Vibrações Mecânicas

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SEM 172 – Vibrações Mecânicas
Prof. Rodrigo Nicoletti
Escola de Engenharia de São Carlos
Departamento de Engenharia Mecânica
AULA 2 – Vibração Livre 
Não Amortecida
Vibrações Mecânicas
Por que se formam estes padrões na placa?
Vibrações Mecânicas
Por que os padrões na placa mudam?
Por que os mesmos padrões aparecem na placa 
ao tocar a mesma nota?
Este efeito pode afetar sistemas mecânicos 
ou mecatrônicos?
Vibrações Mecânicas
O movimento do prato pode ser previsto?
Se bater de novo, terá o mesmo movimento?
Este efeito pode afetar sistemas mecânicos ou mecatrônicos?
Por que o prato se comporta desta forma?
Vibração Livre Não Amortecida
(sistema com 1 gdl)
∆𝑡 = 0,0277 𝑠
(constante !!!)
⇒ 𝑓 =
1
∆𝑡
= 36 𝐻𝑧
Equação de Movimento do Sistema
Analisando-se a estrutura, observa-se que:
• a estrutura possui elasticidade (flexibilidade)
• a estrutura possui inércia (distribuída)
Assim, pode-se modelar esta estrutura como um sistema massa-mola !!!
Digite a equação
aqui.
𝑚𝑒𝑞
𝑘𝑒𝑞
𝑥(𝑡)
Fazendo-se o DCL do corpo e aplicando-se a 2ª lei de Newton:
𝑚𝑒𝑞 ሷ𝑥 = 𝐹𝑚𝑜𝑙𝑎 = −𝑘𝑒𝑞𝑥
𝑥 > 0
𝐹𝑚𝑜𝑙𝑎
𝑚𝑒𝑞
⇒ 𝑚𝑒𝑞 ሷ𝑥 + 𝑘𝑒𝑞𝑥 = 0
Eq. Movimento do Sistema
Resposta Vibratória do Sistema
Digite a equação
aqui.
𝑚𝑒𝑞
𝑘𝑒𝑞
𝑥(𝑡)
𝑚𝑒𝑞 ሷ𝑥 + 𝑘𝑒𝑞𝑥 = 0
Eq. Movimento do Sistema
Equação Diferencial 
Ordinária de 2ª ordem
Supondo que a solução desta equação é harmônica: 𝑥 𝑡 = 𝐴 cos 𝜆𝑡 − 𝜙
Então: ሷ𝑥 𝑡 = −𝜆2𝐴 cos 𝜆𝑡 − 𝜙
Substituindo-se na Equação de Movimento:
−𝑚𝑒𝑞𝜆
2𝐴 cos 𝜆𝑡 − 𝜙 + 𝑘𝑒𝑞𝐴 cos 𝜆𝑡 − 𝜙 = 0 ⇒ −𝑚𝑒𝑞𝜆
2 + 𝑘𝑒𝑞 = 0 ⇒ 𝜆 =
𝑘𝑒𝑞
𝑚𝑒𝑞
≜ 𝜔𝑛
Frequência Natural 
Não Amortecida
Portanto: 𝑥 𝑡 = 𝐴 cos 𝜔𝑛𝑡 − 𝜙
Resposta Vibratória
Resposta Vibratória do Sistema
Digite a equação
aqui.
𝑚𝑒𝑞
𝑘𝑒𝑞
𝑥(𝑡) Dadas as condições iniciais: ቊ
𝑥 0 = 𝑥0
ሶ𝑥 0 = ሶ𝑥0
Tem-se: 𝑥 0 = 𝐴 cos 𝜔𝑛0 − 𝜙 = 𝑥0 ⇒ 𝐴cos𝜙 = 𝑥𝑜 (1)
ሶ𝑥 0 = −𝜔𝑛𝐴 sin 𝜔𝑛0 − 𝜙 = ሶ𝑥0 ⇒ 𝐴sin𝜙 =
ሶ𝑥𝑜
𝜔𝑛
(2)
Fase da Resposta
Dividindo-se (1) por (2): tan𝜙 =
ሶ𝑥0
𝜔𝑛𝑥0
Amplitude da Resposta
𝐴 = 𝑥0
2 + ൗሶ𝑥0 𝜔𝑛
2
Considerando-se:
A
𝑥𝑜
ሶ𝑥𝑜
𝜔𝑛𝜙
Resposta Vibratória do Sistema
Digite a equação
aqui.
