566340

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Revisão 2: zeros da função polinomial do 2º grau
1ª SÉRIE
Aula 10 – 2º Bimestre
Matemática
Etapa Ensino Médio
Revisão conceitual – Atividades envolvendo revisão/aprofundamento sobre zeros da função polinomial de segundo grau completa.
Investigar diferentes situações que podem ser modeladas pela função polinomial do segundo grau completa.
Conteúdo
Objetivo
Habilidade: 
(EM13MAT402) Converter representações algébricas de funções polinomiais de 2º grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais uma variável for diretamente proporcional ao quadrado da outra, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica, entre outros materiais.
(ENEM – 2014) Um professor, depois de corrigir as provas de sua turma, percebeu que várias questões estavam muito difíceis. Para compensar, decidiu utilizar uma função polinomial f, de grau menor que 3, para alterar as notas x da prova para notas y = f(x), da seguinte maneira: 
A nota zero permanece zero;
A nota 10 permanece 10;
A nota 5 passa a ser 6.
A expressão da função y = f(x) a ser utilizada pelo professor é:
Técnica: “Virem e conversem!”
Tempo: 10 minutos
Para começar
Correção
A nota zero permanece zero;
A nota 10 permanece 10;
A nota 5 passa a ser 6.
Para iniciar a resolução da questão, vamos “traduzir” em linguagem matemática as seguintes condições:
Analisando as alternativas “d” e “e”, podemos concluir que elas são incorretas. Se considerarmos na alternativa “d” a nota zero, ela não permanecerá com a nota zero, veja:
Para começar
Correção
Na alternativa “e”, o argumento y = x, não está correto, pois a condição apenas repetirá as notas e não realizará as mudanças propostas pelo professor. 
Dessa forma, restam as alternativas que contêm as funções polinomiais do segundo grau, a lei de formação, terá, como ponto de partida, as três expressões algébricas indicadas anteriormente.
Para começar
Correção
Para começar
Tempo: 10 minutos
Foco no conteúdo
Escreva a função na forma canônica e determine os zeros desta função:
Resolução:
Foco no conteúdo
Foco no conteúdo
Escreva cada função polinomial do segundo grau a seguir na forma canônica e determine os respectivos zeros da função.
Atividade 1
Técnica: “Todo mundo escreve!”
Tempo: 10 minutos
Na prática
Correção
a.
Na prática
Correção
a.
Na prática
Correção
b.
Na prática
Correção
b.
Na prática
Atividade 2
Registre, na forma fatorada, as seguintes funções polinomiais do segundo grau:
Técnica: “Todo mundo escreve!”
Tempo: 10 minutos
Na prática
Correção
a.
Na prática
Correção
b.
Na prática
Aprimorando os conhecimentos
Na figura ao lado, há a ilustração de duas funções reais a valores reais, definidas por:
 
Nessas condições, qual é a soma das ordenadas dos pontos de interseção (A e B) que representam as duas funções polinomiais, conforme apresentadas na figura? 
Técnica: “Mostre-me!”
Tempo: 5 minutos
Aplicando
Correção
Como as funções se intersectam nos pontos A e B, temos:
Aplicando
Investigar diferentes situações que podem ser modeladas pela função polinomial do segundo grau completa.
O que aprendemos hoje?
Tarefa SP
Localizador: 97336
Professor, para visualizar a tarefa da aula, acesse com seu login: tarefas.cmsp.educacao.sp.gov.br
Clique em “Atividades” e, em seguida, em “Modelos”.
Em “Buscar por”, selecione a opção “Localizador”.
Copie o localizador acima e cole no campo de busca.
Clique em “Procurar”. 
Videotutorial: http://tarefasp.educacao.sp.gov.br/
21
BONJORNO, José Roberto, GIOVANI Jr, José Ruy, CÂMARA DE SOUZA, Paulo Roberto. Prisma – Matemática e suas Tecnologias – Funções e Progressões, 1ª ed. São Paulo, Editora FTD, 2020.
