processo de ensino e aprendizagem da representação visual gráfica da função polinomial para 
apropriação desse conhecimento. Este propósito foi estabelecido por meio da metodologia de 
ensino através da Resolução de Problemas, utilizando-se das construções dinâmicas elaboradas 
na plataforma GeoGebra. 
Com a intenção de elaborarmos um arcabouço para nossa pesquisa selecionamos a 
Teoria Histórico-Cultural associada à metodologia de ensino através da Resolução de 
Problemas. 
Ante esse fato planejamos nossa proposta metodológica com o objetivo de atender a 
esses anseios. Os elementos da Teoria Histórico-Cultural que serviram de base em nossa tese 
são fundamentados nas funções psicológicas superiores adotadas por Vigostki. 
O objeto proposto por nossa tese é o ensino pela representação visual e gráfica da função 
polinomial por meio das construções dinâmicas elaboradas na plataforma GeoGebra em 
questões abertas solucionadas através da Resolução de Problemas. 
Os sujeitos que participaram da pesquisa foram estudantes matriculados na disciplina 
de Matemática Básica do Curso Licenciatura em Matemática da Universidade Federal do Rio 
Grande do Norte (UFRN). Estes estudantes participaram de forma voluntária. 
O coordenador do curso encaminhou um formulário eletrônico para que os estudantes 
pudessem se inscrever e participar da pesquisa. Os participantes foram distribuídos em duplas 
para que pudéssemos ter momentos de interações na resolução dos problemas. Essa escolha 
possibilitou que tivéssemos dados suficientes para análise do que pretendíamos observar em 
nossa proposta, haja visto que filmamos e gravamos as etapas do desenvolvimento dos 
problemas. 
Vale lembrar que os estudantes investigados nessa pesquisa estavam matriculados em 
diversos períodos do curso de Licenciatura em Matemática, desde o primeiro período. Um perfil 
que destacamos diz respeito à origem dos estudantes investigados, tínhamos na oportunidade 
estudantes da capital, do interior do estado e de outros estados, inclusive. O perfil 
socioeconômico desses estudantes era bastante heterogêneo, desde filhos de agricultores, 
estudantes bolsistas e que dependiam exclusivamente dessa oportunidade financeira para 
continuar cursando. Os sujeitos participaram voluntariamente da pesquisa por meio de um curso 
69 
 
desenvolvido em três etapas com duas horas de duração em cada momento, totalizando seis 
horas. 
Como podemos constatar, sempre que algum artefato é inserido para servir de 
ferramenta em situações de ensino e aprendizagem é através de cursos ou instruções que se 
introduz seu uso. Adiante falaremos sobre os detalhes do curso que foi ministrado para que os 
estudantes tivessem acesso à plataforma GeoGebra, nosso ambiente virtual de gestão de 
aprendizagem. 
O desenvolvimento da atividade iniciou com a elaboração de uma sequência de tarefas 
e problemas para que os estudantes resolvessem em grupos e com a colaboração do docente, 
caracterizando o trabalho coletivo. Com isso, iniciamos a descrição do nosso desenho 
metodológico, pela prática docente. 
Neste momento, apresentamos o desenvolvimento da prática docente sobre a prática 
pedagógica a partir da análise dos dados construídos na pesquisa. Nesse sentido, apontamos 
alguns aspectos considerados mais relevantes das concepções que adotamos e que investigamos 
em nossa pesquisa, com o objetivo de socializar uma prática docente participativa, colaborativa, 
interativa e investigativa. 
Partindo desse princípio, utilizamos as respostas apresentadas nas transcrições da 
construção dos dados apreciados nessa pesquisa que apontam para uma forma investigativa, 
interativa e participativa de desenvolver a atividade em sala de aula. 
Considerando como requisito da teoria histórico-cultural, por entendermos ser 
pertinente em nossa tese, a prática docente foi contemplada sob a perspectiva participativa, 
colaborativa e interativa no momento da vivência das questões. Esta prática docente teve como 
destaque proporcionar os debates sobre as concepções apresentadas pelos estudantes. As 
perspectivas citadas tiveram destaque na relação com as funções psicológicas superiores como 
já destacamos anteriormente: as ações de consciência, o pensamento algébrico, a memória 
lógica, bem como o comportamento intencional. Sendo as funções psicológicas superiores 
identificadas tanto nas filmagens no momento da resolução dos problemas quanto nas etapas 
de resolução, das observação e discussões, na escrita das respostas no quadro na busca do 
consenso e, finalmente, na formalização do conteúdo. 
Assim sendo, elaboramos os problemas que permitam a discussão entre os estudantes 
com o objetivo de chegar às soluções por meio de troca de experiências com o docente para 
juntos se apropriarem do conhecimento. 
70 
 
Diante desse panorama, vamos sinalizar para o nosso objeto de pesquisa que é analisar 
o ensino da representação visual no gráfico da função polinomial para estudantes universitários. 
O interesse por investigar este objeto surgiu tanto da nossa experiência como docente no ensino 
superior quanto para entender um dos fatores de reprovações dos estudantes na disciplina, a 
qual este conteúdo matemático é abordado. 
Partindo dessa premissa, consideramos a necessidade de investigar as potencialidades 
da plataforma GeoGebra de forma que promova a apropriação do conhecimento por parte dos 
estudantes. Esta proposta foi desenvolvida para ser tratada por meio da metodologia de ensino 
através da Resolução de Problemas, em questões abertas e que permitam a busca pela solução 
de forma participativa, colaborativa e interativa. 
 As respostas apontadas pelos estudantes nas atividades, tanto escritas quanto nas 
transcrições de áudio e vídeo, foram analisadas e serão publicadas em artigos e eventos 
acadêmicos. 
Com o propósito de dar respostas às questões de investigação, no que diz respeito a 
análise dos dados construídos, fizemos uma descrição dos aspectos que emergiram das 
respostas. As respostas dadas às atividades foram validadas por meio da análise sistematizada 
de categorias pré-estabelecidas e daquelas que emergiram no momento da organização dos 
dados. 
Essa pesquisa foi classificada como qualitativa exploratória por entendermos que 
estamos formalizando dados que fazem avançar o ensino da representação visual da função 
polinomial. Analisamos os registros apresentados pelos estudantes para a compreensão do 
conceito dessa função a partir do incentivo na visualização e construção das representações 
matemáticas e de uma prática de ensino com a plataforma GeoGebra baseada na Teoria 
Histórico-Cultural e na metodologia de ensino através da Resolução de Problemas. 
O cursoproposto foi realizado em um ambiente virtual de aprendizagem em que os 
estudantes resolveram os problemas em grupos, de acordo com as tarefas sugeridas. A seguir, 
vamos destacar os módulos do curso. 
O primeiro módulo serviu para apresentar aos estudantes no ambiente virtual de ensino, 
a plataforma GeoGebra. Nesse momento, abordamos elementos do conteúdo matemático com 
ilustrações, vídeos curtos e construções com possibilidades de interação relacionadas como o 
objeto de nossa tese, o ensino da representação visual gráfica da função polinomial. Em seguida, 
foi exibido um problema para que os estudantes, em grupos, fizessem suas construções e 
registrassem as dificuldades encontradas na resolução do problema. Nessa etapa os estudantes 
71 
 
apenas tiveram contato com o docente com participação, devolvendo novos questionamentos 
com o objetivo de aproximar o conhecimento do estudante. 
No segundo módulo tivemos a formação de seis grupos de até dois estudantes com a 
participação do docente, mesmo que de forma discreta, com o objetivo de que ocorresse a 
interação e a colaboração do conhecimento a ser apropriado pelo estudante. O problema foi 
elaborado a partir de uma sequência gradativa em que o docente pudesse perceber como estava 
sendo promovida a aproximação dos estudantes com o objeto nossa da tese. As tarefas e 
problemas serão apresentados adiante. 
Vale salientar que tomamos por base o interesse em aplicar o conhecimento matemático 
para que os estudantes pudessem ressignificar, sendo para alguns um novo e para outros a 
fixação do conhecimento. 
No terceiro módulo os estudantes resolveram o problema proposto, que será apresentado 
mais adiante, em grupo tanto na plataforma GeoGebra quanto no instrumento proposto. Eles 
fizeram uma análise do problema e se expressaram na forma escrita em um instrumento 
elaborado para este fim. Este instrumento teve como objetivo registrar os resultados das 
respostas desenvolvidas pelos estudantes para compor nossa construção dos dados. 
A seguir apresentamos os passos que definimos para o planejamento das tarefas e 
problemas que foram aplicados na pesquisa. A atividade foi composta de problemas que foram 
executados por estudantes do ensino superior matriculados na disciplina de Matemática Básica 
que teve como pré-requisito o aprendizado do conceito da função polinomial. 
A atividade foi formada por três etapas. Na primeira etapa, os estudantes tiveram uma 
introdução ao uso da plataforma GeoGebra em que foram apresentadas construções voltadas 
para o conteúdo sugerido para o desenvolvimento de nossa tese de doutorado. Nesse momento 
apresentamos diversas construções assim como vídeos curtos que são materiais produzidos por 
meio da plataforma GeoGebra. Vale ressaltar que as construções apresentadas, depositadas no 
acervo digital de materiais didáticos no site oficial do GeoGebra1, serviram de referências para 
os estudantes relacionarem com os problemas propostos. Além disso, os vídeos curtos 
apresentados, no site oficial citado, serviram de referências para os estudantes relacionarem 
com os problemas propostos. Os vídeos curtos que fazem parte dos materiais didáticos e 
dinâmicos da plataforma GeoGebra despertaram nos estudantes a curiosidade e o interesse em 
aprender com esta ferramenta. 
 
