Probabilidade primeira unidade

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Professor Jackson – Universidade Estadual de Feira de Santana – Estatística Parte I - 
1 
 
 
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS 
DISCIPLINA: 
CURSO: DATA: / / 
PROFESSOR: Jackson Oliveira ALUNO: 
APOSTILA DE ESTATÍSTICA 
 
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO I UNIDADE 
 
AULAS CONTEÚDO DATA PREVISTA PÁGINA 
AULAS 01-02: 
INTRODUÇÃO E CONCEITOS DE 
ESTATÍSTICAS. 
15 DE SETEMBRO 02 
AULAS 03-04: 
FASES DO TRABALHO, TABELAS E 
GRÁFICOS. 
16 DE SETEMBRO 08 
AULAS 05-06: 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS E 
HISTOGRAMA. 
22 DE SETEMBRO 14 
AULAS 07-08: 
SOMATÓRIO E PRODUTÓRIO. 23 DE SETEMBRO 21 
AULAS 09-10: 
MÉDIA ARITMÉTICA 30 DE SETEMBRO 24 
AULAS 11-12: 
MÉDIAS GEOMÉTRICA E 
HARMÔNICA 
06 DE OUTUBRO 29 
AULAS 13-14: 
MODA E MEDIANA 07 DE OUTUBRO 33 
AULAS 15-16: 
SEPARATRIZES E BOX PLOT 20 DE OUTUBRO 45 
AULAS 17-18: 
MEDIDAS DE DISPERSÃO: DESVIO 
MÉDIO, VARIÂNCIA, DESVIO 
PADRÃO E COEFICIENTE DE 
VARIAÇÃO. 
21 DE OUTUBRO 50 
AULAS 18-19: 
MEDIDAS DE DISPERSÃO PARA 
DADOS AGRUPADOS 
27 DE OUTUBRO 58 
AULAS 20-21: 
MEDIDAS DE ASSIMETRIA 10 DE NOVEMBRO 70 
AULAS 17-18: 
AVALIAÇÃO 11 DE NOVEMBRO 
 
 
 
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[AULAS 1-2] : INTRODUÇÃO E CONCEITOS DE ESTATÍSTICAS 
 
1. INTRODUÇÃO 
Antes de começarmos a estudar Estatística, é importante que saibamos o que estamos estudando. 
A estatística, antes de qualquer coisa, é um ramo da matemática aplicada. Seu objetivo é fornecer 
métodos para coleta, organização, resumo, apresentação e análise dos dados, visando obtenção de 
conclusões válidas e, finalmente, tomada de decisões. 
Assim, a estatística serve de instrumento de apoio a vários outros campos do conhecimento; na 
verdade, a todos os ramos do conhecimento em que dados experimentais são manipulados. 
Podemos, apenas para citar alguns, falar da importância da estatística na Física, Química, 
Medicina, Engenharia, Ciências Socias, e, é claro, na Administração de Empresas. 
 
2. O PASSADO: A HISTÓRIA DA ESTATÍSTICA 
 
Muitos anos antes de Cristo as necessidades que exigiam o conhecimento numérico começaram 
a surgir, pois contar e recensear sempre foi uma preocupação em todas as culturas. O primeiro 
dado estatístico disponível foi o de registros egípcios de presos de guerra na data de 5000 a.C., 
em 3000 a.C. existem também registros egípcios da falta de mão-de-obra relacionada a construção 
de pirâmides. 
No ano de 2238 a.C. o Imperador da China Yao, ordenou que fosse feito o primeiro recenseamento 
com fins agrícolas e comerciais. Em 600 a.C. no Egito todos os indivíduos tinham que declarar 
todos os anos ao governo de sua província a sua profissão e suas fontes de rendimento, caso não 
a fizessem seria declarada a pena de morte. 
Já na Era de Cristo o governador romano da Síria, Quirino, que incluía a Judéia e a Galiléia, por 
ordem do Senado, teve que fazer um recenseamento no qual as pessoas tinham que ser 
entrevistadas no local de sua origem. Acredite. Não fosse a Estatística Jesus Cristo não teria 
nascido numa manjedoura em Belém e a história do cristianismo – e de quase toda a cultura 
ocidental – poderia ter sido diferente. 
Explica-se. Como está escrito na Bíblia, Lucas cap. 2:1-2 - O imperador Augusto mandou uma 
ordem para todos os povos do Império. Todas as pessoas deviam se registrar para que fosse feita 
uma contagem da população. Foi então que São José e a Virgem Maria saíram de Nazareth, na 
Galiléia, para Belém, na Judéia, para responder ao censo ordenado pelo imperador César Augusto. 
Foi enquanto estavam na cidade que Jesus nasceu. 
Alguns acontecimentos podem ser destacados como fatos importantes na formação da estatística: 
 
No mundo: 
- Em 620 surgiu em Constantinopla o Primeiro Bureau de Estatística. 
- No ano de 1654, Blaise Pascal e Pierre de Fermat estabelecem os princípios do cálculo de 
probabilidades. 
- Somente em 1708, houve a criação do Primeiro Curso de Estatística, criado na Universidade de 
IENA, na Alemanha. 
- A palavra estatística surge em 1752 pelo alemão Gottfried Achenwall que deriva da palavra 
latina STATU, que significa estado, pelo aproveitamento que os políticos e o estado tiravam dela. 
 
Enquanto isso no Brasil: 
- No ano de 1872, houve o primeiro senso geral da população brasileira feito por José Maria da 
Silva Paranhos, conhecido como Visconde do Rio Branco (1819-1880) 
- Em 1936 temos a Criação do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE). Em 1953 
duas escolas iniciaram o Ensino de Estatística no Brasil: uma no Rio de Janeiro, a Escola Nacional 
de Ciências Estatística (ENCE) e a outra conhecida como Escola de Estatística da Bahia. 
- Só em 1972 que surge o Primeiro Computador Brasileiro, que ajudou a dar um grande salto na 
estatística. 
 
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- A inclusão da Estatística no Ensino Fundamental e Médio apareceu a partir da determinação dos 
Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN’s) em 1997. 
 
3. O QUE É ESTATÍSTICA? 
 
Estatística é a ciência que investiga os processos de obtenção, organização e análise de dados 
sobre uma população, e os métodos de tirar conclusões ou fazer predições com base nesses dados. 
Este conceito tem um significado mais amplo do que aquele que usualmente se dá à palavra 
"estatística", isto é, o resultado de contagens sobre a ocorrência de determinados eventos e a sua 
representação através de gráficos e tabelas, como, por exemplo, as estatísticas de ocorrência de 
chuvas numa certa época do ano; as estatísticas sobre os ganhadores de prêmios de loteria; as 
estatísticas de renda média por região etc. Em geral, este conceito mais popular de estatística 
corresponde somente à organização e descrição dos dados relativos a um determinado 
experimento ou situação e não trata da análise e interpretação desses dados. Ele está associado à 
parte da Estatística que denominamos de Estatística Descritiva. A Estatística Descritiva, portanto, 
é a parte da Estatística que se preocupa com a organização e descrição de dados experimentais. 
Além da Estatística Descritiva há a Estatística Indutiva ou Estatística Inferência que consiste, 
fundamentalmente, das técnicas de análise e interpretação dos dados. A partir de um conjunto 
restrito de dados, chamado de amostra, organizado e descrito pela Estatística Descritiva, a 
Estatística Indutiva procura fazer inferências ou, em outras palavras, tirar conclusões sobre a 
natureza desses dados e estender essas conclusões a conjuntos maiores de dados, chamados de 
populações. 
É evidente que, para que a Estatística Indutiva possa deduzir conclusões válidas, é necessário que 
se tomem alguns cuidados para a escolha da amostra a ser utilizada. Esses cuidados, mais 
propriamente chamados de critérios, são estabelecidos por uma técnica chamada de amostragem. 
Contudo, para permitir que a Estatística Indutiva proporcione conclusões válidas não 
basta utilizar as técnicas de organização e descrição dos dados da Estatística Descritiva e 
as técnicas corretas de amostragem. Fica ainda faltando uma última ferramenta que é o 
cálculo de probabilidades. O cálculo de probabilidades é um conjunto de técnicas 
matemáticas que visa determinar as chances de ocorrência de eventos regidos pelas leis do 
acaso. 
 
Grandes áreas da Estatística 
Para fins de apresentação, é usual se dividir a estatística em três grandes áreas, embora não se 
trate de ramos isolados: 
• Estatística Descritiva e Amostragem – Conjunto de técnicas que objetivam coletar, organizar, 
apresentar, analisar e sintetizar os dados numéricos de uma população, ou amostra; 
• Estatística Inferencial – Processo de se obter informações sobre uma população a partir de 
resultadosobservados na amostra; 
• Probabilidade - Modelos matemáticos que explicam os fenômenos estudados pela Estatística 
em condições normais de experimentação. 
Em estatística, utilizamos extensamente os termos: população, amostra, censo, parâmetros, 
estatística, dados discretos, dados contínuos, dados quantitativos e dados qualitativos; que 
estaremos definindo abaixo para maior compreensão. 
 
4. CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA 
 
População e Amostra 
Ao coletarmos dados sobre um grupo de objetos ou indivíduos, como por exemplo a cor dos olhos 
ou o peso de estudantes de ensino médio ou até o número de peças defeituosas produzidas em um 
dia, nem sempre poderemos observar todo o grupo, principalmente nos casos em que tal grupo 
for muito grande ou até mesmo inacessível. 
Desse modo, em vez de examinarmos todo o grupo ou conjunto, chamado de população, 
levantaremos os dados apenas de uma parte desta população, chamada amostra. 
 
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De maneira mais formal, população (ou universo) é um conjunto de elementos com pelo menos 
uma característica comum. 
Os estudantes universitários, por exemplo, constituem uma população, pois no mínimo 
apresentam uma característica em comum: são aqueles que estudam em universidades. Essa 
característica em comum delimita de maneira inequívoca os elementos que pertencem à 
população, e os que não pertencem. 
No entanto, como já citei, muitas vezes não é conveniente, e muitas vezes é impossível levantar 
os dados referentes a todos os elementos da população. Devemos, portanto, limitar nossas 
observações à uma amostra. Formalizando a ideia, amostra é um subconjunto finito de 
uma população. 
• População: é uma coleção completa de todos os elementos a serem estudados. 
• Amostra: é um subconjunto de elementos extraídos de uma população. 
• Censo: é uma coleção de dados relativos a todos os elementos de uma população. 
• Parâmetros: é uma medida numérica que descreve uma característica de uma população. 
• Estimativa: é um valor aproximado do parâmetro e é calculado com o uso da amostra. 
 
