3 UNIDADE - Potência e modelo exponencial

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POTÊNCIA E O MODELO EXPONENCIAL 
Potências e logaritmos – aula 1
Corresponde a multiplicação de fatores iguais 
O resultado será o valor da potência
Potências com expoente inteiro negativo
a um número inteiro não nulo, e n, um número inteiro positivo, temos:
Potências com expoente fracionário
Seja a um número real positivo, e m, um número racional, em que n é um número inteiro positivo, temos:
Propriedades de potência
Logaritmos
logab = x ⇔ ax = b
y = loga x, devemos ter como condição de existência para y: x > 0, a > 0, a ≠ 1
1. Não existe logaritmo de número negativo.
2. Não existe logaritmo cuja base seja igual a 1 ou negativa.
Sistemas de logaritmos
Existem dois sistemas de logaritmos utilizados com mais frequência. Eles estão armazenados nas calculadoras científicas usuais.
E= número neperiano, tem valor de 2,72
Propriedades dos logaritmos
Sejam a > 0, a ≠ 1, x, y e b números reais positivos:
Log x, elevado a “n”, na base “a” = n. log x, sendo denominado algoritmo da potência.
 
Modelo exponencial 
A taxa de variação do crescimento ou decrescimento de uma grandeza (capital investido ou, por exemplo, população) nem sempre ocorre de forma constante, do modo como se caracteriza no modelo linear.
Exemplo: 
Uma cidade com 10.000 habitantes é escolhida para implantação de um polo petroquímico. Dados apontam que há um crescimento populacional de 5% ao ano.
Isso significa que, no primeiro ano após a implantação, a população P1 dessa cidade será calculada da seguinte forma:
P1 = 10.000 + 5% . 10.000.
P1 = 10.000 + 0,05 . 10.000
P1 = 10.000 + 500
P1 = 10.500 habitantes
E o cálculo da população no segundo ano, P2, será:
P2 = P1 + 5%. P1
P2 = 10.500 + 0,05. (10.500)
P2 = 10.500 + 525
P2 = 11.025 habitantes
E assim terá a fórmula para Px com o passar dos anos 
P1 = 10.000 . (1 + 0,05)1
e
P2 =10.000 . (1 + 0,05)2
Indice x da população Px está no expoente das bases (1 + 0,05 )x, no caso, x = 1 e x = 2.
Além disso, na base 1 + 0,05, o valor 0,05 corresponde à taxa de crescimento apontada na situação descrita inicialmente. Outro fato importante consiste no valor da população inicial, no caso, 10.000, que aparece como um dos fatores do produto que definem o cálculo.
Esse fato nos leva a afirmar que a população P após x anos, representada por Px, será estimada por meio de um modelo matemático denominado modelo exponencial, descrito por:
Px = Po . (1 + i ) elevado a x 
Px => população no instante de tempo x.
Po => população inicial.
i => taxa de crescimento.
Px = P0 . i . P0
Observação
A expressão Px representa uma quantidade que pode ser as unidades de um produto, unidades monetárias, entre outras possibilidades.
Caso a taxa i seja de decrescimento, seu valor deverá ser negativo.
A expressão 1 + i pode ser descrita como um fator de crescimento ou decrescimento. É comum o modelo exponencial ser expresso por meio do fator. No caso do exemplo descrito, o fator de crescimento foi 1,05, que corresponde à soma de 1 com a taxa de 0,05. Se essa taxa fosse de decrescimento, o fator de decrescimento seria 1 – 0,05, ou seja, 0,95.
Aplicações – aula 3 
situações na área econômica, que servirão de ferramentas para o gestor.
! O capital aplicado inicialmente somado aos juros da aplicação é chamado de montante.
Aplicação em investimentos e produção
Q=quantidade
T=tempo
K=reias 
Aplicação na área de Recursos Humanos
Uma técnica de análise da produtividade do funcionário de uma empresa é denominada Curva de Aprendizagem, que constata a relação existente entre a eficiência de um indivíduo e a quantidade de treinamento ou de experiência que esse indivíduo tem.
p = 700 - 400.e-0,5t por, onde p é a quantidade de peças produzidas mensalmente pelo indivíduo após t meses de experiência.
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