1 https://www.geogebra.org/materials 
https://www.geogebra.org/materials
72 
 
Na segunda etapa da pesquisa, iniciamos a aplicação dos problemas com os estudantes. 
Nesse, assim como em todos os momentos, os estudantes trabalharam tanto individualmente 
quanto em grupos para que pudessem interagir e colaborar com os colegas ao apresentarem uma 
solução baseada em seus modelos mentais. 
Como os problemas sugeridos faziam parte do contexto social e cultural dos estudantes, 
eles puderam ter seus próprios modelos pré-estabelecidos. Entendemos que estas concepções 
favoreceram na resolução dos problemas. 
Em seguida, tivemos a socialização das respostas de forma participativa, interativa e 
colaborativa, onde os grupos apresentaram e discutiram com os colegas a elaboração de 
aplicativos, construções dinâmicas, na plataforma GeoGebra para atingir os resultados. 
Na terceira etapa, os estudantes resolveram outro problema que teve a mesma dinâmica 
do momento anterior com o objetivo de apropriação do conhecimento dos elementos 
conceituais da representação visual gráfica da função polinomial. 
Ao longo das etapas os estudantes registraram quais foram as experiências que eles 
obtiveram com o desenvolvimento da atividade. A atividade foi aplicada em um laboratório 
onde foram instalados nos computadores a plataforma GeoGebra. O tempo de desenvolvimento 
da atividade foi distribuído em três etapas com duas horas de duração para que os estudantes 
pudessem resolver e discutir as construções e respostas das atividades. A sequência de atividade 
é detalhada mais adiante. 
Os problemas elaborados e executados tiveram como proposta o desenvolvimento da 
habilidade representação visual do gráfico da função polinomial na apropriação do conceito, 
validando o objeto de nossa pesquisa. 
No que diz respeito à atividade de nossa pesquisa, elaboramos uma proposta que teve 
como contexto o aspecto social e cultural no qual os estudantes estão inseridos, ou seja, a 
elaboração dos problemas sugeridos diz respeito ao meio e convívio dos universitários. 
Destacamos nos problemas propostos conceitos fundamentais com o propósito de 
desenvolver exemplos para a representação visual da função polinomial. Os problemas 
propostos foram elaborados com o objetivo de despertar nos estudantes a motivação para 
resolver questões do seu meio social e cultural na qual eles pudessem discutir as possibilidades 
de identificar modelos existentes no seu convívio. 
A elaboração de atividades na plataforma GeoGebra permite que o estudante construa 
modelos e analise suas construções visualizando mudanças instantaneamente, fato que não 
acontece na construção em lápis e papel ou até mesmo no quadro em sala de aula. Essa 
73 
 
característica da plataforma GeoGebra motiva os estudantes e docentes no processo de ensino 
e aprendizagem se considerarmos, por exemplo, o nível de interações que as variações das 
construções e modelos permitem. 
Agora descrevemos os detalhes do planejamento da atividade por meio da elaboração 
dos problemas, contando desde os objetivos, passando por sua aplicação até como os resultados 
foram analisados. As etapas da atividade foram aplicadas no laboratório de estatística e 
matemática do bloco de salas de aula do Setor 3 da UFRN. Esse laboratório conta com uma 
estrutura de 30 computadores ligados em rede e na rede mundial de computadores, a internet. 
O ambiente disponibiliza o sinal de internet, fato que nos possibilitou a atualização da versão 
da plataforma GeoGebra nos momentos de aplicação da atividade. 
A atividade antes de ser aplicada com os estudantes foi enviada ao comitê de ética em 
pesquisa da UFRN para ser analisada e, em seguida, aprovada. Os estudantes que participaram 
da pesquisa foram informados do que se tratava e concordaram assinar o Termo de 
Consentimento Livre Esclarecido, o TCLE. 
Na primeira etapa da atividade participaram seis estudantes que trabalharam, 
inicialmente, de forma individual, em seguida em duplas e, no final, todos em grupo e com a 
participação do decente/pesquisador de forma colaborativa, participativa e interativa. 
Como inicialmente pensamos em elaborar problemas para serem resolvidos tanto 
individualmente quanto em duplas e grupos para ser trabalhado em sala de aula com todos 
tivemos a preocupação de criar problemas com uma motivação social e do cotidiano dos 
estudantes. Os problemas tiveram como objetivo motivar os estudantes para resolverem 
problemas de matemática que são impostos por questões do nosso convívio social e cultural. 
Havia ainda o interesseem despertar nesses estudantes o desenvolvimento de habilidades nem 
sempre instigada pelos docentes em sala de aula. 
Esta pesquisa contou com o desenvolvimento de três problemas sociais e do contexto 
cultural dos estudantes da nossa região. Dentre os problemas temos, o das operadoras de 
telefonia, o caso das cisternas e, por fim, o problema do agricultor. 
No problema da cisterna, nosso objetivo foi despertar nos estudantes a motivação para 
a habilidade de resolver problemas de matemática para atender aos interesses sociais do seu 
ambiente de convívio. Além de apresentar para eles uma matemática que está presente em nosso 
entorno e que o problema pode ser um modelo matemático a ser descoberto, um objetivo ainda 
foi apresentar elementos conceituais da matemática em problemas sociais. Apontar elementos, 
conteúdos e conceitos matemáticos que estão a nossa frente e nem sempre percebemos. Dessa 
74 
 
observação podemos retornar modelos matemáticos que sugira a solução de um problema 
social. 
 No caso específico da cisterna, temos uma questão sociocultural não só para que é 
morador do interior ou ainda do Nordeste, mas atualmente temos a falta de água, sendo pela 
estiagem no sertão ou a falta de chuva nas capitais. Diante desse panorama, pensamos em 
elaborar este problema baseado em dados do ministério da defesa social e buscar, com os 
estudantes, uma solução para apresentar à sociedade. 
Um fator que vale ressaltar é o aparecimento de elementos conceituais da matemática a 
partir do momento em que os estudantes iniciam a leitura do enunciado do problema. Nesse 
instante os conceitos de quantidade (oito pessoas) e tempo (cinco meses) se relacionam como 
variáveis de uma função. A partir do enunciado temos a ideia inicial de que podemos tratar de 
uma função. 
Na segunda etapa contamos com seis estudantes que trabalharam individual, em duplas 
e em grupo com a participação do docente/pesquisador no momento de interação participação 
e colaboração de todos. Nesse instante, assim como no momento anterior incentivamos os 
estudantes a escreverem no quadro sua resolução e à medida que eles estavam de frente aos 
colegas solicitávamos a explicação da solução apresentada. 
Em seguida tivemos o problema das operadoras de telefonia de celular que apresentam 
possibilidades de serviços a custos distintos. Nesse problema, nosso objetivo foi que os 
estudantes aprimorassem a habilidade de representação de uma função por uma das formas, 
visual, verbal, numérica ou algébrica. 
A terceira etapa contou com a discussão das resoluções apresentadas pelos estudantes 
com a interação do grupo e do docente na interação e elaboração dos questionamentos. 
Todos os momentos foram de debates e crescimento tanto do desenvolvimento 
conceitual quanto de motivar os estudantes a participarem das aulas de forma ativa, interativa 
e reflexiva. Eles não perderam a oportunidade de questionar e interagir com os colegas e a 
ferramenta tecnológica, com o objetivo de apropriar-se do conhecimento. Em todos os 
momentos identificamos os elementos essenciais para a construção de um novo conhecimento, 
como as ideias já existentes de conhecimentos anteriores sendo associados na busca da solução. 
Identificamos na nossa pesquisa a aprendizagem de conteúdos matemáticos considerando os 
aspectos da Teoria Histórico-Cultural das funções psicológicas superiores adotadas por 
Vigotski (2007) (2007). 
 
75 
 
3.1 Problemas e tarefas sugeridos através da Resolução de Problemas 
Antes de mais nada enunciamos as tarefas propostas que se referem ao que abordamos 
nos problemas propostos aos estudantes. Estas foram elaboradas com a intencionalidade de 
aproximar os estudantes do seu meio e convívio social onde se deparam com problemas reais. 
Seguem as questões e comentários. A primeira tarefa trata de um fato que ocorre em 
todo o Nordeste e região e se estende a outras cidades do nosso país, a questão da estiagem. 
Este evento da natureza afeta diretamente diversas famílias que, dependem, principalmente da 
agricultura para sobreviver. Mas não são apenas os agricultores que sofrem com a estiagem, 
podemos constatar que de Norte a Sul em nosso país a estiagem afeta inclusive a geração de 
energia em algumas regiões. Portanto, a estiagem é um problema social que atinge um universo 
significativo de pessoas em nosso país. 
O evento da estiagem nos levou a pensar em como trabalhar este conteúdo em sala de 
aula e como proporcionar aos estudantes a relação com ensino da representação visual da função 
polinomial, nosso objeto de estudo. 
Antes de seguirmos para o problema, vamos apontar alguns aspectos relevantes para o 
andamento da pesquisa. Iniciamos citando como objetivo da questão inicial o estudo de 
conceitos elementares para a compreensão representação visual da função polinomial. No que 
diz respeito à aprendizagem, tivemos como objetivo nessa questão o acesso a conceitos 
fundamentais das funções polinomiais representados por meio de construções dinâmicas na 
plataforma GeoGebra, sendo eles: volume, raio e altura como conceitos elementares na 
construção de sólidos geométricos. Essas construções permitiram aos estudantes a visualização 
da relação algébrica entre os valores das variáveis envolvidas. 
Em paralelo com o acesso dos estudantes aos conceitos fundamentais da geometria, 
tivemos a inserção deles com as construções dinâmicas mediadoras da plataforma GeoGebra. 
Destacamos que essa questão auxiliou os estudantes na resolução do problema seguinte, pois 
as construções elaboradas por eles serviram de suporte para o entendimento na solução do 
problema posterior. 
Como motivação para trabalharmos como a metodologia de ensino através da Resolução 
de Problemas sugerimos a seguinte questão: Produza um prisma e um cilindro através da 
plataforma GeoGebra. Em se tratando de uma base piramidal, podem ser construídas a partir de 
qualquer forma em sua base e altura e ainda de quaisquer valores, ficando a critério dos 
participantes do grupo. No caso dos cilindros a base precisa ser circular independentemente do 
valor da altura. 
76 
 
