Matemática Financeira

Prévia do material em texto

J A M E S T E I X E I R A
MATEMÁTICA E
GESTÃO FINANCEIRA
SÉR I E ACADÊM I CA
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
P I R A C I C A B A • S Ã O P A U L O
J A M E S T E I X E I R A
MATEMÁTICA E
GESTÃO FINANCEIRA
SÉR I E ACADÊM I CA
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
E X P E D I E N T E
EQUIPE
ORGANIZADORES
Carlos Shinoda
Daniela Flôres
Haroldo José Torres da Silva
Humberto Bonavides Borges
Maria Cecília Perantoni Fuchs Ferraz
Tatiana Rosa Diniz
PROJETO GRÁFICO
Ana Paula Mendes Vidal de Negreiros
REVISÃO
Fernanda Latanze Mendes Rodrigues
2022 PECEGE | Todos os direitos reservados. Permitida a reprodução desde que citada a fonte, mas para 
fins não comerciais. A responsabilidade pelos direitos autorais de texto e imagens desta obra são dos autores.
Os direitos autorais sobre as imagens utilizadas nesse material pertencem aos seus respectivos donos.
FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA POR FELIPE MUSSARELLI CRB 9935/8 .
T266m
Teixeira, James.
Matemática e gestão financeira / James Teixeira. - - Piracicaba, SP : PECEGE 
Editora, 2022.
Série Acadêmica
ISBN: 978-85-92582-41-8
1. Amortização. 2. Fluxo de caixa. 3. Mercado financeiro. 4. Juros. 5. Valor presente. 
I. Autor. II. Título. III. Série.
CDD: 658.15
DADOS INTERNACIONAIS DE CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO (CIP)
(CÂMARA BRASILEIRA DO LIVRO, SP, BRASIL) .
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
Prezado(a) aluno(a),
Esse material foi desenvolvido no intuito de auxiliá-lo com os estudos 
nos cursos de MBA da USP/ESALQ, servindo como um referencial 
teórico básico e complementar às aulas oferecidas nos cursos.
Desejamos que esse material, de alguma forma, contribua para 
acrescentar novos conhecimentos, impulsionar o aprendizado e 
aprimorar as competências que já possui.
Bons estudos!!!
E Q U I P E P E C E G E
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
Doutor em Educação Matemática (Instituto de Matemática 
Aplicada/PUC/SP). Mestre em Administração (ênfase em Métodos 
Quantitativos Aplicados/PUC/SP). Pós-Graduado em Administração 
Econômico-Financeira (CEAPE/SP). Economista com especialização em 
Microeconomia e Estatística (USP). Pesquisador do Grupo PEA-MAT da 
PUC/SP. Professor de Pós-Graduação MBAs da USP/ESALQ, Da FIPECAFI, 
FIA, UNISO, SENAC, Complexo Educacional FMU, Kroton Educacional. Autor 
dos livros Matemática Financeira (Pearson Education) e Matemática para 
Empreendedores (DVS Editora). Prémio: Medalha Marechal Trompowsky 
de Mérito Profissional concedida pelo Instituto dos Docentes do Magistério 
Militar do Exército Brasileiro. Atuação feita no EsPCEx. VII, IX e X Prêmio 
de Excelência Acadêmica – FIPECAFI (2020 e 2021) e Prêmio de Excelência 
Acadêmica pela atuação no Curso PG em Mercado Financeiro e de Capitais 
FIPECAFI (2021).
SOBRE O AUTOR
JAMES
TEIXEIRA
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
SUMÁRIO
1. Introdução .......................................................................................................................9
2. Fluxo de caixa ..................................................................................................................9
3. Juros e taxa de juro ......................................................................................................10
4. Regimes de capitalização ..............................................................................................11
5. Regime de capitalização simples ..................................................................................11
6. Cálculo dos juros simples .............................................................................................14
7. Regime de capitalização composta .............................................................................17
8. Apuração dos juros .....................................................................................................20
9. Taxa de juros nominal e taxa de juros efetiva ..........................................................23
10. Série uniforme de prestações periódicas ..................................................................25
11. Valor presente da série periódica postecipada (PVp) .......................................26
12. Valor futuro da série postecipada (FVp) .....................................................................28
13. Série uniforme de prestações periódicas antecipadas ........................................... 30
13.1 Valor presente da série periódica antecipada (PVa) ........................................ 30
13.2 Valor futuro da série antecipada (FVa) ................................................................31
14. Série uniforme de prestações periódicas diferidas ..................................................32
14.1 Valor presente da série periódica diferida (PVd) ...............................................32
14.2 Valor futuro da série diferida (FVd).....................................................................34
15. Série uniforme de prestações periódicas com parcelas adicionais ........................34
16. Sistemas de amortização de empréstimos ...............................................................36
16.1 Conceitos iniciais sobre sistemas de amortização de empréstimos ....36
16.2 Sistema de Amortização Constante ..................................................................37
16.3 Sistema de Amortização Francês .......................................................................38
16.4 Considerações finais sobre sistemas de amortização de empréstimos ........39
17. Taxa Mínima de Atratividade .....................................................................................39
18. Métodos para análise de investimentos ..................................................................40
18.1 Método do Valor Presente Líquido ..................................................................40
18.2 Método Índice de Lucratividade ........................................................................46
18.3 Método Taxa Interna de Retorno ...................................................................... 47
18.4 Método Custo Anual Uniforme .........................................................................50
Referências .................................................................................................................................53
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
9MATEMÁTICA E GESTÃO FINANCEIRA
1. Introdução
Nesta primeira parte do material, pretende-se apresentar os pressupostos 
que norteiam o estudo dessa importante dimensão da matemática aplicada à gestão 
financeira: a matemática financeira. É importante destacar, logo de início, que as 
bases da matemática financeira estão ancoradas nos regimes de capitalização. Tais 
sistemas são divididos, basicamente, em duas metodologias distintas de cálculo: 
simples e composta. Mais adiante, nesta série acadêmica, ambas serão apresentadas 
em detalhes, por meio de exemplos e aplicações práticas.
É fundamental o pleno domínio dos cálculos financeiros por parte daqueles 
que necessitam operar no mercado, tanto em nível de captação como em aplicação 
de recursos, haja vista que qualquer empreendimento demanda tal necessidade. O 
assunto aqui discutido também se aplica àqueles que buscam empreender em seus 
próprios negócios, dentro da sua área de interesse ou expertise. Como objetivo desta 
série acadêmica pauta-se nos principais conceitos e fundamentos da Matemática 
Financeira, bem como a aplicabilidade na gestão financeira.
2. Fluxo de caixa 
A matemática financeira utilizaum instrumento muito importante para 
retratar as situações que envolvem a circulação de valores ao longo do tempo. 
Trata-se de um diagrama composto por um eixo horizontal, que representa a 
linha do tempo, bem como setas com sentidos e sinais distintos, que, por sua vez, 
representam entradas ou saídas de dinheiro ao longo desse tempo. Essa circulação 
de valores é denominada, em seu conjunto, fluxo de caixa. 
A grande utilidade do fluxo de caixa é tornar visuais as operações que se está 
examinando. Damodaran (2004) destaca a importância desse demonstrativo pelo 
fato de expressar tanto o “timing” quanto o montante de cada fluxo de caixa.
Ressalta-se a ideia de que as entradas de dinheiro são indicadas com 
setas voltadas para cima, seguidas do sinal positivo (+), enquanto as saídas são 
indicadas com setas voltadas para baixo, seguidas do sinal negativo (-). Não há 
uma proporcionalidade entre valores e o tamanho dessas setas, elas apenas 
demonstram receitas ou desembolsos. A Figura 1, a seguir, apresenta um exemplo 
genérico de fluxo de caixa.
Figura 1. Fluxo de caixa convencional
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
SÉRIE ACADÊMICA10
3. Juros e taxa de juro
É consenso que as pessoas e/ou empresas contam, além de valores 
ditos presentes (disponível), com valores que estão no futuro em curto e 
médio prazos (valores a receber). Devido a isso, é natural que tais quantias 
(presentes e futuras) sejam ponderadas e que decisões sejam tomadas 
sobre elas. 
Pode-se abordar a questão da remuneração do capital por meio do 
pagamento ou recebimento de juros, lembrando que se alguém detém 
certa quantia de dinheiro, podendo utilizá-la livremente no consumo de 
bens e serviços que são oferecidos pelo sistema econômico, e resolve 
postergar esse consumo, isto é, poupar esses recursos transferindo-os a 
outra pessoa, pode-se conferir àquele que está postergando o consumo, 
uma remuneração pelo “sacrifício” de consumo que poderia ter sido 
realizado no presente, mas que, em virtude de uma decisão do poupador, 
será realizado no futuro.
É importante destacar que esta série acadêmica não pretende fazer 
juízo de valor sobre uma atitude ou outra. Conforme Dolan (2015) “o 
bem-estar não é sobre como pensamos e sim sobre o que fazemos”.
Dessa questão emerge o conceito de juro, ou seja, o preço desse 
crédito é chamado juro. A quantia monetária que é transacionada, por sua 
vez, chama-se capital ou principal.
É importante destacar, ainda, que o conceito de juro (econômico) 
é diferente de taxa de juro (matemático), pois o segundo é o indicador 
quantitativo do valor do juro que ocorre em dada unidade de tempo, sendo 
expresso como porcentagem do capital. Securato (2015) destaca que a taxa 
de juros de uma operação financeira pode ser entendida, em dado intervalo 
de tempo, como a remuneração da unidade de capital inicial.