Tipos de Variáveis 
 
Dentro de um estudo estatístico, precisamos definir quais características dos elementos 
(população ou amostra) nos interessa estudar. Por convenção, definimos variável como o 
conjunto de resultados possíveis para um fenômeno. 
Dependendo do objetivo de nosso estudo, a característica (variável) em foco poderá ser: 
 
a. Qualitativa – quando for expressa por tipos ou atributos: sexo (masculino ou feminino), cor 
dos olhos (azuis, castanhos, etc.), qualidade de uma peça produzida (perfeita ou defeituosa). 
 
b. Quantitativa – quando for expressa em números. É importante notar que as variáveis 
quantitativas podem ser subdivididas em discretas e contínuas. 
Variável contínua é aquela que pode assumir qualquer valor entre dois limites. Por outro lado, 
uma variável discreta só pode assumir valores pertencentes a um conjunto enumerável. 
Ao observarmos os exemplos, podemos perceber que, de maneira geral, os valores das variáveis 
discretas são obtidos por contagens, enquanto que os valores das variáveis contínuas são obtidos 
por medições. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NÍVEL DE
MENSURAÇÃO
QUALITATIVAS: suas
realizações são atributos
dos elementos
pesquisados.
QUANTITATIVAS
(intervalares): suas realizações
são números resultantes de
contagem ou mensuração
Nominais:
apenas
identificar as
categorias
Ordinais: é
possível
ordenar as
categorias
Discretas:
podem assumir
apenas alguns
valores
Contínuas:
podem assumir
infinitos valores
Sexo, Naturalidade Classe social Número de filhos Temperatura, velocidade 
 
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Arredondamento de dados 
a) Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 0,1,2,3 ou 4, fica inalterado o último 
algarismo a permanecer. Exemplo: 76,23 passa a 76,2. 
b) Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 6, 7, 8 ou 9, aumenta-se de uma 
unidade o algarismo a permanecer. Exemplo: 23,68 passa a 23,7. 
c) Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 5, há duas soluções: 
 - Se ao 5 seguir em qualquer casa um algarismo diferente de zero, aumenta-se 
uma unidade ao algarismo. Exemplo: 5,353 passa a 5,36. 
 - Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só se seguirem zeros, o último algarismo a 
ser conservado só será aumentado de uma unidade se for ímpar. 
 Exemplos: 34,75 passa a 34,8; 43,85 passa a 43,8 
OBS.: Não devemos nunca fazer arredondamentos sucessivos. 
Exercícios propostos: 
QUESTÃO 01 -Considere as afirmações a seguir: 
I – Estatística Descritiva se preocupa com a organização e descrição dos dados experimentais. 
II – Estatística Indutiva cuida da análise e interpretação dos dados experimentais. 
III – Podemos considerar a Estatística como uma ciência que se preocupa com a organização, 
descrição, análise e interpretação dos dados experimentais. 
Assinale a alternativa correta: 
a) as afirmações I e II são falsas 
b) apenas a afirmação I é verdadeira 
c) todas as firmações estão corretas 
d) apenas as afirmações II e III estão corretas 
e) apenas as afirmações I e III são corretas 
 
QUESTÃO 02 -Qual das alternativas representa um dado quantitativo? 
a) o volume, em mililitros de sucos fabricados pela empresa A. 
b) qualidade das peças fabricadas pela máquina B. 
c) grupo sanguíneo disponíveis no banco de sangue do hospital “Doação”. 
d) sexo (feminino ou masculino) dos nascituros da maternidade A. 
e) cor dos cabelos das modelos da agência Belle. 
 
QUESTÃO 03 - Assinale a alternativa correta: 
a) População ou Universo é: 
i) Conjunto de pessoas. 
ii) Conjunto de indivíduos apresentando uma característica especial. 
iii) Conjunto todos os indivíduos apresentando uma característica comum objeto de estudo. 
 
b) A parte da estatística que se preocupa somente com a descrição de determinadas 
características de um grupo, sem tirar conclusões sobre um grupo maior denomina-se: 
i) Estatística Inferencial 
ii) Estatística Descritiva; 
iii) Estatística Grupal. 
 
 
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QUESTÃO 04 - Quando se quer estimar parâmetros populacionais sem examinar toda a 
população, utiliza-se uma amostra. Dentre os motivos para se utilizar esse procedimento em vez 
de um censo, NÃO se inclui 
a) maior custo para realizar um censo. 
b) a população por ser infinita ou muito grande. 
c) o processo de pesquisa e o destrutivo. 
d) maior precisão na amostra do que no censo. 
e) maior demora para a realização de um censo. 
 
QUESTÃO 05 - De acordo com os conceitos de estatística, assinale a alternativa CORRETA. 
a) Estatística inferencial compreende um conjunto de técnicas destinadas à síntese dos dados 
numéricos. 
b) A estatística descritiva compreende as técnicas por meio das quais são tomadas decisões 
sobre uma população com base na observação de uma amostra. 
c) Uma população só pode ser caracterizada, se forem observados todos os seus componentes. 
d) Parâmetros são medidas características de grupos, determinadas por meio de uma amostra 
aleatória. 
e) O processo utilizado para se medir as características de todos os membros de uma dada 
população recebe o nome de censo. 
 
QUESTÃO 06 – Assinale a alternativa que responde CORRETAMENTE à pergunta abaixo. 
Quais das variáveis abaixo podem ser classificadas como quantitativas contínuas? 
1. Grau de satisfação 2. Peso 3. Número de carros 4. Grau de escolaridade 
a) 2. b) 1 e 2. c) 2 e 3. d) 3 e 4. e) 1 e 4. 
 
QUESTÃO 07 – Em uma análise estatística, o parâmetro é: 
a) O obtido na amostra. 
b) Uma informação da amostra 
c) Uma informação da população 
d) Um método de seleçãode variáveis 
e) Uma informação do método de amostragem 
 
QUESTÃO 08 – Julgue os itens abaixo em (V) verdadeiro ou (F) falso e assinale a alternativa 
correta. 
I. A Estatística Descritiva pode ser definida como um conjunto de técnicas destinadas 
a descrever e resumir dados, a fim de que possamos tirar conclusões a respeito de 
características de interesse. 
II. Amostra é o conjunto de elementos retirados da população, suficientemente 
representativos dessa população. Através da análise dessa amostra estaremos aptos 
para analisar os resultados da mesma forma que se estudássemos toda a população. 
III. Inferência Estatística é o estudo de técnicas que possibilitam a extrapolação, a um 
grande conjunto de dados, das informações e conclusões obtidas a partir de 
subconjuntos de valores, usualmente de dimensões muito menores. A sequência 
CORRETA é: 
a) V, F, V. b) F, F, V. c) F, V, V. d) V, V, F. e) V, V, V. 
 
QUESTÃO 09 – Observe a tabela com classificações de variáveis e exemplos. 
 
Variável Exemplo 
I. Qualitativa nominal A. Medida de peso 
II. Qualitativa ordinal B. Tipo sanguíneo 
III. Quantitativa discreta C. Nível escolaridade 
IV. Quantitativa contínua D. Número de filhos por casal 
 
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A relação correta entre esses dois conjuntos é 
a) I C II B III D IV A 
b) I B II C III A IV D 
c) I C II D III A IV B 
d) I B II C III D IV A 
 
QUESTÃO 10 – A área da Estatística caracterizada pelo processo de obter conclusões sobre 
parâmetros da população, com base em estatísticas amostrais, é denominada: 
a) populacional. b) descritiva. c) diferencial. d) amostragem. e) inferencial. 
 
QUESTÃO 11 – Para participar de um Programa de Qualidade de Vida, promovido por 
determinada empresa, o funcionário deve responder a um questionário, que fica como seu 
cadastro. O quadro a seguir apresenta, na coluna A, quatro das questões a serem respondidas 
pelos funcionários e, na coluna B, quatro tipos de variáveis estatísticas. 
 
COLUNA A COLUNA B 
1.Qual o seu peso? ( ) qualitativa nominal 
2.Quantas pessoas moram em sua casa (incluindo você)? ( ) qualitativa ordinal 
3.Qual a sua escolaridade? ( ) quantitativa discreta 
4.Você caminha? ( ) quantitativa contínua 
 
Associando as questões contidas na coluna A, com seus respectivos tipos de variáveis 
estatísticas contidos na coluna B, a ordem correta resultante dessa associação é: 
a) (4), (3), (2), (1). 
b) (4), (2), (3), (1). 
c) (3), (4), (2), (1). 
d) (4), (3), (1), (2). 
e) (3), (2), (4), (1). 
 
 
 
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[AULAS 3 - 4 ] : FASES DO TRABALHO, TABELAS E GRÁFICOS. 
 
DO TRABALHO ESTATÍSTICO 
Fases de um Trabalho Estatístico 
 
a) Definição do problema 
 
Formulação correta do problema. Saber exatamente o que se pretende estudar. 
 
b) Planejamento 
 
Como levantar informações? Que dados deverão ser obtidos? Qual levantamento a ser utilizado? 
Censitário? Por amostragem? E o cronograma de atividades? Os custos envolvidos? Etc. 
2 tipos de levantamento 
• Censitário: abrange toda a população (Censo ou Recenseamento). 
• Amostragem: estuda-se uma parte da população (amostra). 
 
c) Coleta dos dados 
 
Fase operacional. É o registro sistemático de dados, com um objetivo determinado. Obtenção, 
reunião e registro dos dados. 
• Fontes Primárias: dados coletados diretamente pelo pesquisador. 
• Fontes Secundárias: através de relatórios, arquivos, livros, etc. 
 
d) Apuração dos dados 
 
Tratamento prévio dos dados coletados, resumindo-os através de sua contagem e agrupamento. 
É a condensação e tabulação de dados. 
 
e) Apresentação dos dados 
 
Há duas formas de apresentação, que não se excluem mutuamente: 
A apresentação tabular: apresentação numérica dos dados em linhas e colunas distribuídas de 
modo ordenado segundo regras práticas fixadas pelo Conselho Nacional de Estatística. 
A apresentação gráfica: os dados numéricos constituem uma apresentação geométrica 
permitindo uma visão rápida e clara do fenômeno. 
 
f) Análise e interpretação 
 
A última fase do trabalho estatístico é a mais importante e delicada. Está ligada essencialmente 
ao cálculo de medidas e coeficientes, cuja finalidade principal é descrever o fenômeno 
(estatística descritiva). Na estatística indutiva a interpretação dos dados se fundamenta na teoria 
da probabilidade. 
 
SÉRIE ESTATÍSTICA 
 
É qualquer tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados estatísticos em função 
da época, do local ou da espécie. 
 
Séries Homógradas: são aquelas em que a variável descrita apresenta variação discreta ou 
descontínua. Podem ser do tipo temporal, geográfica ou específica. 
 
 
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a) Série Temporal: Identifica-se pelo caráter variável do fator cronológico. O local e a espécie 
(fenômemo) são elementos fixos. Esta série também é chamada de histórica ou evolutiva. 
 
 
ABC VEÍCULOS LTDA. 
Vendas no 1º bimestre de 2017 
 
PERÍODO UNIDADES VENDIDAS * 
JAN/96 2 0 
FEV/96 1 0 
TOTAL 3 0 
* Em mil unidades 
 
b) Série Geográfica: Apresenta como elemento variável o fator geográfico. A época e o fato 
(espécie) são elementos fixos. Também é chamada de espacial, territorial ou de localização. 
 
