PNV5204 - Aula 03B

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PNV5204 
Dinâmica Aplicada a 
Tópicos de Engenharia Oceânica I
Prof. Dr. Celso Pupo Pesce
Prof. Dr. Alexandre Nicolaos Simos
Escola Politécnica
Sistemas de amarração:
	Linhas em catenária e taut-leg.
	Formulação estática e dinâmica.
Equações da Catenária
Equações Gerais de Barras Curvas
Problema Dinâmico
Equacionamento. Cordas vibrantes.
Modos lineares. Aproximações assintóticas.
Resposta Dinâmica de Linhas: modelos aproximados	
	
PNV5204 - Aula #03B
O’Reilly, O., Modeling Nonlinear Problems in the Mechanics of Strings and Rods, the Role of the Balance Laws, Interaction of Mechanics and Mathematics, Springer, 2016.
Irvine, H.M. (1981). Cable Structures. MIT Press.
Irvine, HM & Caughey, TK, (1974) “The Linear Theory of the Free Vibrations of a Suspended Cable”. Proc R Soc London, A. Vol. 341, 299-315.
Pesce, CP, et al., Analytical and Closed Form Solutions for Deep Water Riser-Like Eigenvalue Problem, Proceedings of the 9th International Offshore and Polar Engineering Conference, ISOPE’99, Vol. 2, pp. 255-264, 1999.
Aranha, J.A.P., Pinto, M.M.O. Dynamics tension in risers and mooring lines: an algebraic approximation for harmonic excitation. Applied Ocean Research, v. 23, p. 63-81, 2001.
Pesce, C.P.; Martins, C.A. Numerical Computation of Riser Dynamics. In: Chakrabarti, S.K. (Ed.) Numerical Methods in Fluid Structure Interaction, Advances in Fluid Mechanics vol. 42, WIT Press, 429 pp, Chapter 7, pgs 253-309, 2005.
Pesce, C. P. Mecânica de cabos e tubos submersos lançados em catenária: uma abordagem analítica e experimental. Tese de livre docência (in Portuguese), Escola Politécnica da Universidade de São Paulo – EPUSP, 1997.
BIBLIOGRAFIA:
Chatjigeorgiou, I. K. Application of the WKB method to catenary-shaped slender structures. Mathematical and Computer Modelling, 48, pp. 249–257, 2008.
Chatjigeorgiou, I. K. Solution of the boundary layer problem for calculating the natural modes of riser type slender structures. Journal of Offshore Mechanics and Arctic Engineering, 130, 2008.
Mazzilli, C. E. N., Lenci, S., Demeio, L. Nonlinear free vibrations of tensioned vertical risers. In Proceedings of 8th European Nonlinear Dynamics Conference - ENOC2014, 2014.
Aranha, J.A.P, Martins, C.A., Pesce, C.P. Analytic Approximation For The Dynamic Bending Moment At The Touchdown Point of A Catenary Riser. International Journal of Offshore and Polar Engineering, ISOPE, Golden, Colorado, USA, v. 7, n.4, p. 241-249, 1997.
Pesce, C.P., Aranha, J.A.P., Martins, C.A., Ricardo, O.G.S, Silva, S. Dynamics Of Curvature In Catenary Risers At The Touch-Down Point Region: An Experimental Study And The Analytical Boundary-Layer Solution. International Journal of Offshore and Polar Engineering, ISOPE, Golden, Colorado ,USA, v. 8, n.3, p. 302-310, 1998.
Teses, dissertações e artigos selecionados.
BIBLIOGRAFIA:
O
A
Ai
Pi
y
bi
qi
li
x
y
ri
x
h
Spread-mooring system
FPSO
Ai
Pi
qi
x
y
ri
O
G
y
bi
li
x
h
Spread-mooring system
FOWT
Ai
Pi
qi
x
y
ri
O
A
R
x
h
G
y
Turret-mooring system
FPSO
Ai
Pi
qi
x
y
ri
A
bi
R
x
h
O
Spread-mooring system
Monocolumn
Cabos Flexíveis Inextensíveis
Prof. Dr. Clóvis de Arruda Martins
Introdução
Hipóteses
Fio inextensível
Fio perfeitamente flexível
Submetido apenas ao peso próprio
Motivação
Primeira aproximação para a configuração geométrica do trecho suspenso de uma linha de amarração, cabo umbilical ou tubo flexível
Soluções analíticas