Finalizando essas considerações iniciais, destaca-se duas regras que 
devem ser observadas ao utilizar taxas de juros, considerando que elas 
independem do regime de capitalização, em que a situação examinada 
está contextualizada. São elas:
 ¾ Quando se utiliza o ferramental disponibilizado pela álgebra (a 
utilização das fórmulas será explorada mais adiante nesta série 
acadêmica), a taxa sempre será expressa sob forma centesimal, e 
não percentual. Por exemplo, 10% ao ano será expressa 0,10 a.a., 
0,5% ao mês será representado por 0,005 a.m., e assim por diante; 
 ¾ O período de capitalização informado junto à taxa, por exemplo, 
14% ao ano (significa que a incorporação dos juros ao capital 
ocorre a cada ano) deverá sempre ser compatível com o período 
da operação financeira propriamente dita. Pode-se adequar o 
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
11MATEMÁTICA E GESTÃO FINANCEIRA
tempo à taxa ou o contrário, e recomenda-se sempre transformar 
a taxa para o período (unidade temporal do prazo da operação), 
pois isso evita erros e distorções. Existem expressões matemáticas 
específicas para esse fim, as quais serão apresentadas e discutidas 
ao longo deste material.
4. Regimes de capitalização
A matemática financeira presta-se, basicamente, a proporcionar e 
viabilizar a comparabilidade dos valores que se encontram dispostos ao longo 
do tempo. 
Intuitivamente, percebe-se que uma quantia de dinheiro no presente 
possui valor intrínseco maior que a mesma quantia no futuro. Há aspectos 
tanto de oportunidades hoje – as quais poderão não existir no futuro – quanto 
de incerteza vinculada a cenários mais longínquos – os quais podem alterar-se 
à luz da conjuntura econômica passível de mudanças. 
Todavia, além desse aspecto de comparação temporal, há ainda a 
possibilidade de se calcular o montante (valor futuro) ou o capital inicial (valor 
presente) em dada operação. A lógica que sustenta tais comparações é de 
regime de capitalização. 
Vale ressaltar que existem, basicamente, dois tipos de regimes de 
capitalização: o regime de capitalização simples e o regime de capitalização 
composta. Assaf Neto (2019) destaca que os critérios (regimes) de capitalização 
demonstraram como os juros são formados e, sucessivamente, incorporados 
ao capital no decorrer do tempo.
5. Regime de capitalização simples
O regime de juros simples tem uma peculiaridade marcante, pois a apu-
ração dos juros, que são produzidos e incorporados ao final de cada período, 
é sempre baseada no capital inicial aplicado e/ou emprestado, independente-
mente do prazo da operação. 
Sua utilização no merdado financeiro fica restrita a poucas operações: 
normalmente é usado para apuração de valores monetários das operações 
(encargos a pagar, rendimentos financeiros etc.), principalmente no que se 
refere às operações praticadas pelos bancos comerciais.
Admitindo-se, a título de exemplificação, uma aplicação de R$ 100,00 
a juros simples de 5% por período, durante cinco períodos, demonstra-se os 
seguintes juros produzidos, conforme Tabela 1.
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
SÉRIE ACADÊMICA12
Tabela 1. Formação de juros simples
Período Base Juros (J) Montante (FV)
----------------------------------------- R$ -----------------------------------------
0 100 0 100
1 100 5 105
2 100 5 110
3 100 5 115
4 100 5 120
5 100 5 125
Soma => 25 675
Ao analisar a Tabela 1, é possível constatar que o montante cresce de 
forma proporcional e constante à razão de R$ 5,00 a cada período, excetuando-
se a data zero, por não ter ocorrido nenhuma capitalização. Tal constatação 
permite afirmar que o regime de juros simples segue uma progressão aritmética 
(P.A.). Isso pode ser demonstrado por meio de duas abordagens:
1º Soma de uma P.A.: a fórmula da soma de uma progressão aritmética 
é dada pela exepressão 
onde, S é a soma da P.A., n é o número de termos da P.A., a1 é o primeiro 
elemento da série, an é o último elemento da série.
Utilizando essa expressão, ao se calcular o total da coluna do montante 
(Tabela 1), tem-se:
2º Equação da reta, por meio da qual deve-se observar o coeficiente 
angular (inclinação). A partir do exemplo proposto, elaborou-se 
o gráfico da Figura 2.
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
13MATEMÁTICA E GESTÃO FINANCEIRA
Figura 2. Evolução do montante (juros simples) com taxa de 5% por periódo
O coeficiente de inclinação apresenta uma importante informação, pois 
expressa a variação entre as variáveis estudadas. Por exemplo, em relação a 
equação y = -3x + 7, seria possível deduzir que existe uma relação negativa 
entre x e y tal que, para cada aumento de uma unidade de x, y diminui três 
unidades. No exemplo apresentado anteriormente, y = 5x + 100, interpreta-se 
que para cada aumento de uma unidade no tempo (n = 1 período), haverá 
acréscimo de 5 unidades no montante (j = R$ 5,00). Para x = 4, por exemplo, 
substituido na equação, tem-se que: y = 5 x (4) + 100 = 120 (ver Tabela 1, paran=4, tem-se FV = R$ 120,00). Caso a taxa aumentasse de 5% a.p. para 6% a.p., 
conforme apresentado na Tabela 2 e na Figura 3, a seguir, teria-se:
Tabela 2. Formação de juros simples
Período Base Juros (J) Montante (FV)
----------------------------------------- R$ -----------------------------------------
0 100 0 100
1 100 5 105
2 100 5 110
3 100 5 115
4 100 5 120
5 100 5 125
Soma => 25 675
Figura 3. Evolução do montante (juros simples) com taxa de 6% por periódo
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
SÉRIE ACADÊMICA14
6. Cálculo dos juros simples
Para que se avance nas análises apresentadas nesta série acadêmica, 
do ponto de vista algébrico, os juros (j) podem ser apurados pela diferença 
entre o montante (FV) e o capital inicial (PV). Portanto, para uma taxa de juros 
de 5% a.p., tem-se:
Analisando a dinâmica da Tabela 1, tira-se dela a seguinte conclusão:
Generalizando para n períodos, tem-se (Equação 1):
(1)
Imaginando-se uma situação na qual é necessário pagar um boleto de 
condomínio, com atraso de 18 dias, no valor de R$ 850,00 à taxa de 1% ao mês 
e, ainda, a previsão de multa de 2% por conta da inadimplência. Embora o valor 
a ser cobrado sofra aumento de juros proporcional a cada dia de atraso, a base 
de cálculo sempre será a mesma (conceito de juros simples), ou seja, será o 
valor de face expresso no documento (valor nominal ou principal). O cálculo 
hipotético seria o seguinte: 
(Passo 1)  cálculo da multa:
Multa = Valor Nominal x 2%
Multa = R$ 850,00 x 2%
Multa = R$ 17,00
(Passo 2)  cálculo dos juros simples à razão de 1% ao mês (pro-rata):
Juros = PV (valor + multa) x x 18 dias
Juros = PV (R$ 850,00 + R$ 17,00) x x 18 dias
Juros = R$ 867,00 x 0,000333 x 18 
Juros = R$ 5,20
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
15MATEMÁTICA E GESTÃO FINANCEIRA
(Passo 3) Valor a ser pago  Valor Nominal + Multa + Juros
 Valor a ser pago  R$ 850,00 + R$ 17,00 + R$ 5,20
 Valor a ser pago  R$ 872,20
O cálculo poderia ter sido simplicado por meio da utilização da expressão 
j = PV x i x n, acrescentando-se, depois, a multa:
Valor dos encargos  (juros + multa)
Valor dos encargos  [(PV x i x n) + (PV x %multa)]
Valor dos encargos  [(R$ 850,00 x x 18 dias) + (R$ 850,00 x 0,02)]
Valor dos encargos  [(R$ 5,10) + (R$ 7,00)]
Valor a ser pago  R$ 850,00 + (R$ 17,00 + R$ 5,20)
Valor a ser pago  R$ 872,20
Pode-se, ainda, elaborar uma planilha, no Microsoft Excel, que permita 
viabilizar simulações em relação a alguns valores. Tais variáveis podem ser o 
valor de face, a taxa de juros, a taxa de encargos ou tempo de atraso. Apenas 
para ilustração, a Figura 4, a seguir, apresenta uma planilha para atender ao 
exemplo aqui proposto:
Valor de Face: R$850,00 INPUT
% Multa: 2% INPUT
Valor da Multa: R$17,00 Resultado
Valor Devido: R$867,00 Resultado
Taxa de Juros (Mês): 1% INPUT
Dias de atraso: 18 INPUT
Valor dos Juros: R$5,20 Resultado
Total / Encargos: R$22,20 Resultado
Valor a Pagar: R$872,20 Resultado
Figura 4. Pagamento de encargos (juros simples)
A partir da premissa de que o montante é a soma entre o capital e os 
juros, tem-se a Equação 2:
(2)
onde, FV é o montante, PV é o principal ou capital inicial, i é a taxa de juros, n é 
o número de períodos de tempo.
Podem existem situações práticas em que indivíduos como pequenos 
comerciantes, profissionais liberais, microempresários, entre outros, necessitem 
antecipar recebíveis, ou seja, transformar valores que já se encontram 
guardados na tesouraria da empresa, ou mesmo no setor de cobrança do banco 
que se opera, mas que ainda não podem ser recebidos em função da data de 
vencimento desses papéis. Pode-se citar, por exemplo, duplicatas a receber, 
títulos a receber, cheques pré-datados, etc. 
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
SÉRIE ACADÊMICA16
Diante dessa necessidade, pode-se realizar a operação de desconto 
simples comercial, que calcula os juros devidos ao período que falta para o 
vencimento do título, abatendo essa importância do valor de face do papel. 
A expressão matemática do desconto simples, também chamado bancário, é 
(Equação 3): 
(3)
onde, D é o valor do desconto, N é o valor de face do papel, i é a taxa de desconto, 
n é o número de períodos.