ABC VEÍCULOS LTDA. 
Vendas no 1º bimestre de 2017 
 
FILIAIS UNIDADES VENDIDAS * 
São Paulo 1 3 
Rio de Janeiro 1 7 
TOTAL 3 0 
* Em mil unidades 
 
c) Série Específica: O caráter variável é apenas o fato ou espécie. Também é chamada de série 
categórica. 
 
ABC VEÍCULOS LTDA. 
Vendas no 1º bimestre de 2017 
 
MARCA UNIDADES VENDIDAS * 
FIAT 1 8 
GM 1 2 
TOTAL 3 0 
* Em mil unidades 
 
SÉRIES CONJUGADAS: Também chamadas de tabelas de dupla entrada. São apropriadas à 
apresentação de duas ou mais séries de maneira conjugada, havendo duas ordens de 
classificação: uma horizontal e outra vertical. O exemplo abaixo é de uma série geográfica-
temporal. 
ABC VEÍCLULOS LTDA. 
Vendas no 1º bimestre de 2017 
FILIAIS Janeiro/96 Fevereiro/96 
São Paulo 1 0 3 
Rio de Janeiro 1 2 5 
TOTAL 2 2 8 
Em mil unidades 
 
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APRESENTAÇÃO GRÁFICA E TABULAR 
O que tabulação de dados? 
É a padronização e codificação das respostas de uma pesquisa. 
É a maneira ordenada de dispor os resultados numéricos para que a leitura e a análise sejam 
facilitadas. 
 
Tabelas 
É um quadro que resume um conjunto de dados dispostos segundo linhas e colunas de maneira 
sistemática. 
• De acordo com a Resolução 886 do IBGE, nas casas ou células da tabela devemos colocar: 
􀂃 um traço horizontal ( - ) quando o valor é zero; 
􀂃 três pontos ( ... ) quando não temos os dados; 
􀂃 zero ( 0 ) quando o valor é muito pequeno para ser expresso pela unidade 
utilizada; 
􀂃 um ponto de interrogação ( ? ) quando temos dúvida quanto à exatidão de 
determinado valor. 
Obs: O lado direito e esquerdo de uma tabela oficial deve ser aberto.. 
 
Muitas vezes, para organizarmos melhor os dados, fazemos o uso de tabelas. De maneira 
simplificada, uma tabela é um quadro resumindo o nosso conjunto de observações. 
Toda tabela deve conter, resumidamente: Título, Cabeçalho, Células e Fonte 
 
Gráficos 
A apresentação gráfica é um complemento importante da apresentação tabular. A principal 
vantagem de um gráfico sobre a tabela é o fato de que ele permite conseguir uma visualização 
imediata da distribuição dos valores observados. 
TABELA 
. 
Tipos de 
Frutas 
Quantidades 
 
Maçãs 10 
Bananas 18 
Pêras 15 
Goiabas 6 
Laranjas 20 
 
 
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a) Gráfico de Linhas 
Representa observações feitas ao longo do tempo, em intervalos iguais ou não. 
 
b) Gráfico de Barras e Gráfico de Colunas 
São indicados para representar séries categóricas (ou específicas) e séries geográficas. 
Os gráficos de barras são fáceis de construir e de ler, por isso são os mais populares. 
. 
c) Gráfico de Barras Múltiplas ou Agrupadas 
Utilizado quando é necessário uma comparação das distribuições de dois ou mais grupos de 
dados 
 
d) Gráfico de Barras Empilhadas ou Sobrepostas 
Utilizado para ilustrar uma representação proporcional dentro de um conjunto de dados. 
 
 
 
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e) Gráfico de Setores ou Pizza 
Utilizado para representar uma série categórica (ou específica). Neste tipo de gráfico todo o 
conjunto de dados é representado por um círculo, e cada categoria é representada por parte desse 
círculo (isto é, um setor). Cada setor é obtido por meio de regra de três simples, com o total da 
série valendo 360º 
Os gráficos circulares são uma boa forma de mostrar como um todo está repartido. 
 
f) Gráfico Pictóricos ou Pictogramas 
São construídos a partir de figuras ou conjuntos de figuras representativas da intensidade ou das 
modalidades do fenômeno. 
 
g) Gráfico Polar 
É o gráfico ideal para representar séries temporais cíclicas, isto é, séries temporais que 
apresentam em seu desenvolvimento determinada periodicidade. 
Exemplos: 
→ a variação da precipitação pluviométrica ao longo do ano ou da temperatura ao longo do dia; 
o consumo de energia elétrica durante o mês ou o ano; o número de passageiros de uma linha 
de ônibus ao longo da semana. 
 O gráfico faz uso do sistema de coordenadas polares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
50
100
150
200
Janeiro
Fevereiro
Março
Abril
Maio
Junho
Julho
Agosto
Setembro
Outubro
Novembro
Dezembro
Movimento de Compras da Empresa 
Beta 
 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
QUESTÃO 01 - Os pictogramas são gráficos que se representam através de: 
(a) barras. (b) união de pontos. (c) linhas. (d) figuras. (e) polígonos. 
 
QUESTÃO 02 - Assinale a alternativa correta: 
 
a) As fases principais do método estatístico são: 
i) Coleta dos dados, amostragem, apresentação tabular e apresentação gráfica e 
definição dos problemas. 
ii) Amostragem, apresentação tabular, apuração dos dados, interpretação dos dados e 
planejamento. 
iii) Definição do problema, planejamento, coleta dos dados, apuração, apresentação dos 
dados, análise e interpretação dos dados. 
 
b) A séria Estatística é chamada cronológica quando: 
i) O elemento variável é o tempo. 
ii) O elemento variável é o local. 
iii) Não tem elemento variável. 
 
QUESTÃO 03 - Com relação às normas de apresentação tabular, é correto afirmar que: 
(A) Uma tabela pode ser apresentada sem título, uma vez que este é um item opcional. 
(B) A moldura de uma tabela deve ter traços verticais que a delimitem à esquerda e à 
direita. 
(C) A fim de diminuir o espaço ocupado pelas colunas de uma tabela, é recomendado que a 
indicação das palavras do cabeçalho seja feita por meio de abreviações. 
(D) Toda tabela deve ter cabeçalho para indicar, em complemento ao título, o conteúdo das 
colunas. 
(E) O item da tabela inscrito no topo e que indica a natureza e a abrangência geográfica e 
temporal dos dados numéricos é chamado cabeçalho. 
 
QUESTÃO 04 - Em uma pesquisa eleitoral para verificar a posição de três candidatos a prefeito 
de uma cidade, 2700 pessoas foram consultadas. Se o resultado da pesquisa deve ser mostrado 
em três setores circulares de um mesmo disco e certo candidato recebeu 300 intenções de voto, 
então o ângulo central correspondente a este candidato deve ser: 
a) 45º b) 90° c) 20° d) 40° e) 60° 
 
QUESTÃO 05 - Dentre os resíduos industriais, destaca-se a emissão de gás carbônico, que causa 
o efeito estufa. O gráfico mostra como se distribuía a produção desse poluente em 1990. Se a 
produção dos países desenvolvidos era de 3,2 bilhões de toneladas, a produção dos países em 
desenvolvimento, em bilhões de toneladas, deve ser estimadas em cerca de: 
 
a) 2,7 
b) 2,1 
c) 1,8 
d) 1,5 
e) 1,2 
 
 
 
 
 
 
 
Professor Jackson – Universidade Estadual de Feira de Santana – Estatística Parte I - 
14 
 
[AULAS 5-6] : DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS 
 
Distribuição de frequências 
Uma distribuição de frequência é uma tabela na qual os possíveis valores de uma variável se 
encontram agrupados em classes, registrando-se o número de valores observados em cada classe. 
Os dados organizados em uma distribuição de frequência são chamados de dados agrupados. 
Ao estudar grandes conjuntos de dados, é conveniente resumi-los numa tabela, através do 
agrupamento dos dados em classes, com suas respectivas frequências. 
Quando os dados são discretos com valores repetidos, a simples identificação dos mesmos com 
as respectivas frequências, pode ser um procedimento adequado. 
Quando os dados são contínuos, pode acontecer que poucos, ou até nenhum deles, apresente 
frequência. Nestes casos, o procedimento começa pela definição de classes. Cada classe é 
determinada por um intervalo (diferença entre os limites superior e inferior). Neste caso, a 
distribuição de frequência é um tipo de tabela que condensa uma coleção de dados conforme as 
frequências (repetições de seus valores). 
 
CONCEITOS ESSENCIAIS 
 
a) Tabela primitiva ou dados brutos: É uma tabela ou relação de elementos que não foram 
numericamente organizados. É difícil formarmos uma ideia exata do comportamento do grupo 
como um todo, a partir de dados não ordenados. 
 
b) ROL:É a tabela obtida após a ordenação dos dados (crescente ou decrescente). 
 
c) Distribuição de frequência sem intervalos de classe: É a simples condensação dos dados 
conforme as repetições de seus valores. Para um ROL de tamanho razoável esta distribuição de 
frequência é inconveniente, já que exige muito espaço. 
 
d) Distribuição de frequência com intervalos de classe: Quando o tamanho da amostra é 
elevado é mais racional efetuar o agrupamento dos valores em vários intervalos de classe. 
 
Elementos de uma distribuição de frequência (com intervalos de classe): 
 
a) amplitude total da distribuição: é a diferença entre o limite superior da última classe e o 
limite inferior da primeira classe. AT = L(max) - l(min). 
 
b) amplitude total da amostra (rol): é a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da 
amostra (ROL). Onde H = Ls - Li. Obs: AT sempre será maior que H. 
 
c) classe: são os intervalos de variação da variável e é simbolizada por i e o número total de 
classes simbolizada por k. 
 
d) limites de classes: Li: Limite inferior de classe; LS: Limite superior de classe 
Classe ou Intervalo de classe  Li (incluir) |––– LS (excluir) 
 
e) Intervalo de Classe: É estabelecido com a finalidade de determinar quais elementos serão 
considerados como pertencentes à classe. Os quatro intervalos possíveis são representados por 
 “inclusive – exclusive”
 
“inclusive – inclusive” 
 
Professor Jackson – Universidade Estadual de Feira de Santana – Estatística Parte I - 
15 
 
f) amplitude do intervalo de classe: é obtida através da diferença entre o limite superior e inferior 
da classe e é simbolizada por hi = Li - li. 
Obs: Na distribuição de frequência c/ classe o hi será igual em todas as classes. 
Para cada classe, em uma distribuição de frequência, os limites de classe inferior e superior 
indicam os valores compreendidos pela classe. Há diversos métodospara determinar o número 
de classes (k). 
 
Cálculo de número total de classes 
Para montar uma distribuição de frequência é necessário que primeiramente se determine o 
número de classes (k) em que os dados serão agrupados. Não existe regra fixa para se determinar 
o número de classes (k). Contudo, neste material são apresentadas algumas: 
 
Regra 1: Fórmula de Sturges, que nos dá o número de classe em função em função do número de valores 
da variável: 
nK log*3.31 , onde n é o número de itens que compõe a amostra; 
 
Regra 2: se 25n , então 5K ; se 25 ≤ n < 100 então nK  , se n ≥ 100 então K = 5*log 
n, ou seja,









nknse
nknse
knse
log5,100
,10025
5,25
 
n= número total de observações. 
 
