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Medidas de Centralidade

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Estatística descritiva: medidas de centralidade
3ª SÉRIE
Aula 1 – 4º Bimestre
Matemática
Etapa Ensino Médio
Conceitos de estatística descritiva, medidas de centralidade (média, moda, mediana e quartis). 
Interpretar os conceitos de estatística descritiva e de medidas de centralidade.
Conteúdo
Objetivo
(EM13MAT202) Planejar e executar pesquisa amostral sobre questões relevantes, usando dados coletados diretamente ou em diferentes fontes, e comunicar os resultados por meio de relatório contendo gráficos e interpretação das medidas de tendência central e das medidas de dispersão (amplitude e desvio padrão), utilizando ou não recursos tecnológicos.
Sugestão de tempo:
Para começar: 5 min.
Foca no conteúdo: 10 min.
Na prática: 20 min.
Aplicando: 7 minutos.
O que aprendemos hoje?: 3 minutos
Em meio a tantas informações disponíveis, oriundas de diversas fontes, como é possível organizá-las? Como relacionar esses dados e entender o que eles representam? Como tomar decisões frente a tantas informações sobre os mais diferentes assuntos?
Responda para o professor
Para começar
A estatística é uma área de estudo que visa organizar informações aparentemente dispersas, para que seja possível entendê-las, refletir sobre elas, analisar tendências e fundamentar decisões.
A estatística descritiva organiza, resume e apresenta, de maneira descritiva, os dados, com o objetivo de descrever e resumir seus aspectos e padrões, além de fornecer uma visão geral e uma compreensão deles por meio de tabelas e de gráficos.
Para começar
Medidas de centralidade
As medidas de centralidade são usadas para representar toda uma lista de observações com um único valor. Utilizadas para localizar a posição central, um valor que representa a distribuição em torno do qual as outras medidas se distribuem, e a medida de variabilidade que quantifica a dispersão da distribuição.
Foco no conteúdo
Medidas de centralidade
Média: Valor que demonstra a concentração dos dados de uma distribuição.
Média aritmética simples : quociente entre a soma dos valores e o número total de observações: . 
Exemplo: As notas de 2 estudantes são: 4 e 5. Média: , 
Média ponderada : dados os números , com pesos associados a eles, a média ponderada é definida como: .
Exemplo: nota 4 com peso 3; nota 5 com peso 2, média: , .
Foco no conteúdo
Média geométrica: é dada pelo cálculo da raiz enésima do produto dos elementos: . 
Exemplo: As notas de 2 estudantes são: 4 e 5.
Média: Logo: .
Média harmônica: é dada pela divisão de n pela soma dos inversos dos elementos: .
Exemplo: As notas de 2 estudantes são: 4 e 5.
 Temos .
Medidas de centralidade
Foco no conteúdo
Mediana: valor que ocupa a posição central em um conjunto de dados ordenados, quando a quantidade de elementos for: 
Ímpar. Exemplo: conjunto , temos: . A mediana é 2.
Par: é preciso calcular a média aritmética entre os dois termos centrais. Exemplo: conjunto {1,2,1,3,2,1}. Organizando, temos: {1,1,1,2,2,3}. A mediana é:.
Moda: valor de maior frequência em um conjunto de dados, o que mais se repete. Exemplo: conjunto {1,2,1,3,2,1}. A moda é 1, pois é o valor que mais se repete.
Medidas de centralidade
Foco no conteúdo
Percentis - quartis: Separatriz que divide o conjunto em quatro faixas iguais de elementos. Chamados de , , . Tem como objetivo descrever posições em uma distribuição de dados, proporcionando uma melhor visualização da dispersão do conjunto.
, 25% dos valores estão abaixo de , e 75% estão acima;
, 50% dos elementos estão abaixo de , e 50% acima. É o mesmo que a mediana no conjunto de dados;
 , 75% dos elementos estão abaixo de , e 25% estão acima.
Medidas de centralidade
Foco no conteúdo
Observe o exemplo: Dado o conjunto A=
Primeiramente, organize os dados: A=.
Posição: . Logo: . está entre o segundo e o terceiro valores, então, calculamos a média entre eles: ; assim: ;
Posição:. Logo: . está entre o quarto e o quinto valores, então, calculamos a média entre eles: ; assim: ; 
Posição: . Logo: . está entre o sexto e o sétimo valores, então, calculamos a média entre eles: assim: .
Foco no conteúdo
Considere os valores em rol: 5,2; 8,7; 7,7; 7,1; 12,2; 14,1; 14,1; 19,4; 23,7; 35,8. Determine:
A média.
A mediana.
A moda.
O 1º quartil.
O 3º quartil.
Na prática
a) Para determinar a média referente aos dados informados no enunciado da questão, temos que:
 
 . Logo, a média é: 
b) Para determinar a mediana, organizamos os dados em ordem crescente ou decrescente, e temos:
5,2; 7,1; 7,7; 8,7; 12,2; 14,1; 14,1; 19,4; 23,7; 35,8. Em seguida, observamos o valor central. No caso, são dois, e calculamos a média entre eles: . Assim, a mediana é: 13,15.
Correção
Na prática
c) A moda representa o valor que mais se repete, logo, a moda é: 14,1. 
d) Primeiro quartil: , . 
O primeiro quartil está entre o 2º e o 3º valores no conjunto de dados, substituindo esses valores, temos: . 