Esta construção dos sólidos na plataforma GeoGebra pode favorecer a compreensão na 
relação entre o raio, volume e altura das formas geométricas. Além de apresentar as ferramentas 
da plataforma como o controle deslizante e a visualização da construção permitindo variações 
dos valores das variáveis envolvidas, estas construções auxiliaram os estudantes na 
aprendizagem do conteúdo proposto. 
Seguimos com a proposta da questão enunciada por: Segundo o site do Ministério do 
Desenvolvimento Social – MDS, “a cisterna para consumo humano é projetada para suprir 
necessidades básicas (beber, cozinhar e higiene pessoal) de uma família de até cinco pessoas 
por oito meses, o período normal de estiagem no Semiárido” (MDS, 2018). É uma tecnologia 
social – um conhecimento desenvolvido e compartilhado na própria comunidade –, simples e 
de baixo custo, que capta a água da chuva. Trata-se de um reservatório de alvenaria que 
armazena a água da chuva captada por um sistema de calhas interligado a ela, instalado no 
telhado. 
O Programa Cisternas também apoia a construção de tecnologias sociais de acesso à 
água para ampliar as condições das famílias agricultoras produzirem alimentos para o 
autoconsumo e também para a comercialização de excedentes em feiras locais ou nos 
programas de compras institucionais, como o Programa de Aquisição de Alimentos (PAA) e o 
Programa Nacional de Alimentação Escolar (Pnae)” (MDS, 2018). 
Diante disso: Qual deve ser a melhor relação entre o volume e o raio da base desta 
cisterna para uma capacidade de 250 litros? E de 800 litros? 
Qual deve ser a melhor relação entre o volume e a altura da cisterna para uma família 
que necessita de 50.000 litros para se sustentar por oito meses? 
Estabeleça, a partir da relação proposta entre volume e o raio, uma representação 
algébrica.Estabeleça, a partir da relação proposta entre volume e altura, uma representação 
algébrica. 
O que você pode afirmar sobre a representação visual da função polinomial proposta na 
atividade? 
Pretendíamos com essa questão trabalhar representação visual em várias construções 
para o ensino e a aprendizagem da função polinomial, por meio de uma situação de cunho social 
e cultural no ambiente dos estudantes. 
77 
 
Sendo assim, com o desenvolvimento da questão em grupo os estudantes tiveram a 
possibilidade de trocar experiências próprias de acordo com a região na qual eles moram ou até 
mesmo seus familiares. 
A partir do momento que os estudantes começaram a pensar na resolução da questão, 
eles puderam perceber a necessidade de visualizar a construção utilizando a plataforma 
GeoGebra para investigar as possibilidades de alterações de valores das variáveis, volume, raio 
e altura, por exemplo. 
Se trata de uma questão na qual os estudantes convivem com a estiagem direta ou 
indiretamente, pois todos sabem das dificuldades que esta situação nos proporciona, por 
exemplo, a necessidade de racionamento de água que alguns têm que comprar água e ainda, 
como já ocorreu em outras épocas, uma situação de mudança oficial de horário em certo período 
do ano em nosso país para compensar o consumo de energia nas hidroelétricas. 
Uma das expectativas é que no desenvolvimento dessa questão o aluno pudesse analisar 
o tamanho e o formato da construção de uma caixa de água ou de uma cisterna e associarem 
com os valores relativos às dimensões da mesma. Sendo assim, os estudantes chegaram a uma 
visualização da função polinomial por meio de uma representação, podendo ainda a função 
polinomial ser representada em forma de tabelas, gráficos ou até mesmo da fórmula algébrica. 
Em vista disso, esperávamos que os estudantes pudessem se apropriar do conhecimento 
através das construções dinâmicas desenvolvidas na plataforma GeoGebra. Além do que 
percebemos a mudança na postura do estudante referente ao uso das construções dinâmicas, 
neste instante sugeridos, sendo desenvolvidas e aplicadas através da plataforma. 
O problema seguinte foi enunciado: Produza uma representação da função polinomial 
do primeiro grau usando construções dinâmicas na plataforma GeoGebra, os controles 
deslizantes, que permitem, por meio de variações numéricas, a dinâmica na visualização das 
construções. Em seguida, construa a representação visual das funções polinomiais do segundo 
grau utilizando construções dinâmicas da plataforma GeoGebra, os controles deslizantes, com 
o mesmo objetivo. 
Após termos enunciado o problema fizemos a proposta com a seguinte questão. Em 
nossa região, duas operadoras de telefonia móvel que são representadas por A e B oferecem 
planos de telefonia para seus usuários com as seguintes condições: a operadora A oferece os 
serviços com um custo de R$2,30 pelos três primeiros minutos, R$4,40 para seis minutos, 
R$6,50, para nove minutos, R$8,60 para doze minutos. Já a operadora B apresenta a oferta de 
seus serviços com a seguinte proposta: R$1,22 para três minutos iniciais, R$2,42 para seis 
78 
 
minutos, R$3,62 para nove minutos, R$4,82 para doze minutos. Um consumidor precisa de 
ajuda para conhecimento qual o custo que as operadoras cobram para 60 minutos, 100 minutos 
e 240 minutos... 
Considerando as informações apresentadas para a aquisição do plano de telefonia 
proposto pelas operadoras, elabore uma construção dinâmica sugerida pela plataforma 
GeoGebra com dados que validem sua resposta tanto na plataforma quanto na apresentação 
escrita. Indique qual o plano mais vantajoso, na sua opinião, após interagir com os colegas. 
Por entendermos que os estudantes convivem com a realidade de escolha entre as ofertas 
apresentadas pelas operadoras de telefonia essa é uma questão social e cultural e que despertou 
nos estudantes a motivação e o interesse pela resposta. Além disso, os estudantes convivem 
com essa situação em seu cotidiano. 
Essa questão aborda uma situação em que os estudantes devem entender qual a melhor 
relação do custo com o tempo voltado para os valores relativos ao adicional cobrado por cada 
operadora após os sessenta minutos de consumo. 
Pretendíamos com essa questão identificar como os estudantes organizaram os dados 
para fazer as análises e determinar a melhor opção de plano. A organização dos dados deveria 
ter sido concebida por uma das formas de representação de uma função. 
Entendemos que uma dificuldade poderia ser a forma como os estudantes chegariam ao 
modelo proposto para a situação, mas sendo um trabalho em conjunto eles puderam, por meio 
das discussões, se aproximar do resultado. Dessa forma, a participação, interação e a 
colaboração em grupo dos estudantes foram um fator fundamental na troca de experiências 
culturais e sociais vividas em sua região. 
Com a proposta do problema enunciado por: Vamos consultar no ambiente de materiais 
didáticos do site oficial do GeoGebra construções de funções polinomiais do primeiro e 
segundo graus que permitam variações das variáveis de forma dinâmica em suas construções. 
Discuta com seus colegas e o docente essas construções sob o ponto de vista das representações 
e conceitos fundamentais da matemática. 
Enunciamos assim mais um problema desafio: Um agricultor da Bacia do Açude 
próxima a sua cidade produz lotes de hortaliças, o tradicional é a produção de coentro e alface, 
sabendo que para produzir um canteiro que lhe forneça 100 mói/fexo (molho/feixe) de coentro 
contando com as colaborações de clima, insetos, grãos, dentre outros, o canteiro deve medir 
em média 0,60 m x 8,00 m, para essa referida produção o agricultor tem um gasto de produção 
que pode variar entre R$10,00 e R$40,00. Dessa forma, o lucro máximo pode atingir R$65,00, 
79 
 
para essa produção. Diante dessa situação qual deve ser o valor de cada unidade produzida 
conforme o lucro sugerido, considerando: 
Na produção com custo fixo de R$10,00 o lucro foi R$65,00, para produção com custo 
fixo de R$20,00 o lucro foi R$55,00, para custo de R$30 o lucro R$45,00 e para custo de 
R$40,00 o lucro foi R$35,00... 
Qual foi o lucro desse agricultor para um custo fixo de R$110,00? E para o custo fixo 
de R$250,00? 
Nessa questão esperávamos que os estudantes identificassem na relação custo fixo e 
lucro qual deveria ser o valor da unidade do produto. Sendo assim, os estudantes deveriam 
organizar os dados de forma a apresentar uma representação visual para chegar ao modelo 
pretendido. 
A obtenção do modelo dependeria da ação conjunta entre eles e o docente para chegar 
à apropriação do conhecimento. 
Os dados apresentados foram informando o fluxo do lucro do agricultor conforme a 
produção, pois existe momento em que o agricultor gasta um pouco mais em sua produção 
devido ao clima, insetos ou grãos para atender suas demandas. 
80 
 
4. APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS 
Esse capítulo traz a apresentação e análise dos dados construídos na pesquisa. 
Obtivemos os dados por meio de gravação, em áudio e vídeo, e das respostas escritas nos 
instrumentos e comentadas pelos estudantes no momento da atividade. 
4.1 Apresentação temática das respostas dos estudantes 
A forma como ocorre a apropriação sugere a utilização de um meio, um material 
concreto ou pensar matematicamente com o objetivo de aproximarmos do conhecimento. Isso 
pode ser percebido através da apresentação de meios semióticos, os símbolos, gestos ou 
palavras introduzidas pelos estudantes com o objetivo de chegar na solução do problema. 
Esperávamos e conseguimos identificar, momentos que validassem essa premissa nas etapas 
dos resultados apresentados pelos estudantes. 
Esse processo ocorreu no momento da resolução dos problemas, onde os estudantes 
avançaram na apropriação do conhecimento representando suas tomadas de decisões por gestos 
e sinais. Essa atitude pôde emergir pelo fato que elesestavam organizados em grupos e puderam 
socializar as dúvidas e as aflições pela necessidade de atingir os resultados. 
À medida em que pesquisamos sobre o ensino pela representação visual da função 
polinomial no ensino superior atrelado ao aprendizado deste conteúdo identificamos algumas 
deficiências, dentre elas a voltada para a prática docente. Esperamos, como resultado desta 
investigação, sugerir mudanças significativas na prática docente para o ensino e o aprendizado 
da função polinomial. 
Com base na mudança da prática docente elaboramos nossa proposta de problemas com 
a intenção de promover a apropriação do conhecimento pelos estudantes dentro de uma 
perspectiva pautada na teoria histórico-cultural bem como através da metodologia de ensino 
através da Resolução de Problemas. 
Do ponto de vista epistemológico, o fato de inserirmos as construções dinâmicas 
desenvolvidos na plataforma GeoGebra como interlocutores no processo de ensino e 
aprendizagem aproximando o conhecimento do estudante proporciona tanto o debate quanto 
novos questionamentos favorecendo a apropriação do conteúdo. 
 