A título de exemplificação numérica, tem-se a seguinte situa-
ção hipotética: certo comerciante detém uma duplicata de valor R$ 
1.500,00, produto de uma operação de venda, e deseja antecipar seu 
recebimento, sabendo que faltam 21 dias para seu vencimento. Ao 
consultar o banco Modelo S/A, soube que há interesse na operação de 
desconto à taxa é de 10% ao mês. Nesse caso, qual seria o valor líquido 
a ser recebido? 
Lembrando que operações envolvendo antecipação de recebíveis 
implicam na incidência de Imposto sobre Operações de Crédito (IOC) 
de 0,0041% ao dia sobre o valor do principal e a alíquota adicional e 
0,38% sobre o valor da operação, cobrado na data de colocação do 
empréstimo à disposição do tomador. Todavia, desconsidera-se a carga 
tributária nesse exemplo, pois a intenção é apenas compreender a 
essência do cálculo do desconto.
O valor atual da duplicata (Ac) seria, então:
Finalizando, percebe-se que o valor atual do título é a diferença 
entre o valor de face e o desconto. Expressando em termos matemáticos:
Fatorando essa expressão por meio da colocação do termo 
comum em evidência (N), tem-se a Equação 4:
Realmente,
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
17MATEMÁTICA E GESTÃO FINANCEIRA
7. Regime de capitalização composta
O regime de capitalização composta tem uma lógica totalmente 
diferente do regime de capitalização simples. Nele, a base de cálculo não é 
o capital inicial, mas o montante do período imediatamente anterior àquele 
que se está apurando os juros. 
Dessa forma, percebe-se que os juros incorporados ao longo do tempo 
trazem como consequência o aumento da base de cálculo – daí a expressão 
“juros sobre juros”, comumente utilizada. 
A fórmula matemática adotada para apuração do valor futuro 
(FV = capital + juros), nesse modelo, pode ser derivada da fórmula de juros 
simples, já apresentada neste material (j = PV x i x n). 
Para que se possa, de forma mais contundente, constatar o 
comportamento não linear dos juros compostos, tem-se o seguinte exemplo, 
ilustrado na Tabela 3 e na Figura 5: R$ 100,00 foi aplicado durante trinta 
períodos à taxa de 8% a.p.
Tabela 3. Aplicação de juros compostos
Período Base Juros (J) Montante (FV)
----------------------------------------- R$ -----------------------------------------
0 100 0,00 100,00
1 100 8,00 108,00
2 101 8,64 116,64
3 102 9,33 125,97
4 103 10,08 136,05
5 104 10,88 146,93
6 105 11,75 158,69
7 106 12,69 171,38
8 107 13,71 185,09
9 108 14,81 199,90
10 109 15,99 215,89
11 110 17,27 233,16
12 111 18,65 251,82
13 112 20,15 271,96
14 113 21,76 293,72
15 114 23,50 317,22
16 115 25,38 342,59
17 116 27,41 370,00
18 117 29,60 399,60
19 118 31,53 431,57
20 119 34,53 466,10
21 120 37,29 503,38
22 121 40,27 543,65
23 122 43,49 587,15
24 123 46,97 634,12
25 124 50,73 684,85
26 125 54,79 739,64
27 126 59,17 798,81
28 127 63,90 862,71
29 128 69,02 931,73 
30 129 74,54 1.006,27
Soma => 906,27 12.334,59
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
SÉRIE ACADÊMICA18
Figura 5. Evolução do montante (juros compostos) com taxa de 8% por periódo
1o período: FV = PV + j
 FV = PV + PV x i x n
 FV = PV + PV x i x 1
 FV = PV (1 + i)
2o período: FV = PV + j
 FV = PV (1 + i) + PV (1 + i) x i x 1
 FV = PV (1+ i) x (1+i)FV = PV (1+i)2
3o período: FV = PV + j
 FV = PV (1 + i)2 + PV (1 + i)2x i x 1
 FV = PV (1+ i)2 x (1+i) 
 FV = PV (1+i)3
Enésimo período: FV = PV + j
 FV = PV (1 + i) n-1 + PV (1 + i) n-1x i x 1
 FV = PV (1+ i) n-1x (1+i) 
 FV = PV (1+ i) n-1+1 
 FV = PV (1+i) n
Como resultado, tem-se a aplicação da Equação 5:
 FV = PV (1 + i) n (5)
onde, FV é o montante, PV é o capital inicial, i é a taxa de juros, n é o número 
de períodos de tempo.
Utilizando essa expressão no exemplo acima elaborado, tem-se que 
para o 30º período:
FV = PV (1 + i) n 
FV = R$ 100,00 (1 + 0,08) 30 
FV = R$ 100,00 (10,062656) 
FV = R$ 1.006,27 
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
19MATEMÁTICA E GESTÃO FINANCEIRA
A grande vantagem do uso da fórmula é a dispensa da construção de 
tabelas. Sendo assim, caso queira apurar o valor futuro no 100º período, a 
aplicação da Equação 5 permitiria concluir que:
FV = PV (1 + i) n 
FV = R$ 100,00 (1 + 0,08) 100 
FV = R$ 219.976,73
Examinando a Figura 5, apresentada há pouco, que ilustra a evolução 
dos juros compostos, percebe-se que no regime de capitalização composta 
o crescimento do principal ocorre em progressão geométrica. Os detalhes 
do conceito de crescimento exponencial serão discutidos mais adiante neste 
material, quando forem apresentadas as séries de prestações periódicas.
A partir da igualdade FV = PV (1+i) n, pode-se calcular as demais variáveis 
PV, n e i, conforme segue:
FV = PV (1+i) n ⇔ PV (1+i) n = FV, isolando o PV tem-se a Equação 6:
(6)
FV = PV (1+i) n ⇔ PV (1+i) n = FV
 utilizando a propriedade do logaritmo de uma potência (Equação 7), 
tem-se: 
(7)
finalizando, tem-se (Equação 8):
(8)
Tal qual foi feito na abordagem da capitalização simples, criou-se algumas 
planilhas no Microsoft Excel para proporcionar simulações resultantes de 
possíveis mudanças nas variáveis envolvidas. No tocante ao exemplo em curso, 
o seguinte resultado seria possível, conforme as Figuras 6 a 9:
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
SÉRIE ACADÊMICA20
Valor Presente (PV) - R$100,00 INPUT
Taxa de Juros: 8% INPUT
Prazo: 30 INPUT
Valor Futuro (FV): R$1.006,27 Resultado
Figura 6. Valor futuro (juros compostos)
Valor Futuro (FV) R$1.006,27 INPUT
Taxa de Juros: 8% INPUT
Prazo: 30 INPUT
Valor Presente (PV): -R$100,00 Resultado
Figura 7. Valor presente (juros compostos)
Valor Presente (PV) - R$100,00 INPUT
Valor Futuro (FV) R$1.006,27 INPUT
Prazo: 30 INPUT
TAXA de JUROS 8% Resultado
Figura 8. Cálculo da taxa (juros compostos)
Valor Presente (PV) - R$100,00 INPUT
Valor Futuro (FV) R$ 1.006,27 INPUT
Prazo: 8% INPUT
TAXA de JUROS 30 Resultado
Figura 9. Cálculo do prazo (juros compostos)
8. Apuração dos juros
Examinando o exemplo apresentado, para quais foram os juros 
produzidos, basta subtrair do montante final o capital aplicado (Tabela 3):
Pode-se, ainda, matematizar esse raciocínio e apurar uma fórmula para tal 
propósito. Acerca dessa possibilidade, Lapponi (2008, p.4) destaca que “a construção 
de um modelo pode surgir da detecção de uma oportunidade ou da necessidade de 
resolver um problema”. Logo, tem-se a Equação 9, apresentada a seguir:
(9)
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
21MATEMÁTICA E GESTÃO FINANCEIRA
Dessa forma, por meio da Equação 9, seria possível apurar os juros:
Toda pessoa que necessita fazer operações no mercado financeiro, tais 
como poupar dinheiro em caderneta de poupança, aplicar sobras de caixa em 
Certificado de Depósito Bancário (CDB) ou mesmo apurar os juros devidos por 
ter utilizado o limite do cheque especial de sua conta corrente, precisa dominar 
os cálculos das taxas de juros envolvidas nessas operações. Para efeito ilustrativo, 
imagina-se que o Banco Empreendedorial S/A esteja oferecendo um CDB de 35 
dias à taxa prefixada de 22% ao ano. Carrete e Tavares (2015) esclarecem que a 
taxa de juros é prefixada quando indica o valor futuro da aplicação.
Para alguém não habituado a essas operações, o raciocínio esperado 
seria: se a taxa é pactuada ao ano e o prazo da operação é expresso em 
dias, bastaria dividir 22% por 360, obtendo-se, assim, a taxa diária. Isso está 
incorreto na medida em que se opera um ambiente exponencial (capitalização 
composta), diferentemente de um ambiente linear, característica operacional da 
capitalização simples. Para compreender tal procedimento, deve-se conceituar 
taxas equivalentes: aquelas que, aplicadas ao mesmo principal, durante o 
mesmo espaço de tempo, produzem os mesmos montantes.
Teixeira (2012) propõe a seguinte situação: certo capital PV foi aplicado 
durante certo período n, à uma taxa de juros i, produzindo certo montante 
FV. Concomitantemente a essa aplicação, o mesmo principal PV foi aplicado 
durante um período ne, equivalente ao primeiro, à taxa de juros ie, produzindo 
o mesmo montante FVe.
Dessa maneira, decorrem as seguintes fórmulas matemáticas para cada 
situação acima descrita:
A hipótese aqui é de que os montantes são iguais, logo: FV = FVe.