𝑚𝑒𝑞
𝑘𝑒𝑞
𝑥(𝑡)
𝒙 𝒕 = 𝑨𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒏𝒕 − 𝝓
Resposta Vibratória
onde:
tan𝜙 =
ሶ𝑥0
𝜔𝑛𝑥0
𝐴 = 𝑥0
2 + ൗሶ𝑥0 𝜔𝑛
2
0 𝑡
𝐴
−𝐴
𝑥0
ሶ𝑥0
𝑇𝑛 =
2𝜋
𝜔𝑛
período
• Resposta vibratória com frequência 𝜔𝑛 =
𝑘𝑒𝑞
𝑚𝑒𝑞
• Resposta vibratória com amplitude 𝐴 = 𝑥0
2 + ൗሶ𝑥0 𝜔𝑛
2
constante
Digite a equação aqui.
Digite a equação
aqui.
𝑚𝑒𝑞
𝑘𝑒𝑞
𝑥(𝑡)
𝑓 =
1
∆𝑡
= 36 𝐻𝑧 𝑚𝑒𝑞 ≈ 𝑚𝑣𝑖𝑔𝑎 = 𝜌𝑏ℎ𝐿
𝑘𝑒𝑞
Considerando-se:
𝜌 = 7850 𝑘𝑔/𝑚3
𝐸 = 2,1 × 1011 𝑁/𝑚2
𝑏 = 25 𝑚𝑚
ℎ = 1,5 𝑚𝑚
𝐿 = 130 𝑚𝑚
(densidade)
(mód. elasticidade)
(largura)
(espessura)
(comprimento)
𝐼 =
𝑏ℎ3
12
(mom. inércia área
seção retangular)
𝑘𝑒𝑞 = 2016,2 𝑁/𝑚
𝑚𝑒𝑞 = 0,0383 kg
𝜔𝑛 =
𝑘𝑒𝑞
𝑚𝑒𝑞
= 229,44 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑓 =
𝜔𝑛
2𝜋
= 36,5 𝐻𝑧
Efeito do Carregamento Estático
Carregamento Estático
Digite a equação
aqui.
𝑚𝑒𝑞
𝑘𝑒𝑞
𝑥(𝑡)
𝐹 (𝑐𝑡𝑒)
Se o sistema sofrer um carregamento estático (força constante), a equação 
de movimento será dada por:
𝑚𝑒𝑞 ሷ𝑥 + 𝑘𝑒𝑞𝑥 = 𝐹
Eq. Movimento do Sistema
A solução desta equação diferencial é dada por: 𝑥 𝑡 = 𝑥𝐻 𝑡 + 𝑥𝑃(𝑡)
Solução Homogênea: 𝑥𝐻 𝑡 = 𝐴 cos 𝜔𝑛𝑡 − 𝜙
Solução Particular: 𝑥𝑃 𝑡 = ℂ ⇒ ሷ𝑥𝑃 𝑡 = 0
Substituindo na equação de movimento: 𝑘𝑒𝑞ℂ = 𝐹 ⇒
ℂ =
𝐹
𝑘𝑒𝑞
≡ 𝛿𝑒𝑠𝑡
Posição de Equilíbrio 
Estático
Resposta Vibratória do Sistema
𝒙 𝒕 = 𝑨𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒏𝒕 − 𝝓 + 𝜹𝒆𝒔𝒕
Resposta Vibratória
onde:
tan𝜙 =
ሶ𝑥0
𝜔𝑛𝑥0
𝐴 = 𝑥0
2 + ൗሶ𝑥0 𝜔𝑛
2
𝐴
−𝐴
𝑥0
ሶ𝑥0
𝑇𝑛 =
2𝜋
𝜔𝑛
período
• Resposta vibratória com frequência 𝜔𝑛 =
𝑘𝑒𝑞
𝑚𝑒𝑞
• Resposta vibratória com amplitude 𝐴 constante
Digite a equação
aqui.