 
 
81 
 
4.2 Registros escritos pelos estudantes 
Os registros apresentados pelos estudantes na resolução das questões e problemas foram 
acompanhados por meio de instrumentos elaborados com o propósito de construirmos nossos 
dados para análise e posterior apresentação. Vamos iniciar dando destaque ao que um dos 
estudantes registrou. 
No tocante às respostas escritas apresentadas pelo estudante caracterizado por E2, a 
respeito da atividade da cisterna, constatamos que esse estudante utilizou o modelo mental 
tradicional de se remeter à representação algébrica para a obtenção do volume da mesma, apesar 
de nós não termos induzido a esse modelo e nem adotado a ideia de representação algébrica da 
função polinomial na atividade. Esse procedimento de E2 é previsto por Stewart (2016), quanto 
a cálculo de volumes obtidos a partir dessa representação. As construções elaboradas na 
plataforma GeoGebra ajudaram o estudante a fazer comparações instantâneas para o formato 
da cisterna com melhor relação entre os elementos matemáticos envolvidos como altura e 
volume. 
Concordo com Faria (2016), quando ela traz a discussão sobre a postura do professor 
de matemática associada ao uso das Tecnologias Digitais, a plataforma GeoGebra, utilizadas 
para o desenvolvimento das atividades em sala de aula. 
Além da formação do professor, as discussões e investigações sobre as 
Tecnologias Digitais no ensino de Matemática revelam a importância de 
modificar as formas de resolver problemas, apresentar conceitos, formular e 
formatar atividades a ser realizadas com alunos nas salas de aula. (FARIA, 
2016, p.74). 
Analisando este fragmento da fala de E2 podemos constatar que a sua compreensão da 
ideia matemática persente no exercício que melhorou com a plataforma GeoGebra concorda 
com a ideia de Faria (2016). Ainda mais a ação do pesquisador mediando esse processo de 
ensino e aprendizagem utilizando a metodologia de resolução de problemas em uma tecnologia 
digital, a plataforma GeoGebra, confirma a ideia de Faria (idem) no que se refere a ação 
docente. 
Constatamos também que esse estudante inicia redigindo um texto escrito onde enfatiza 
a representação algébrica da função polinomial para obtenção do volume da cisterna que ele 
sugere ser de um cilindro. Em seguida o estudante E2, sinaliza a relação de transformação de 
que um decímetro cúbico corresponde a um litro. Esse comentário do estudante E2 nos remete 
82 
 
as ações de consciência, uma das funções psicológicas superiores da Teoria Histórico-Cultural 
adotadas por Vigotski (2007). 
Figura 14. Representação algébrica da função polinomial de E2. 
 
Fonte. Registro escrito de E2. 
Nesta Figura 14 observamos que o estudante está dando ênfase a representação algébrica 
da função polinomial, que ainda não é o objetivo de nossa pesquisa por termos a representação 
visual como nosso propósito. 
Na Figura acima o estudante escreve: “A função polinomial que representa a relação do 
volume f(r) = π𝑟2h. como 1 d𝑚3= 1l. 
Stewart (2016), assinala como uma das representações de função a forma algébrica, 
sendo esta a que mais se destaca entre diversos professores e estudantes. Com relação às 
características da metodologia de ensino através da Resolução do Problemas proposta pelo 
grupo de Onuchic nesse exemplo descrito o estudante apresenta a elaboração de estratégias para 
resolução do problema. E ainda temos os aspectos tanto das ações de consciência quanto da 
memória lógica advindo da Teoria Histórico-Cultural adotada por Vigotski (2007). Neste caso 
a representação algébrica e visual potencializada pela plataforma GeoGebra validaram a 
concepção do estudante em sua resposta ao problema. 
De acordo com os registros o estudante E2 escreve: “Temos as seguintes dimensões 
para 250 L corresponde a 0,47 metros de raio e 0,4 metros de altura que dá uma capacidade 
de 277,59 litros com garantia de não transbordar com 10% a mais”. Com essa afirmação o 
estudante E2 apresenta uma postura de atualização do conhecimento, uma vez que atribui a 
análise de valores mais aproximados ao que é necessário para a solução do problema. Ainda 
percebemos, por meio do que foi escrito, que ele toma decisões e avança com o conhecimento 
fazendo relação com outra área do conhecimento quando sinaliza uma margem de segurança 
em temos percentuais como garantia que não ocorrerá um transbordamento para acondicionar 
a quantidade sugerida. Nesse caso, ocorre a relação entre os objetos de conhecimento, volume 
e porcentagem. Fato este melhor constatado por meio da elaboração de construções dinâmicas 
na plataforma GeoGebra. 
83 
 
Neste excerto do estudante E2 temos a representação de uma relação com as funções 
psicológicas superiores sugeridas por Vigotski (2007) como o pensamento algébrico e ainda 
com as ações de consciência. Além de termos uma relação com as representações de função 
polinomial proposta por Stewart (2016), que nesse caso associa à representação verbal função. 
Constatamos ainda uma associação com as estratégias de Resolução de Problemas proposta por 
Polya. E ainda a presença da plataforma GeoGebra proporcionando um impacto relevante para 
a análise, pelo estudante, das soluções possíveis. 
O estudante E2 avança, em termos de soluções, nessa questão apresentando a solução 
para a situação da cisterna ter como capacidade para 800 litros onde ele escreve: “800 litros 
correspondem a 0,54 metros de raio e 0,96 metros de altura que dá uma capacidade de 879,44 
litros com garantia de não transbordar com 10% a mais”. Para a cisterna 50.000 litros E2 
escreve: “50.000 L implica 2,9 metros de raio e 2,1 metros de altura que dá uma capacidade 
de 55.483,67 litros com garantia de não transbordar com 10% a mais”. O estudante E2 
sinalizou pelos registros que tanto apropriou-se do conhecimento proposto quanto avançou na 
tomada consciente de decisões e fez relações com outra área do conhecimento. 
Neste excerto o estudante E2 notamos características da Teoria Histórico-Cultural no 
aspecto da memória lógica utilizada na associação dos dados para a resolução do problema. A 
plataforma GeoGebra possibilitou a apropriação do conhecimento quando representa para o 
estudante as várias representações de formas da cisterna. 
Em seguida, o estudante E2 escreve: “relações: representando a fórmula algébrica do 
volume de um cilindro implicando nas relações de altura e raio”. 
Por fim, E2 escreve que a “compreensão da generalização é que todo volume é a área 
da base X a altura, no caso do cilindro ao manipular os valores na plataforma GeoGebra 
percebemos que o aumento do raio proporciona um aumento maior no volume com relação ao 
aumento da altura”. Neste momento, o estudante E2 faz inferências com objetivo de apresentar 
soluções. Neste exemplo, E2 identificamos aspectos das característicasdo pensamento abstrato, 
da Teoria Histórico-Cultural (Vigotski, 2007). Considerando o lápis e papel, os estudantes 
deveriam fazer uma representação da cisterna para cada valor de raio e altura, analisando assim 
o volume. Com a inserção da plataforma GeoGebra na atividade o estudante pôde analisar 
instantaneamente as diversas variações de construções proporcionado o resultado final. 
84 
 
Figura 15. Registro escrito de E2, relação entre volume e altura. 
 
Fonte. Registro escrito de E2. 
O estudante nos relatou no diálogo, no momento da aula, que as construções dinâmicas 
elaboradas na plataforma GeoGebra favorecem ao desenvolvimento e solução da questão e 
ainda permitem entender o conceito devido à construção da representação visual para a solução 
do problema. 
Nesse momento eles, em debate com os colegas e o docente, perceberam que a 
visualização da variação dos valores que formam a construção permite um entendimento mais 
detalhado do conhecimento. Ou seja, a apropriação foi favorecida com o uso das construções 
dinâmicas desenvolvidas na plataforma GeoGebra. 
Na atividade de representação que permite a construção e apresentação de uma das 
representações da função polinomial do primeiro grau o estudante E2 registra conforme 
apresentado na Figura 16 a seguir: 
Figura 16. Apropriação do conteúdo usando os controles deslizantes. 
 
Fonte. Registro escrito de E2. 
Este momento pode ter favorecido a apropriação do conhecimento ao estudante E2, 
processo proporcionado pelo ensino através da utilização do artefato sugerido na plataforma 
GeoGebra, o controle deslizante. Esse artefato permite a variação dos valores das variáveis 
atrelados e eles. Proporcionando dessa forma uma análise mais detalhada nas variações da 
representação visual. 
Em seguida, para a construção e apresentação de uma das representações da função 
polinomial do segundo grau o estudante E2 registra (Figura 17): 
85 
 
Figura 17. Estudante generalizando função polinomial do segundo grau. 
 
Fonte. Registros de E2. 
A apropriação ou atualização do conhecimento ocorre quando o estudante percebe um 
impacto relevante proporcionado pelas construções dinâmicas sugeridas pela plataforma 
GeoGebra, quando da manipulação das variáveis alterando os valores e as construções de forma 
dinâmica. 
As considerações do estudante E1 a respeito da atividade de representação da função 
polinomial de primeiro e segundo graus estão escritas na figura a seguir. O registro do estudante 
E1 discorre com o objetivo de apresentar a estratégia de generalização da função polinomial do 
primeiro grau por meio dos comandos obtidos na plataforma GeoGebra. 
Figura 18. Função Polinomial de grau “n”. 
 
Fonte. Registros do estudante E1. 
Com essa resposta o estudante E1 apresenta suas concepções a respeito de uma 
representação das funções polinomiais de primeiro e segundo graus. Para desenvolvimento do 
conhecimento sugerido, o estudante optou pela construção através da plataforma GeoGebra de 
construções dinâmicas que são os controles deslizantes. Essas construções dinâmicas permitem 
86 
 
que, na visualização da construção, os estudantes variem os valores das variáveis envolvidas 
correlacionadas com os controles deslizantes. Esse fato favorece ao entendimento do 
conhecimento por meio da visualização da construção avançando na apropriação do 
conhecimento. 
Apresentamos agora as concepções destacadas pelo estudante E1 na atividade 02, as 
respostas dadas por ele a essa questão. 
Podemos constatar por meio da Figura 19 que o estudante E1 usa uma estratégia de 
colocar os dados apresentados na questão organizados em uma sequência, na tentativa de 
identificar uma constante. Nesse caso, ele chega a um valor fixo, 3, que é a variação observada 
a cada três minutos de ligação tanto para a operadora A quanto para a operadora B. 
Seguindo essa mesma estratégia o estudante avança para os custos cobrados por cada 
uma das duas operadoras no período sugerido. Assim o estudante observa que ocorre uma 
constante também no custo cobrado para cada intervalo de três minutos em ambas as 
operadoras, sendo o custo de R$2,10 para a operadora A e R$1,20 para a operadora B. Diante 
desses dados e com o incremento do controle deslizante o estudante percebe que pode ser 
construída uma forma que representa a resolução do problema. 
Neste caso, os aspectos da Teoria Histórico-Cultural (Vigotski, 2007) são destacados; 
dentre eles, o pensamento abstrato, a memória lógica, que são sugeridos na escrita do estudante 
E1. 
Figura 19. Sistematização para obter a fórmula. 
 
