Espaços Métricos e Topológicos

Prévia do material em texto

INSTITUTO SUPERIOR DE CIÊNCIAS E EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 
Faculdade de Ciências de Educação 
Curso de Licenciatura em Ensino de Matemática 
 
 
 
 
 
 
Espaços Métricos E Espaços Topológicos 
 
 
 
 
Rafael Biza: 31230310 
 
 
 
 
 
 
 
Chókwè 
Março/2024 
INSTITUTO SUPERIOR DE CIÊNCIAS E EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 
Departamento de Ciências de Educação 
Curso de Licenciatura em Ensino de Matemática 
 
 
 
 
Espaços Métricos E Espaços Topológicos 
 
 
 
Rafael Biza: 31230310 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Chókwè 
Março/2024 
Trabalho de Campo a ser submetido 
na Coordenação do Curso de 
Licenciatura em Ensino de 
Matemática da UnISCED. 
Tutor: Acácio da Conceição 
Guebuza Rangeiro 
II 
 
Índice 
1.0. Introdução ............................................................................................................................. 4 
1.1. Objectivos ............................................................................................................................. 4 
1.1.1. Objectivo Geral...................................................................................................................... 4 
1.1.2. Objectivos Específicos .......................................................................................................... 4 
1.2. Metodologia .............................................................................................................................. 4 
2.0. Espaços Métricos ...................................................................................................................... 5 
2.1. Exemplo de espaços métricos ................................................................................................... 5 
2.1.1. Métrica discreta ..................................................................................................................... 5 
2.2. Produto de espaços métricos..................................................................................................... 5 
3.0. Espaços Topológicos ................................................................................................................ 6 
3.1. Exemplo de espaço topológico ................................................................................................. 6 
3.1.1. Espaço topológico discreto .................................................................................................... 6 
4.0. Exercícios propostos sobre espaços métricos e espaços topológicos ....................................... 7 
5.0. Relação espaços métricos e espaços topológicos ..................................................................... 7 
6.0. Importância de estudo de Cálculo Diferencial em IRn na minha formação ............................. 8 
7.0. Conclusão ................................................................................................................................. 9 
8.0. Referências Bibliográficas ...................................................................................................... 10 
 
4 
 
1.0. Introdução 
O presente trabalho aborda sobre Espaços Métricos e Espaços Topológicos. Importa referir que os 
espaços métricos são estruturas matemáticas que surgem na área de Matemática conhecida como 
Topologia. Em um espaço métrico, os elementos são pontos que estão equipados com uma função 
de distância, chamada métrica. 
Topologia (do grego. topos, “lugar”, e logos, “estudo”) é um ramo da matemática relativamente 
novo que surgiu como uma espécie de extensão da geometria, mas tem alcançado muitos outros 
campos da matemática. (Filho & Queiroz de Souza, 2022). 
1.1. Objectivos 
1.1.1. Objectivo Geral 
 Falar sobre espaços métricos e espaços topológicos 
1.1.2. Objectivos Específicos 
 Definir espaços métricos e espaços topológicos 
 Relacionar espaços métricos e espaços topológicos 
 Abordar a importância de estudo de Cálculo Diferencial em IRn 
1.2. Metodologia 
Como propósito metodológico de modo a se alcançar o objectivo geral recorreu-se ao uso de 
referências bibliográficas e teve-se auxílio de serviços electrónicos (internet).
5 
 