Regra 3: Bom senso!! 
 
Amplitude do intervalo de classe (h): 
k
H
h  , onde: h = Amplitude de classe; H = amplitude 
total; e k = número total de classes. 
Ponto Médio de classe (PM): é o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais. 
2
infsup LL
PM

 , onde supL = Limite superior da classe; infL = Limite inferior da classe; 
E os demais limites são obtidos somando-se c ao limite anterior 
 
TIPOS DE FREQÜÊNCIAS 
a) Frequência simples ou absoluta ( if ): é o valor que realmente representam o número de 
observações em uma determinada classe ou em um determinado atributo de uma variável 
qualitativa. A soma das frequências simples é igual ao número total dos dados da distribuição. 
nff i
k
i
i 
1
 (número total de observações) 
 
b) frequência relativa e percentual de classe 
Frequência relativa ( )rf : é o valor da razão (proporção) entre a frequência absoluta em uma 
determinada classe e a frequência total da distribuição. A soma das frequências relativas é igual 
a 1 (100%). A frequência relativa da i-ésima classe é dada pela divisão da frequência desta classe 
pela soma das frequências. Isto é 
n
f
fr ii  (Razão entre a frequência simples e o total de observações) 
 1ifr (Soma das frequências relativas) 
 
 
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16 
 
frequência percentual (i-ésima classe ou valor): 
A frequência relativa percentual da i-ésima classe é dada pela multiplicação da frequência 
relativa desta classe por 100 (cem). Então 100%  ii frf ou 100% 
n
f
f ii 
100%  if (Soma das frequências percentuais) 
 
c) frequência simples acumulada 
A frequência acumulada da i-ésima classe pode ser: 
 Crescente (do tipo “abaixo de” f-): É a soma da frequência da i-ésima classe com as 
frequências das classes anteriores. Então: 



i
j
ii ffac
1
 
Decrescente (do tipo “acima de” f+): É a soma da frequência da i-ésima classe com as 
frequências das classes posteriores. Então: 



n
ij
ji ffad 
d) frequência relativa e percentual acumulada 
ii ffrfrFr  21 , frequência relativa acumulada da i-ésima classe ou valor; 
%%%%% 321 ii ffffF   , frequência percentual acumulada da i-ésima classe ou 
valor 
 
REGRAS BÁSICAS 
1. Efetua-se um ROL ESTATÍSTICO (ordenação crescente ou decrescente de grandeza) nos 
Dados Brutos (aqueles ainda não organizados numericamente). 
2. Determina-se a AMPLITUDE TOTAL dos dados 
H = Ls – Li, onde Ls: maior valor observado e Li: menor valor observado 
3. Escolhe-se convenientemente o número de classes K (nº inteiro), 5 ≤ K ≤ 10 onde podemos 
tomar nK  ou a fórmula de Sturges nK log3,31  , n ≥ 25 (total de observações). 
Se possível determina-se, ou seja, constrói-se classes de mesma amplitude, tomando 
k
H
h  . 
4. Efetua-se o AGRUPAMENTO EM CLASSES e, a seguir, toma-se as FREQÜÊNCIAS 
SIMPLES DE CLASSES, elaborando-se, portanto, a tabela de distribuição de frequências. 
O primeiro elemento das classes seguintes sempre serão formadas pelo último elemento da classe 
anterior. 
 
Pontos importantes na construção de tabelas de frequências 
Intervalos de classes inadequados podem conduzir os usuários a erros: 
a) os intervalos de classe devem ser representativos, isto é, a média dos valores dentro do 
intervalo devem ser aproximadamente igual ao ponto médio da classe; 
b) os intervalos de classe devem ser do mesmo tamanho, a menos que determinada 
amplitude de valores precise de atenção particular; 
c) o número de intervalos de classe deve ser um meio-termo entre a quantidade exigida de 
detalhes e a facilidade com que o usuário pode assimilar os dados; 
d) a tabela de frequência deve atender o objetivo de identificar as características de uma 
variável. 
Em algumas situações, nossos interesses não são as frequências, ou seja, quantas observações 
caem em cada intervalo, mas a frequência acumulada, isto é, quantas observações caem acima 
(ou abaixo) de determinado valor. 
 
Professor Jackson – Universidade Estadual de Feira de Santana – Estatística Parte I - 
17 
 
A partir dos dados originais ou dos dados distribuídos em classes, podem-se representá-los 
graficamente. 
 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
O gráfico estatístico é uma forma de apresentação dos dados estatísticos, cujo objetivo é o de 
produzir, no investigador ou no público em geral, uma impressão rápida e viva do fenômeno em 
estudo, já que os gráficos falam mais rápidos que as séries (tabelas). 
Para tornarmos possível uma representação gráfica, estabelecemos uma correspondência entre os 
termos da série e determinada figura geométrica, de tal modo que cada elemento da série seja 
representado por uma figura proporcional. 
 
- REQUISITOS 
A representação gráfica de um fenômeno deve obedecer aos seguintes requisitos primordiais: 
a) Simplicidade - indispensável devido à necessidade de levar a uma rápida apreensão do 
sentido geral do fenômeno apresentado a fim de não nos perdermos na observação de minúcias 
de importância secundaria. 
b) Clareza - o gráfico deve possibilitar uma correta interpretação dos valores representativos do 
fenômeno em estudo. 
c) Veracidade - indispensável qualquer comentário, posto que, se não representa uma realidade, 
o gráfico perde sua finalidade. 
 
Os principais tipos de gráficos estatísticos para as distribuições de frequências são os 
DIAGRAMAS, os quais são gráficos geométricos de, no máximo duas dimensões. Para sua 
construção, em geral, fazemos uso do sistema cartesiano. 
Dentre os principais tipos de diagramas destacamos, segundo a variável em estudo: 
 
Variável Qualitativa  gráficos em barras ou colunas, gráficos em setores 
Variável Quantitativa  Distribuição por Intervalos histograma, polígono de frequências. 
 
Histograma 
É uma representação gráfica dos resultados das distribuições de frequências construídas de 
retângulos justapostos, cujas alturas são os segmentos de retas dados pelas frequências de cada 
classe e cujas larguras são proporcionadas pelo h. Dito de outra forma, o histograma é, 
simplesmente, o equivalente gráfico de uma tabela de frequências onde o eixo X estão os extremos 
inferiores de cada intervalo de classe e no eixo Y, estão as frequências correspondentes a cada 
classe. O histograma não é claro nos extremos dos intervalos de classe. 
 
Gráfico 1 - Alturas dos estudantes. 
Altura
188,3181,9175,4169,0162,6156,1149,7
Fr
eq
üê
nc
ia
14
12
10
8
6
4
2
0
 
Polígono de Frequência 
Polígono é um gráfico de linha de uma distribuição de frequência. O polígono é uma versão 
“suavizada” do histograma, porque é constituído unindo os pontos médios do topo de cada bloco 
do histograma. Para realmente obtermos um polígono (linha fechada), devemos completar a 
figura, ligando os extremos da linha obtida aos pontos médios da classe anterior à primeira e da 
posterior à última, da distribuição. 
 
 
 
Professor Jackson – Universidade Estadual de Feira de Santana – Estatística Parte I -18 
 
Gráfico 2 - Alturas dos estudantes 
 
Altura
188,3181,9175,4169,0162,6156,1149,7
F
re
qü
ên
ci
a
14
12
10
8
6
4
2
0
Polígono de 
freqüência 
 
.Polígono de frequência acumulada (ogiva): Uma outra maneira de representar graficamente, 
os dados analisados, é através do polígono de frequência acumulada (ogiva), que é traçado 
utilizando-se as frequências acumuladas a partir dos limites superiores de cada classe. A ogiva 
permite perceber qual a proporção de observações é maior/menor do que um dado valor. 
 
 
EXEMPLOS 
Exemplo 01: A amostra abaixo apresenta as vendas diárias de um determinado aparelho elétrico, 
durante um mês, por uma firma comercial: 
 14 -12 -11 -13 -14 -13 -12 -14 -13 -14 -11 -12 -12 -14 -10 -13 -15 -11 -15 -13 -16 -17 -14 -14 
Forme uma distribuição de frequências sem intervalos. 
 
Exemplo 02: Os dados seguintes referem-se ao tempo de espera (em minutos) de 30 clientes em 
uma fila de banco, em um dia de grande movimento: 
23 – 19 – 7 – 21 – 16 – 13 – 11 – 16 – 33 – 22 – 17 – 15 – 12 – 18 – 25 – 20 – 14 – 16 – 12 – 10 
– 8 – 20 – 16 – 14 – 19 – 23 – 36 – 30 – 30 – 28 – 35 
Construa uma tabela de frequência, agrupando as informações em classes. 
 
Exemplo 03: Completar os dados que faltam: 
Valores fi Fi Fr 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
4 
4 
 
7 
5 
 
7 
 
 
16 
 
28 
38 
45 
0,08 
 
0,16 
0,14 
 
 
0,14 
 
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19 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
QUESTÃO 01 -O conhecimento dos vários tipos de freqüência nos ajuda a responder muitas 
questões com relativa facilidade. Assim, conforme a tabela abaixo que representa a altura de 40 
alunos do curso de contabilidade, responda as seguintes questões: 
 
Estaturas (cm) (fi) 
150 |- 154 4 
154 |- 158 9 
158 |- 162 11 
162 |- 166 8 
166 |- 170 5 
170 |- 174 3 
 Fonte: desconhecida 
 
a)Quantos alunos têm estatura entre 154 cm inclusive e 158 cm exclusive? 
b)Qual a % de alunos cujas estaturas são inferiores a 154 cm? 
c)Quantos alunos têm estatura abaixo de 162 cm? 
d)Quantos alunos têm estatura não inferior a 158 cm? 
 
QUESTÃO 02 - Um estudo sobre o consumo diário de leite, de 200 famílias de certa região 
verificou-se que 20% das famílias consomem até 1 litro, 50% consomem entre 1 e 2 litros, 20% 
consomem entre 2 e 3 litros e o restante consome entre 3 e 4 litros. Para a variável estudada : 
a) Sintetize as informações na forma de uma tabela de freqüência; 
b) Elabore o histograma; 
 
QUESTÃO 03 - A amplitude total de um conjunto de números é 500. Se a distribuição de 
freqüências apresenta 20 classes, qual deverá ser o limite inferior e o ponto médio da quinta classe, 
se o limite superior da primeira classe é igual a 35? 
 
QUESTÃO 04 - Assinale a alternativa correta: 
 
a) A amplitude total é: 
i) A diferença entre dois valores quaisquer de um conjunto de valores. 
ii) A diferença entre o maior e o menor valor observado da variável dividido por 2. 
iii) A diferença entre o maior e menor valor observado da variável. 
 
b) Para obter o ponto médio de uma classe: 
i) Soma-se ao seu limite superior metade de sua amplitude. 
ii) Soma-se ao seu limite inferior metade de sua amplitude. 
iii) Soma-se ao seu limite inferior metade de sua amplitude e divide-se o resultado por 2. 
 
c) Frequência simples absoluta de um valor da variável é: 
i) O número de repetições desse valor. 
ii) A porcentagem de repetições desse valor. 
iii) O número de observações acumuladas até esse valor. 
 
d) Frequência total é: 
i) O número de repetições de um valor da variável. 
ii) A soma das freqüências simples absoluta. 
iii) A somadas freqüências relativas menos as freqüências absolutas. 
 