Fonte. Registros do estudante E1. 
Nessa direção, o estudante E1 chega às seguintes informações para a operadora A, 
sinalizando, por meio da abstração a generalização para a representação algébrica da função 
polinomial, solução do problema. 
87 
 
Figura 20. Fórmula obtida por E1. 
 
Fonte. Registro do estudante E1. 
Como forma de representar uma solução para o problema o estudante E1 afirma: o custo 
inicial de R$2,30 adicionados ao tempo decorrido na ligação multiplicados pelo custo de 
variação (R$2,10) a cada três minutos divididos por 3 e a esses resultados subtraindo-se o custo 
de variação constante (R$2,10). 
Na Figura 21 a seguir o estudante E1 descreveu a forma como cada operadora cobra por 
plano de acordo com os minutos de ligação que o consumidor irá pagar. 
Figura 21. Fórmula algébrica para as duas operadoras. 
 
Fonte. Registro do estudante E1. 
Sem dúvida, a partir desse instante percebemos que o estudante E1 avança na 
atualização do conhecimento, conforme a teoria histórico-cultural, por um dos elementos dessa 
teoria que é a tomada de consciência no desenvolvimento do conhecimento. Quando o estudante 
E1 entende a construção da questão por meio do uso do artefato controle deslizante da 
plataforma GeoGebra, que permite perceber a variação dos dados e as relações com as variáveis 
envolvidas, há uma tomada de consciência que orienta a elaboração do problema por meio de 
uma representação algébrica da função. 
O fato de a atividade ter sido resolvida por meio de construções dinâmicas 
desenvolvidas na plataforma GeoGebra possibilitou que o estudante entendesse o objetivo da 
questão e que, junto com os colegas, discutisse as formas de resolução de problemas, bem como 
com as construções na plataforma permitiram avançar para a apropriação do conhecimento. 
Sendo assim, percebemos que elementos da teoria histórico-cultural como pensamento abstrato, 
88 
 
as ações de consciência e a memória lógica foram destacados no desenvolvimento e na 
resolução dos problemas. 
A nosso ver, o estudante E2 assimila através da visualização da construção por meio da 
plataforma GeoGebra, o uso dos controles deslizantes, o conteúdo do problema por uma 
representação algébrica da função. Com isso, ele apresenta uma representação algébrica da 
função. O fato que nos chama atenção é que essa representação é uma das possibilidades 
sugeridas, pois como vimos anteriormente outro estudante esboçou outra representação 
algébrica para a mesma questão. 
Cabe-nos colocar que, por trabalharmos com o ensino através da Resolução de 
Problemas baseado em questões abertas, torna-se pertinente a apresentação de várias soluções. 
Este fato acontece quando os estudantes começam a apresentar as soluções dos problemas 
propostos. 
Figura 22. Representação algébrica para as operadoras. 
 
Fonte. Registro do estudante E2. 
Vale salientar que esse modelo de representação algébrica da função polinomial acima 
apresentado possibilita a resolução da questão com apenas uma regra. No caso da representação 
algébrica enunciada pelo estudante E1, por exemplo, são atribuídas duas representações 
distintas para atender a cada uma das operadoras de telefonia. 
Nesse caso, é válido apontar que se o problema apresentasse uma representação 
algébrica da função poderíamos estar limitando a atuação dos estudantes e,em certo caso, 
subestimando o entendimento e a compreensão deles para atingir a solução pretendida. 
As atividades vivenciadas possibilitaram a discussão participativa e interativa com uso 
da abordagem da teoria histórico-cultural, onde destacamos as estratégias usadas pelos 
estudantes juntamente com os colegas e o pesquisador. Este panorama possibilitou uma 
discussão coletiva, participativa e interativa que valorou o trabalho de todos socializando as 
responsabilidades no processo ensino e aprendizagem. 
89 
 
Dessa forma, identificamos que no momento da resolução dos problemas tivemos a 
presença dos gestos, debates e explicações, tudo com o objetivo de atingir o conhecimento. 
Sendo assim, entendemos que ao adotarmos a teoria histórico-cultural como fundamentação 
para nossa pesquisa possibilitamos o avanço dos estudantes na apropriação do conhecimento 
por meio do desenvolvimento das funções psicológicas superiores. 
Vale ressaltar aqui o que o estudante E3 apresentou como registro na atividade das 
operadoras de telefonia. Inicialmente, o estudante trabalhando com as construções dinâmicas 
da plataforma GeoGebra apropriou-se dos elementos da função polinomial do primeiro grau 
por meio da representação algébrica. A figura a seguir é o registro do uso das construções 
dinâmicas da plataforma GeoGebra. 
Figura 23. Justificando o uso das construções dinâmicas na plataforma GeoGebra. 
 
Fonte. Registro do estudante E3. 
Colocamos em destaque o registro do estudante E3 no que diz respeito à construção da 
representação algébrica da função polinomial, cuja pretensão era visualizar as variações 
gráficas apresentadas na janela de visualização na plataforma GeoGebra. Esse recurso permite, 
por meio da criação dos controles deslizantes, que o estudante visualize as variações gráficas 
que surgem com as alterações dos valores associados aos controles. Como o estudante escreve 
“À medida que alterávamos os valores da a e b (controles deslizantes), o gráfico da função 
mudava seu comportamento”. Por essa afirmação percebemos uma das potencialidades que a 
plataforma GeoGebra proporciona aos usuários. 
Em seguida, o estudante E3 conduziu suas energias para a apropriação de elementos da 
função polinomial do segundo grau enfatizando a representação algébrica. 
Observamos no registro abaixo que o estudante E3 escreveu uma representação 
algébrica da função polinomial na forma genérica e em seguida usou o artefato do controle 
deslizante para os coeficientes a, b, c e para o grau da função o controle deslizante n. 
90 
 
Dessa forma, o estudante E3 entende que pode manipular todos os valores variáveis da 
função polinomial, desde a variação do valor do grau até a variação dos coeficientes. Com isto, 
ele pode representar visualmente o gráfico de uma função polinomial de grau qualquer. 
Figura 24. Representado as construções e seus efeitos na plataforma GeoGebra. 
 
Fonte. Registro do estudante E3. 
Com esse procedimento construído por meio das construções dinâmicas desenvolvidas 
na plataforma GeoGebra permitiu ao estudante E3 uma visualização imediata nas variações 
gráficas representadas na janela de visualização de forma dinâmica. Fato que não teria como 
ser percebido em sala de aula, na lousa e lápis, bem como nos cadernos e lápis dos estudantes. 
Sendo assim, o modo dinâmico de visualização da construção é mais uma das potencialidades 
da plataforma GeoGebra. 
Na resolução da tarefa das operadoras de telefonia o estudante E3 recorreu às 
construções dinâmicas da plataforma GeoGebra, os controles deslizantes, com o objetivo de 
associar a variável tempo de ligação com o custo nos planos oferecidos. 
Com o apoio da visualização dinâmica das variações percebidas na utilização do 
controle deslizante o estudante percebe qual a melhor oferta de plano de telefonia oferecido 
pelas duas operadoras. De posse desta informação eles puderam interagir e discutir com todos 
os participantes qual a melhor oferta apresentada pelas operadoras e qual a operadora que tem 
melhor plano. 
Uma resposta apresentada pelo estudante E3 está representada na figura a seguir: 
91 
 
Figura 25. Resposta do E3, plano da operadora. 
 
Fonte. Registro do estudante E3. 
No registro adiante E3 sinaliza para uma das formas de apropriação da representação 
função polinomial que é a algébrica. Observamos que o estudante indica a forma que levou à 
representação por meio da criação dos controles deslizantes para os coeficientes da função 
polinomial. O uso dos controles deslizantes permite que o estudante visualize as variações das 
construções que foram exibidas na tela do computador. 
Figura 26. Construções dinâmicas na plataforma GeoGebra na função polinomial 1º grau. 
 
Fonte. Registro do estudante E3. 
Neste instante percebemos que o estudante E3 avança no desenvolvimento por uma 
decisão que tomada na representação das famílias das funções polinomiais. 
Na figura 27 a seguir destacamos o uso dos controles deslizantes na elaboração da 
construção dinâmica com o objetivo de identificar a representação de funções: 
Figura 27. Controles deslizantes na variação das famílias de funções. 
 
Fonte. Registro do estudante E3. 
Constatamos que, quando o estudante cria os controles deslizantes com o objetivo de 
representação da função polinomial do primeiro grau, há uma preocupação apenas com o 
92 
 
coeficiente linear “a” e a constante “b”, mas a partir do momento que ele se depara com a função 
polinomial de grau acima do primeiro, logo vem a intenção de criar também um controle 
deslizante que possa variar o grau do polinômio. 
Sendo assim, o estudante E2 percebeu as relações que os controles deslizantes podem 
permitir por meio da visualização da construção. O registro abaixo mostra que ele se depara 
com o estudo do comportamento da representação gráfica segundo as variações dos coeficientes 
linear (a) e angular (b) que foram vinculados na plataforma GeoGebra pelos controles 
deslizantes. 
Na figura 28 o estudante E2 descreve como criou a relação dos controles deslizantes 
com os coeficientes e o grau da função polinomial. 
Figura 28. Controles deslizantes caracterizando as funções. 
 
Fonte. Registro do estudante E2. 
O estudante E2 analisa a atividade das operadoras de telefonia por meio do registro 
conforme o recorte abaixo. Esse estudante determina a apropriação de elementos de uma 
representação algébrica na função polinomial. 
Figura 29. Generalização da função para a atividade da operadora. 
 