Admitindo que o prazo pode assumir uma unidade (n = 1), ou seja, um 
mês, um semestre, um ano, um período etc., tem-se que (Equação 10):
 (10)
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
SÉRIE ACADÊMICA22
Pode-se calcular a taxa i em função de taxa ie da seguinte maneira: 
(1 + i) n = (1 + ie)
 ne. Lembrando que n = 1, tem-se que (Equação 11):
(11)
No exemplo aqui apresentado, o cálculo do CDB ficaria da seguinte forma;
Pode-se resolver o problema, de forma mais objetiva, da seguinte maneira:
Uma maneira simples para calcular rapidamente uma taxa equivalente 
em relação a outra é fazer simulações utilizando planilhas do Microsoft Excel. 
Para tanto, recomenda-se que se utilize uma unidade monetária no PV ($1,00) 
e o FV acrescido à razão da taxa informada. 
A título de exemplificação, a Figura 10 apresenta o cálculo das 
taxas equivalentes para os períodos semestral, trimestral, mensal e diária, 
considerando uma taxa de 16% ao ano:
Valor Presente (PV) - R$1,00 INPUT
Valor Futuro (FV) R$1,16 INPUT
Prazo: 2 INPUT (1 ano = 2 semestres)
TAXA de JUROS 7,703% Resultado
Valor Presente (PV) - R$1,00 INPUT
Valor Futuro (FV) R$1,16 INPUT
Prazo: 4 INPUT (1 ano = 4 trimestre)
TAXA de JUROS 3,780% Resultado
Valor Presente (PV) - R$1,00 INPUT
Valor Futuro (FV) R$1,16 INPUT
Prazo: 12 INPUT (1 ano = 12 meses)
TAXA de JUROS 1,245% Resultado
Valor Presente (PV) - R$1,00 INPUT
Valor Futuro (FV) R$1,16 INPUT
Prazo: 360 INPUT (1 ano = 360 dias) ano comercial
TAXA de JUROS 0,041% Resultado
Figura 10. Cálculo de taxas equivalentes (juros compostos)
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
23MATEMÁTICA E GESTÃO FINANCEIRA
Posto isso, utilizando a mesma ferramenta, pode-se resolver o cálculo 
relativo ao CDB (Figura 11).
Valor Presente (PV) - R$1,00 INPUT
Valor Futuro (FV) R$1,22 INPUT
Prazo: 360 INPUT (1 ano = 360 dias)
TAXA de JUROS 0,055% Resultado
Valor Presente (PV) - R$1,00 INPUT
Valor Futuro (FV) R$1,22 INPUT
Prazo: 10.28571 INPUT
TAXA de JUROS 1,952% Resultado
Figura 11. Cálculo relativo ao Certificado de Depósito Bancário 
9. Taxa de juros nominal e taxa de juros efetiva 
Podem existir situações em que o período expresso na taxa de juros 
utilizada não coincide com o período de capitalização. Por exemplo, aplica-se 
certo capital P a juros compostos por n meses, à taxa de 20% ao ano, capitali-
zados mensalmente. Nota-se que a capitalização se dá a cada mêse o período 
informado pela taxa de juros é anual.
Isso ocorre quando está diante de uma taxa nominal e não efetiva. Esse 
fato não deixa de ser um complicador, haja vista que nas situações envolvendo 
a necessidade de adaptações, em que a taxa está em um período e o prazo 
em outro, conforme o exemplo apresentado há pouco, demanda o cálculo da 
correspondente taxa equivalente. Para Gitman (2010), pode-se conceituar taxa 
nominal e taxa efetiva da seguinte maneira:
 ¾ Taxa nominal: é aquela cuja unidade do período a que se refere não 
coincide com a unidade do período da capitalização;
 ¾ Taxa efetiva: é aquela que, efetivamente, é utilizada na operação 
financeira.
Tosi (2009) ressalta que a taxa nominal, na verdade, pode ser vista 
como sendo uma “taxa aparente”. Conforme Teixeira (2012), dada uma taxa 
de juros nominal, procede-se para o cálculo da respectiva taxa de juros efetiva, 
por convenção, de maneira igual ao sistema de capitalização simples, isto é, 
calcula-se a taxa proporcional à dada, relativa à unidade de tempo mencionada 
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
SÉRIE ACADÊMICA24
para a capitalização e, posteriormente, apura-se exponencialmente a taxa 
efetiva à nominal. Matematicamente, temos (Equação 12):
(12)
onde, if é a taxa efetiva, i é a taxa nominal, k é a frequência de períodos relativos 
à capitalização de if.
Por exemplo, qual é a taxa de juros efetiva anual, dada uma taxa 
de juros nominal de 6% ao ano capitalizados mensalmente?
Utilizando a Equação 
Pode-se confirmar esse resultado a partir da utilização da 
fórmula de juros compostos, vista a partir de um PV (Principal) de valor 
hipotético de R$ 100,00, utilizando a Equação 5:
A título de exemplificação, as questões apresentadas a seguir 
serão examinadas e resolvidas, dada a taxa nominal de 24% ao ano:
1) Quais são as respectivas taxas efetivas anuais para os seguintes 
períodos de capitalização:
a) Mensal
b) Trimestral
c) Semestral
2) Quais são as taxas equivalentes mensais, bimestrais e diárias 
relativas às questões a, b e c?
Resolução:
a) 
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
25MATEMÁTICA E GESTÃO FINANCEIRA
b) 
c) 
10. Série uniforme de prestações periódicas
Este tópico pretende aprofundar os conceitos da matemática financeira, 
em particular as modelagens afetas à capitalização composta. É fato que o 
gestor financeiro, ao administrar um negócio, muitas vezes se vê obrigado a 
assumir financiamentos de ativos operacionais, ou mesmo contrair emprésti-
mos a serem pagos por meio de pagamentos futuros. São comuns indagações 
quanto à maneira pela qual as prestações são calculadas, quanto à diferença 
entre pagamento e amortização, quanto a taxa financeira embutida em um 
empréstimo e assim por diante. Diante dessas indagações, passou-se a estudar 
os modelos matemáticos que, apesar de apresentarem maior grau de comple-
xidade, podem dirimir tais dúvidas.
Quando se estuda o regime de capitalização composta, examina-se fluxos 
de caixa em que haja, basicamente, quatro elementos: valor presente (PV), valor 
futuro (FV), taxa de juros (i) e prazo da operação (n). O que será visto, a partir desse 
ponto, é a ocorrência de diversos valores “Periodic Payment Amount” (PMT), ou 
seja, valor do pagamento periódico, dispostos ao longo do tempo.
É importante observar que serão examinadas as chamadas sérias 
regulares, ou seja, cada PMT possui valor nominal igual, e encontram-se 
dispostos em períodos de tempo periódicos e constantes ao longo de um fluxo 
de caixa, daí o nome série uniforme de prestações periódicas.
As séries uniformes de prestações periódicas mais relevantes, segundo 
Di Pierro Netto e Teixeira (1998), são as seguintes:
 ¾ Série uniforme de prestações periódicas postecipadas: tem como 
característica o fato de os pagamentos (PMT) ocorrerem no final de 
cada período. Esse modelo não prevê pagamento de prestação na 
data zero, exceto uma entrada, caso haja. É comumente conhecida 
por jargão comercial, em que o recebimento será realizado, por 
exemplo, em dez prestações mensais iguais (0 + 10);
 ¾ Série uniforme de prestações periódicas antecipadas: diferentemente 
da série postecipada, esse modelo prevê que o primeiro pagamento 
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
SÉRIE ACADÊMICA26
seja feito no início do intervalo de tempo. Normalmente é conhecida 
por fala comercial, em que o pagamento será feito, por exemplo, em 
oito prestações trimestrais e iguais (1 + 7);
 ¾ Série uniforme de prestações periódicas diferidas: nesse caso, o 
modelo de pagamento e/ou recebimento prevê uma carência entre 
a data zero e o primeiro pagamento da série. Assim sendo, após a 
carência, a série é vista como sendo uma postecipada. 
Vale lembrar que as séries mencionadas, independentemente da sua 
classificação, estão inseridas no contexto de capitalização composta. Dessa forma, 
a Equação 5 será utilizada para a capitalização, FV = PV (1+i)n, e a Equação 6 para a 
descapitalização, que irão apurar, respectivamente, o montante e o valor presente 
da série. 
11. Valor presente da série periódica postecipada (PVp)
A título de exemplificação, imagina-se que o dono de uma loja 
de automóveis precisa quitar um veículo que acabou de adquirir, mas 
encontra-se alienado à uma instituição financeira. Sabendo que faltam 
16 prestações (15ª está paga), que o banco cobra uma taxa de 3% ao 
mês e que o valor da prestação é de R$ 1.250,00. Nesse caso, qual seria 
o valor necessário para a quitação do veículo?
Para essa tarefa, deve-se atualizar as prestações futuras, conforme Equação 
13 apresentada a seguir:
Colocando o PMT em evidência, tem-se que:
Conforme antecipado na seção Regime de capitalização composta desta 
série acadêmica, percebe-se que a expressão entre colchetes trata-se de uma 
progressão geométrica, onde:
1º Termo 
A razão 
Enésimo termo 
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
27MATEMÁTICA E GESTÃO FINANCEIRA
A soma de uma progressão geométrica P.G. é expressa por: . 
Por exemplo, dada a sequência 2, 4, 8, 16, 32, determina-se a sua soma 
 2+4+8+16+32 = 62.