QUESTÃO 05 - Coloque F (falso) ou V (verdadeiro) nas afirmações abaixo, com relação aos 
elementos de uma distribuição de frequências, assinalando, a seguir, a opção correta. 
 
Professor Jackson – Universidade Estadual de Feira de Santana – Estatística Parte I - 
20 
 
( ) Rol são aqueles dados que ainda não forma numericamente organizados 
( ) Classes de frequência são intervalos de variação da variável. 
( ) Denomina-se limites de classes os extremos de cada classe. 
( ) A frequência relativa de uma classe é a frequência dessa classe dividida pelo total de todas 
elas e é, geralmente, expressa em porcentagem. 
(A) (V) (V) (V) (V) 
(B) (F) (V) (V) (V) 
(C) (V) (F) (F) (V) 
(D) (F) (F) (V) (V) 
(E) (F) (F) (F) (F) 
 
QUESTÃO 06 - Ao se unirem os pontos médios de cada uma das colunas de um histograma, é 
correto afirmar que se obterá o(a) 
(A) amplitude das classes. 
(B) polígono de frequências. 
(C) máximo da distribuição. 
(D) moda da distribuição. 
 
QUESTÃO 07 – Informe se é verdadeiro (V) ou falso (F) o que se afirma abaixo e depois 
assinale a alternativa que apresenta a sequência correta das letras, de cima para baixo. 
( ) Um histograma pode ser construído utilizando-se, indistintamente, as frequências absolutas 
ou relativas de um intervalo de classe. 
( ) O polígono de frequência é construído, ligando-se os pontos médios dos topos dos retângulos 
de um histograma. 
( ) O gráfico de setores é apropriado para a apresentação de séries temporais. 
( ) A Estatística Descritiva compreende as técnicas por meio das quais são tomadas decisões 
sobre uma população, com base na observação de uma amostra. 
a) F – F – V – V b) F – V – F – V c) V – V – F – F d) V – F – V – F 
 
 
 
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21 
 
AULAS 07-08: SOMATÓRIO E PRODUTÓRIO. 
SOMATÓRIO E PRODUTÓRIO 
A letra grega Σ (sigma maiúsculo) é utilizada como símbolo matemático de somatório dos 
possíveis valores de uma variável. Portanto, a soma de uma série representada pela variável X: 
x1, x2, x3, ..., xn, é: 
∑𝑥𝑖 = 𝑥1 + 𝑥2 +⋯+𝑥𝑛
𝑛
𝑖=1
 
 
que se lê somatório de x índice i, em que i varia de 1 até n. Se o índice do primeiro termo da 
série for zero, o símbolo é dado por: 
∑𝑥𝑖 = 𝑥0 + 𝑥1 +⋯+𝑥𝑛
𝑛
𝑖=0
 
 
As operações com somatórios dependem das seguintes propriedades: 
 
P1] Se k é uma constante arbitrária, então 
∑𝑘 = 𝑛 𝑘
𝑛
𝑖=1
 
Eis que pode ser demonstrado que: 
∑𝑘 = 𝑘 + 𝑘 +⋯+ 𝑘 = 𝑛𝑘
𝑛
𝑖=1
 
Exemplo: Calcular o somatório da série 5, 5, 5 e 5. 
∑5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 4𝑥5 = 20
4
𝑖=1
 
 
P2] Se k é uma constante e X uma variável, então 
∑𝑘𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
= 𝑘∑𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 
É verdade que 
kx1 + kx2 +. . . +kxn = k(x1 + x2 +. . . +xn) = 𝑘∑𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 
Exemplo: Para X : 2, 4, 6, resolver: 
∑8𝑥𝑖
3
𝑖=1
 
∑8𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
= 8∑𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
= 8(x1 + x2 + x3) = 8(2 + 4 + 6) = 8 x 12 = 96 
 
P3] Se X e Y são duas variáveis, a soma ou subtração pode ser distribuída: 
∑(𝑥𝑖 ± 𝑦𝑖)
𝑛
𝑖=1
=∑𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
±∑𝑦𝑖
𝑛
𝑖=1
 
Veja a demonstração a seguir: 
 
Professor Jackson – Universidade Estadual de Feira de Santana – Estatística Parte I - 
22 
 
∑(𝑥𝑖 ± 𝑦𝑖)
𝑛
𝑖=1
= (𝑥1 + 𝑦1) ± (𝑥2 + 𝑦2)±. . . ±(𝑥𝑛 + 𝑦𝑛)
= (𝑥1 + 𝑥2 +⋯+𝑥𝑛) ± (𝑦1 + 𝑦2 +⋯+𝑦𝑛) 
Exemplo: Para X: 2, 4, 6 e X: 1, 3, 5, resolver: 
∑(𝑥𝑖 + 𝑦𝑖)
3
𝑖=1
 
∑(𝑥𝑖 + 𝑦𝑖)
3
𝑖=1
=∑𝑥𝑖
3
𝑖=1
+∑𝑦𝑖 = (2 + 4 + 6) + (1 + 3 + 5) = 21
3
𝑖=1
 
 
P4] A soma do produto é diferente do produto da soma de duas variáveis. 
∑(𝑥𝑖𝑦𝑖)
𝑛
𝑖=1
≠∑𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
∑𝑦𝑖
𝑛
𝑖=1
 
Pois (x1y1+ x2y2+...+ xnyn)(x1+x2+...+xn)(y1+y2+...+yn) 
 
Exemplo: Sejam X: 2,4,6 e Y:1,3,5. Consequentemente: 
∑(𝑥𝑖𝑦𝑖)
3
𝑖=1
= (x1y1 + x2y2 + x3y3) = 2x1 + 4x3 + 6x5 = 2 + 12 + 30 = 44 
∑𝑥𝑖
3
𝑖=1
∑𝑦𝑖
3
𝑖=1
= (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3)(𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3) = (2 + 4 + 6)(1 + 3 + 5) = 12𝑥9 = 108 
Efetivamente, 44  108. 
 
P5] A soma do quociente de duas variáveis é diferente do quociente deduas somas. 
∑
𝑥𝑖
𝑦𝑖
𝑛
𝑖=1
≠
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
∑ 𝑦𝑖
𝑛
𝑖=1
, 𝑝𝑜𝑖𝑠 
𝑥1
𝑦1
+
𝑥2
𝑦2
+. . . +
𝑥𝑛
𝑦𝑛
≠
x1 + x2 +. . . +xn
𝑦1 + 𝑦2 +⋯+𝑦𝑛
 
 
Exemplo: Sejam X: 2,4,6 e Y:1,3,5. Consequentemente: 
𝑥1
𝑦1
+
𝑥2
𝑦2
+
𝑥3
𝑦3
≠
x1 + x2 + x3
𝑦1 + 𝑦2+𝑦3
→
2
1
+
4
3
+
6
5
≠
2 + 4 + 6
1 + 3 + 5
→ 4,53 ≠ 1,33 
 
P6] O quadrado de uma soma é diferente da soma dos quadrados: 
(∑𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
)
2
≠∑𝑥𝑖
2
𝑛
𝑖=1
, 𝑝𝑜𝑖𝑠(𝑥1 + 𝑥1 +⋯+𝑥𝑛)
2 ≠ 𝑥1
2 + 𝑥2
2+. . . +𝑥𝑛
2 
 
Exemplo: Sejam X: 2,4,6 . Consequentemente: 
(2+4+6)2  22+42+62 → 122  4+16+36 → 144  56 
 
P7] Somatório múltiplo – É o mesmo que calcular o produto de duas ou mais somas. 
∑∑(𝑥𝑖
𝑚
𝑗=1
𝑦𝑖)
𝑛
𝑖=1
=∑𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
∑𝑦𝑖
𝑚
𝑗=1
= (𝑥1 + 𝑥2 +⋯+𝑥𝑛) (𝑦1 + 𝑦2 +⋯+𝑦𝑚) 
 
Exemplo: Sejam X: 2,4,6 e Y:1,3,5. Consequentemente: 
∑∑(𝑥𝑖
3
𝑗=1
𝑦𝑖)
3
𝑖=1
=∑𝑥𝑖
3
𝑖=1
∑𝑦𝑖
3
𝑗=1
= (𝑥1 + 𝑥2+𝑥3) (𝑦1 + 𝑦2+𝑦3) 
= (2+4+6)(1+3+5)=12 x 9 = 108. 
 
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23 
 
De modo similar ao caso da soma, a letra grega  (pi) é utilizada como símbolo de produto. 
Assim, a multiplicação dos possíveis valores de uma série denotada pela variável X: x1, x2, x3, 
..., xn, é feita de modo abaixo: 
∏𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
, 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑙ê 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡ó𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑥 í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑖, 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑖 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 1 𝑎𝑡é 𝑛. 
𝑆𝑒𝑛𝑑𝑜 ∏𝑥𝑖 = 𝑥1×𝑥2×…×𝑥𝑛, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥𝑖 ≠ 0
𝑛
𝑖=1
 
Exemplo: Para X: 2,3,4, determine: 
∏𝑥𝑖
4
𝑖=1
 
∏𝑥𝑖 = 𝑥1×𝑥2×𝑥3×𝑥4 =
4
𝑖=1
2𝑥3𝑥4𝑥5 = 120 
 
Exercícios propostos: 
1. Coloque as seguintes expressões sob a forma de Somatório: 
a) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8; 
b) 12 + 22 + 32 + 42 + 52; 
c) 5𝑥1
2 + 5𝑥2
2 + 5𝑥3
2 + 5𝑥4
2 
d) (x1+x2+...+xk) + (1 + 2 + ... + k) 
e) 2x1y1+ 2x2y2+...+2xmyn 
f)x1y1+x2y2+...+xmyn
 
2. Resolva os seguintes somatórios para X: 2, 4, 5 e Y: 1, 3, 6. 
𝑎) ∑(𝑥𝑖
2 − 1)2
3
𝑖=1
 𝑏) ∑(𝑥𝑖
2 + 𝑦𝑖)
3
𝑖=1
 𝑐) ∑
𝑥𝑖
2
2𝑦𝑖
3
𝑖=1
 
 
3. Para X = 2, 3, 4, 5 e Y:1, 3, 2, 7. Resolva: 
∑𝑥𝑖
3 ÷ 2
4
𝑖=1
∑(𝑦𝑖 +
2
3
)
4
𝑗=1
 
 4. Com os valores do quadro abaixo, calcule os somatórios dados a seguir: 
X 0 1 2 3 4 5 
Y 3 5 7 8 10 13 
𝑎)∑𝑥𝑖
6
𝑖=1
∑𝑦𝑖
6
𝑗=1
 𝑏) ∑𝑥𝑖
6
𝑖=1
𝑦𝑖 𝑐) ∑𝑥𝑖
2
6
𝑖=1
𝑦𝑖 𝑑) (∑𝑥𝑖
6
𝑖=1
)
2
 𝑒) ∑𝑦𝑖
2
6
𝑖=1
 