Fonte. Registro do estudante E2. 
93 
 
O próximo passo foi apresentar, de forma genérica, que levaria à representação algébrica 
e indicaria a viabilidade de cada um dos planos oferecidos pelas operadoras de telefonia, a regra 
geral. 
Ante esse fato, o estudante elaborou uma regra específica em que ele atribui a m os 
minutos de ligação, Tm a taxa a cada 3 minutos e Ti a taxa nos 3 primeiros minutos. Conforme 
informado pelo estudante no registro acima, a operadora de telefonia B oferece maior vantagens 
para os planos de 60, 100 e 240 minutos e ainda para quaisquer outros minutos de ligações. 
No tópico a seguir apresentamos a transcrição dos áudios gravados nos momentos de 
aplicação dos problemas. 
4.3 Transcrições dos áudios dos participantes 
 Durante o desenvolvimento do problema 02, o qual propôs a elaboração e construção 
para apropriação de elementos da função polinomial e que permitia uma visualização de 
representação visual gráfica dinâmica conforme ocorresse a variação de suas componentes. 
Nesse momento, os estudantes interagiram por meio de vários debates com objetivo de atingir 
a solução do problema. 
Iniciamos o debate sobre uma das representações da função polinomial na forma 
algébrica e instigamos os estudantes a elaborar e construir uma representação algébrica da 
função polinomial através do uso do artefato controle deslizante na plataforma GeoGebra, o 
objetivo era visualizarmos a dinâmicanesta representação. 
Durante os momentos surgiram vários debates e interações tanto entre os estudantes 
quanto com o docente. Sendo assim, seguem os diálogos: 
O estudante caracterizado por E1 faz o seguinte comentário, “é criar controles 
deslizantes para os parâmetros da função para gerar...”. Nesse caso, o estudante revela que ao 
utilizar o comando controle deslizante da plataforma GeoGebra ele poderá visualizar a dinâmica 
da função polinomial na tela do computador. 
Sendo assim, o estudante caracterizado por E2 faz a seguinte afirmação: “é pra “n” né 
o controle deslizante?”. Após este comentário ele começa a interagir com o colega e a entrar 
em conflito cognitivo na tentativa de determinar uma solução para o problema. Assim, segue 
com o comentário: “É pro “n”? Pelo menos o que você mostrou, é pro “n”. Nesse instante o 
estudante estava interagindo com o docente. 
Com o objetivo de seguir a discussão o docente faz o questionamento: “devemos 
construir os controles deslizantes para os parâmetros que pretendemos variar seus valores e 
94 
 
podermos visualizar o dinamismo na representação visual da função polinomial”. Dando 
sequência, o estudante caracterizado por E3 inicia sua participação colaborando com a seguinte 
contribuição: “não, mas também pro “x” e pra todos”. O estudante E2 colabora questionando 
E3 e todos presente no ambiente e fala: “não, só tem pro “x” ...É pra todos...oxe”. 
Discorre que o estudante E3 na tentativa de colaborar e interagir com todos fala: “pra 
todos... você consegue variar tudo ali”. Sem dúvida, coloca o estudante E3 sua fala 
concordando e interagindo com os colegas e o docente, quando traz que: “certo, ah agora 
entendi!”. O estudante E1 sendo mais arisco tenta corroborar com os colegas afirmando: “mas 
como ele diz aqui, do primeiro grau, nesse caso nosso “n” seria 1. Não é?”. A partir desse 
instante E1 sinaliza com gestos, zero, um, ... para representar a variação numérica que permite 
a dinâmica na representação visual da função polinomial. 
Nessa perspectiva, o estudante E3 ressalta: “acho que nem precisa criar um de “n” só 
precisa criar um a e um b e um x, é assim que eu consegui saber como é que se faz uma função 
aqui nesse negócio”. O comentário do estudante E3, sinaliza para o momento em que ele se 
apropria do conteúdo e passa a externar para os colegas como chegou na resolução do problema 
e, portanto, na representação visual. 
Destacamos aspectos do pensamento abstrato da Teoria Histórico-Cultural, bem como 
relacionando ao momento de resolução de problemas proposto pelo grupo de Onuchic e 
colaboradores. 
Considerando Andrade (2013) desenvolveu um trabalho de pesquisa com o título o 
ensino de sistemas de equações lineares por meio da resolução de problemas, onde utilizou a 
plataforma GeoGebra para resolver atividades com os estudantes. Entendemos que o uso da 
plataforma GeoGebra pode ser um motivador para o aprendizado de conteúdos matemáticos. 
Cabe-nos colocar, afirma o docente, “que estamos buscando uma representação visual 
da função polinomial”. Este comentário é colocado como uma motivação para os estudantes 
reforçarem o objetivo do problema. 
Em seguida, surge uma nova discussão com relação à construção da representação 
algébrica da função polinomial através do uso dos controles deslizantes. Nesse momento, os 
estudantes descobrem que o uso dos limites infinito negativo e infinito positivo, quando 
atribuídos aos controles deslizantes, não permitem a visualização gráfica da função polinomial 
na janela de visualização da plataforma GeoGebra. 
95 
 
Assim sendo, vamos ao debate. O estudante E1 afirma “é porque ele não tem início no 
infinito não aparece na tela”. Nesse momento, o estudante traz uma potencialidade da 
plataforma GeoGebra quando fala que a inserção do controle deslizante com valores de máximo 
e mínimo da função são atribuídos tanto no infinito negativo quanto infinito positivo. Dessa 
forma, não ocorre a representação visual do gráfico da função polinomial. 
O comentário do estudante E1 sobre o não aparecimento da representação gráfica da 
função quando ela tende os valores de infinitos positivo e negativo é pertinente para 
entendermos como se representa visual e graficamente os valores do infinito em uma função 
polinomial. 
Baseado na discussão segue a colaboração do estudante E1: “é realmente...é tem que 
botar alguma coisa, menos ... é verdade”. 
Com o objetivo de avançar nas discussões o estudante E2 questiona: “apareceu? ...não, 
cadê o teu aí?... não tá o “n” e o “a” aqui só .... cadê o “b”? Ah, porque eu não tinha ajeitado 
o “b” aqui”. Estes questionamentos vêm acompanhados de gestos e falas, na tentativa de dar 
sentido à resolução do problema. 
Pretendendo dar continuidade à discussão sobre a resolução do problema o estudante 
E1 faz a seguinte afirmação: “agora vou ajeitar o ‘b”!”. “Até a gente não entende (infinito) 
imagine a máquina (computador) vamos lá... no caso o “n”?”. Com essa fala ele tenta explicar 
aos colegas a representação visual da função polinomial, usando o controle deslizante. Neste 
momento, o estudante E1 faz uma analogia para o entendimento de infinito entre o humano e a 
máquina. 
O estudante E2 questiona os colegas afirmando: “mas essa é primeiro não precisa”. Ao 
mesmo tempo que E1 fala: “não precisa só o “a” e o “b””. Nesse caso, eles estão discutindo 
se precisa inserir os controles deslizantes que deram dinâmica aos coeficientes linear e angular, 
bem como o controle que define o grau da função polinomial. Sendo assim, como estavam 
inicialmente trabalhando com a função polinomial do primeiro grau o estudante E1, afirma que 
só precisa inserir, nesse momento, os controles para a e b. 
Seguindo a discussão E2 fala: “só que no caso dele ali não tem mais de um “x”, mas 
por quê?”. Este estudante percebe que precisa atribuir um controle deslizante para variar os 
valores da abcissa. Nesse momento, E1 comenta com o colega: “tem que mudar o “x””. O 
estudante E2 comenta “no caso dele ele muda”, afirmando a função do controle deslizante para 
variar a abcissa. E1 retoma a discussão afirmando: “é necessário mudar o “x” também... porque 
a função vai depender de “x” ...”. 
96 
 
Sendo assim o estudante E2 fala “ele não aceita “x” não!” e gesticula com o dedo na 
tela do computador para validar sua colocação. Em seguida, ele questiona E1: “Você criou uma 
reta?”, na tentativa de justificar sua resposta. 
Diante da colocação do estudante E2, o colega estudante E1 fala: “é verdade”. Nesse 
caso, entendemos que ele não tinha criado a representação visual da função polinomial do 
primeiro grau, a reta. 
O estudante E2 fala: “ele não aceita “x” não” e ainda gesticula com o movimento 
negativo, com a cabeça. 
Dessa forma o estudante E3 confirma o que o colega falou: “É”, também gesticulando 
com o movimento de negativo com a cabeça, no sentido de não. 
Em um novo momento de interação os participantes discutem a construção da 
visualização na representação gráfica da função polinomial por meio do uso do controle 
deslizante com o objetivo de dinamizar a visualização do gráfico. 
O debate em torno da elaboração da representação da função polinomial no modo 
algébrico criando os controles deslizantes associados aos coeficientes da função polinomial. 
O estudante E2 fala: “colocar daquele jeito que a gente estava fazendo ele (GeoGebra) 
não aceita não”. Nesse caso, o estudante E1 pretendia associar valores à variável “x”, porém a 
plataforma GeoGebra já assume essa demanda quando escrevemos a função, fica a cargo do 
usuário atribuir variações para os valores dos coeficientes. 
O estudante E1 portanto fala: “então bota x = c”, em alusão ao valor para tornar 
dinâmica a representação visual da função polinomial. Em seguida o estudante E2 indaga: “só 
assim x = c? Tem lógica isso”, duvidando que assim a visualização seria permitida. Então 
surgem as dúvidas para o estudante E1 quefala: “é dentro de...é realmente... a não ser que…” 
Porém, o estudante E2 segue com as colocações: “pera, se fizer uma F(c) ele não 
aparece o gráfico de nada?” e gesticula com a mão, negando a ação. Mas segue tentando e 
afirmando: “Pera, pera...talvez...não, não modifica nada não”, ao mesmo tempo em que 
manipula a construção e vai interagindo com os colegas sobre a resolução do problema. 
Nesse momento ocorre a intervenção do docente com o objetivo de interagir por meio 
de questionamentos. Sendo assim o docente faz a seguinte pergunta, “Qual é a representação 
visual da função polinomial do primeiro grau? Quais os elementos matemáticos que podemos 
variar na função polinomial?”. 
O estudante E2 reage após a intervenção do docente e fala: “vou tentar fazer a do 
segundo grau para ver o que é que dá criando o “n” ...”. 
97 
 