Substituindo as variáveis da série postecipada na fórmula da soma da 
P.G., tem-se a Equação 14:
(14)
Resolvendo, então, o exemplo proposto, a resposta seria a seguinte:
Valor Presente (PMT): - R$1.250,00 INPUT
Taxa de Juros: 3% INPUT
Número de Prestações: 16 INPUT
Valor Presente (PV) R$15.701,38 Resultado
Figura 12. Cálculo do valor presente (série postecipada)
Outra fórmula que ajuda bastante é a do cálculo da prestação é: 
. Isolando-se o PMT da equação, tem-se (Equação 15):
(15)
Por exemplo, sabendo-se que um microempresário aceitou 
aceitar uma linha de crédito oferecida pelo banco Z, com limite de 
R$ 35.000,00, que será pago por meio de 48 pagamentos mensais e 
consecutivos (0 + 48), à taxa de juros de 35% ao ano, qual seria o valor 
de cada prestação?
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
SÉRIE ACADÊMICA28
Valor Presente (PV): R$35.000,00 INPUT
Número de Prestação: 48 INPUT
Taxa de Juros: 3% INPUT
Valor Prestação (PMT) - R$1.267,55 Resultado
Figura 13. Cálculo da prestação (I) (série postecipada)
12. Valor futuro da série postecipada (FVp)
O valor futuro, ou valor acumulado de uma série uniforme de prestações 
periódicas, é a soma das prestações (PMT), capitalizadas uma a uma, até a data 
n, imediatamente após a realização do último pagamento. 
Exemplo: uma pessoa decide depositar R$ 2.000,00 mensalmen-
te em um fundo que remunera o capital à taxa de 0,8% ao mês durante 
um ano (0+12), ao final desse período, quanto ela terá acumulado?
Colocando o PMT em evidência e invertendo a ordem das parcelas, tem-se:
Percebe-se que a expressão entre colchetes é uma progressão geométrica, 
na qual o primeiro termo a1 = 1, a razão q = (1 + i) e o último termo an = (1 + i) n-1:Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
29MATEMÁTICA E GESTÃO FINANCEIRA
Fatorando-se essa expressão acima, tem-se (Equação 16):
(16)
Resolvendo o exemplo anterior, vem:
Valor da Prestação (PMT) R$2.000,00 INPUT
Taxa de Juros: 0,80% INPUT
Número de Prestações: 12 INPUT
Valor Futuro (FV) R$25.084,67 Resultado
Figura 14. Cálculo do valor futuro (série postecipada)
Dada a expressão e isolando o PMT, tem-se (Equação 17):
(17)
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
SÉRIE ACADÊMICA30
Valor Futuro (FV): R$1.500.000,00 INPUT
Número de Prestações: 60 INPUT
Taxa de Juros: 4% INPUT
Valor da Prestação (PMT): - R$6.302,77 Resultado
Figura 15. Cálculo da prestação (II) (série postecipada)
13. Série uniforme de prestações periódicas antecipadas
Conforme dito, esse modelo pressupõe que o primeiro pagamento seja 
realizado na data zero, como o próprio nome diz (série antecipada). Se o número 
de prestações for igual a (n), portanto, serão feitas da seguinte forma: [(n-1) + 1].
13.1 Valor presente da série periódica antecipada (PVa)
Se um computador está à venda na rede de lojas G por meio do 
plano de 25 parcelas mensais de R$ 120,00, sendo a primeira no ato da 
compra, com taxa financeira de 19,56% ao ano, qual seria o preço à vista 
desse produto?
Colocando PMT em evidência, tem-se:
Analisando-se o conteúdo da expressão E, é possível perceber que se 
trata do fator de valor presente das séries postecipadas de n-1 termos. Assim 
sendo, será utilizada a Equação 14, apresentada anteriormente, utilizando-se, 
em relação às séries antecipadas, um período a menos (o que ocorre na data 
zero). Desse modo, tem-se a Equação 18:
(18)
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
31MATEMÁTICA E GESTÃO FINANCEIRA
Resolvendo o exemplo apresentado, tem-se:
Valor da Prestação (PMT): - R$120,00 INPUT
Taxa de Juros: 1,50% INPUT
Número de Prestações: 25 INPUT
VALOR PRESENTE (PV): R$2.523,65 Resultado
Figura 16. Cálculo do valor presente (série antecipada)
13.2 Valor futuro da série antecipada (FVa)
Analogamente às series postecipadas, deve-se capitalizar os valores 
dispostos ao longo do fluxo de caixa para a data n:
Colocando PMT em evidência e operando os expoentes, tem-se:
Colocando o termo (1 + i) em evidência, por sua vez:
Ao examinar-se a expressão F, verifica-se que se trata do fator de acúmulo 
de capital das séries postecipadas. Assim sendo, assume-se que o fato desse 
fator ser multiplicado por (1 + i) implica em mais um período de capitalização e, 
portanto, deve-se somar 1 à variável n e subtraí-la do resultado final (Equação 19):
(19)
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
SÉRIE ACADÊMICA32
Se, por exemplo, um aplicador abre uma conta no banco K com 
um depósito inicial de R$ 10.000,00, comprometendo-se a fazer outros 
onze depósitos de mesmo valor ao final de cada trimestre, à taxa de 
26,82% ao ano, qual seria o saldo final da aplicação?
Valor da Prestação (PMT): - R$10.000,00 INPUT
Taxa de Juros: 6,12% INPUT
Número de Prestações: 12 INPUT
VALOR FUTURO (FV): R$180.283,11 Resultado
Figura 17. Cálculo do valor futuro (série antecipada)
14. Série uniforme de prestações periódicas diferidas
Finalmente, será abordada uma série uniforme em que há presença de 
carência entre o fato gerador – a compra de um ativo, por exemplo – e a data 
do primeiro pagamento.
Tais situações são relativamente comuns na aquisição de automóveis, 
principalmente para oferecer uma vantagem ao comprador, por meio da 
concessão de uma carência para o primeiro pagamento. Vale destacar que esse 
período também pode ser chamando de prazo de Diferimento (m).
14.1 Valor presente da série periódica diferida (PVd)
Em relação ao fluxo abaixo (Figura 18), determina-se o Valor Atual (PVd) 
na data zero.
Figura 18. Fluxo para determinar o valor atual na data zero
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
33MATEMÁTICA E GESTÃO FINANCEIRA
Destaca-se que após o final da carência (data m), a série remanescente 
configura-se em uma série uniforme de prestações periódicas postecipadas. É 
como se a data (m) fosse a data zero da série postecipada. Dessa forma, pode-se 
calcular o valor atual (PVd) da seguinte maneira:
1º Calcula-se o valor atual PVp na data (m), ou seja:
2º Descapitaliza-se PVp, que passa a ser interpretado como sendo o 
valor futuro em relação à data zero, por m períodos, encontran-
do-se o valor atual PVd. Matematicamente (Equação 20):
(20)
Considerando-se o seguinte exemplo: um lanifício necessita 
adquirir uma nova máquina para o setor de fiação. O equipamento é 
vendido por meio de dezoito prestações mensais iguais, à taxa de 7,80% 
ao semestre. Como determinar o preço à vista do equipamento, sabendo 
que cada desembolso corresponde a R$ 1.200,00 e que foi concedida 
uma carência de três meses para o primeiro pagamento?
Valor da Prestação (PMT): - R$1.200,00 INPUT
Taxa de Juros: 1,26% INPUT
Número de Prestações: 18 INPUT
VALOR PRESENTE (PV) R$19.218,06 Resultado
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
SÉRIE ACADÊMICA34
Valor Futuro (FV): - R$19.218,06 INPUT
Taxa de Juros: 1,26% INPUT
Prazo de Juros: 3 INPUT
VALOR Presente (PV): R$18.509,54 Resultado
Figura 19. Cálculo do valor presente (série diferida)
14.2 Valor futuro da série diferida (FVd)
Não havendo capitalizações, com consequente formação de juros durante 
o prazo de carência, para o cálculo do valor futuro (FVd) de uma série diferida 
procede-se da mesma maneira com que é apurado o montante das séries 
uniformes postecipadas (Equação 21).
(21)
15. Série uniforme de prestações periódicas com parcelas 
adicionais
Este tópico, embora não contenha nova teoria matemática, é de muita 
importância, haja vista a sua aplicabilidade ao mundo dos negócios, em especial 
aos empreendimentos do mercado imobiliário. Não são raras as propagandas 
que oferecem imóveis para venda ou financiamento por meio de bancos 
particulares ou diretamente por incorporadoras. 
Essas ofertas trazem, muitas vezes, certa complexidade quanto à 
forma de pagamento. O fluxo de caixa oferecido prevê, além de prestações 
preestabelecidas, pagamentos intermediários. Nesses casos, para encontrar 
o valor atual do imóvel, deve-se empregar os conceitos já vistos no presente 
material, tomando o cuidado de adequar a tipologia de cada uma relativamente 
ao macromodelo quantitativo advindo da compra do ativo.
Por exemplo, admitindo-se que um bem de capital esteja à 
venda por meio das condições abaixo informadas, como calcular o 
preço à vista dada a taxa de 3% ao mês?
 ¾ Prazo total: 6 anos;
 ¾ Sinal: R$ 5.500,00; 
 ¾ Prestações mensais: R$ 450,00;
 ¾ Pagamentos semestrais: R$ 1.500,00;
 ¾ Pagamentos anuais: R$ 11.800,00.