Formulação
Relações geométricas
Equilíbrio de forças horizontais
Equilíbrio de forças horizontais
Formulação
Relações geométricas
Equilíbrio de forças verticais
Equilíbrio de forças horizontais
Equilíbrio de forças verticais
Formulação
Relações geométricas
Equilíbrio de momentos
Equilíbrio de forças horizontais
Equilíbrio de forças verticais
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Segundo nível
Terceiro nível
Quarto nível
Quinto nível
Formulação
Relações geométricas
Equação diferencial
Equilíbrio de forças horizontais
Equilíbrio de forças verticais
Formulação
Relações geométricas
Equação diferencial
Equilíbrio de forças horizontais
Equilíbrio de forças verticais
Relação geométrica
Formulação
Relações geométricas
Equação diferencial
Equilíbrio de forças horizontais
Equilíbrio de forças verticais
Solução
Sinal
Cabos com Touchdown Point (TDP)
Solução
Condições iniciais
Cálculo das constantes
Cabos com Touchdown Point (TDP)
Solução
Condições iniciais
Cálculo das constantes
Constantes
Constantes
Cabos com Touchdown Point (TDP)
Solução
Condição de contorno em x=0
Solução Final
Condição de contorno no topo
Equação transcendente
Solução numérica
Outras expressões
Coordenadas
Ângulo
Tração
Curvatura
Exemplo: jumper
Dados: d, D, L, g e k
Determinar: H
Equações:
 trecho 1:
 trecho 2:
Equações adicionais
8 equações
8 incógnitas: d1, d2, l1, l2, y1, y2, D e H
Equações Gerais de Barras Curvas Problema da Catenária
C.P. Pesce
Pesce, C. P. “Mecânica de cabos e tubos submersos lançados em catenária: 	uma abordagem analítica e experimental”. Tese de Livre Docência, 	Escola 	Politécnica da Universidade de São Paulo – EPUSP, 1997
Conceito de Tração Efetiva
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Quarto nível
Quinto nível
23
Equações de Kirshoff-Clebsh-Love
(KCL)
Barras curvas – grandes deslocamentos, pequenas deformações
Q
v
Q
w
b
n
P’
v
w
t=
u
T
M
u
M
v
M
w
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24
Ângulos de Euler e a Analogia de Curvatura
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25
Analogia com Equações Dinâmicas de um Corpo Rígido
Matematicamente analógos
Q 	momentum
M 	momentum angular
c	vetor de rotação
K	Momento das forças externas com polo um ponto arbitrário O
u	velocidade do ponto O
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26
De volta às equações de K-C-L:
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27
Se a rigidez flexional é independente de s:
Se caso plano, sem torção:
Na ausência de forças distribuídas:
Caso de uma hélice de passo constante:
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28
Na ausência de momento externo distribuído:
Seção simétrica:
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29
Secões simétricas: 
Condição necessária (porém não suficiente) para torção nula é que seja nulo o momento de torção aplicado. Nesse caso:
Embora relevante para o estudo de instabilidade em risers (Ramos & Pesce, 2003; Gay Neto & Martins, 2011), estudo da torção será abandonado! 
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30
Problema estático vertical
In fact:
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31
Linhas em Catenária
32
As equações de equilíbrio estático podem ser reduzidas a uma única:
Tome
Onde
 	h 	forças hidrodinâmicas
	q 	peso imerso
Após esforço algébrico (Love; Pesce, 1997),
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33
Ausência de correnteza
	
	O termo integral é identicamente nulo:
	