Como forma de interagir o estudante E1 argumenta: “vai mexer com o grau do 
polinômio”. “Dá certo porque assim o “x” aqui ele vai assumir infinitos valores por isso que 
o controle não aparece”. 
Quando o estudante E2 cria o controle deslizante para representar o grau do polinômio 
associado à função ele percebe a evolução na representação visual e fala “é, no caso aqui está 
de boa, já”. Nesse momento ele visualiza a representação da função polinomial do segundo 
grau, a curva de parábola para “a” diferente de zero. 
A partir desse instante o estudante E1 inicia sua justificativa de solução do problema 
para os colegas socializando sua resposta e apresentando na tela a construção ao argumentar: 
“é porque na realidade se a gente fosse botar valores pra “x” seriam pontos entendeu”. Em 
princípio, o estudante E1 explica a forma como chegou na solução para o estudante E2 e, em 
seguida, para os demais colegas em um momento de interação. 
Ao grupo de colegas e ao docente o estudante E1 fala: “Ele vai assumir isso aqui (aponta 
na tela) como uma função se a gente quiser definir, botar uma, uma …um controle deslizante 
pro “x” ai agente está assumindo que “x” são pontos por isso que a reta não aparece, 
entendeu? ” (Pergunta para E2). Durante toda a explicação e construção E1 aponta na tela do 
computador os controles deslizantes e a variação na construção. 
Seguindo a dinâmica de interação o docente faz a seguinte indagação: “É como se você 
quisesse definir algo que já está definido?”. 
O estudante E1 reage e fala: “que já está, porque está pro infinito” (Gesticula com o 
braço para indicar o crescimento e decrescimento na função). “Por isso que o “x” não aparece, 
não tem o controle deslizante, porque ele tá pra infinito positivo e pra infinito negativo” 
(Gesticula na tela enquanto me explica e explica aos colegas). 
O estudante E1 explica tanto para os colegas quanto para o docente a relação dos valores 
de “x” na construção e visualização do gráfico na plataforma GeoGebra. 
E1: “é como se.… é, é é....se você tá jogando valores pro “x” então qual o resultado? 
Ele vai atribuir coordenadas, são pontos ele vai atribuir um ponto. Por isso que ele não vai 
aparecer a reta completa, ela fica “invisível”. Então quando você não define aí ele (GeoGebra) 
já define pra infinito negativo e pra infinito positivo, por isso que a reta aparece toda no 
desenho”. 
Vale salientar que, com este debate, os estudantes se deparam com diversos momentos 
de socialização interação, colaboração e participação tanto em dupla quanto coletivamente 
buscando soluções para a resolução dos problemas. 
98 
 
A prática docente pode ser beneficiada e contemplada por meio da materialização do 
conhecimento sendo apresentada de forma participativa, colaborativa e interativa. Promovemos 
essa materialização por meio da metodologia de ensino através da Resolução de Problemas em 
atividades com estudantes organizados em grupos, cujo objetivo era valorizar a discussão entre 
eles e o docente. 
4.4 Análise dos dados construídos 
A partir desse momento fazemos a análise dos dados construídos por nossa pesquisa. 
Diante desse cenário, vamos nos apropriar das categorias elencadas por Stewart (2016) 
quando ele aborda a representação de Funções de quatro maneiras, sendo assim por ele 
enunciadas: “é possível representar uma função de quatro maneiras: algebricamente, 
numericamente, verbalmente e visualmente” (STEWART, 2016, p. 04). 
É oportuno frisar que os estudantes têm acesso às quatro representações propostas por 
esse autor, mas o fato é que, a nosso ver, nem sempre essas representações são exploradas com 
rigor e propriedade com objetivo de consolidar o aprendizado. Privilegiar uma, duas, três ou 
até as quatro representações nem sempre é garantia de aprendizado desse conceito. Embora 
possamos elaborar uma atividade com problemas que contemplem as representações sugeridas, 
nem sempre é garantia de motivar os estudantes para aprender o conceito de função, a não ser 
que essa atividade tenha um diferencial de motivação para os estudantes. 
Quando nos deparamos com as representações sugeridas por Stewart buscamos 
identificá-las nos problemas que propusemos aos estudantes. Nesse caso, como perceber a 
representação delas em cada problema e identificar se é necessário a aparição de todas ou ainda 
se é, de fato, um diferencial no aprendizado para cada um dos problemas. 
Não existe “receita pronta”, o fato é que nos baseamos em teorias e metodologias para 
consolidar o aprendizado e ainda devemos propor problemas que motivem os estudantes na 
busca da solução. O desafio está em elaborarmos atividades com problemas abertos que 
motivem os estudantes e que prestigie o contexto social desses expectadores. Essa tarefa não é 
nada fácil, mas com leitura, dedicação e pesquisas podemos elaborar uma proposta de ação 
educativa com esses ingredientes. 
Em nossa tese entendemos que o fator motivação, os aspectos coletivo, colaborativo, 
participativo e interativo aliados ao recurso tecnológico foram decisivos para que a pesquisa 
lograsse êxito. Imaginem que como se estivéssemos fazendo um pudim de leite condensado, os 
ingredientes são poucos, mas são necessários e fundamentais para o resultado. Essa ideia nos 
99 
 
coloca a pensar cirurgicamente nos detalhes: nos objetivos, no método, nas pesquisas, nos 
descritores, no tempo de elaboração, tempo de aplicação com os estudantes, no tempo do curso 
a ser desenvolvido, no acesso aos estudantes. Entendemos que são muitos os pormenores, mas 
que são necessários e fundamentais. 
Considerando os aspectos das representações citadas por Stewart nos excertos dos 
estudantes identificamos que eles adotam, de forma direcionada, um tipo de apresentação para 
a função. Em alguns momentos ele tendem a apresentar mais de uma das representações 
propostas por Stewart, mas nem sempre as quatro formas são exploradas, apenas se forem 
solicitadas. Isso não implica dizer que o estudante deixou de aprender o conteúdo, o fato é que 
tantos os docentes quanto os livros também adotam essa postura, não representam sempre as 
quatro maneiras. 
Em nossa construção de dados obtivemos, por exemplo, com o estudante caracterizado 
por E2, a representação algébrica da função polinomial para indicar o volume da cisterna, no 
primeiro problema sugerido. 
Nesse momento o estudante nos apresenta uma relação entre outros conceitos 
matemáticos, os quais não foram citados por nós como objetivo do problema. Em sua afirmação 
E2 escreve: “temos as seguintes dimensões para 250 L corresponde a 0,47 metros de raio e 0,4 
metros de altura que dá uma capacidade de 277,6 litros com garantia de não transbordar com 
10% a mais”. Essa é uma relação de proporcionalidade com o conceito de volume da cisterna, 
essa relação gerou uma função que discutimos com o grupo no quadro no momento da 
socialização com todos. Ainda tivemos a observação da relação, nesse problema, dos conceitos 
de geometria e porcentagem. Outro exemplo de interdisciplinaridade que não tínhamos previsto 
no momento da elaboração do problema.O momento colaborativo é muito importante que aconteça em sala de aula por 
entendermos que ocorre o que chamamos de vigilância epistemológica, uma condição 
necessária e suficiente para que os estudantes e o docente avancem na apropriação do saber. 
Entendemos da importância desse momento ao participarmos com eles por constatarmos que 
ocorre uma autocrítica, autoanálise, empatia, disciplina e resiliência. Todas essas categorias que 
foram observadas durante as discussões das soluções dos problemas são como um fenômeno 
que emerge em sala de aula no momento da apresentação das respostas elaboradas pelos 
estudantes. 
No momento de socialização das resoluções os estudantes tomam a postura colaborativa 
entre eles e o docente, fato que favorece a apropriação do conhecimento. Dessa forma, a 
100 
 
colaboração constitui “um processo que pode ajudar a entender a complexidade do trabalho 
educativo e dar respostas melhores às situações problemáticas da prática” (IMBERNÓN, 2010, 
p. 65). 
No tocante ao trabalho colaborativo no que se refere à postura docente destacamos: “os 
grupos colaborativos e reflexivos como espaços formativos, qualificam a trajetória profissional 
dos professores e permitem colocá-los em constante aprendizagem docente, decorrente do 
desenvolvimento da reflexão e da crítica sobre si mesmo e sobre suas práticas” (PASSOS, 2016, 
p. 165). 
Seguindo com os debates entre os estudantes, E2 faz relações entre os elementos 
conceituais da geometria como volume, altura e raio e discute com os colegas as premissas 
destes conceitos. Nesse momento observamos que ocorre uma vigilância epistemológica, ou 
ainda, um desequilíbrio cognitivo e um reequilíbrio imediato, mas que de forma positiva leva à 
apropriação do conhecimento. A partir dos questionamentos elaborados por E2 e socializados 
com os demais colegas surge um debate conceitual com o objetivo de formular soluções para o 
problema. 
O conflito cognitivo que envolve ferramenta, materiais e esforços, conforme Van de 
Walle (2001) colocou, se apresenta nesse momento por meio dos questionamentos elaborados 
pelos estudantes. A princípio temos as ideias e os modelos mentais que aparecem após a leitura 
do enunciado do problema, pois precisamos atingir um conhecimento, seja aprimorá-lo ou até 
mesmo um novo; em seguida, temos a relação com algo que vimos, ouvimos ou até mesmo 
tocamos para que possamos avançar em om novo conhecimento e; por fim, a elaboração de um 
pensamento ativo que altera elementos estruturais do anterior para gerar ou aprimorar esse em 
um novo conhecimento. 
Com intuito de avançar na análise dos dados consideramos o excerto do estudante E1 
quando fala que aborda a representação algébrica para as funções polinomiais de primeiro e 
segundo graus. O estudante não atenta para as demais representações e valida as variáveis da 
função relacionando-as ao controle deslizante da plataforma GeoGebra. 
101 
 
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Considerando o nosso objetivo geral de investigar o ensino da representação visual de 
uma Função Polinomial por meio da metodologia de ensino da matemática através da 
Resolução de Problemas utilizando a plataforma GeoGebra destacamos a seguir o impacto 
relevante dessa investigação refletido nos resultados atingidos. Para isso, nos detemos no debate 
sobre os objetivos específicos desenvolvidos para condução do objeto de estudo. 
Iniciamos, portanto, com as considerações a respeito do seguinte objetivo específico: 
Avaliar a aplicação de uma sequência de atividades com problemas que foram resolvidos em 
grupos por meio da plataforma GeoGebra. A operacionalização desse objetivou começou com 
a entrega dos problemas geradores estudantes e orientação para o seguimento das etapas de 
Resolução de Problemas propostas pelo GTERP liderado pela Professora Onuchic. Esta 
metodologia favorece à socialização, interação, colaboração e participação de todos os 
envolvidos na obtenção da resposta ao problema. 
Em seguida, fazemos considerações a respeito das categorias estabelecidas, as quais 
foram baseadas nas representações de função adotadas por Stewart. Sobre isso, percebemos o 
impacto que os estudantes tiveram em perceber novas formas de representar uma função. Em 
alguns casos, os estudantes já tinham tido contato com alguma das quatro representações de 
funções, mas nem sempre associavam à representação de uma função. 
No que diz respeito à análise dos registros apresentados pelos estudantes para identificar 
como ocorreu a evolução da aprendizagem na representação visual de gráficos da função 
polinomial podemos destacar a relação dos dados com os elementos da Teoria Histórico-
Cultural. Destacamos, mais especificamente, as relações com compreensões de Vigostki sobre 
alguns aspectos das funções psicológicas superiores tais como as ações de consciência, a 
memória lógica, o pensamento abstrato e o comportamento intencional. Estes elementos 
tiveram destaque nos momentos da resolução dos problemas. 
Refletimos agora sobre o objetivo específico de estabelecer relação entre as soluções 
apresentadas pelos estudantes com as categorias de representação da função polinomial 
propostas por Stewart. Nos registros apresentados pelos estudantes havia representação e 
comentários estabelecidos entre eles sobre as categorias propostas por Stewart. Após as 
intervenções, os estudantes ficaram se indagando o porquê de os professores não utilizarem esta 
proposta de representação da função polinomial para sala de aula. 
102 
 