2.0. Espaços Métricos 
Os elementos são pontos que estão equipados com uma função, chamada de métrica. 
Um espaço métrico é um par (X, d), onde X é um conjunto não vazio de elementos, e d é uma 
função que constitui cada par de elementos x, y em X um número real não negativo, satisfazendo 
as seguintes propriedades: 
1. Não-negatividade: a distância entre dois pontos é sempre um número real não negativo, ou 
seja, d(x, y) ≥ 0 para todos x, y em X; sendo d(x, y) = 0 se e somente se 𝑥 = 𝑦. 
2. Simetria: a distância entre dois pontos é simétrica, ou seja, d(x, y) = d(y, x) para todos x, y 
em X. 
3. Desigualdade Triangular: a distância entre dois pontos satisfaz a desigualdade triangular, 
ou seja, d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) para todos x, y, z em X. 
2.1. Exemplo de espaços métricos 
2.1.1. Métrica discreta 
Um exemplo simples de métrica em espaços métricos em que a distância entre elementos diferentes 
é sempre 1 e a distância de um elemento a ele mesmo é 0. A métrica discreta d em um conjunto X 
é definida como: 
 𝑑(𝑥, 𝑦) = 0 𝑠𝑒 𝑥 = 𝑦 
 𝑑(𝑥, 𝑦) = 1 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 𝑦 
Essa métrica discreta é chamada também de “zero-um”, porque as distâncias possíveis são 
limitadas a dois valores: o e 1. Nesse caso, o conjunto X equipado com a métrica discreta forma o 
espaço métrico, pois satisfaz todas as propriedades de uma métrica necessárias. 
2.2. Produto de espaços métricos 
O produto métrico de espaços métricos (𝑋1, 𝑑1), (𝑋2, 𝑑2), … , (𝑋𝑛, 𝑑𝑛) é o espaço métrico (𝑋, 𝑑), 
onde 𝑋 = 𝑋1 × 𝑋2 … × 𝑋𝑛 é o produto cartesiano dos conjuntos e 𝑑 é uma métrica específica 
definida da seguinte forma: 
Para 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) e 𝑦 = (𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛) em 𝑋, a métrica 𝑑 em 𝑋 é dada por: 
6 
 
𝑑(𝑥, 𝑦) = √(𝑑1(𝑥1, 𝑦1)2 + 𝑑2(𝑥2, 𝑦2)2 + 𝑑𝑛(𝑥𝑛, 𝑦𝑛)2) 
Essa métrica é conhecida como a métrica do produto e define uma distância entre dois pontos no 
produto dos espaços métricos originais, combinando as distâncias em cada coordenada através da 
fórmula acima mencionada. 
3.0. Espaços Topológicos 
O espaço topológico é um par (𝑋, 𝜏), onde 𝑋 é um conjunto não vazio de elementos e 𝜏 é uma 
coleção de subconjuntos de 𝑋, chamados de conjuntos abertos, que satisfazem as seguintes 
propriedades: 
1. O conjunto vazio e o conjunto inteiro 𝑋 estão em 𝜏, ou seja, ∅ ∈ 𝜏 e 𝑋 ∈ 𝜏. 
2. A intersecção arbitrária de conjuntos abertos em 𝜏 é um conjunto aberto em 𝜏, ou seja, se 
{𝐴𝑖} é uma coleção de conjuntos abertos em 𝜏, então a intersecção ∩ 𝐴𝑖 também é um 
conjunto aberto em 𝜏. 
3. A união finita de conjuntos abertos em 𝜏 é um conjunto aberto em 𝜏, ou seja, se 𝐴 𝑒 𝐵 são 
conjuntos abertos em 𝜏, então sua união 𝐴 ∪ 𝐵 também é um conjunto aberto em 𝜏. 
Os conjuntos abertos definidos pela coleção 𝜏 são a base principal para a definição da topologia no 
espaço 𝑋. 
3.1. Exemplo de espaço topológico 
3.1.1. Espaço topológico discreto 
Seja 𝑋 um conjunto qualquer. A topologia discreta em 𝑋 é definida como a compilação dos 
subconjuntos de 𝑋. Portanto, os abertos nessa topologia são todos os subconjuntos de 𝑋. 
Essa topologia é chamada de “discreta” porque cada ponto em 𝑋 é isolado, ou seja, cada ponto 
possui um conjunto unitário {𝑥}, que contém apenas ele mesmo, como um conjunto aberto. Isso 
implica que qualquer conjunto {𝑥} é aberto, assim como qualquer união e intersecção de conjuntos. 
 
 
 