DANTE, Luiz Roberto , VIANA, Fernando. Matemática em contextos – Matemática e suas Tecnologias – Função Afim e Função Quadrática, 1ª ed. São Paulo, Editora Ática, 2020. 
LEMOV, Doug. Aula Nota 10 2.0: 62 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2018.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo Paulista do Ensino Médio. São Paulo, 2019.
Referências
Lista de imagens e vídeos
Slide 21 – Elaborado pelo autor.
Referências
Revisão 2: Zeros da função polinomial do 2º grau.
1ª SÉRIE
Aula 10 – 2º Bimestre
Aula Khan
Etapa Ensino Médio
Revisão conceitual – Atividades envolvendo revisão/aprofundamento sobre zeros da função polinomial de segundo grau completa.
Investigar diferentes situações, que podem ser modeladas pela função polinomial do segundo grau completa.
Conteúdo
Objetivos
Habilidade: (EM13MAT402) Converter representações algébricas de funções polinomiais de 2º grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais uma variável for diretamente proporcional ao quadrado da outra, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica, entre outros materiais.
Caro(a) docente: em seu primeiro acesso à Khan Academy é necessário que você importe suas turmas na plataforma. 
Esta ação deve ser realizada apenas uma vez, antes de iniciar as aulas com seus alunos! 
Para este procedimento, siga o tutorial a seguir.
Configurando a plataforma
(EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
Sugestão de tempo:
Para começar: 3 min.
Explorando: 9 min.
Foco no conteúdo: 6 min.
Na prática: 18 min.
Aplicando: 6 minutos.
O que aprendemos hoje?: 3 minutos.	
Configurando a plataforma
Passo 1: Acesse a Khan Academy (khanacademy.org.br) e, na página inicial do professor, clique em Adicionar nova turma.
Na janela seguinte, selecione a opção "Importe sua turma do Google Sala de Aula" e clique em Conectar uma conta do Google Sala de Aula.
Passo 2: Agora você já consegue escolher uma de suas turmas na lista de opções. Selecione a turma de interesse e clique em Próximo.
(EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
Sugestão de tempo:
Para começar: 3 min.
Explorando: 9 min.
Foco no conteúdo: 6 min.
Na prática: 18 min.
Aplicando: 6 minutos.
O que aprendemos hoje?: 3 minutos.	
Configurando a plataforma
Passo 3: Para finalizar a importação da turma, selecione o Curso São Paulo para adicionar como conteúdo aos alunos e clique em “Próximo”.
Passo 4: Turma criada! Adicione mais informações à sua turma e confira as dicas de próximos passos antes de fechar a janela
ATENÇÃO: 
Seus alunos devem acessar a Khan Academy com o e-mail institucional de acesso. Eles serão notificados via e-mail deste procedimento.
Caso o aluno já possua uma conta antiga na plataforma, com um e-mail diferente, é recomendado sair desta conta e entrar novamente usando a conta de e-mail institucional. 
(EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
Sugestão de tempo:
Para começar: 3 min.
Explorando: 9 min.
Foco no conteúdo: 6 min.
Na prática: 18 min.
Aplicando: 6 minutos.
O que aprendemos hoje?: 3 minutos.	
Os(as) estudantes deverão entrar no CMSP e encontrar o link para a Khan Academy. Com isso, é necessário realizar login com sua conta institucional, conforme passo a passo:
Acessando a plataforma
1º PASSO
ACESSE O CMSP
E, DEPOIS, SELECIONE A "KHAN ACADEMY"
(EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
Sugestãode tempo:
Para começar: 3 min.
Explorando: 9 min.
Foco no conteúdo: 6 min.
Na prática: 18 min.
Aplicando: 6 minutos.
O que aprendemos hoje?: 3 minutos.	
