P3_GABARITO_2023_FINAL_2023_12_15

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
Departamento de Engenharia Mecânica 
Mecânica I PME 3100 Prova no3 Data 12 / 12 / 2023 
 
Duração da Prova: 120 minutos - Prova sem consulta. 
Não é permitido o porte de calculadoras, "tablets", celulares e dispositivos similares. 
 
1ª Questão (3,0 pontos) O disco de massa m e raio R rola sem escorregar em relação ao bloco móvel B, sob a 
ação da força F, conforme mostrado na figura. O coeficiente de atrito entre o disco e o bloco móvel B é  . 
O bloco móvel B, de massa M, se move sem atrito em relação ao solo. 
a – (1,0 ponto) Desenhe o diagrama de corpo livre do disco e o 
diagrama de corpo livre do bloco móvel B. 
b – (1,0 ponto) Usando o Teorema da Resultante e 
o Teorema do Momento da Quantidade de 
Movimento, calcule a aceleração angular  do 
disco e a aceleração Ba do bloco móvel B. 
c – (1,0 ponto) Determine o valor máximo da força 
F compatível com o rolamento puro do disco sobre 
o bloco móvel B. 
 
2ª Questão (3,5 pontos) A barra AO, de massa m e comprimento 2a, está soldada a um disco de massa m e 
raio a, conforme mostrado na figura. O sistema é liberado do repouso na posição horizontal ( o0 ). 
a – (0,5 ponto) Determine o momento de inércia OzJ do sólido formado pelo disco e a barra AO em relação 
ao eixo perpendicular ao plano da figura e que passa pelo ponto O. 
Para os itens a seguir, adote 2KmaJOz  , e determine, em função dos parâmetros dados: 
b – (0,5 ponto) a velocidade angular  do sólido em função de  , 
usando o Teorema da Energia Cinética; 
c – (0,5 ponto) a aceleração angular  do sólido em função de  ; 
d – (1,0 ponto) o vetor aceleração Ga

 do sólido em função de   e , ; 
e – (1,0 ponto) as reações xR e yR da articulação em O em função de 
  e , , usando o Teorema da Resultante. 
Dado: 
 
 
 
 
 
3ª Questão (3,5 pontos) A peça ABCDE mostrada na figura 
faz parte de um satélite no espaço, sem gravidade. Ela é 
formada por uma placa quadrada homogênea de massa m e 
lado a, soldada à barra DE, de massa desprezível. 
Essa peça ABCDE é articulada em A, tem um 
anel em E, e gira em torno de AE acionada por 
um torque (momento) M variável dado. Pede-
se, usando o sistema de coordenadas (D, x, y, 
z) fixo à peça: 
a – (0,5 ponto) faça o diagrama de corpo livre da peça 
ABCDE; 
b – (1,0 ponto) obtenha a expressão da quantidade de movimento 
angular da peça, em relação ao polo D, em função da sua rotação 
 (  ); 
c – (0,5 ponto) obtenha os momentos e produtos de inércia da 
peça, envolvidos na expressão obtida no item (b); 
d – (1,5 ponto) obtenha as reações em A e E, em função de M e  , 
e desenhe o diagrama de corpo livre com as respostas finais. 
A
B
C
D
E
a
a
a
M
x
y
z

Plano fixo 
2
2mR
JGz 
disco de raio 
R e massa m 
x
y
z
G
12
2mL
JGz 
Haste delgada de massa m 
x
y
z G
L
2
2mR
JGz 
Disco de raio R e massa m 
x
y
z
G
g

R
MB massa , móvel bloco
O
C
F
m massa 
i

 
j

 
k

 
12
2mb
JGx 
 
12
22 bam
JGz


x
y
z
G
a
b
barra AO , de comprimento 2a, 
soldada no disco de raio a, 
formando um único sólido 
g

a
O
A
a

y
Articulação 
no centro O 
do disco. 
x
 
 
GABARITO 
1ª Questão - Resolução 
 
a ) Diagrama de corpo livre do disco Diagrama de corpo livre do bloco móvel B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Da cinemática: iRiaa BO



 , k

   
 
Teorema da Resultante no disco: Teorema da Resultante no bloco móvel B: 
  atB FFRam  (1) atB FMa  (3) 
mgNmgNm  0 (2) MgNVMgNVM 0 (4) 
 
Teorema do Momento da Quantidade de Movimento no disco: 
Adotando o centro de massa como polo:  
22
2 mR
FRF
mR
RFJ atatatOz  (5) 
Substituindo (5) em (3):  
M
mR
a
mR
MaFMa BBatB 22
 (6) 
Substituindo (5) e (6) em (1): 
  




 




 
2222
R
R
M
mR
mF
mR
FR
M
mR
mFFRam atB   





 





 
M
MRmR
m
R
M
mR
mF
2
3
2
3
2
   MmmR
MF
3
2

 (7) 
Substituindo (7) em (6):   