7 
 
4.0. Exercícios propostos sobre espaços métricos e espaços topológicos 
i) Espaços métricos 
1. Considere o espaço métrico ℝ com a métrica usual 𝑑(𝑥, 𝑦) = |𝑥 − 𝑦|. Mostre que 
a sequência (
1
𝑛
) converge para 0. 
Solução: 
Para mostrar a convergência da sequência (
1
𝑛
) para 0, precisamos provar que, para qualquer 𝜀 > 0, 
tem um inteiro 𝑁 tal que 𝑛 > 𝑁 implica |
1
𝑛
− 0| < 𝜀.Dado 𝜀 > 0, escolha 𝑁 >
1
𝜀
. Então, se 𝑛 > 𝑁, temos: |
1
𝑛
− 0| =
1
𝑛
<
1
𝑁
≤ 1/(
1
𝜀
) = 𝜀. 
Portanto, dada qualquer 𝜀 > 0, podemos encontrar um inteiro 𝑁 tal que 𝑛 > 𝑁 implica |
1
𝑛
− 0| <
𝜀, o que implica que a sequência (
1
𝑛
) converge para 0. 
ii) Espaços topológicos 
1. Considere o conjunto 𝑥 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} com a topologia discreta. Liste todos os 
conjuntos abertos em 𝑋. 
Solução: 
Os conjuntos abertos em um espaço topológico discreto são todos os subconjuntos do conjunto 𝑋. 
Portanto, para conjunto 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}, os conjuntos abertos são: 
 Conjunto vazio {∅} 
 {𝑎}, {𝑏}, {𝑐} 
 {𝑎, 𝑏}, {𝑎, 𝑐}, {𝑐, 𝑏} 
 {𝑎, 𝑏, 𝑐} 
Esses são todos conjuntos possíveis em um espaço topológico discreto. 
5.0. Relação espaços métricos e espaços topológicos 
Em um espaço métrico, uma métrica é definida, que mede a distância entre os pontos do espaço. 
Com base nessa métrica, é possível definir conjuntos abertos, que satisfazem algumas 
8 
 
propriedades. Um conjunto é aberto se, para cada ponto dentro desse conjunto, existe uma bola em 
torno do ponto que está completamente contido no conjunto. Por outro lado, em um espaço 
topológico, uma topologia é definida, que estabelece quais conjuntos são considerados abertos. Os 
conjuntos abertos são definidos em termos de vizinhanças, que são conjuntos que contêm pontos 
próximos. 
6.0. Importância de estudo de Cálculo Diferencial em IRn 
O estudo do cálculo diferencial em IRn (espaços euclidianos multidimensionais) é de extrema 
importância na Licenciatura em Matemática por várias razões. Abaixo, descrevo algumas das 
principais razões pelas quais esse conhecimento é fundamental na formação de um licenciado em 
Matemática: 
Fundamentos teóricos: O cálculo diferencial em IRn é a base teórica para o estudo do cálculo em 
uma ou mais variáveis. É fundamental compreender conceitos como limite, continuidade, derivada, 
integral e suas propriedades em espaços de dimensões superiores para depois aplicá-los em 
situações mais complexas. 
Aplicações em diversos campos: O cálculo diferencial em IRn é amplamente aplicado em várias 
áreas da matemática e em disciplinas relacionadas, como física, engenharia, economia e ciências 
da computação. Estudar cálculo diferencial em espaços de dimensões superiores permite aos 
licenciados aplicar conceitos e técnicas em diferentes contextos e resolver problemas mais 
complexos. 
Desenvolvimento de habilidades de raciocínio: O estudo de cálculo diferencial em IRn requer um 
pensamento analítico e abstrato aprofundado. Isso contribui para o crescimento de capacidades 
relevantes, como o raciocínio lógico, a capacidade de analisar e resolver problemas, a aplicação de 
conceitos matemáticos e a formulação de argumentos rigorosos. 
Preparação para estudos avançados: O estudo do cálculo diferencial em IRn é uma base necessária 
para o estudo avançado de disciplinas matemáticas, como análise real, equações diferenciais 
parciais, geometria diferencial e topologia. Esses tópicos são essenciais para um licenciado em 
Matemática que pretende seguir uma carreira acadêmica ou de pesquisa. 
9 
 
7.0. Conclusão 
Os espaços métricos fornecem uma estrutura matemática para entender a noção de proximidade 
entre pontos em um conjunto e para estudar as propriedades de convergência em espaços 
topológicos. É com os estudos de espaços topológicos que se permite investigar as propriedades 
estruturais e comportamentais de conjuntos abstratos. 
10 
 
8.0. Referências Bibliográficas 
Filho, I. G., & Queiroz de Souza, P. (2022). Uma Introdução à Topologia e aos Espaços Métricos. 
pp. 3-82. Obtido em 15 de 03 de 2024, de 
https://www.posgraduacao.ufcg.edu.br/anais/2022/resumos/xix-cic-9281.pdf 
Silva, M., & Beck, V. (2012). A relação entre espaços métricos e espaços topológicos. Obtido em 
15 de 03 de 2024, de https://www2.ufpel.edu.br/cic/2012/anais/pdf/CE/CE_00066.pdf