Com isso, é necessário realizar login com sua conta institucional, conforme passo a passo:
Acessando a plataforma
2º PASSO
ACESSE O LINK/QRCODE
E, DEPOIS, SELECIONE
"CONTINUAR COM O GOOGLE"
3º PASSO
NA JANELA DE LOGIN, ADICIONE O SEU EMAIL E SENHA DO GOOGLE
(EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
Sugestão de tempo:
Para começar: 3 min.
Explorando: 9 min.
Foco no conteúdo: 6 min.
Na prática: 18 min.
Aplicando: 6 minutos.
O que aprendemos hoje?: 3 minutos.	
Acessando a plataforma
Com a página inicial em seu nome, acesse a aula conforme Material Digital (indicado com número e nome na plataforma)
O que aprendemos hoje?
Material 
Digital
=-+
=-+
=+
=+
=
2
2
2
a
x
.
17
 yxx
2
.
55
1
 yx
2
.
b
c
d.
2x
10
17
 yxx
241
4
 yx
e.
2
5
 y
(
)
(
)
A nota zero permanece zero: f00
A nota 10 permanece 10: f1010
A nota 5 passa a ser 6: f(5)6
=
=
=
4
Para x0 em yx2, temos:
5
4
y02y20
5
==+
=×+Þ=¹
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
Então consideraremos a função:
fxaxbxc, com a0.
Utilizando os dados apresentados:
f00a0b0c0c0
f1010a10b10010
100a10b10
f56a5b506
25a5b6
=++¹
=Þ×+×+=Þ=
=Þ×+×+=Þ
Þ+=
=Þ×+×+=Þ
Þ+=
2
Então a função será dada por:
17
yxx
255
Alternativa a.
=-+
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Considerando o sistema de equações;
100a10b10 Eq. 1
25a5b6 Eq. 2
Multiplicando a todos os termos da
Eq. 2 por 2
100a10b10 Eq.1
50a10b12 Eq.2
Somando termo a termo as duas 
equações:
50a2
ì
+=
ï
í
+=
ï
î
-
ì
+=
ï
í
--=-
ï
î
=-
2
a
Þ=-
(
)
2
50
¸
(
)
2
1
a
25
¸
Þ=-
Substituindo o resultado obtido 
em uma das equações:
25a5b625
+=Þ
1
25
×-
5b6
15b65b615b7
7
b
5
æö
+=Þ
ç÷
èø
-+=Þ=+Þ=Þ
=
-+=
2
x4x30
(
)
D=-××
D=--××ÞD=-=
2
2
b4ac
441316124
D>
0: A equação possui duas raízes reais 
e distintas.
(
)
éù
D
æö
=+-
êú
ç÷
èø
ëû
2
2
Forma canônica:
b
fxax
2a
4a
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
éù
æö
-
êú
=×+-
ç÷
×
èø
×
ëû
éù
æö
-
êú
=+-
ç÷
èø
ëû
=--
2
2
2
2
44
gx1x
21
41
44
gxx
24
gxx21
(
)
{
{
{
=-+
2
ab
c
gx1x4x3
(
)
Û=
Zeros da função gx0
(
)
(
)
(
)
(
)
=Þ--=Þ
Þ-=Þ-
2
22
Raízes da função:
gx0x210
x21x2
=Þ
-=Þ=+=
ì
Þ-=±Þ
í
-=-Þ=-+=
î
1
2
1
x21x123 e
x21
x21x121
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=--
=--
=--=-=
=--
=-=-=
2
2
2
2
2
Verificação:
gxx21
g1121
g111110
g3321
g311110
(
)
{
{
{
(
)
(
)
=-+-
-+-=
D=-××Þ
ÞD=-×-×-Þ
ÞD=-=
D>
2
a
bc
2
2
2
px2x8x6
2x8x60
b4ac
8426
644816
0: A equação possui
duas raízes reais e distintas.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
éù
æö
=-×+-
êú
ç÷
×-
èø
êú
×-
ëû
éù
æö
=-×+-
êú
ç÷
-×
èø
ëû
éù
=-×--
êú
ëû
éù
=-×--
ëû
=-×-+
2
2
2
2
2
2
Forma canônica:
816
px2x
22
42
816
px2x
444
16
px2x2
16
px2x21
px2x22
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=Û-×-+=Þ
-
Þ-×-=-Þ-=Þ
-
Þ-=
-
2
22
2
2
Zeros da função:
Px02x220
2
2x22x2
2
x21
x2
=Þ-=±
-=Þ=+Þ=
ì
í
-=-Þ=-+Þ=
î
1
2
1x21
x21x12x3 e
x21x12x1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=-×-+
=-×-+
=-×+
=-×+=-+=
=-×-+
=-×-+
=-×+=-+=
2
2
2
2
2
Verificação:
px2x22
p32322
p3212
p3212220
p12122
p1212
p1212220
(
)
{
{
{
(
)
=-+
-+=
D=-××Þ
ÞD=--××Þ
ÞD=-=
D>
2
b
c
a
2
2
2
1
qxx4x6
2
1
x4x60
2
b4ac
1
446
2
16124
0: A equação possui
duas raízes reais e distintas.