	Se a rigidez flexional for desconsiderada
 Equação da Catenária
	
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34
A curvatura da catenáriaé então dada por:
Tração:
A componente horizontal da tração é invariante ao longo da catenária!
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35
De:
e
segue:
Cuja solução é a clássica equação da catenária: 
Coordenadas cartesianas
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36
Interesse especial: existência de um TDP, ou “touch down point”:
TDP
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37
Que fornece:
Equações paramétricas em s
Interesse especial: existência de um TDP, ou “touch down point”:
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38
De volta à função de curvatura:
E observando que
é a curvature no TDP:
Válida próximo ao TDP
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39
Outras relações úteis:
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40
Catenária com TDP sobre um solo horizontal
Sem correnteza
Curvas adimensionais; parametrizadas no ângulo no topo
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41
Sumário
Tensão efetiva é um conceito fundamental em linhas submersas.
Equações de equilíbrio de Kirschoff-Clebsh-Love constituem-se como importante ferramenta no estudo de linhas em catenária.
No problema no plano as equações de Love podem ser reduzidas a uma única EDO de segunda ordem em q(s).
Essa equação deve ser resolvida iterativamente, uma vez que as forças hidrodinâmicas dependem da configuração de equilíbrio, desconhecida a priori.
Na ausência de correnteza, as equações de KCL reduzem-se às conhecidas equações da catenária.
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42
Apêndice:
O problema planar sob correnteza
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43
Curvatura no TDP
Com ou sem correnteza, a curvatura no TDP é dada por:
O efeito da correnteza está impícito na tração no TDP: 
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44
Solução de primeira ordem sob correnteza de perfil constante
	Em primeira ordem, em torno da solução de catenária:
Coordenadas horizontais do topo e do centro de massa
Coordenadas do cento de forças hidrodinâmicas:
Ângulo no topo:
Tração noTDP:
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45
onde:
e:
Solução de primeira ordem sob correnteza de perfil constante
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46
Tração normalizada no TDP, em relação à solução de catenária, vs ângulo no topo, parametrizada na intensidade de força de correnteza
Solução de primeira ordem sob correnteza de perfil constante
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47
Solução de primeira ordem sob correnteza de perfil constante
Tração normalizada no TOPO, em relação à solução de catenária, vs ângulo no topo, parametrizada na intensidade de força de correnteza
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48
Solução de primeira ordem sob correnteza de perfil constante
Variação do ângulo no TOPO, em relação à solução de catenária, vs ângulo no topo, parametrizada na intensidade de força de correnteza
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49
Solução aproximada vs numérica
SCR:10”3/4 em 910m de profundidade
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50
Sumário
No problema planar, a curvatura depende apenas do peso imerso. Tração traz implicitamente toda a informação da configuração de equilíbrio.
Uma aproximação de primeira ordem permite avaliar a solução sob correnteza de perfil constante.
Esta aproximação é razoável para velocidades de correnteza de 1.0m/s para um SCR em 900m de profundidade.
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51
Problema Dinâmico
Equacionamento.
Cordas vibrantes.
Modos lineares.
Aproximações assintóticas.
C. P. Pesce
Cabos Umbilicais e Tubos Submersos
TDP
TOPO
53
O Problema Dinâmico no Plano
A dinâmica global é regida pela rigidez de catenária.
O efeito da rigidez flexional é importante junto às extremidades ou quando os modos de vibrar tem comprimento comparável ao comprimento de flexão local.
Existem diversas escalas de tempo que regem a dinâmica da linha.
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54
Procedimento de Análise Dinâmica no Plano
Solução estática de cabo-extensível, sob correnteza no plano.
Solução dinâmica de cabo-extensível, no domínio da freqüência, sob correnteza, ondas e movimento imposto ao topo, considerando:
extremidades articuladas (TDP e TOPO);
articulação no TDP ligada a mola linear que simula extensão de trecho apoiado no fundo.
Correção da curvatura, ângulo e curva elástica junto às extremidades, incorporando efeito de rigidez flexional - a posteriori - via soluções assintóticas, conseguidas através da aplicação da técnica da camada-limite:
articulação no TOPO ligada a mola torcional que simula o bending-stiffner.
Modos naturais de vibrar podem ser avaliados analiticamente através da equação dinâmica de cabo inextensível.
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55
A equação na direção normal fica então:
Definindo:
O Efeito da Rigidez Flexional
Comprimento de flexão no TDP
Curvatura estática no TDP
Celeridade de onda associada à rigidez geométrica, no TDP
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56
OBS: Escalas de Tempo
Celeridade de onda associada à rigidez geométrica
Celeridade de onda associada à rigidez axial
Comprimento de flexão local
Celeridades de ondas associada à rigidez flexional
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57
Desprezando a rigidez flexional, a equação na direção normal fica então regida pela tração:
O Efeito da Rigidez Flexional
Risers rígidos:
Risers flexíveis:
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58
O problema da corda vibrante
Fio inextensível
T(s+Ds)
T(s)
a
a+Da
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59
O problema da corda vibrante
ou
com
Solução do tipo
Levando a 
Soluções do tipo:
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60
Equação característica:
Condições de contorno:
E portanto:
O problema da corda vibrante
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61
com,
x
X=0
Solução do tipo:
Como:
L
Assim:
E:
O problema da corda vertical
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62
x
X=0
L
Definindo:
e
Vem:
Esta equação pode ser transformada em uma Equação de Bessel modificada, cuja soluçãoé conhecida.
O problema da corda vertical
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Quinto nível
63
x
X=0
L
De fato, definindo uma nova variável:
Tal que:
Vem que:
e:
resultando:
O problema da corda vertical
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64
x
X=0
L
E, de
O problema da corda vertical
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65
x
X=0
L
Que tem solução dada na forma de Funções de Bessel de ordem zero:
ou:
Equação indicial
O problema da corda vertical
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66
x
X=0
L
Lembrando que:
e
Condições de contorno nas extremidades:
Equação característica
O problema da corda vertical
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67
x
X=0
L
Determinados os 
os modos naturais de vibrar são dados por:
com:
O problema da corda vertical
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68
Funções de Bessel de Primeira Espécie
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69
Funções de Bessel de Segunda Espécie
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70
x
X=0
L
Caso Singular:
porque
Sim, pois, para que a singularidade fosse removida seria necessário que:
mas como:
Solução trivial
O problema da corda vertical
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Quinto nível
71
x
X=0
L
Caso Singular:
porque
Interpretação física: quando a tração se anula a celeridade da onda transversal se anula:
Deve-se incluir, localmente, o efeito da rigidez flexional, e compatibilizar as soluções nos domínios interior e exterior (técnica da camada-limite).
O problema da corda vertical
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72
O problema da corda suspensa
x
X=0
L
Caso Particular:
Como
deve-se ter
Da condição de contorno:
Equação característica
73
O problema do cabo sob ação de correnteza
Hipóteses:
 problema no plano;
 cabo:
 inextensível;
 infinitamente flexível.
Equações dinâmicas:
Solução estática, previamente determinada:
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74
Na forma adimensional e na ausência de forças dinâmicas externas:
onde:
com,
Tração adimensional
e
O problema do cabo sob ação de correnteza
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75
Desprezando termos de segunda ordem na curvatura estática:
Problema de Sturm-Liouville
(de auto valor clássico)
Se a tração fosse linear, a solução seria dada por funções de Bessel
Linearmente proporcional a j’(x) 
Por separação de variáveis
O problema do cabo sob ação de correnteza
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Quinto nível
76
com
Uma função praticamente linear em z
O problema do cabo sem ação de correnteza
77
Aproximando por mínimos quadrados:
com
E definindo:
Obtem-se uma Equação de Bessel modificada na forma:
Com solução do tipo:
O problema do cabo sem ação de correnteza
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Quinto nível
78
Para um riser em catenária direta:
Satisfazendo a equação característica:
O problema do cabo sem ação de correnteza
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Quinto nível
79
Para um riser em catenária direta:
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Quinto nível
80
Problema singular se F(z)=0
Forma propícia para aplicação do método assintótico
WKB, se:
WKB: Wentzel, Kramers, Brillouin (bem como Rayleygh e Jeffreys)
O problema do cabo sob ação de correnteza
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Quinto nível
81
‘Catenária direta’
‘Lazy-wave’
O problema do cabo sob ação de correnteza
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82
Aproximação WKB clássica
(ver Bender & Orszag, pg. 490)
Modos de vibrar são funções trigonométricas moduladas em fase e amplitude e ‘lembram’ funções de Bessel
Fase local
Número de onda local
Celeridade local
‘Turning Point’ se L=0
O problema do cabo sob ação de correnteza
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83
Riser em ‘Catenária Direta’
Modos de vibrar são funções senoidais moduladas em fase e amplitude e ‘lembram’ funções de Bessel
Fase local
Número de onda local
Celeridade local
Auto-valores são simples quadratura da solução estática!!!!
Lineares em n
O problema do cabo sob ação de correnteza
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84
Riser em ‘Catenária Direta’
Freqüências Naturais Dimensionais
Solução Analítica, em forma fechada
O problema do cabo sob ação de correnteza
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85
Riser em ‘Catenária Direta’
como
O problema do cabo sem ação de correnteza
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Quinto nível
86
Riser em ‘Catenária Direta’
Usando
e, com
mas
O problema do cabo sem ação de correnteza
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Quinto nível
87
Riser em ‘Catenária Direta’
Ou
e, com
mas
O problema do cabo sem ação de correnteza
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Quinto nível
88
Riser em ‘Catenária Direta’
H
O problema do cabo sem ação de correnteza
ou
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89
WKB vs. POLIFLEX
Flexible Pipe
Q
(s,t)
v
u
y
x
qL
L
H
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90
WKB vs. POLIFLEX
Flexible Pipe
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Quinto nível
91
POLIFLEX
WKB
Flexible Pipe
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Quarto nível
Quinto nível
92
POLIFLEX
WKB
Flexible Pipe
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Quarto nível
Quinto nível
93
 WKB vs. POLIFLEX
Flexible Pipe
Efeito da elasticidade
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Quarto nível
Quinto nível
94
SCR Típico
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Quarto nível
Quinto nível
95
 WKB vs. POLIFLEXEfeito da elasticidade
SCR
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Quinto nível
96
 WKB vs. POLIFLEX
SCR: Modo 25
TDP
articulado
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Quinto nível
97
Sumário
A dinâmica global é regida pela rigidez de catenária.