𝑓) ∑(𝑥𝑖 − 2,5)
2𝑦𝑖
6
𝑖=1
 𝑔)∑(𝑥𝑖 − 2,5) ℎ) 
6
𝑖=1
∑(𝑥𝑖 − 2,5)
2 𝑖) 
6
𝑖=1
 ∑𝑥𝑖
2
6
𝑖=1
 
 
Respostas: 2 ) a) 810 b) 55 c) 27/4 4) a) 690 b) 148 c) 590 d) 225 e) 416 f) 137,25 g) 0 
h) 17,5 i) 55 
 
 
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24 
 
AULAS 09-10: MEDIDAS DE POSIÇÃO: MÉDIA ARITMÉTICA 
 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
Introdução 
 
São medidas que possibilitam representar resumidamente um conjunto de dados relativos à 
observação de um determinado fenômeno, pois orientam quanto à posição da distribuição no eixo 
dos X, permitindo a comparação das séries de dados entre si pelo confronto desses números. 
As medidas de posições mais importantes são as medidas de tendência central ou promédias 
(verifica-se uma tendência dos dados observados a se agruparem em torno dos valores centrais). 
As medidas de tendência central mais utilizadas são: média aritmética, moda e mediana. Outros 
promédios menos usados são as médias: geométrica, harmônica, quadrática, cúbica e 
biquadrática. 
As outras medidas de posição são as separatrizes, que englobam: a própria mediana, os decis, os 
quartis e os percentis. 
 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
As medidas de tendência central (ou de posição) servem para ressaltar as características de cada 
distribuição, isoladamente ou em confronto com outras. 
 
MÉDIAS 
A Média, também chamada de Esperança, Esperança Matemática, Valor Esperado ou, 
ainda, Expectância de uma Variável Aleatória, pode ser: 
MÉDIA 
{
 
 
 
 𝐴𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎 {
𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠 
𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎
𝐺𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎
𝐻𝑎𝑟𝑚ó𝑛𝑖𝑐𝑎
𝑄𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎
 
 
Média Aritmética 
A média aritmética, ou daqui para diante simplesmente média, é a medida de tendência central 
mais utilizada, porque, além de ser fácil de calcular, tem uma interpretação familiar e propriedades 
estatísticas que a tornam muito útil nas comparações 
entre populações e outras situações que envolvem inferências. Uma vantagem da média é que ela 
leva em conta todos os valores no seu cálculo, uma desvantagem é que ela é afetada por valores 
extremos. Essa medida representa uma espécie de centro de gravidade dos valores. Se os dados 
são de uma amostra, a média é denotada por x , se os dados são de uma população, a média é 
denotada pela letra grega μ . 
 
A média aritmética é igual ao quociente entre a soma dos valores do conjunto e o número total 
dos valores. 
�̅� = 
∑ 𝒙𝒊
𝒏
 
onde xi são os valores da variável e n o número total dos valores. 
 
Dados não-agrupados: 
Quando desejamos conhecer a média dos dados não-agrupados em tabelas de frequências, 
determinamos a média aritmética simples. 
 
Propriedades da média: 
1ª A média de uma constante é a própria constante. 
 
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25 
 
�̅� = 
∑𝑲
𝒏
= 𝑲 
 
2ª propriedade: A soma algébrica dos desvios em relação à média é nula. 
(𝑥1 − �̅�) + (𝑥2 − �̅�) + ⋯+ (𝑥𝑛 − �̅�) = 0 
 
3ª propriedade: Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (k) a todos os valores de uma 
variável, a média do conjunto fica aumentada ( ou diminuída) dessa constante. 
�̅� = 
∑ 𝒙𝒊
𝒏
→
∑(𝒙𝒊 ± 𝒌)
𝒏
= �̅� ± 𝒌 
 
4ª propriedade: Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma 
constante (c), a média do conjunto fica multiplicada ( ou dividida) por essa constante. 
�̅� = 
∑𝒙𝒊
𝒏
→
∑(𝒙𝒊. 𝒌)
𝒏
= �̅�. 𝒌 
5ª propriedade: A média da soma ou diferença de 2 Variáveis Aleatórias é a soma ou diferença 
das médias. 
 𝑿 ± 𝒀̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ =
∑(𝒙𝒊 ± 𝒚𝒊)
𝒏
=
∑𝒙𝒊
𝒏
±
∑𝒚𝒊
𝒏
= �̅� ± �̅� 
 
6ª propriedade: A média do produto de 2 Variáveis Aleatórias independentes é o produto das 
médias. 
 𝑿×𝒀̅̅ ̅̅ ̅̅ =
∑(𝒙𝒊×𝒚𝒊)
𝒏
=
∑𝒙𝒊
𝒏
××
∑𝒚𝒊
𝒏
= �̅�×�̅� 
 
Média Aritmética Ponderada: 
Quando as observações tiverem pesos diferentes, esses pesos terão influência sobre a média. 
Assemelha-se ao cálculo da média aritmética simples para dados agrupados, bastando que 
troquemos as freqüências pelos pesos. Então: 
�̅�𝑝 =
∑𝑥𝑖𝑃𝑖
∑𝑃𝑖
 
Onde: 
∑𝑥𝑖𝑃𝑖  é a soma dos produtos de cada valor observado pelo seu respectivo peso 
∑𝑃𝑖  é a soma dos pesos 
 
Dados agrupados: 
Sem intervalos de classe 
Como as frequências são números indicadores da intensidade de cada valor da variável, elas 
funcionam 
como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética ponderada, dada pela 
fórmula: 
�̅� = 
∑ 𝒙𝒊𝒇𝒊
𝒏
 
 
Com intervalos de classe 
Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de 
classe 
coincidem com o seu ponto médio, e determinamos a média aritmética ponderada por meio da 
fórmula: 
�̅� = 
∑ 𝒙𝒊𝒇𝒊
𝒏
 
onde Xi é o ponto médio da classe. 
 
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26 
 
EXEMPLOS: 
 
Exemplo 01 - Uma escola tem 18 professores. Um deles se aposenta e é substituído por um 
professor de 22 anos. Com isso a média das idades dos professores diminui de 2 anos. Qual é a 
idade do professor que se aposentou? 
Exemplo 02 - Numa escola é adotado o seguinte critério: a nota da primeira prova é 
multiplicada por 1, a nota da segunda prova é multiplicada por 2 e a da última prova é 
multiplicada por 3. Os resultados,após somados, são divididos por 6. Se a média obtida por esse 
critério for maior ou igual a 6,5 o aluno é dispensado das atividades de recuperação. Suponha 
que um aluno tenha tirado 6,3 na primeira prova e 4,5 na segunda. Quanto precisará tirar na 
terceira para ser dispensado da recuperação? 
Exemplo 03 -A média aritmética de 5 números é 13,4. Quanto preciso adicionar a cada um 
deles para que a nova média seja igual a 14,2. 
Exemplo 04 - A idade média do corpo docente de um colégio é de 38 anos. Com a 
aposentadoria do professor Baltazar, o mais velho deles, a nova média das idades dos 11 
professores restantes passou a ser de 35 anos. Com que idade se aposentou o professor Baltazar? 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
QUESTÃO 01- Ao tomar uma amostra de 40 pessoas e observar o número de cáries que 
apresentam, foram registrados os seguintes dados: 
Número de cáries 1 2 3 4 5 6 7 8 
Número de pessoas 2 6 10 5 10 3 2 2 
Marque a opção que mostra a média aritmética 
(a) 4,2. (b) 4,3. (c) 4,4. (d) 4,05. (e) 4,6. 
 
QUESTÃO 02 - Uma distribuição de frequência com dados agrupado sem classe forneceu os 
pontos médios de classes m e as respectivas frequências absolutas f abaixo: 
m f 
49 7 
52 15 
55 12 
58 5 
61 1 
 
Calcule a média aritmética simples dos dados. 
a) 52. b) 52,25. c) 53,35. d) 54,15. e) 55. 
 
QUESTÃO 03 -A tabela abaixo representa a quantidade de alunos e suas respectivas notas em 
uma prova de estatística em uma classe de 30 alunos: 
Nota Nº de Alunos 
4 6 
5 4 
6 3 
7 7 
8 2 
9 3 
10 5 
Qual foi a média da classe nessa prova? 
a) 5,8 b) 6,8 c) 7,8 d) 6,0 e) 5,0 
 
QUESTÃO 04 -De acordo com a tabela abaixo, pode-se afirmar que: 
 
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27 
 
 
A média aritmética dos pesos é, aproximadamente: 
A) 5,30 kg; B) 5,27 kg; C) 5,24 kg; D) 5,21 kg; E) 5,19 kg 
 
QUESTÃO 05 - Para que a média aritmética das notas de uma turma de 20 alunos aumentasse 
em 0,1, alterou-se uma dessas notas para 7,5. Antes da alteração, tal nota era: 
a) 5,5 b) 6,0 c) 7,4 d) 7,6 e) 8,5 
 
QUESTÃO 06 - Um funcionário foi avaliado durante o 1º semestre de um ano obtendo para 
cada mês as seguintes notas, referente ao quesito produtividade: 7,5; 8,0; 7,0; 6,7; 9,5; 9,0. 
Considerando para os meses pares peso 2 e para os ímpares peso 1 a nota média foi de: 
a) 7,75 b) 7,83 c) 7,85 d) 7,93 e) 7,95 
 
QUESTÃO 07 - Considere a tabela abaixo, correspondente à quantidade de processos, de um 
determinado tipo, analisados por dia no setor jurídico de uma repartição pública durante um 
período de 250 dias úteis. 
 Quantidade de processos (n) analisados no dia 0 1 2 3 4 5 
Número de dias em que foram analisados n processos 10 40 100 70 25 5 
O valor da média aritmética (quantidade de processos por dia) é igual a: 
a) 2,56. b) 2,40. c) 2,34. d) 2,30. e) 2,26. 
 
QUESTÃO 08 – Para os valores de uma determinada característica, foram observados os 
seguintes valores: {2, 3, 2, 1, 3}. Qual o valor da média ponderada, sabendo que os pesos são 
respectivamente {1, 3, 2, 1, 3}? 
a) 2,5 b) 2,4 c) 2,3 d) 2,2 e) 2,1 
 
QUESTÃO 09 - Um analista calculou a média amostral de vinte e cinco observações e obteve 
12,80. Mais tarde, percebeu que havia se enganado em relação a uma das observações, cujo 
valor correto era 18,6 em vez de 22,6, o valor usado pelo pesquisador para calcular a média. O 
valor correto da média amostral é: 
(A) 10,06 (B) 10,28 (C) 11,36 (D) 12,64 
 
QUESTÃO 10 - A medida de posição mais usada é a média de uma série. Uma das principais 
desvantagens é: 
(A) não usa todos os dados disponíveis. 
(B) difícil de incluir em equações matemáticas. 
(C) é afetada pelos valores extremos. 
(D) pode estar afastada do centro das observações. 
 
