Exercícios relativos a estruturas algébricas-22

Prévia do material em texto

4. Espaços Vetoriais e Transformações Lineares 183
mente dependentes. Logo,v4 pode ser qualquer vetor de R3. Por exemplo
v4 = (1, 7, 5).
d) A combinação linear é dada por
3∑
i=1
kivi = v, isto é,
k1 (1, 1, 3) + k2 (0, 3, 1) = (a, b, c)
A construção da matriz, tal como apresentado no exercício 9, resulta em 1 0
1 3
3 1
∣∣∣∣∣∣
a
b
c

L2=L2−L1
L3=L3−3L1
∼
 1 0
0 3
0 1
∣∣∣∣∣∣
a
b − a
c − 3a

L3↔L2 1 0
0 1
0 3
∣∣∣∣∣∣
a
c − 3a
b − a

L3=L3−3L2
∼
 1 0
0 1
0 0
∣∣∣∣∣∣
a
c − 3a
b + 8a − 3c

⇒ car(A) = car([A | b ]) = 2 ⇐ b + 8a − 3c = 0
Logo, o subespaço gerado por v1 e v2 é o conjunto
S =
{
(a, b, c) ∈ R3 : b + 8a − 3c = 0
}
.
■
23. Averigue a dependência/independência linear dos seguintes conjuntos
a) A = {(1, 2) , (3, 4)}
b) B = {(1, 2, 3) , (4, 5, 6) , (7, 8, 9)}
c) C = {(1, 0, −1) , (2, −2, 2) , (3, 0, 1)}
d) D = {(0, 0, 0, 0)}
e) E = {(1, 0, 0, 0) , (2, 1, 0, 0) , (3, 2, 1, 0) , (4, 3, 2, 1)}
f) O conjunto formado pelos vetores v1 = (a, 1, 1), v2 = (1, a, 1) e
v3 = (1, 1, a)
g) G =
{
−3x2, 2x2 + x + 1, x + 4
}
, do espaço dos polinómios de
grau não superior a dois
h) O conjunto formado pelos vetores v1, v2 e v3 do espaço vetorial
real R2, tais que v1 = (cos (t) , sin (t)), v2 = (cos (2t) , sin (2t)) e
v3 = (cos (3t) , sin (3t)).
Resolução.
a)
b)