Assim: . Logo, 25% dos valores estão abaixo ou são iguais a 7,4.
e) Terceiro quartil: , . 
O terceiro quartil está entre o 7º e o 8º valores no conjunto de dados, substituindo esses valores, temos : . 
Assim: . Logo, 75% dos valores estão abaixo ou são iguais a 16,75.
Correção
Na prática
Foi obtido aleatoriamente o valor salarial de 20 trabalhadores. Eles recebem cerca de 1, 2, 3 ou 4 salários mínimos, assim, temos: 1, 2, 3, 2, 4, 4, 3, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 1. 
a) Determine a média, a moda e a mediana desses dados.
b) Determine o primeiro, o segundo e o terceiro quartis.
Na prática
a) Mediana: para calcular a mediana, a princípio, organizamos os dados: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4.
Com há quantidade par de elementos, assim, calculando a média, temos: . 
Logo, a mediana é 2.
Moda: a moda é o valor que mais se repete no conjunto, logo a moda é: 1.
Média: é a soma dos valores dividido pelo total de elementos: 
Logo a média é: .
Correção
Na prática
b) O primeiro quartil: . 
Posição: . Entre o 5º e o 6º elementos do conjunto, assim a média entre eles é 1: (). Temos: .
Logo, 25% dos valores estão abaixo ou são iguais a 1.
O terceiro quartil: . 
Posição: . Entre o 15º e o 16º elementos do conjunto, assim, a média entre eles: . Temos: .
Logo, 75% dos valores estão abaixo ou são iguais a 3.
Correção
Na prática
Mostre-me
Foi realizado um levantamento sobre o valor pago por hora por várias empresas para certa classe de profissionais. A tabela a seguir apresenta os valores retirados da amostra aleatória de remunerações da classe salarial em estudo. 
De acordo com a série de observações, determine o valor do:
Primeiro quartil. 
Terceiro quartil.
	Valores em reais	35,00	28,60	22,90	40,50	42,00	32,40	30,90	26,70
Aplicando
Correção
a) Partindo da série em estudo para determinar o valor do primeiro quartil, devemos, primeiramente, colocar em ordem os dados: 
 22,90; 26,70; 28,60; 30,90; 32,40; 35,00; 40,50; 42,00 
Posição do primeiro quartil: . Logo: . 
Está entre o 2º e o 3º elementos do conjunto, que são 26,70 e 28,60, respectivamente.
A média entre eles é: . 
Assim: . 
25% dos valores estão abaixo ou são iguais a 27,65.
Mostre-me
Aplicando
Correção
b) Posição do terceiro quartil: . Logo: . 
O terceiro quartil está entre o 6º e o 7º elementos do conjunto, que são, respectivamente 35,00 e 40,50.
A média entre eles é: .
Logo, 25% dos valores estão abaixo ou são iguais a 37,75: . 
Mostre-me
Aplicando
Para facilitar a análise sobre a quantidade de gols marcados por esses artilheiros nas referidas Copas, foi calculada a mediana da distribuição dos números de gols marcados por eles nas sete Copas especificadas no quadro.
A mediana dessa distribuição é igual a
A) 9,0.	B) 9,7.	C) 10,0.	D) 10,2.	E) 13,0
(ENEM- 2021) Até a Copa de 2010, apenas sete jogadores haviam conseguido o feito de marcar 8 ou mais gols em uma mesma edição da Copa do Mundo. O quadro apresenta os anos das edições das Copas nas quais ocorreram esses feitos, quais foram os jogadores que os realizaram, e os respectivos númerosde gols marcados por cada um deles.
Mostre-me
Aplicando
Correção
Para encontrar a mediana, colocaremos os dados em ordem: 
8, 8, 9, 9, 10, 11, 13
Sabemos que a mediana é o termo que está posicionado no centro. Como há 7 elementos, a mediana é o 4º valor:
8 8 9 9 10 11 13
Assim, a mediana desse conjunto de dados é 9.
A resposta correta é “A”.
Esse resultado também representa o 2º quartil.
Mostre-me
Aplicando
Interpretar os conceitos de estatística descritiva e de medidas de centralidade.
O que aprendemos hoje?
Tarefa SP
Localizador: 100985
Professor, para visualizar a tarefa da aula, acesse com seu login: tarefas.cmsp.educacao.sp.gov.br
Clique em “Atividades” e, em seguida, em “Modelos”.
Em “Buscar por”, selecione a opção “Localizador”.
Copie o localizador acima e cole no campo de busca.
Clique em “Procurar”. 
Videotutorial: http://tarefasp.educacao.sp.gov.br/
23
ENEM – Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira Inep: Questão 147, prova azul, segundo dia, reaplicação – ENEM 2021.
LEMOV, Doug. Aula Nota 10 2.0: 62 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2018.
PARANÁ (ESTADO). Secretaria da Educação. Material de Apoio ao Professor. Paraná, 2022.
SÃO PAULO (ESTADO). Secretaria da Educação. Currículo Paulista: Etapa Ensino Médio. São Paulo, 2020. 
Referências
Lista de imagens e vídeos
Slide 3 – https://www.freepik.com/free-photo/person-with-magnifying-glass_871243.htm
Slide 4 – https://br.freepik.com/fotos-gratis/pessoa-apontando-sua-apresentacao_871238.htm#query=boneco%20apontando&position=21&from_view=keyword&track=ais 
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