QUESTÃO 11 - Um estudo realizado para controle do consumo de Energia elétrica identificou o 
número de lâmpadas acesas em 16 apartamentos no horário de pico, distribuídos na tabela a seguir: 
Lâmpadas acesas fi 
0 6 
1 4 
2 5 
3 1 
Total 16 
Qual é a média de lâmpadas acesas? 
(A) 16 (B) 6,07 (C) 3,5 (D) 0,06 (E) 1,06 
 
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28 
 
QUESTÃO 12 - Como podemos classificar a Variável Aleatória da questão anterior? 
(A) Quantitativa contínua. 
(B) Qualitativa nominal. 
(C) Quantitativa discreta. 
(D) Qualitativa ordinal. 
(E) Quantitativa ordinal. 
 
QUESTÃO 13 – Considere a distribuição de frequências abaixo, referente aos salários dos 
empregados de uma empresa em setembro de 2008. 
Salários (R$) Frequências Simples Absolutas 
500,00|-------1.000,00 100 
1.000,00|-------1.500,00 300 
1.500,00|-------2.000,00 500 
2.000,00|-------2.500,00 400 
2.500,00|-------3.000,00 300 
O valor da média aritmética dos salários dos empregados desta empresa, calculado considerando 
que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto 
médio deste intervalo, pertence ao intervalo de classe que contém 
(A) 6,25% dos empregados. 
(B) 12,50% dos empregados. 
(C) 18,75% dos empregados. 
(D) 25,00% dos empregados. 
(E) 31,25% dos empregados. 
 
QUESTÃO 14 – Um aluno obteve as notas 3,0; 3,5; 4,5 e 6,0 nas quatro avaliações realizadas 
durante o semestre. O aluno que não consegue a média 6,0 nas quatro avaliações deve realizar o 
exame final. Na composição da média final, a média das quatro avaliações tem peso 4,0, e a 
nota do exame final tem peso 6,0. O aluno será considerado aprovado se atingir média final 
maior ou igual a 5,0. Qual a nota mínima que o aluno em questão deverá obter no exame final 
para obter aprovação? 
(A) 4,25. (B) 5,5. (C) 5,75. (D) 6,1. (E) 7,2. 
 
QUESTÃO 15 – Considere hipoteticamente que cinco pessoas obesas seguem uma dieta de 
emagrecimento. A tabela a seguir apresenta o número de quilogramas (kg) perdidos por cada 
uma delas durante o período de tratamento. 
N o do indivíduo 1 2 3 4 5 
Duração X (meses) 4 3 1 5 2 
Número Y de kg perdidos 9 6 4 11 5 
O valor da média aritmética da variável Y é igual a 
(A) 5. (B) 6. (C) 7. (D) 15. (E) 35. 
 
QUESTÃO 16 - Um aluno quer calcular a média ponderada de suas 5 qualificações. A segunda 
qualificação vale o dobro da primeira, a terceira é três vezes a primeira, a quarta vale 4 vezes a 
primeira e a quinta 5 vezes a primeira. 
Se suas qualificações são 8,5; 7,3; 8,3; 6,4 e 9,2,podemos afirmar que a média ponderada do 
aluno é 
(a) 7,94. (b) 6,5. (c) 7,3. (d) 7,97. (e) 6,8. 
 
QUESTÃO 17 – A média aritmética dos salários dos 100 empregados em uma empresa é de R$ 
1.500,00. Na hipótese de serem demitidos 20 empregados, que ganham cada um o salário de R$ 
2.500,00, e ser concedido, posteriormente, um aumento de 10% em todos os salários dos 
remanescentes, a nova média aritmética dos salários será de 
a) R$ 1 375,00 b) R$ 1 350,00 c) R$ 1 345,00 d) R$ 1 320,00 e) R$ 1 300,00 
 
 
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29 
 
AULAS 11-12: MÉDIAS GEOMÉTRICA E HARMÔNICA 
Média Geométrica 
 
A Média Geométrica de um conjunto de n valores observados X1, X2, X3, ... Xn é a raiz de 
ordem n do produto desses valores, ou seja, é a raiz n-ésima do produto de todos eles. 
Média Geométrica Simples: 
�̅�𝒈 = √𝑿𝟏. 𝑿𝟐. … . 𝑿𝒏
𝒏
 ou �̅�𝒈 = (𝑿𝟏. 𝑿𝟐. … . 𝑿𝒏)
𝟏
𝒏 
onde: n é o número de observações 
 Xi é o valor observado de ordem i 
 
A Média Geométrica é bem menos usada que a Média Aritmética, pois para um número grande 
de observações apresenta a desvantagem de ter um processo de cálculo muito longo e trabalhoso. 
MédiaGeométrica Ponderada : 
 
�̅�𝒈𝒑 = √𝑿𝟏
𝒇𝟏
. 𝑿𝟐
𝒇𝟐
. … . 𝑿𝒊
𝒇𝒊∑𝒇𝒊
 ou �̅�𝒈 = (𝑿𝟏
𝒇𝟏
. 𝑿𝟐
𝒇𝟐
. … . 𝑿𝒊
𝒇𝒊
)
𝟏
∑𝒇𝒊 
 
.Propriedades da Média Geométrica 
1ª propriedade: O produto dos quocientes de cada valor de um conjunto de números pela média 
geométrica do conjunto é = 1. 
.2ª propriedade: Séries que apresentam o mesmo número de elementos com o mesmo produto têm 
a mesma média geométrica. 
.3ª propriedade: A média geométrica é menor ou igual a média aritmética. 
A desigualdade �̅�𝑔 ≤ �̅�..sempre se verifica, quando os valores da série forem positivos e nem 
todos iguais. Se entre eles houver um ou mais zeros, a média geométrica será nula. 
A igualdade �̅�𝑔 = �̅�..só ocorrerá quando todos os valores da série forem iguais. 
.4ª propriedade: Quanto maior a diferença entre os valores originais maior será diferença entre as 
médias aritmética e geométrica. Veja na tabela abaixo: 
 
conjunto média aritmética média geométrica 
X = {2, 2} 2 2 
Y = {14, 16} 15 14,97 
W = {8, 12} 10 9,8 
Z = {2, 50} 26 10 
 
.Aplicações da Média Geométrica 
a) Média de Relações 
Empresa Capital líquido Dívida Capital líquido/Dívida 
A 2.500 1.000 2,5 
B 1.000 2.000 0,5 
R: 1,1180 
Obs: Se, para uma determinada empresa, se deseja estabelecer uma relação do tipo capital/dívida 
que seja independente da dívida ou do capital das diferentes empresas envolvidas, é recomendável 
o uso da média geométrica. Se o que se deseja saber é a relação capital/dívida de um certo 
número de empresas, após a consolidação, a cifra correta será obtida através da média aritmética. 
 
b) Média em distribuições assimétricas 
 
c) Média de taxas de variação 
 
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30 
 
Exemplo: Suponhamos que um indivíduo tenha aplicado um capital de R$ 500,00 em 1995. Após 
um ano de aplicação, essa importância chegou a R$ 650,00. Reaplicando essa última quantia, ao 
final de mais um ano seu montante situava-se em R$ 910,00. Qual a taxa média de aumento de 
capital ? 
Período Taxa 
1995 a 1996 650/500 = 1,3 
1996 a 1997 910/650 = 1,4 
Resposta: 1,3491 
 
Exercício: Uma categoria de operários terá um aumento salarial de 20% após um mês, 12% após 
dois meses e 7% após três meses. Qual o percentual médio mensal de aumento desta categoria? 
 
MÉDIA HARMÔNICA 
 
A Média Harmônica de um conjunto de n valores observados X1, X2, X3, ... Xn será o resultado 
da divisão da quantidade n de elementos do conjunto pelo somatório dos inversos dos valores 
observados, ou seja, é o inverso da média aritmética dos inversos. 
 
Observação: A média harmônica é útil quando temos séries de valores inversamente 
proporcionais, como é o caso do cálculo da velocidade média, do tempo médio de escoamento de 
estoques, do custo médio de bens adquiridos por uma quantia fixa, etc. 
 
Média Harmônica Simples:.(para dados não agrupados) 
�̅�ℎ =
1
1
𝑋1
+
1
𝑋2
+⋯+
1
𝑋𝑛
𝑛
 ou �̅�ℎ =
𝑛
1
𝑋1
+
1
𝑋2
+⋯+
1
𝑋𝑛
= 
𝑛
∑
1
𝑋𝑖
 
onde : ∑
1
𝑋𝑖
 é o soma dos inversos dos valores observados 
 n = número de observações 
 
Pelo mesmo motivo da Média Geométrica, a Média Harmônica também é pouco usada. 
 
Média Harmônica Ponderada : (para dados agrupados em tabelas de freqüências) 
�̅�ℎ𝑝 =
∑𝑓𝑖
∑
𝑓𝑖
𝑋𝑖
 
 
Exemplo - Calcular a média harmônica dos valores da tabela abaixo: 
classes ....fi.... ....xi.... ........fi/xi........ 
1 |--------- 3 2 2 2/2 = 1,00 
3 |--------- 5 4 4 4/4 = 1,00 
5 |--------- 7 8 6 8/6 = 1,33 
7 |--------- 9 4 8 4/8 = 0,50 
9 |--------- 11 2 10 2/10 = 0,20 
total 20 4,03 
Resp: 20 / 4,03 = 4,96 
 
Propriedades da média harmônica 
A média harmônica é menor que a média geométrica para valores da variável diferentes de zero. 
�̅�ℎ ≤ �̅�𝑔 
 e por extensão de raciocínio podemos escrever :..�̅�ℎ ≤ �̅�𝑔 ≤ �̅� 
 
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31 
 
 
OBS: A média harmônica não aceita valores iguais a zero como dados de uma série. 
 
A igualdade �̅�ℎ = �̅�𝑔 = �̅� só ocorrerá quando todos os valores da série forem iguais. 
OBS: Quando os valores da variável não forem muito diferentes, verifica-se aproximadamente a 
seguinte relação: 
 
�̅�𝑔 =
�̅�ℎ + �̅�
2
 
 
Exercício: Um veículo realizou o trajeto de ida e volta entre as cidades A e B. Na ida ele 
desenvolveu uma velocidade média de 80 km/h, na volta a velocidade média desenvolvida foi de 
120 km/h. Qual a velocidade média para realizar todo o percurso de ida e volta? 
 
OBS: 
• Sempre que os valores de X forem positivos e pelo menos um dado diferente é válida a seguinte 
relação: �̅� ≥ �̅�𝑔 ≥ �̅�ℎ 
• A igualdade entre as médias acima se verifica quando os valores da variável forem iguais 
(constantes) 
 
EXEMPLOS 
 
QUESTÃO 01 - A Casa & Vídeo possui um estoque de 100 televisores na filial Méier e de 200 
televisores na filial Copacabana. O primeiro esgota-se em 2 meses e o segundo em 5 meses. 
Determinar o tempo médio de escoamento de ambos os estoques. 
 