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
35MATEMÁTICA E GESTÃO FINANCEIRA
Esquematicamente (Figura 20):
 (pagamentos mensais a cada ano): 72 termos (12 meses x 6 anos)
PMTS (pagamentos semestrais): 12 termos (2 semestres x 6 anos)
PMTA (pagamentos anuais): 6 termos (6 anos)
Figura 20. Modelo de esquema para série uniforme de prestações periódicas 
com parcelas adicionais
Conforme dito anteriormente, deve-se adequar a tipologia de 
cada série. Para tanto, foram utilizadas as séries periódicas postecipadas, 
adaptando-se a taxa ao período referente: 
O macromodelo seria o seguinte:
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 semestres
Rs Rs RsRs Rs RsRs Rs RsRs Rs Rs
RA RA RA RA RA RA
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
SÉRIE ACADÊMICA36
Valor da Prestação (PMT): - R$450,00 INPUT
Taxa de Juros: 3% INPUT
Número de Prestações: 72 INPUT
VALOR PRESENTE (PV): R$13.214,29 Resultado
Valor da Prestação (PMT): - R$1.500,00 INPUT
Taxa de Juros: 19,41% INPUT
Número de Prestações: 12 INPUTVALOR PRESENTE (PV): R$6.808,42 Resultado
Valor da Prestação (PMT): - R$11.800,00 INPUT
Taxa de Juros: 42,58% INPUT
Número de Prestações: 6 INPUT
VALOR PRESENTE (PV): R$24.413,98 Resultado 
Sinal (Data Zero): R$5.500,00 INPUT
TOTAL GERAL: R$49.936,69 Resultado
Figura 21. Cálculo do valor presente com parcelas adicionais
16. Sistemas de amortização de empréstimos
Durante o processo de gerenciamento de negócios, pode-se enfrentar 
situações em que se faz necessária a contratação de dívidas ou financiamentos a 
serem pagos a médio e longo prazos. Considerando o fato de que o valor nominal 
de cada pagamento consiste na soma de amortização e juros, pode-se utilizar 
várias metodologias para estabelecer a melhor forma de liquidar uma dívida. 
16.1 Conceitos iniciais sobre sistemas de amortização de 
empréstimos
Os autores Di Pierro Netto e Teixeira (1998) alertam que antes de apre-
sentar as várias metodologias possíveis de amortização é necessário conceituar 
alguns termos utilizados pelo mercado financeiro:
 ¾ Amortização: é a devolução do capital emprestado que é feito de 
maneira sucessiva e periódica ao longo do tempo;
 ¾ Juros: conforme visto no início deste material, os juros referem-se 
ao pagamento pelo uso do dinheiro;
 ¾ Prestação: realizada de forma sucessiva e periódica, consiste no 
pagamento da amortização mais os juros relativos ao saldo devedor 
imediatamente anterior ao período referente à prestação; 
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
37MATEMÁTICA E GESTÃO FINANCEIRA
 ¾ Saldo devedor: é o saldo restante da dívida logo após o pagamento 
da prestação.
16.2 Sistema de Amortização Constante 
No sistema de amortização constante (SAC), as prestações são decrescentes 
ao longo do tempo. Isso deve-se ao fato de a base de cálculo, usada para a apuração 
dos juros, ser cada vez menor à medida em que as parcelas são realizadas.
A amortização é calculada pela divisão entre o valor emprestado e o 
número de prestações a serem pagas (Equação 22).
(22)
onde, A é a amortização, PV é a principal, n é o número de prestações.
Se uma empresa contraiu um empréstimo no valor de 
R$100.000,00, por exemplo, que será amortizado em cinco anos por 
meio de parcelas semestrais. Dada a taxa de 13% ao ano, como pode-se 
montar o quadro da dívida utilizando o SAC? Para a montagem da planilha 
(Tabela 4), deve-se, inicialmente, calcular o valor da amortização:
Tabela 4. Sistema de Amortização Constante
Periodo Saldo Devedor Amortização Juros Prestação Saldo Final
------------------------------------------------------R$------------------------------------------------------
0 100.000,00
1 106.300,00 10.000,00 6.300,00 16.300,00 90.000,00
2 95.670,00 10.000,00 5.670,00 15.670,00 80.000,00
3 85.040,00 10.000,00 5.040,00 15.040,00 70.000,00
4 74.410,00 10.000,00 4.410,00 14.410,00 60.000,00
5 63.780,00 10.000,00 3.780,00 13.780,00 50.000,00
6 53.150,00 10.000,00 3.150,00 13.150,00 40.000,00
7 42.520,00 10.000,00 2.520,00 12.520,00 30.000,00
8 31.890,00 10.000,00 1.890,00 11.890,00 20.000,00
9 21.260,00 10.000,00 1.260,00 11.260,00 10.000,00
10 10.630,00 10.000,00 630,00 10.630,00 0,00
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
SÉRIE ACADÊMICA38
16.3 Sistema de Amortização Francês
O sistema de amortização francês (SAF) implica, pela lógica que permeia 
sua proposta, que as prestações sejam iguais e sucessivas durante todo o prazo de 
pagamento. Pelo fato de o saldo devedor ser decrescente, de modo que se deve 
cada vez menos, os juros também diminuem. Todavia, para manter o mesmo 
valor da prestação, aumenta-se a amortização.
O cálculo da prestação é feito a partir da fórmula do valor presente da série 
uniforme de prestações periódicas, já estudada neste material (Equação 23): 
(23)
Exemplo: se um apartamento está à venda por R$784.000,00, 
20% desse valor pago diretamente à construtora por meio de 
doze parcelas mensais iguais, à taxa de 15% ao ano capitalizados 
mensalmente. O saldo remanescente será financiado diretamente 
pelo comprador junto ao Banco Y. Sendo assim, a planilha financeira 
referente à dívida da construtora seria (Tabela 5):
 ¾ Dívida: R$784.000,00 x 20% = R$156.800,00
 ¾ Cálculo da taxa efetiva: 
 ¾ Cálculo da taxa equivalente: 
 ¾ Cálculo da taxa prestação mensal: 
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
39MATEMÁTICA E GESTÃO FINANCEIRA
TABELA 5. Sistema de Amortização Francês
Periodo Saldo Devedor Amortização Juros Prestação Saldo Final
------------------------------------------------------R$------------------------------------------------------
0 156.800,00
1 158.760,00 12.192,50 1.960,00 14.152,50 144.607,50
2 146.415,09 12.344,91 1.807,59 14.152,50 132.262,59
3 133.915,88 12.499,22 1.653,28 14.152,50 119.763,38
4 121.260,42 12.655,46 1.497,04 14.152,50 107.107,92
5 108.446,77 12.813,65 1.338,85 14.152,50 94.294,27
6 95.472,95 12.973,82 1.178,68 14.152,50 81.320,45
7 82.336,95 13.135,99 1.016,51 14.152,50 68.184,45
8 69.036,76 13.300,19 852,31 14.152,50 54.884,26
9 55.570,31 13.466,45 686,05 14.152,50 41.417,81
10 41.935,53 13.634,78 517,72 14.152,50 27.783,03
11 28.130,32 13.805,21 347,29 14.152,50 13.977,82
12 14.152,54 13.977,78 174,72 14.152,50 0,04
16.4 Considerações finais sobre sistemas de amortização de 
empréstimos
Finalizada essa parte do material, que objetivou reforçar a importância 
do pleno domínio dos modelos de capitalização simples e composta, bem 
como sua eficácia quanto à capacidade de monitoramento dos financiamentos, 
pretende-se dar início à segunda parte, que busca resgatar a importância de se 
considerar o valor do dinheiro no tempo, procurando mostrar como aplicá-lo 
de forma científica e estruturada. A partir da absorção do conceito de valor 
do dinheiro no tempo, será possível compreender a teoria que fundamenta 
a engenharia econômica, a qual se presta, fundamentalmente, na análise de 
investimentos produtivos.
Serão apresentados os métodos mais importantes para a tarefa de analisar 
alternativas apregoados pela engenharia econômica. Com esses métodos, que 
consideram imprescindíveis os conceitos discutidos em matemática financeira, 
será possível optar, em relação ao escopo de alternativas disponíveis, por aquela 
que melhor atenda às expectativas financeiras e até mesmo estratégicas do 
tomador de decisão. Porém, vale lembrar que as decisões tomadas só poderão 
ser avaliadas no futuro, quando a alternativa escolhida será efetivamente testada.
17. Taxa Mínima de Atratividade 
A taxa mínima de atratividade (TMA) tem papel decisivo quando são 
feitas as análises de alternativas de investimento, uma vez que é por meio 
dela que se estabelece o nível de comparabilidade entre a opção avaliada e 
o retorno exigido. A decisão será tomada, em última análise, por meio dela. É 
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
SÉRIE ACADÊMICA40
importante sublinhar, no entanto, que ela também pode variar em função do 
perfil do agente decisor.
Souza e Clemente (2009, p. 10) chamaram a atenção para a diferenciação 
entre risco e incerteza. Os autores sublinharam que uma situação de risco se 
caracteriza pelo fato de os eventos possíveis e suas probabilidades de ocorrência 
serem conhecidos, enquanto em uma situação de incerteza não se sabe quais 
os eventos possíveis e/ou não se conhecem suas probabilidades de ocorrência.
Lima (2015, p. 206) reforçou essa preocupação sobre a situação de risco 
ao afirmar que “fatores de risco como erros de estimativa em custos, receitas, 
despesas, taxas de descontos são exemplos típicos de incertezas que podem, às 
vezes, aparecer em um projeto de investimento”.
Todavia, de forma mais pragmática, deve-se raciocinar se a rentabilidade da 
alternativa que se está avaliando suplanta o valor da TMA. Não se pode esquecer, 
conforme destacado, os riscos envolvidos que podem ser apurados e mitigados.
É relativamente comum assumir quea TMA é sinônimo de custo de 
oportunidade, embora essa afirmação esteja equivocada, uma vez que o custo 
de oportunidade é um dos componentes da TMA. Além dele, deve-se considerar 
os vários fatores de risco, bem como a demanda de maiores investimentos 
necessários para financiar ativos imobilizados. Tal necessidade pode afetar a 
liquidez, com consequente inviabilização da alternativa que se está analisando.