O efeito da rigidez flexional é importante junto às extremidades ou quando os modos de vibrar tem comprimento comparável ao comprimento de flexão local.
Existem diversas escalas de tempo que regem a dinâmica da linha.
É possível construir uma solução em forma fechada, via técnica WKB, para o problema de uma linha no plano.
Para o caso de uma catenária pura, na ausência de correnteza, a solução é analítica.
A solução numérica via POLIFLEX, que incorpora o efeito da elasticidade, recai assintoticamente na solução analítica quando a rigidez axial é aumentada.
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Quinto nível
98
Perguntas?
image1.png
image2.png
image7.wmf
q
q
q
q
q
d
T
dT
T
T
sen
cos
cos
cos
-
+
=
oleObject5.bin
image8.wmf
)
sen
)(cos
(
cos
q
q
q
q
d
dT
T
T
-
+
=
oleObject6.bin
image9.wmf
0
cos
=
-
q
q
q
d
Tsen
dT
oleObject7.bin
image10.wmf
0
)
cos
(
=
q
T
d
oleObject8.bin
image11.wmf
cte
H
T
=
=
q
cos
oleObject9.bin
image3.png
image12.wmf
H
T
=
q
cos
oleObject1.bin
image4.wmf
q
cos
=
ds
dx
oleObject2.bin
image5.wmf
q
sen
=
ds
dy
oleObject3.bin
image6.wmf
)
cos(
)
(
cos
q
q
q
d
dT
T
T
+
+
=
oleObject4.bin
image14.wmf
)
sen(
)
(
sen
q
q
g
q
d
dT
T
ds
T
+
+
=
+
oleObject14.bin
image15.wmf
)
cos
)(sen
(
sen
q
q
q
g
q
d
dT
T
ds
T
+
+
=
+
oleObject15.bin
image16.wmf
q
q
q
q
g
q
d
T
dT
T
ds
T
cos
sen
sen
sen
+
+
=
+
oleObject16.bin
image17.wmf
q
q
q
g
d
T
dT
ds
cos
sen
+
=
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image18.wmf
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sen
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q
g
T
d
ds
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image13.png
image19.wmf
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sen
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q
g
T
ds
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image20.wmf
ds
dV
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g
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image21.wmf
C
s
s
V
+
=
g
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(
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image22.wmf
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T
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image23.wmf
q
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image24.wmf
q
q
q
tan
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T
T
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image26.wmf
÷
ø
ö
ç
è
æ
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image27.wmf
ds
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dx
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d
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2
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g
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image28.wmf
dx
ds
H
dx
y
d
g
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2
2
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image29.wmf
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2
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-
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ds
H
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2
2
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(
)
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image32.wmf
2
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ø
ö
ç
è
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÷
ø
ö
ç
è
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ö
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è
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g
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ø
ö
ç
è
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±
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image35.wmf
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
±
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A
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image40.wmf
÷
ø
ö
ç
è
æ
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image41.wmf
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image42.wmf
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image43.wmf
B
x
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÷
ø
ö
ç
è
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g
g
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image45.wmf
g
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÷
ø
ö
ç
è
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g
g
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image37.png
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image38.wmf
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image39.wmf
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image46.png
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image47.wmf
ú
û
ù
ê
ë
é
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
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H
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g
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image48.wmf
D
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ú
û
ù
ê
ë
é
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
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1
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H
H
D
g
g
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oleObject77.bin
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image54.wmf
q
q
q
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+
=
=
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H
T
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image55.wmf
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ø
ö
ç
è
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y
y
T
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image57.wmf
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y
g
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1
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image58.wmf
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T
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)
2
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y
H
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g
