Probabilidade de Números Pares

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Aula 7 Probabilidade e Estatística 155
Exemplo 2
Suponha que um dado é lançado treze vezes e, em cada lançamento, você esteja 
interessado no evento: ”ocorreu nº par”. Esse é o evento “sucesso”. No final, você quer saber 
qual a probabilidade de ocorrer, pelo menos, 2 números pares, nesses 13 lançamentos.
Solução
Então, pelo exposto, temos que a v.a. X definida como: X = N° de vezes que ocorreu um 
n° par nos 13 lançamentos” é a v.a. binomial associada a esse experimento, para o qual X = 
0,1,2,...,13. Sendo seus parâmetros: n = 13 e p = 0,5, pois P (par) = P (impar) =
3
6
= 0, 5 . 
Assim, X ∼ B (13; 0,5).
Agora, vamos calcular a probabilidade pedida, ou seja, P (X ≤ 2) sendo X ∼ B (13; 0,5), 
então, temos, pela binomial P (X = k) =
(
n
k
)
pkq(n−k)
Logo: P (X ≤ 2) = 0,012.
Agora, vamos calcular P (X ≤ 2) usando a distribuição normal.
Temos que se X ∼ B (13; 0,5), então a média da v.a. X será 
E (X) = np = 13(0,5) = 6,5; a variância será = npq = 13(0,5)(0,5) = 3,25; o desvio-
padrão = σX =
√
npq =
√
3, 25 = 1, 80278 .
Assim, temos:
Z =
X − E(X)
σX
=
X − np√
npq
P (X ≤ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)
P (X = 2) =
(
13
2
)
(0, 5)2(0, 5)11 =
13 × 12 × 11!
(13 − 2)!2!
(0, 5)13 = 0, 010
P (X = 1) =
(
13
1
)
(0, 5)1(0, 5)12 = 13(0, 5)13 = 0, 002
P (X = 0) =
(
13
0
)
(0, 5)0(0, 5)13 = 1(0, 5)13 = 0
Prob_Est_Livro.indb 155Prob_Est_Livro.indb 155 30/12/14 15:4430/12/14 15:44
Z0-2,5
0,4938
X6,52
Aula 7 Probabilidade e Estatística156
Logo, a P (X ≤ 2) será a área 
Então, substituindo os valores obtidos para a média e o desvio-padrão, teremos:
P (X ≤ 2) = P
(
Z ≤ 2 − 6, 5
1, 80278
)
⇒ Z = −2, 5
Para Z = -2,5 , a tabela nos dá: 
Assim: 
P (X ≤ 2) = P (Z ≤ −2, 5) = 0, 5 − 0, 4938 = 0, 0062 ou P (X ≤ 2) = 0, 01
A diferença entre essas probabilidades calculadas pela distribuição normal e pela 
binomial é ínfima: (0,012 – 0,0062 = 0,0058). 
Prob_Est_Livro.indb 156Prob_Est_Livro.indb 156 30/12/14 15:4430/12/14 15:44