(
)
(
)
(
)
(
)
éù
æö
-
êú
=×+-
ç÷
êú
æö
ç÷
×
×
ç÷
êú
èø
èø
ëû
æö
-
=×+-
ç÷
èø
2
2
2
Forma canônica:
144
pxx
1
2
1
2
4
2
2
144
pxx
21
4
×
1
4
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
éù
êú
êú
êú
ëû
éù
=×--
ëû
=×--×Þ=×--
2
22
1
pxx44
2
111
pxx44pxx42
222
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=Û--=Þ
Þ×-=Þ-=Þ
Þ-=×Þ-=
-
2
22
22
2
Zeros da função:
1
qx0x420
2
12
x42x4
1
2
2
x422x44
x4
=Þ-=±Þ
-=Þ=+Þ=
ì
í
-=-Þ=-+Þ=
î
1
2
4x42
x42x24x6 e
x42x24x2
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=×--
=×--
=×-=-=
=×--
=×--=×-
=-=
2
2
2
2
2
Verificação:
1
pxx42
2
1
p6642
2
1
p622220
2
1
p2242
2
11
p22242
22
p2220
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
=-=-
éù
=-×-
ëû
=×+×+
=×+
12
12
2
x3 e x3
Forma fatorada:
fxaxxxx
fx2x3x3
fx2x3
(
)
{
{
{
=++
++=
D=-××
D=-××
D=-=
D=
2
ab
c
2
2
2
fx2x12x18
2x12x180
b4ac
124218
1441440
0: A equação
possui duas raízes
reais e idênticas.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=-Þ=-Þ
=-
=Þ=Þ
=
³×Þ-=×=
==
ì
-×-=
=
í
-×-=
î
=-Þ-+-=-
2
2
b12
SS
a2
S6
c18
PP
a2
P9
S4P649
3636
199
P9
339
S6336
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
12
12
x3 e x15
Forma fatorada:
fxaxxxx
fxx3x15
==
éù
=-×-
ëû
=-×-
(
)
{
{
{
(
)
2
a
bc
2
2
2
fx1x18x45
1x18x450
b4ac
184145
324180144
0: A equação
possui duas raízes
reais distintas.
=-+
-+=
D=-××
D=--××
D=-=
D>
(
)
(
)
2
2
b18
SS
a1
S18
c45
PP
a1
P45
S4P18445
324180
14545
P4531545
9545
S1831518
-
=-Þ=-Þ
=
=Þ=Þ
=
³×Þ>×=
=>
×=
ì
ï
=×=
í
ï
×=
î
=Þ+=
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
fxgx
x5xx2
xxx250
x2x30
2413
41216
0: A equação possui
duas raízes reais distintas.
=
+=-+
--+-=
--=
D=--××-
D=+=
D>
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Portanto:
f1g1 e
f3g3
f1154
f3358
Assim, a soma das
ordenadas de A e B, será
4812
-=-
=
-=-+=
=+=
+=