18. Métodos para análise de investimentos
Os métodos que aqui serão estudados servem, em última análise, para 
identificar a alternativa de investimento de maior retorno (acima da TMA) ou 
de menor custo. São eles:
 ¾ Valor Presente Líquido (VPL);
 ¾ Índice de Lucratividade (IL);
 ¾ Taxa Interna de Retorno (TIR);
 ¾ Custo Anual Uniforme (CAU).
18.1 Método do Valor Presente Líquido 
O VPL de um projeto é a soma de todos os fluxos futuros projetados 
(desembolsos e receitas esperados – CFj), ocorridos durante sua vida útil, 
descontados à data zero, menos o investimento inicial (CF0). 
Nesse caso, é importante destacar que a taxa de desconto a ser utilizada 
será a própria TMA. A expressão matemática que vem ao encontro dessa 
definição é dada pela seguinte equação (24):
(24)
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
41MATEMÁTICA E GESTÃO FINANCEIRA
Critério de aceitação/rejeição do VPL:
 ¾ O projeto será aceito se VPL ≥ 0;
 ¾ O projeto será rejeitado se VPL < 0.
18.1.1 Aplicação do VPL para projetos de mesma duração 
(vidas úteis iguais)
A aplicação do método VPL pode se dar em duas situações: i. alternativas 
de investimento com vidas úteis iguais; e ii. opções com vidas úteis diferentes. 
Ambas as situações serão examinadas a seguir.
Vale destacar que para dois ou mais projetos, dada certa TMA, o projeto 
escolhido deverá ser aquele que apresentar o maior VPL. 
Por exemplo, um investidor pode aplicar R$500.000,00 em dois 
projetos financeiros, respectivamente A e B, que geram os seguintes 
fluxos de caixa (Tabela 6): 
Tabela 6. Fluxo de caixa dos projetos A e B
Sabendo-se que esse investidor pode aplicar no mercado 
financeiro à razão de 15% ao ano, qual projeto ele deve escolher?
 ¾ Primeira alternativa:
Data Projeto A Projeto A
-------------------------------------- R$ --------------------------------------
0 (500.000,00) (500.000,00)
1 145.000,00 595.000,00
2 184.000,00 0,00
3 210.000,00 325.000,00
4 350.000,00 0,00
5 421.500,00 128.200,00
10 2 3 4 5 n
CF0
CF1 CF2 CF3 CF4 CF5
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
SÉRIE ACADÊMICA42
Tabela 7. Cálculo do Valor Presente Líquido (VPL)
 ¾ Segunda alternativa:
Valores
Data Entrada Saída Saldo
----------------------------------------------- R$ -----------------------------------------------
0 0,00 - (500.000,00) - (500.000,00)
1 145.000,00 145.000,00
2 184.000,00 184.000,00
3 210.000,00 210.000,00
4 350.000,00 350.000,00
5 421.500,00 421.500,00
TMA 15% Resultado
VLP R$312.969,43 Aceitar
10 2 3 4 5 n
CF0
CF1 CF2 CF3
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
43MATEMÁTICA E GESTÃO FINANCEIRA
Tabela 8. Alternativa para o Cálculo do Valor Presente Líquido (VPL)
Pelo critério exposto, pode-se concluir que, em função do maior retorno, a 
primeira alternativa é a que melhor se aplica.
18.1.2 Aplicação do VPL para projetos com durações diferentes 
(vidas úteis desiguais)
Quando a vida útil dos projetos for diferente, a comparação entre eles 
segue um critério predeterminado. Deve-se aceitar a hipótese de que cada um 
deles pode ser repetido, com idênticas condições econômicas e financeiras, 
quantas vezes for necessário para atingir o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) 
relativo à duração entre eles. Desta forma, as durações dos referidos projetos 
ficam igualadas.
A título de exemplificação, a Tabela 9 apresenta a comparação entre os 
projetos hipotéticos A e B, determinando a melhor opção, dada a TMA de 12% a.a..
Tabela 9. Parâmetros dos projetos A e B, considerando taxa miníma de atrativi-
dade de 12% ao ano
Projeto A Projeto A
Investimento inicial - (4.000,00) - (6.000,00)
Vida útil (ano) 6 12
Valor Residual 3.000,00 2.000,00
Receita Anual 1.600,00 1.800,00
Nota: Mínimo Multiplo Comum (MMC) entre as vidas  (6; 12) = 12 anos.
Valores
Data Entrada Saída Saldo
----------------------------------------------- R$ -----------------------------------------------
0 0,00 - (500.000,00) - (500.000,00)
1 595.000,00 595.000,00
2 0,00 0,00
3 325.000,00 325.000,00
4 0,00 0,00
5 128.200,00 128.200,00
TMA 15% Resultado
VLP R$294.822,14 Aceitar
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
SÉRIE ACADÊMICA44
Projeto A: (repetido)
10 6 12 Tempo
(5 x R$ 1.600,00) (5 x R$ 1.600,00)
R$ 4.000,00
R$ 3.000,00 R$ 3.000,00
R$ 1.600,00 R$ 1.600,00
R$ 4.000,00
Tabela 10. Valor presente líquido (VLP) para o projeto A
Valores
Data Entrada Saída Residual Saldo
----------------------------------------------- R$ -----------------------------------------------
0 0,00 - (4.000,00) - (4.000,00)
1 1.600,00 1.600,00
2 1.600,00 1.600,00
3 1.600,00 1.600,00
4 1.600,00 1.600,00
5 1.600,00 1.600,00
6 1.600,00 - (4.000,00) 3.000,00 600,00
7 1.600,00 1.600,00
8 1.600,00 1.600,00
9 1.600,00 1.600,00
10 1.600,00 1.600,00
11 1.600,00 1.600,00
12 1.600,00 3.000,00 4.600,00
TMA 12% Resultado
VLP R$ 6.174,39 Aceitar
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
45MATEMÁTICA E GESTÃO FINANCEIRA
Projeto B:
10 12 Tempo
(11 x R$ 1.800,00)
R$ 3.000,00
R$ 1.600,00
R$ 6.000,00
Como VPLA > VPLB escolhe-se o projeto A, pois apresenta maior 
rentabilidade face à TMA.
Tabela 11. Valor presente líquido (VLP) para o projeto B
Valores
Data Entrada Saída Residual Saldo
----------------------------------------------- R$ -----------------------------------------------
0 0,00 - (6.000,00) - (6.000,00)
1 1.800,00 1.800,00
2 1.800,00 1.800,00
3 1.800,00 1.800,00
4 1.800,00 1.800,00
5 1.800,00 1.800,00
6 1.800,00 1.800,00
7 1.800,00 1.800,00
8 1.800,00 1.800,00
9 1.800,00 1.800,00
10 1.800,00 1.800,00
11 1.800,00 1.800,00
12 1.800,00 2.000,00 3.800,00
TMA 12% Resultado
VLP R$ 5.663,22 Aceitar
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
SÉRIE ACADÊMICA46
18.2 Método Índice de Lucratividade
A ideia do índice de lucratividade (IL) é semelhante à lógica do VPL. A 
diferença está no fato que, enquanto o VPL apura a diferença entre o valor 
atual dos retornos e o investimento inicial na data zero, o IL demonstra o 
retorno relativo ao valor atual para cada uma unidade monetária aplicada. 
Matematicamente (Equação 25):
(25)
ou ainda,
Critério de aceitação/rejeição do IL:
 ¾ O projeto será aceito se IL ≥ 1
 ¾ O projeto será rejeitado se IL ≥ 1
Nota-se que o critério de decisão relativo ao IL é similar ao VPL no que 
diz respeito à grandeza de valor, ou seja, quanto maior for o IL de um projeto 
financeiro, mais interessante ele será. Evidentemente, na pior das hipóteses, um 
projeto financeiro só será aceito para IL igual a $1,00 (uma unidade monetária), pois 
isso equivale a aplicar-se à taxa mínima de atratividade e manter-se, pelo menos, 
o mesmo nível de riqueza anterior ao projeto. Para efeito ilustrativo, a Tabela 12 
apresenta o cálculo dos IL´s relativos ao exemplo utilizado na abordagem do VPL.
Tabela 12. Cálculo do índice de lucratividade
Data Projeto A Projeto A
------------------------------------ R$ -------------------------------------
0 (500.000,00) (500.000,00)
1 145.000,00 595.000,00
2 184.000,00 0,00
3 210.000,00 325.000,00
4 350.000,00 0,00
5 421.500,00 128.200,00
 ¾ Primeira situação:
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
47MATEMÁTICA E GESTÃO FINANCEIRA
 ¾ Segunda situação:
Pelo critério do IL escolhe-se o primeiro projeto, haja vista que o 
seu retorno, em termos unitários, suplanta o segundo. Outra interpretaçãopossível dos resultados é dizer que o projeto A traz um retorno de R$0,63 
para cada unidade monetária aplicada, enquanto o segundo traz R$0,58 nas 
mesmas condições.
18.3 Método Taxa Interna de Retorno
A taxa interna de retorno (TIR) de um fluxo de caixa pode ser interpretada 
como a taxa de desconto que faz com que as Receitas Futuras (CFj) dela descon-
tada, igualem-se ao Investimento Inicial (CF0). Matematicamente, trata-se da 
raiz n-ésima que produz um VPL nulo. A equação de cálculo é (26):
(26)
Critério de aceitação/rejeição da TIR:
 ¾ O projeto será aceito se TIR ≥ TMA;
 ¾ O projeto será rejeitado se TIR < TMA.
Por exemplo, se um investidor pode aplicar R$80.000,00 em 
dois projetos financeiros, respectivamente X e Y, que geram os fluxos 
apresentados na Tabela 13, qual seria o melhor projeto dada a TMA de 
5% ao período?