Nossa hipótese de pesquisa sugeriu que o ensino da função polinomial pudesse ter 
impacto relevante na aprendizagem da Função Polinomial através do desenvolvimento de 
construções dinâmicas e aplicativos instituídos na plataforma GeoGebra. 
Nossa problemática inicial surgiu tanto de leituras flutuantes sobre o ensino da função 
polinomial nos mais variados meios de pesquisa – desde grupos de pesquisa a sites de 
instituições e de busca como o Portal de Periódicos da Capes, quanto de conversas informais 
com estudantes e docentes da educação superior e debates em eventos acadêmicos da área da 
Educação Matemática. 
Partindo desses elementos, fomos à busca de uma fundamentação teórica que servisse 
como arcabouço e de pressupostos que pudessem favorecer nossas discussões e validar nossa 
hipótese. Para tanto, inicialmente nos debruçamos sobre pesquisas publicadas nos diversos 
meios de busca, a fim de elaborar o estado da arte sobre nossa hipótese e assim posicionarmos 
nosso objeto de estudo no universo científico. 
As buscas por pesquisas para elaboração do estado da arte sobre o ensino da função 
polinomial através das construções dinâmicas instituídas na plataforma GeoGebra baseado em 
pressupostos da Teoria Histórico-Cultural e do ensino através da metodologia de Resolução de 
Problemas nos apontaram para ineditismo da nossa proposta de tese de doutorado. 
No decorrer deste trabalho apresentamos a sistematização que elaboramos para a 
investigação do estado da arte e a forma como efetivamos nossas pesquisas. Entendemos ter 
sido pertinente elaborar e sistematizar pesquisas para que sirva de fonte de estudo e busca para 
outros colegas. 
É conveniente alertar, no entanto, que não esgotamos nossas pesquisas mesmo após a 
sistematização e construção dos dados para esta tese. 
Em princípio, nossa pretensão é contribuir com a formação de estudantes e docentes da 
educação superior. Para os estudantes, a intenção é colaborar para o desenvolvimento da 
habilidade de interpretar a representação visual dos gráficos nas funções polinomiais. Como 
subsídio para os docentes podemos sugerir a mudança de prática docente quando do trabalho 
da habilidade sugerida com seus estudantes de forma colaborativa, interativa, além da sugestão 
de elaboração de construções dinâmicas por meio da plataforma GeoGebra. 
Vale salientar que essa pesquisa poderá favorecer o ensino da função polinomial, 
proporcionandoum impacto relevante por meio de construções dinâmicas instituídos na 
plataforma GeoGebra, muito embora percebamos que existem outras formas de apropriação do 
conhecimento por meio de desenvolvimento de habilidades específicas. Sendo assim, podemos 
103 
 
afirmar que a busca por novas formas de desenvolver habilidades com maneira de apropriação 
do conhecimento pode proporcionar um impacto relevante para o estudo de outros conteúdos 
matemáticos. 
A escolha da Teoria da Histórico-Cultural e da metodologia de ensino da Resolução de 
Problemas para a fundamentação teórica da nossa tese ofereceu, por seus pressupostos, 
subsídios ao que pretendíamos obter como resultados da pesquisa. 
Percebemos que um estudo que promova a apropriação do conteúdo de representação 
visual gráfica da função polinomial pode auxiliar os docentes nas aulas e aos estudantes na 
aprendizagem. 
Um aspecto que nos chamou atenção foi o destaque das representações adotadas por 
Stewart (2016) para as funções. Este parâmetro nos deu um norte para seguir a pesquisa e 
elaborar problemas que os estudantes pudessem visualizar as representações sugeridas por este 
pesquisador. 
Dessa forma, podemos indicar como cada problema teve sua representação em destaque. 
Na imagem a seguir (Figura 30), temos a representação visual do problema das tarifas aplicadas 
pelas operadoras. 
Figura 30. Representação visual das tarifas para cada operadora. 
 
Fonte. Elaborado pelo estudante na pesquisa. 
Como outro problema apresentamos para os estudantes o caso da cisterna que pode ser 
representado visualmente pela elaboração de um aplicativo, construção dinâmica, com o 
objetivo de validar a aprendizagem de conceitos matemáticos como volume, raio e altura, por 
exemplo. 
A Figura 31, por sua vez, traz a representação, elaborada por um aplicativo, das diversas 
possibilidades de construções da cisterna. 
104 
 
Figura 31. Aplicativo com a representação visual da cisterna. 
 
Fonte. Elaborado por um estudante. 
Pretendemos com a apresentação destes aplicativos, construções dinâmicas, destacar 
alguns dos impactos relevantes e possibilidades da plataforma GeoGebra. Destacamos que 
existem infinitas possibilidades de elaboração de aplicativos na plataforma GeoGebra, além dos 
já elaborados e publicados. Entendemos que essas potencialidades precisam ser mais 
amplamente divulgadas para que novos profissionais da Educação Matemática bem como das 
demais áreas de ensino possam utilizar a gama de ferramentas que esta plataforma disponibiliza 
de forma gratuita. 
Pudemos constatar, em conversas informais com colegas, que existem diversos 
professores que não utilizam a plataforma GeoGebra por não conhecerem suas potencialidades. 
Dessa forma, percebemos através de nossas pesquisas que a divulgação da plataforma 
GeoGebra ainda é pouco trabalhada na formação dos futuros professores de matemática, nas 
Licenciaturas em Matemática. 
Assim sendo, entendemos ser necessário o desenvolvimento de mais aplicativos, 
construções dinâmicas, na plataforma GeoGebra a partir da parceria em sala de aula com os 
estudantes. Deve haver motivação não apenas nós professores, pesquisadores e estudiosos 
interessados em trabalhar com a plataforma GeoGebra, mas também para os estudantes, para 
que estes sejam motivados a elaborar seus aplicativos. 
Destacamos aqui algumas contribuições que este estudo nos proporcionou: 
 
 A possibilidade de investigarmos o panorama atual do ensino da função 
polinomial por meio da plataforma GeoGebra; 
 O ensino da função polinomial através do campo de estudo de resolução de 
problemas; 
105 
 
 O ensino por meio da mudança de postura de docentes e estudantes de forma 
colaborativa, participativa e interativa; 
 Desenvolvimento de atividades a partir do meio social e cultural dos estudantes 
como motivador para o aprendizado do conteúdo matemático. 
 
Estas contribuições permitem o avanço no desenvolvimento deste estudo. Sendo assim, 
fomos levados a pensar em algumas propostas a serem investigadas, tais como: 
 
 Ampliar o ensino de demais famílias de funções articulando com a plataforma 
GeoGebra, haja visto que temos poucas pesquisas relacionadas com o campo de 
estudo de Resolução de Problemas na educação superior; 
 Aprofundar, na educação superior, a prática docente voltada ao ensino por 
investigação que se vale do campo de estudo da Resolução de Problemas; 
 Desenvolver atividades investigativas associadas ao uso de tecnologias 
educacionais como a Plataforma GeoGebra que possam ser inseridas no 
ambiente de sala de aula na educação superior. 
 
No que trata das representações de funções adotadas por Stewart (2016), podemos 
identificar um avanço quando apresentamos para os estudantes esta proposta que permitia 
trabalhar com as demais possiblidades e não com apenas uma forma de representar este 
conteúdo, a forma algébrica. 
Concluímos afirmando que o desenvolvimento deste estudo ofereceu indícios de que 
devemos investigar e estudar as diversas possibilidades de apresentar um conteúdo matemático 
tendo o cuidado com o domínio dos conceitos para que possamos avançar. Constatamos que 
alguns docentes não assumem desafios articulando a aprendizagem com tecnologia educacional 
por não dominarem bem a tecnologia e o conteúdo de forma a desenvolver problemas 
geradores. 
Assim sendo, entendemos ser necessário o desenvolvimento de mais aplicativos, 
construções dinâmicas, na plataforma GeoGebra mais a partir da parceria em sala de aula com 
os estudantes. Não apenas nós professores, pesquisadores e estudiosos interessados em 
trabalhar com a plataforma GeoGebra, mas motivarmos os estudantes a elaborarem novas 
construções dinâmicas. 
106 
 
Por fim, entendemos que pensar em um problema gerador do ponto de vista do campo 
de estudo da Resolução de Problemas, associá-lo com tecnologias educacionais e ainda permear 
o conteúdo a ser tratado, não é uma tarefa fácil para alguns docentes. Sendo assim, é um desafio 
e, ao mesmo tempo, uma motivação para se trabalhar com essa perspectiva em sala de aula. 
 
107 
 
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114 
 
ANEXOS 
 
115 
 
Respostas das atividades 
 
116 
 
 
 
117 
 
 
 
118 
 
 
119 
 
 
120 
 
 
121 
 
 
122 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
123 
 
APÊNDICES 
 
124 
 
Comitê de Ética – Carta de anuência 
 
 
 
 
 
 
125 
 
Comprovante de envio do projeto 
 
 
126 
 
Termo de concessão 
 
 
127 
 
Termo de confidencialidade 
 
 
128 
 
Cronograma da aplicação das atividades 
 
 
 
129 
 
Declaração 
 
 
130 
 
Folha de rosto para pesquisa envolvendo seres humanos 
 
 
131 
 
Formulário CEP/UFRN 
 
132 
 
 
 
133 
 
Termo de autorização para uso de imagens (fotos e vídeos) 
 
 
134 
 
Orçamento detalhado 
 
 
 
135 
 
Termo de ConsentimentoLivre e Esclarecido – TCLE 
 
136 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
137 
 
Termo de autorização para gravação de voz