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)
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2
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s
H
s
T
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÷
ø
ö
ç
è
æ
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x
g
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tan
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image51.wmf
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H
s
g
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ø
ö
ç
è
æ
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s
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H
s
x
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image53.wmf
÷
÷
ø
ö
ç
ç
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æ
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÷
ø
ö
ç
è
æ
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1
1
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(
2
s
H
H
s
y
g
g
image63.wmf
÷
ø
ö
ç
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1
1
arcsenh
l
H
H
d
g
g
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image64.wmf
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
1
1
2
1
1
l
H
H
y
g
g
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image65.wmf
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
1
1
2
2
2
l
H
H
y
g
g
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image66.wmf
D
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k
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image67.wmf
L
=
+
2
1
l
l
oleObject103.bin
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image68.wmf
D
-
=
+
d
d
d
2
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oleObject104.bin
image69.wmf
1
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y
y
D
-
=
oleObject96.bin
image61.png
oleObject97.bin
image62.wmf
÷
ø
ö
ç
è
æ
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2
2
arcsenh
l
H
H
d
g
g
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oleObject105.bin
image70.wmf
(
)
T
s
F
s
p
s
S
s
p
s
g
H
y
s
ef
ext
o
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(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=
+
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-
r
image71.wmf
F(s+
D
s)
F(s)
p
ext
(A)
E
mg
D
s
p
ext
D
P
im
T
ef
(s)
T
ef
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D
s)
=
(B)
image72.wmf
F(s+
D
s)
F(s)
mg
D
s
p
ext
(a)
mg
D
s
p
ext
(b)
F(s+
D
s)
F(s)
p
ext
(c)
+
=
oleObject106.bin
image73.wmf
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0
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0
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0
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+
+
k
+
k
-
=
+
-
k
+
k
-
=
+
k
+
k
-
=
+
k
+
k
-
=
+
k
+
k
-
=
+
k
+
k
-
w
v
u
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v
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v
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w
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w
w
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K
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oleObject107.bin
image74.wmf
k
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k
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y
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d
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+
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-
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+
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sen
cos
cos
sen
sen
image75.wmf
q
f
y
P
u
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w
k
u
k
w
k
v
h
z
oleObject108.bin
image76.wmf
(
)
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v
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k
k
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,
,
c
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image77.wmf
(
)
(
)
(
)
(
)
w
v
u
w
v
u
w
v
u
w
v
K
K
K
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M
M
M
Q
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,
,
,
,
,
,
=
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=
=
K
f
M
Q
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image78.wmf
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K
Q
u
M
c
M
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f
Q
c
Q
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+
Ù
+
Ù
+
=
+
Ù
+
ds
d
ds
d
oleObject111.bin
image79.wmf
M
B
M
B
M
B
u
u
u
v
v
v
w
w
w
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=
=
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k
k
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image80.wmf
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
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0
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0
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+
+
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k
-
-
k
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+
-
k
k
-
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k
=
+
k
k
-
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k
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k
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k
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k
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k
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-
k
-
k
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w
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v
w
v
w
u
w
v
u
v
w
w
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K
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K
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B
B
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Q
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f
T
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Q
Q
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dT
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(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
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0
0
0
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2
2
2
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-