𝑚𝑒𝑞
𝑘𝑒𝑞
𝑥(𝑡)
𝐹 (𝑐𝑡𝑒)
𝛿𝑒𝑠𝑡
Em torno da posição de equilíbrio estático 𝛿𝑒𝑠𝑡 =
𝐹
𝑘𝑒𝑞
Posição de Equilíbrio 
Estático 
𝛿𝑒𝑠𝑡 =
𝐹
𝑘𝑒𝑞
força da gravidade
(constante)
Condição de Estabilidade
Análise de Estabilidade
𝑘𝑒𝑞 > 0 𝑚𝑒𝑞 ሷ𝑥 + 𝑘𝑒𝑞𝑥 = 0Equação de movimento: 𝑥(𝑡)
𝑡
movimento harmônico
(ESTÁVEL)
𝑘𝑒𝑞 = 0 𝑚𝑒𝑞 ሷ𝑥 = 0Equação de movimento:
A solução desta equação é dada por:
𝑥 𝑡 = ሶ𝑥0𝑡 + 𝑥0
movimento uniforme de
corpo livre no espaço
(INSTÁVEL)
𝑥(𝑡)
𝑡
𝑥0
ሶ𝑥0
∞
Análise de Estabilidade
𝑘𝑒𝑞 < 0 𝑚𝑒𝑞 ሷ𝑥 − 𝑘𝑒𝑞𝑥 = 0Equação de movimento:
A solução desta equação é dada por:
𝑥 𝑡 = ℂ1𝑒
𝛼𝑡 + ℂ2𝑒
−𝛼𝑡
→ ∞ → 0
∞
𝑥(𝑡)
𝑡
𝑥0
(INSTÁVEL)
Condição de Estabilidade do Sistema: 𝑘𝑒𝑞 > 0
Exemplo
𝑘
𝑙
𝑙𝐶𝐺
𝐼𝑂
O
Fazendo-se o DCL:
𝜃 𝑚𝑔
𝑘𝑙𝜃
𝐼𝑂 ሷ𝜃 = ෍𝑀𝑂 = −𝑘𝑙𝜃. 𝑙 cos 𝜃 − 𝑚𝑔. 𝑙𝐶𝐺 sin 𝜃
⇒ 𝐼𝑂 ሷ𝜃 + 𝑘𝑙2𝜃 cos 𝜃 − 𝑚𝑔𝑙𝐶𝐺 sin 𝜃 = 0
Equação de Movimento Não Linear
Mas, para 𝜃 < 20𝑜: ቊ
sin 𝜃 ≈ 𝜃
cos 𝜃 ≈ 1
Então: 𝐼𝑂 ሷ𝜃 + 𝑘𝑙2 −𝑚𝑔𝑙𝐶𝐺 𝜃 = 0
Equação de 
Movimento 
Linearizada
𝑘𝑒𝑞𝑚𝑒𝑞
O sistema fica instável se: 𝑘𝑒𝑞 = 𝑘𝑙2 −𝑚𝑔𝑙𝐶𝐺 ≤ 0 ⇒ 𝑘𝑙2 ≤ 𝑚𝑔𝑙𝐶𝐺
Conclusão
Moral da História...
Qualquer sistema que possa ser representado por um sistema massa-mola:
1. Se sofrer uma perturbação, irá oscilar na frequência natural não 
amortecida 𝜔𝑛, com amplitude 𝐴 constante
2. Se sofrer a ação de uma força constante 𝐹 e uma perturbação, irá 
oscilar na frequência natural não amortecida 𝜔𝑛, com amplitude 𝐴
constante em torno da posição de equilíbrio estático 𝛿𝑒𝑠𝑡
3. Se a rigidez equivalente do sistema 𝑘𝑒𝑞 for negativa e sofrer uma
perturbação, o sistema fica instável e a oscilação tende ao infinito
Dúvidas ?
Tarefa
No sistema indicado na figura abaixo, o bloco de massa “m” está conectado ao solo através de colunas 
idênticas que possuem uma rigidez equivalente “k”. Verifica-se que o período de vibração natural do sistema 
é de 0,45 s. Quando uma máquina de massa 500 kg é colocada sobre o sistema o período passa a ser de 
0,55 s. Determine o valor da massa “m” e a rigidez equivalente “k”.