Exercícios relativos a estruturas algébricas-4

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Capítulo
1
Estruturas Algébricas
1.1. Exercícios relativos a estruturas algébricas
1. Considere a operação binária ⊘ definida em N por a ⊘ b = ab + 1.
Verifique se a operação
a) é interna
b) é associativa
c) é comutativa
d) tem elemento neutro.
Resolução.
a) A operação ⊘ é interna, porque a adição e produto de naturais é ainda um
número natural.
b) ⊘ é associativa se, e só se ∀a, b, c ∈ N, (a ⊘ b) ⊘ c = a ⊘ (b ⊘ c)
(a ⊘ b) ⊘ c = (ab + 1) ⊘ c = (ab + 1) c + 1 = abc + c + 1
a ⊘ (b ⊘ c) = a ⊘ (bc + 1) = a (bc + 1) + 1 = abc + a + 1
Como (a ⊘ b) ⊘ c ̸= (a ⊘ b) ⊘ c, tem-se que ⊘ não é associativa.
c) É comutativa se, e só se ∀a, b ∈ N, a ⊘ b = b ⊘ a
Como a multiplicação de números naturais é multiplicativa, tem-se
a ⊘ b = ab + 1 = ba + 1 = b ⊘ a
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