k
-
k
+
k
k
-
-
k
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+
k
+
k
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k
k
-
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k
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k
k
-
-
k
-
k
-
k
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v
u
w
v
w
v
u
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u
v
w
w
v
image85.wmf
(
)
0
2
0
2
0
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w
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Q
ds
d
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BQT
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k
kt
k
k
tk
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=-
+-=
oleObject118.bin
image86.wmf
k
k
c
w
b
=
=
0
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image87.wmf
0
0
000
()
0
u
v
w
TsT
Q
QT
kt
tc
=
=
=
=
oleObject114.bin
image82.wmf
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
dT
ds
Q
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B
d
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B
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-
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k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
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0
0
2
2
2
2
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image83.wmf
k
v
u
K
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=
0
0
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image84.wmf
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,
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t
k
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image91.wmf
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,
0
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image92.wmf
(
)
(
)
dT
ds
Q
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B
d
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T
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k
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k
k
t
k
t
k
t
k
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2
0
0
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2
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0
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image88.wmf
(
)
(
)
K
K
K
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v
w
;
;
;
;
=
0
0
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image89.wmf
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
dT
ds
Q
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+
-
-
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k
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k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
0
0
0
2
2
2
2
oleObject122.bin
image90.wmf
B
B
B
v
w
f
=
=
oleObject123.bin
oleObject125.bin
image93.wmf
0
0
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t
=
k
u
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image94.wmf
dT
ds
Q
Q
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T
f
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w
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-
-
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k
k
k
k
k
k
k
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0
0
2
2
2
2
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image95.wmf
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d
B
B
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M
M
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M
M
M
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=
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)
(
0
0
0
0
0
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(
0
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0
0
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image96.wmf
dT
ds
Q
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ds
f
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B
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ds
Q
t
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0
0
0
2
2
image97.wmf
q
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y
x
i
j
k
u
v
image98.wmf
junta
flexível
riser de aço
bóia
intermediária
poita
enrijecedores de
flexão
TLP
FPSO
flutuadores
restritor de
curvatura
oleObject129.bin
image99.wmf
f
f
q
h
s
f
f
q
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s
v
n
n
u
t
t
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-
+
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(
)
sen
(
)
q
q
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image100.wmf
(
)
0
0
2
2
2
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cos
sec
sec
sec
Q
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æ
x
q
-
q
÷
ø
ö
ç
è
æ
q
q
+
q
-
+
q
q
ò
ò
oleObject131.bin
image101.wmf
tan
(
)
q
c
c
c
c
s
qs
T
=
0
oleObject132.bin
image102.wmf
B
d
ds
qs
T
Q
2
2
0
0
q
q
q
sec
tan
+
=
-
image106.wmf
T
T
s
T
x
c
c
c
c
=
=
(
)
cos
;
q
0
 constant
e
oleObject137.bin
image107.wmf
T
T
s
T
qs
y
c
c
c
c
c
c
=
=
=
(
)
sen
tan
q
q
0
oleObject133.bin
image103.wmf
c
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image186.wmf
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m
q
a
L
n
n
)
(
tan
+
L
@
W
q
image268.wmf
L
g
a
a
L
n
n
)
1
(
)
1
(
tan
+
-
L
@
W
q
oleObject319.bin
image269.wmf
)
cos
-
(1
sin
L
L
H
L
q
q
=
oleObject320.bin
image270.wmf
H
g
a
a
L
L
n
n
)
1
(
)
1
(
cos
)
cos
1
(
+
-
-
L
@
W
q
q
oleObject315.bin
image265.wmf
4
2
D
m
a
p
r
@
oleObject316.bin
image266.wmf
g
m
m
q
a
)
(
-
@
oleObject317.bin
image267.wmf
m
m
a
a
=
oleObject318.bin
image274.wmf
*
*
(1)
tan
()
nnL
a
mg
mCL
q
-
W@L
+
oleObject325.bin
oleObject326.bin
image275.wmf
*
*
(1cos)
(1)
cos()
L
nn
La
mg
mCH
q
q
-
-
W@L
+
oleObject327.bin
image276.emf
aadCmm
oleObject321.bin
image271.wmf
2
4
d
mD
rp
=
oleObject322.bin
image272.wmf
()
d
qmmg
=-
oleObject323.bin
image273.wmf
*
d
mmm
=
oleObject324.bin
image279.wmf
1
a
C
=
oleObject328.bin
image277.emf
oleObject329.bin
image278.wmf
*
*
(1cos)
(1)
cos(1)
L
nn
L
mg
mH
q
q
-
-
W@L
+
oleObject330.bin
image280.emf
EA (kN) 312500 
EJ (kNm
2
) 49.61 
q (kN/m) 0.914 
m (t/m) 0.218 
D (m) 0.3934 
H (m) 785 
Total length (m) 3000 
L (m) for 
o
L
80
 