Tabela 13. Cálculo da Taxa Interna de Retorno 
Data Projeto X Projeto Y
------------------- R$ ------------------- ------------------- R$ -------------------
0 (80.000,00) (80.000,00)
1 15.000,00 20.000,00
2 23.000,00 27.000,00
3 13.000,00 17.000,00
4 28.000,00 8.000,00
5 21.000,00 28.000,00
Soma 100.000,00 100.000,00
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
SÉRIE ACADÊMICA48
Valores
Data Entrada Saída Saldo
----------------------------------------------- R$ -----------------------------------------------
0 - 80.000,00 - 80.000,00
1 15.000,00 15.000,00
2 23.000,00 23.000,00
3 13.000,00 13.000,00
4 28.000,00 28.000,00
5 21.000,00 21.000,00
TMA 5,00% Resultado
TIR 7,46% Aceitar
Valores
Data Entrada Saída Saldo
----------------------------------------------- R$ -----------------------------------------------
0 - 80.000,00 - 80.000,00
1 20.000,00 20.000,00
2 27.000,00 27.000,00
3 17.000,00 17.000,00
4 8.000,00 8.000,00
5 28.000,00 28.000,00
TMA 5,00% Resultado
TIR 8.05% Aceitar
As taxas internas de retorno desses dois investimentos podem ser 
calculadas com a função financeira (IRR), da calculadora HP-12C, ou TIR, do 
Microsoft Excel. Os resultados são 7,46% a.p. para o investimento X e 8,04% a.p. 
para o investimento Y. Admitindo-se uma TMA de 5% ao período, ambos seriam 
aceitos pelo critério exposto. Todavia, o investimento Y seria escolhido, pois seu 
retorno é maior quando comparado ao retorno do investimento X. 
Se, por exemplo, uma pessoa tem duas possibilidades para 
aplicar o seu capital: na primeira, ela resgata integralmente o principal, 
acrescido em 80% de juros, após três anos; na segunda, resgata metade 
do principal no final de cada ano, durante os próximos três anos. 
Supondo que a TMA é de 20% ao ano, qual a melhor alternativa? 
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
49MATEMÁTICA E GESTÃO FINANCEIRA
 ¾ Primeira situação:
1 2 3 n0 Tempo
CF1
CF0
 ¾ Segunda situação:
1 2 3 n0 Tempo
CF1 CF2 CF3
CF0
Diante do exposto, a segunda possibilidade mostra-se a melhor opção.
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
SÉRIE ACADÊMICA50
Tabela 14. Cálculo da Taxa de Retorno do Investimo para segunda opção
Valores
Data Entrada Saída Saldo
----------------------------------------------- R$ -----------------------------------------------
0 -100,00 -100,00
1 0,00 0,00
2 0,00 0,00
3 180,00 180,00
TMA 20,00% Resultado
TIR 21,64% Aceitar
Valores
Data Entrada Saída Saldo
----------------------------------------------- R$ -----------------------------------------------
0 100,00 100,00
1 50,00 50,00
2 50,00 50,00
3 50,00 50,00
TMA 20,00% Resultado
TIR 23,38% Aceitar
18.4 Método Custo Anual Uniforme 
O método Custo Anual Uniforme (CAU) consiste, basicamente, na redu-
ção de cada fluxo de caixa em uma série anual uniforme de prestações periódi-
cas postecipadas por meio da taxa mínima de atratividade. O critério de escolha 
recai sobre aquele que implicar menor custo. Serão utilizadas as Equações 15, 
16 e 17, apresentadas anteriormente nesta série acadêmica. 
Por exemplo, uma empresa tem duas alternativas para metali-
zação de certo componente de seu produto: adquirir uma máquina ao 
preço de R$380.000,00, com valor residual de R$75.000,00, após 5 anos, 
além de despesas anuais com manutenção e mão de obra estimadas em 
R$250.000,00; ou terceirizar a operação ao custo mensal de R$26.000,00. 
Considerando as informações apresentadas, qual seria a melhor 
opção para a empresa, estimando uma taxa mínima de atratividade 
(TMA) de 9% ao ano? 
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
51MATEMÁTICA E GESTÃO FINANCEIRA
 ¾ Primeira alternativa: compra
Conforme dito anteriormente, deve-se reduzir o fluxo de caixa 
em uma série anual uniforme postecipada:
1 - Cálculo do impacto da compra relativo a cada ano (custo):
2 - Despesa com manutenção + Mão de obra (custo): 
3 - Cálculo do impacto do valor residual a cada ano (receita):
Cálculo final da alternativa pelo método do custo anual:
Para que a compração entre as duas alternativas tenha sentido 
prático, deve-se verficar o impacto anual dos custos mensais por meio 
da capitalização composta. Sendo assim, tem-se (Tabela 15):
1 2 3 4 50 n = anos
PVp= R$380.000,00
FVp= R$75.000,00
PMT= R$380.000,00
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
SÉRIE ACADÊMICA52
Tabela 15. Cálculo do Custo Anual Uniforme (CAU)
 ¾ Segunda alternativa: tercerização
O custo mensal de R$26.000,00, considerando a taxa de 9% a.a. 
ao final de 12 meses, período correspondente a 1 ano, seria:
Figura 30. Demonstração de cálculo do valor futuro
Valores
Data Entrada Residual Saldo
----------------------------------------------- R$ -----------------------------------------------
0 380.000,00 380.000,00
1 250.000,00 250.000,00
2 250.000,00 250.000,00
3 250.000,00 250.000,00
4 250.000,00 250.000,00
5 250.000,00 75.000,00 175.000,00
TMA 9,0% INPUT
VPL R$1.303.667,96 Resultado
n 5 INPUT
i 9,00% Resultado
CAU R$335.163,20 Resultado
1 2 30 n = meses
R$26.000,00
Valor da prestação (PMT): R$26.000,00 INPUT
Taxa de Juros: 0,72% INPUT
Número de prestações: 12 INPUT
Valor futuro (FV): -R$324.656,58 Resultado
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
53MATEMÁTICA E GESTÃO FINANCEIRA
Considerando as hipóteses apresentadas no exemplo, é melhor 
que se opte pela terceirização do que pela compra, tendo em vista que 
terceirizar apresenta o custo anual de R$ 324.669,76, portanto, menor 
do que o custo apresentado pela alternativa compra, que implica o 
custo anual de R$ 335.163,21.
Referências
Assaf Neto, A. 2019. Matemática Financeira e Suas Aplicações. 11ed. Atlas, São Paulo, 
SP, Brasil.
Carrete, L.S.; Tavares, R. 2015. Cálculo no Mercado Financeiro (Conceitos, Ferramentas e 
Exercícios). Atlas, São Paulo, SP, Brasil.
Damodaran, A. 2004. Finanças Corporativas (teoria e prática). 2ed. Bookman, São Paulo, 
SP, Brasil.
Di Pierro Netto, S.; Teixeira, J. 1998. Matemática Financeira. Pearson Education, São 
Paulo, SP, Brasil.
Dolan, P. 2015. Felicidade Construída: como encontrar prazer e proposito no dia-a-dia. 
Cia das Letras São Paulo, SP, Brasil.
Gitman, L.J. 2010. Princípios de Administração Financeira. 12ed. Pearson Education, São 
Paulo, SP, Brasil.
Lapponi, J.C. 2008. Modelagem Financeira com Excel e VBA. 2ed. Campus, São Paulo, 
SP, Brasil.
Lima, F.G. 2015. Análise de Riscos. Atlas, São Paulo, SP, Brasil.
Securato, J.R. 2015. Cálculo Financeiro das Tesourarias. 15ed. Saint Paulo, São Paulo, 
SP, Brasil. 
Souza, A.; Clemente, A. 2009. Decisões Financeiras e Análise de Investimentos. 6ed. 
Atlas, São Paulo, SP, Brasil. 
Teixeira, J. 2012. Matemática para Empreendedores. 2ed. DVS, São Paulo, SP, Brasil.
Tosi, A.J. 2009. Matemática Financeira com Ênfase em Produtos Bancários. 3ed. Atlas, 
São Paulo, SP, Brasil.
Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
ISBN 978-85-92582-41-8Fra
nc
sic
o A
tai
lo 
Rod
rig
ue
s d
e O
liv
eir
a 9
20
.99
0.3
33
-1
5
	Sumário Laranja
	_Hlk100912647
	1.	Introdução
	2.	Fluxo de caixa 
	3.	Juros e taxa de juro
	4.	Regimes de capitalização
	5.	Regime de capitalização simples
	6.	Cálculo dos juros simples
	7.	Regime de capitalização composta
	8.	Apuração dos juros
	9.	Taxa de juros nominal e taxa de juros efetiva 
	10.	Série uniforme de prestações periódicas
	11.	Valor presente da série periódica postecipada (PVp)
	12.	Valor futuro da série postecipada (FVp)
	13.	Série uniforme de prestações periódicas antecipadas
	13.1	Valor presente da série periódica antecipada (PVa)
	13.2	Valor futuro da série antecipada (FVa)
	14.	Série uniforme de prestações periódicas diferidas
	14.1	Valor presente da série periódica diferida (PVd)
	14.2	Valor futuro da série diferida (FVd)
	15.	Série uniforme de prestações periódicas com parcelas adicionais
	16.	Sistemas de amortização de empréstimos
	16.1	Conceitos iniciais sobre sistemas de amortização de
empréstimos
	16.2	Sistema de Amortização Constante 
	16.3	Sistema de Amortização Francês
	16.4	Considerações finais sobre sistemas de amortização de empréstimos
	17.	Taxa Mínima de Atratividade 
	18.	Métodos para análise de investimentos
	18.1	Método do Valor Presente Líquido 
	18.2	Método Índice de Lucratividade
	18.3	Método Taxa Interna de Retorno
	18.4	Método Custo Anual Uniforme 
	Referências