QUESTÃO 02 - Em uma pesquisa sobre a duração de um certo sabonete junto a 55 famílias 
com o mesmo número de pessoas e a mesma classe social, obtivemos os resultados a seguir. 
Calcular a duração média do sabonete. 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
QUESTÃO 01 - A respeito dos diversos tipos de média, assinale a alternativa correta. 
a) A média harmônica dos elementos do conjunto {1, 2, 3, 4} é superior à média aritmética desses 
números. 
b) A média harmônica os elementos do conjunto {1, 2} é igual a 2/3. 
c) Dados o conjunto de valores positivos {x1, x2, x3, ..., xn}, denominando A média aritmética, 
G média geométrica e H a média harmônica, sempre temos que: 
H  A  G. 
d) Em um determinado bimestre, as inflações mensais, foram 28% e 62%. A inflação média do 
período foi 1,44. 
 
QUESTÃO 02 - Um carro viaja 120 km de A até B, a uma velocidade de 30 km/h, mas faz a 
volta a uma velocidade de 40 km/h. Qual a velocidade média, ida e volta, do percurso? 
 
QUESTÃO 03 - Considerando que a estatística reúne importantes ferramentas para a análise e a 
interpretação de dados, julgue o item a seguir. As séries X = {2, 6, 30} e Y = {5, 6, 12} 
 
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possuem a mesma média geométrica e a mesma mediana; porém, a diferença entre as médias 
geométrica e aritmética será maior na série X. 
( ) CERTO ( ) ERRADO 
 
QUESTÃO 04 – Digamos que uma categoria de operários tenha um aumento salarial 
de 20% após um mês, 12% após dois meses e 7%após três meses. Qual o percentual médio 
mensal de aumento desta categoria? 
a) 11,57% b) 12,0% c) 12,87% d) 13,0% e) 13,37% 
 
QUESTÃO 05 - Para um conjunto determinado de números positivos, tem-se : MA como a 
Média Aritmética, MG como a Média Geométrica e MH como a Média Harmônica. Sobre isso, 
é CORRETO afirmar que 
a) MH menor ou igual a MG menor ou igual a MA. 
b) MG maior que MA maior que MH. 
c) MA menor ou igual a MG menor ou igual a MH. 
d) MA menor ou igual a MH menor ou igual a MG. 
e) MH maior que MG maior que MA. 
 
QUESTÃO 06 – Um comerciante vendeu oito pares de sapatos por R$ 100,00 cada. Na semana 
seguinte, reduziu o preço para R$ 90,00 cada, tendo vendido dez pares. Finalmente, concedeu 
novo desconto, para vender os últimos doze pares, por R$ 80,00 cada. Qual foi, 
aproximadamente, o preço médio de cada par de sapatos? 
a) R$ 88,70. b) R$ 91,30. c) R$ 92,25. d) R$ 97,60. 
 
QUESTÃO 07 – Uma pessoa comprou em três trimestres consecutivos combustível aos 
seguintes preços: $ 5,00, $ 6,00 e $ 8,00 o litro respectivamente. Determinar o custo médio 
(CM) em todo o período considerado. Considerando o mesmo consumo monetário. (ex: 
$240/trimestre) temos: 
a) $ 6,33 b) $ 6,10 c) $ 6,00d) $ 5,83 e) nda 
 
 
 
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AULAS 13-14: MODA E MEDIANA 
MODA - (Mo) 
 
É o valor que mais aparece ou o de maior frequência simples (absoluta ou relativa) numa 
distribuição de frequência. A Moda pode não existir; existindo, pode não ser única. 
Uma distribuição pode ser: Amodal (não há Moda - todas os valores observados aparecem o 
mesmo número de vezes), Unimodal (uma só Moda), Bimodal (quando tem duas Modas) ou 
Multimodal (tem várias Modas). 
Desse modo, o salário modal dos empregados de uma fábrica é o salário mais comum, isto é, o 
salário recebido pelo maior número de empregados dessa fábrica. 
 
A Moda quando os dados não estão agrupados 
A moda é facilmente reconhecida: basta, de acordo com definição, procurar o valor que mais se 
repete. 
Exemplo: Na série { 7 , 8 , 9 , 10 , 10 , 10 , 11 , 12 } a moda é igual a 10. 
Há séries nas quais não exista valor modal, isto é, nas quais nenhum valor apareça mais vezes que 
outros. 
Exemplo: { 3 , 5 , 8 , 10 , 12 } não apresenta moda. A série é amodal. 
Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de concentração. Dizemos, então, que a série 
tem dois ou mais valores modais. 
Exemplo: { 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8 , 9 } apresenta duas modas: 4 e 7. A série é bimodal. 
 
A Moda quando os dados estão agrupados 
 
a) Sem intervalos de classe 
Uma vez agrupados os dados, é possível determinar imediatamente a moda: basta fixar o valor da 
variável de maior freqüência. 
 
b) Com intervalos de classe 
Se os dados de uma variável quantitativa estão dispostos em uma tabela agrupada em classes, e 
não há acesso aos dados originais, é possível encontrar a moda por vários procedimentos. 
Vamos apresentar três. 
 
i) moda bruta 
A classe que apresenta a maior frequência é denominada classe modal. Pela definição, podemos 
afirmar que a moda, neste caso, é o valor dominante que está compreendido entre os limites da 
classe modal. O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o ponto médio 
da classe modal. 
 
ii) Moda pelo Método de Czuber: 
O cálculo da moda de Czuber leva em conta não somente a influência das classes adjacentes à 
modal, mas também a própria frequência modal. A fórmula para cálculo da moda de Czuber é: 
h
pa
a
lMo 







 inf 
onde: 
linf = limite inferior da classe modal. 
a = diferença entre a fi da classe modal e a fi da classe anterior. 
Entenderemos como classe anterior aquela que precede à classe modal. 
p = diferença entre a fi da classe modal e a fi da classe posterior (aquela que vem logo após a 
classe modal). 
h = amplitude da classe modal. 
 
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34 
 
 
iii) Moda pelo Método de King: 
 O cálculo da moda leva em conta a influência das classes adjacentes à classe modal, 
"deslocando" a moda em direção a aquelas. A fórmula para cálculo da moda de King é: 
h
fantfpost
fpost
lMo 






 inf 
 
onde: 
linf = limite inferior da classe modal. 
fpost = fi da classe posterior à classe modal; 
 fant = fi da classe anterior à classe modal; 
 h = amplitude da classe modal 
 
Observe que os três valores de moda são diferentes! Qual deles escolher? A moda absoluta baseia 
se no ponto médio, que pode ou não ser um bom representante da classe. A moda de King não 
leva em conta a frequência da própria classe modal, o que ocorre na de Czuber. Mas estes três 
procedimentos são aproximações, a moda real seria obtida a partir dos dados brutos. 
 
 # Dica de Memorização: 
 
 Para facilitar a memorização destas duas fórmulas – Czuber e King – poderemos seguir 
a seguinte sugestão: 
 
 1º) Memorizemos o corpo de ambas as fórmulas, que é exatamente o mesmo: 
hlMo 





 inf 
 2º) Agora, nossa preocupação será apenas com o “miolo” da fórmula, ou seja, aquilo que 
estará dentro dos parênteses! 
  Aí, lembraremos: “a fórmula de Czuber é a fórmula dos deltas” e com a no 
numerador! Percebamos que quem está no numerador também inicia a soma do denominador! 
Daí: 
h
pa
a
lMo 







 inf 
 
  Ora, se Czuber é a fórmula dos deltas, então King é a fórmula das freqüências, 
começando com fpost no numerador! Logo, fpost também iniciará a soma no denominador! E 
teremos: 
 
h
fantfpost
fpost
lMo 






 inf 
 
Cuidado com o numerador dos parênteses destas duas fórmulas: em Czuber surge o “delta 
anterior” , enquanto que em King teremos a “freqüência posterior”. É preciso toda a atenção! 
 
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Observação: 
 A moda é utilizada quando desejamos obter uma medida rápida e aproximada de posição ou 
quando a medida de posição deva ser o valor mais típico da distribuição. Já a média aritmética é 
a medida de posição que possui a maior estabilidade. 
 
MEDIANA 
 
A mediana de um conjunto de valores, dispostos segundo uma ordem ( crescente ou decrescente), 
é o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo número 
de elementos. Em outras palavras, é um valor tal que tenha igual quantidade de valores menores 
e maiores do que ele. Ao contrário da média, a mediana não leva em conta todos os valores no 
seu cálculo, e não é afetada por valores extremos. 
Símbolo da mediana: Md 
. 
A mediana em dados não-agrupados 
Dada uma série de valores como, por exemplo: { 5, 2, 6, 13, 9, 15, 10 } 
De acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado é o da ordenação (crescente 
ou decrescente) dos valores: { 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 } 
O valor que divide a série acima em duas partes iguais é igual a 9, logo a Md = 9. 
. 
Método prático para o cálculo da Mediana 
Se a série dada tiver número ímpar de termos: 
O valor mediano será o termo de ordem dado pela fórmula : 
.( n + 1 ) / 2 
Exemplo: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 5 } 
1º - ordenar a série { 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5 } 
n = 9 logo (n + 1)/2 é dado por (9+1) / 2 = 5, ou seja, o 5º elemento da série ordenada será a 
mediana 
A mediana será o 5º elemento = 2 
. 
Se a série dada tiver número par de termos: 
O valor mediano será o termo de ordem dado fela fórmula :.... 
.[( n/2 ) +( n/2+ 1 )] / 2 
 
Obs: n/2 e (n/2 + 1) serão termos de ordem e devem ser substituídos pelo valor correspondente. 
Exemplo: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 3, 5, 6 } 
1º - ordenar a série { 0, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6 } 
n = 10 logo a fórmula ficará: [( 10/2 ) + (10/2 + 1)] / 2 
[( 5 + 6)] / 2 será na realidade (5º termo+ 6º termo) / 2 
 
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5º termo = 2 
6º termo = 3 
A mediana será = (2+3) / 2 ou seja, Md = 2,5 . A mediana no exemplo será a média aritmética do 
5º e 6º termos da série. 
Notas: 
• Quando o número de elementos da série estatística for ímpar, haverá coincidência da 
mediana com um dos elementos da série. 
• Quando o número de elementos da série estatística for par, nunca haverá coincidência da 
mediana com um dos elementos da série. A mediana será sempre a média aritmética dos 
2 elementos centrais da série. 
• Em uma série a mediana, a média e a moda não têm, necessariamente, o mesmo valor. 
• A mediana depende da posição e não dos valores dos elementos na série ordenada. Essa 
é uma da diferenças marcantes entre mediana e média (que se deixa influenciar, e 
muito, pelos valores extremos). Vejamos: 
 
Em { 5, 7, 10, 13, 15 } a média = 10 e a mediana = 10 
Em { 5, 7, 10, 13, 65 } a média = 20 e a mediana = 10 
isto é, a média do segundo conjunto de valores é maior do que a do primeiro, por influência dos 
valores extremos, ao passo