MmmR
MF
M
mR
a
M
mR
a BB 3
2
22
  Mm
F
aB 3
 
 
 
 
c) Substituindo (7) em (5):    Mm
MF
F
MmmR
MFmR
F
mR
F atatat 33
2
22 







  
Do modelo de atrito seco no ponto de contato entre o disco e o bloco móvel B: 
  

 mg
Mm
MF
NFat 
3
 
M
Mmmg
F
3



 
M
Mmmg
F
3
max



 
 
B blocoO F
N
N
atF
mg
atF
Mg
V

0,5 
0,5 
0,3 
0,3 
(para as 
cinco 
equações) 
0,4 
(se ambas as 
respostas estiverem 
corretas) 
0,5 
0,5 
 
 
GABARITO 
2ª Questão - Resolução 
a) barraOzbarraOzdiscoOzOz J
am
JJJ ,
2
,, 2
 
Do terorema dos eixos paralelos: 
  2
,
2
2
2
2
, 3
4
312
2
amJam
am
am
am
J barraOzbarraOz  
Portanto:  2
2
3
4
2
am
am
JOz
2
6
11
amJOz  
 
 
b) Diagrama de corpo livre do sólido: 
Terema da Energia Cinética: ExtWTT  0 
Como parte do repouso: 00 T 
Considerando o ponto fixo O: 22 onde ,
2
1
KmaJJT OzOz  
 
22
2
am
K
T  
Como somente o peso da barra realiza trabalho: senamgW Ext  
Portanto:   sen0
2
22
0 amgam
K
WTT Ext  sen
22
a
g
K
   sen
2
a
g
K
 
 
 
c) Derivando a expressão da velocidade angular  em função do tempo: 
  















 cos
2
2sen
2
sen
2 22
a
g
Ka
g
Kdt
d
dt
d
a
g
K
 cos
1
a
g
K
 
 
 
d) Observando o diagrama de corpo livre, sabe-se que   i
a
OG

2
 
Da cinemática:     OGOGaa OG  

 
Também do diagrama de corpo livre, e das expressões de  e  , temos: k

  e k

   
    


  i
a
kki
a
kaG



22
0  i
a
j
a
aG


 2
22
  
 
 
e) Teorema da Resultante: 
jmgimgjRiRam yxG

 cos2sen22  
Do item anterior temos: i
a
j
a
aG


 2
22
  
Substituindo: jmgimgjRiRi
a
j
a
m yx

  cos2sen2
22
2 2 




  
 22 sen2
2
2sen2  mamg
a
mmgRx
 2sen2  agmRx  
  cos2cos2
2
2 mgmamg
a
mRy    agmRy  cos2 
 

yR
xR
mg
mg
(0,3 se somente uma resposta 
estiver correta) 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
 
 
GABARITO 
3ª Questão - Resolução 
a – Diagrama de corpo livre: 
b - Quantidade de movimento angular da 
peça, em relação ao polo D, com 
coordenadas (D, x, y, z): 
   DD vDGmH

   iJJJ zDxzyDxyxDx

 
   jJJJ zDyzyDyxDyx


 kJJJ zDzyDzyxDzx

  
Observando que 0 zx  , 0

Dv : 
 jJiJH DyDxyD

 
 
 
c – Usando o teorema dos eixos paralelos: 






22
212
a
m
ma
JDy 3
2ma
J Dy  






22
0
aa
mJJ DyxDxy 4
2ma
J Dxy  
 
d – Teorema da Resultante, e notando que o centro de massa G tem movimento circular variado, de raio 
2
a
: 
   















 
(3) 
2
(2) 0
(1) 
2
22
2
2
a
mZZ
Y
a
mXX
kZZjYiXXi
a
k
a
mam
EA
A
EA
EAAEAG







 
Teorema da Quantidade de Movimento Angular: ext
DDGD MvvmH
  
    kJjJiJHjJiJH DxyDyDxyDDyDxyD


2  
       kXXajMiZZakJjJiJ EAEADxyDyDxy

 2












(6) 
(5) 
(4) 
2


a
J
XX
J
M
MJ
a
J
ZZ
Dxy
EA
Dy
Dy
Dxy
EA


 
Somando (1) e (6) obtém-se: Diretamente de (2): 
8
3
22
222 mama
J
a
X DxyA









0AY 
822
222 mama
J
a
X DxyE










 
 
Usando (5) e somando (3) e (4) obtém-se: 
a
Mma
a
J
J
M
Z Dxy
Dy
A 8
9
22






 
a
Mma
a
J
J
M
Z Dxy
Dy
E 8
3
22






 
A
B
C
D
E
M
x
y
z
a
M
8
9
8
3 2ma
a
M
8
3
8
2ma
A
B
C
D
E
a
a
a
M
x
y
z

AX
EX
AY
AZ
EZ
0,5 
1,0 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5