935.5 
L (m) for 
o
L
60
 
1359.6 
 
image285.png
image286.png
image287.png
oleObject331.bin
image281.wmf
o
L
L
80
7
.
5
tan
=
=
q
q
image282.png
image283.png
image284.png
image291.png
oleObject335.bin
image288.png
image289.png
image290.png
image292.emf
m
=
tan
q
L
= 
5.7
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
05
10
15
20
25
30
35
Mode number
W
 (
rad/s
)
Poliflex - (i)
Poliflex - (ii)
Poliflex - (EA*100) (iii)
WKB
tan
L
5.7
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
05101520253035
Mode number
 (
rad/s
)
Poliflex - (i)
Poliflex - (ii)
Poliflex - (EA*100) (iii)
WKB
oleObject338.bin
image293.wmf
Axial Rigidity, 
EA
 (kN)
 
2.314 x10
6
 
Bending Stiffness, 
EI
 (kNm
2
)
 
9915
 
Immersed weight, 
q
 (kN/m)
 
0.727
 
m
 (kg
/m) (filled with water)
 
108.0
 
External diameter, 
D
 (m)
 
0.2032
 
Thickness (mm)
 
19.05
 
Depth 
H
 (m)
 
1800
 
Total length (m)
 
5047
 
Angle at top, 
)
(
o
L
q
 (no current)
 
70
(w.r.t. horizontal)
 
Soil Rigidity, 
k
 (kN/m/m)
 
466.37
 
Suspended length, 
L
 (m) 
 
 2571
 
Static tension at TDP, 
(kN)
 
0
T
 
 
680.55
 
Flexural length, 
(m)
l
 
3.82
 
Curvature at TDP, 
)
(m
 
-1
0
c
 
1.077E
-
03
 
Nondimensional curvature at 
TDP, 
l
c
0
0
=
C
 
4.1
14E
-
03
 
Local scale,
L
l
e
=
 
1.486E
-
03
 
Nondimensional soil rigidity 
parameter, 
2
0
T
kEI
K
=
 
10
 
 
image294.wmf
Natural Frequencies for a Catenary Riser; WKB compared to numerical approach
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
5
10
15
20
25
Mode Number
Natural Frequency (rad/s)
WKB
Num, EA
Num, EA*10
Num, EA*20
 
image295.wmf
Transversal Displacement - Mode 25
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2200
2700
3200
3700
4200
4700
5200
Arc Length (m)
Transversal Displacement
WKB
Num, EA
Num, EA*20