livro_calculo-1-103

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A.6. Método da exaustão 307
da exaustão. Tal método baseia-se na aproximação da área do círculo trigo-
nométrico através das sequências das áreas dos polígonos regulares inscritos
e circunscritos.
Figura A.14: Sanduíche do círculo com polígonos regulares.
De fato, vamos considerar as sequências A (In) e A (Cn), onde In é o polí-
gono regular inscrito de 2n+1 lados, descrito anteriormente na Seção 2.2, e Cn
é o polígono regular circunscrito de 2n+1 lados. Como ilustrado pela Figura
A.14, temos que I1 e C1 são, respectivamente, os quadrados inscrito e circuns-
crito e que I2 e C2 são, respectivamente, os octógonos inscrito e circunscrito.
Os comprimentos dos lados de In e Cn são denotados, respectivamente, por
ln e Ln .
A Figura A.15 destaca um triângulo elementar que compõe In e também
um triângulo elementar associado que compõe Cn . Enquanto o triângulo ele-
mentar de Cn possui base de comprimento Ln e altura com comprimento 1, o
triângulo elementar de In possui base de comprimento ln e altura com com-
primento denotado por hn , da mesma maneira que na Seção 2.2. Como o
número de triângulos elementares é igual ao número de lados, temos então
que a área dos polígonos regulares é o produto do número de seus lados pela
área comum dos seus triângulos elementares. Após simplificações, obtemos
as seguintes expressões para as áreas
A (Cn) = 2nLn e A (In) = 2nlnhn
(A.1)
308 Apêndice A. Apêndices
Figura A.15: Triângulos elementares de In e Cn .
Vamos mostrar em primeiro lugar o seguinte resultado.
Proposição A.12: A (In) ↑ A (D), onde A (D) é a área do círculo trigonomé-
trico.
Prova: Utilizando o fato de que In ⊂ D ⊂Cn e também a terceira propriedade
da área, apresentada na Seção A.5, temos que
A (In) ≤ A (D) ≤ A (Cn) . (A.2)
A partir das desigualdades (A.2), obtemos as seguintes desigualdades
0 ≤ A (D)− A (In) ≤ A (Cn)− A (In) (A.3)
= A (In)
(
A (Cn)
A (In)
−1
)
≤ A (D)
(
A (Cn)
A (In)
−1
)
Pelo Teorema do Sanduíche, basta mostrarmos que o último termo das desi-
gualdades (A.3) converge para zero, o que, pelas regras de limite, é o mesmo
que mostrar que
A (Cn)
A (In)
→ 1. Para isso, consideramos novamente a Figura
A.15. Por semelhança de triângulos, temos que
Ln
ln
= 1
hn
A.6. Método da exaustão 309
e, pelo Teorema de Pitágoras, h2
n = 1−
(
ln
2
)2
. Portanto, pelas equações (A.1),
segue que
A (Cn)
A (In)
= Ln
lnhn
= 1
h2
n
= 1
1−
(
ln
2
)2
Pelas regras de limite, para mostrarmos que
A (Cn)
A (In)
→ 1, basta mostrarmos
que ln → 0. Isso segue mais uma vez do Teorema do Sanduíche e da seguinte
desigualdade
0 ≤ ln ≤ A (D)
2nh1
, (A.4)
que é demonstrada da seguinte maneira. Como A (In) ≤ A (D), pela equação
(A.1), temos que
0 ≤ ln ≤ A (D)
2nhn
e a desigualdade (A.4) segue do fato de que h1 < hn , o que é demonstrado na
Seção 2.2.
A Proposição A.12 também implica que a sequência SP (In) dos semiperí-
metros dos polígonos inscritos é realmente convergente, o que foi indicado
apenas numericamente na Seção 2.1.
Corolário A.13: Temos que
SP (In) → A (D)
e que
A (D) =π= SP (D)
onde SP (D) é o semi-perímetro do círculo trigonométrico.