Dinâmica dos Fluidos

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PME 2556 – Dinâmica dos 
Fluidos Computacional
Aula 9 - Modelo k-
Standard
Decomposição de Reynolds
Decomposição de Reynolds
Equações de Reynolds (1)
   
































i
j
j
i
jij
jii
x
u
x
u
xx
p
x
uu
t
u 

Equação de Navier-Stokes na forma conservativa para 
um fluido incompressível:
pPpuUu iii  ;
Onde:
   
































i
j
j
i
jij
jii
x
u
x
u
xx
p
x
uu
t
u 

Equações de Reynolds (2)
RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes)
Resulta:
   
































ji
i
j
j
i
jij
jii uu
x
U
x
U
xx
P
x
UU
t
U 

Continuidade
 
0





j
j
x
u
t

Resulta, para fluido incompressível:
0


j
j
x
U
Hipótese de Boussinesq para as tensões de Reynolds (1)
k
k
ij
i
j
j
i
ijij x
U
x
U
x
U
p















 
k
k
tij
i
j
j
i
tijji x
U
x
U
x
U
kuu















 
3
2
3
2
´´
Tensões Viscosas:
Tensões turbulentas ou Tensões de Reynolds:
)(
3
2
Stokesdehipóteseonde  
Nesta expressão k é a energia cinética da turbulência:
2
2
3
2
2
2
1 uuu
k


Hipótese de Boussinesq para as tensões de Reynolds (2)














i
j
j
i
tijji x
U
x
U
kuu 
3
2
´´
Para fluido incompressível:
Substituindo na Equação Média de Reynolds:
   
































i
j
j
i
eff
ji
eff
j
jii
x
U
x
U
xx
P
x
UU
t
U 

Onde:
teffeff kPP   ;
3
2
Equação de k
:resultamédiaafazendoeuflutuaçãopela
tD
uD
StokesNavierdeequaçãoandoMultiplica
i
i


 
j
i
j
i
j
i
ji
jjii
jjj
j
x
u
x
u
x
U
uu
puuuu
x
k
xx
kU
t
k













 












 


2
)( kdeprodução
x
U
uuPonde
j
i
jik 


kdedissipação
x
u
x
u
j
i
j
i 





Equação modelada para k

tD
kD Difusão de k + Produção de k –Dissipação de k
   






























k
jk
t
jj
j P
x
k
xx
kU
t
k
Onde k é uma constante.
Equação de 
:2
,
médiaafazendoe
x
u
porndomultiplica
xarespeitocomStokesNavierdeequaçãoaDerivando
k
i
k


























































m
j
mm
i
m
i
j
jj
mk
i
mk
i
m
k
m
i
k
i
jk
i
j
i
k
j
i
j
k
i
k
k
j
k
i
x
u
x
p
x
u
x
u
u
xx
xx
u
xx
u
x
u
x
u
x
u
xx
U
x
u
u
x
U
x
u
x
u
x
u
x
u
Dt
D




2
22
22
22
2
2
Equação modelada de  (1)

tD
D
Difusão de  + Produção de  –Dissipação de 
Obviamente, mera inspeção visual permite 
concluir que a equação do slide anterior 
não serve para nada. Assim:
Supomos que a produção de  é proporcional à produção 
de k multiplicada por /k. O mesmo raciocínio é feito para 
a dissipação de .
Equação modelada de  (2)
Resulta:
   
k
CP
k
C
xxx
U
t k
j
t
jj
j
2
21































Onde  , C1 e C2 são constantes.
Viscosidade Turbulenta (Eddy Viscosity)
t é determinado por análise 
dimensional a partir das grandezas 
usadas para caracterizar a 
turbulência . Logo:

 
2k
Ct  Onde C é uma constante.
Modelo k- standard
   






























k
jk
t
jj
j P
x
k
xx
kU
t
k
j
i
jik x
U
uuP


 ´´
   
k
CP
k
C
xxx
U
t k
j
t
jj
j
2
21































Onde :
Temos portanto cinco constantes: C , k ,  , C1 , C2 .

 
2k
Ct 
Determinação das Constantes do Modelo k- (1)
Na camada logarítmica, para 30<y+<400, medidas de k
permitem inferir que os efeitos de convecção e difusão são 
desprezíveis. A equação de k se reduz à igualdade entre 
produção e dissipação. Considerando que nessa região a única 
tensão turbulenta importante é :vu 
09.0;
:,,
2
2





 














CmediçõesdeC
k
vu
resulta
kC
vuvu
y
U
comomas
y
U
vuP
t
k
Determinação das Constantes do Modelo k- (2)
No escoamento á jusante de uma grade que provoque uniformidade 
do mesmo, a produção de turbulência se torna desprezível. 
Desprezando efeitos difusivos, as equações de k e  ficam:
k
C
x
U
x
k
U
2
2;
 





Medidas de k nesse caso sugerem que k=/x, onde  é uma 
constante. Substituindo esse resultado nas equações acima, 
resulta:
22 C
Determinação das Constantes do Modelo k- (3)
 





wUatritodevelocidadechamadaaéU
yU
ye
U
U
UondeyEU

 
**
*
*
:
ln
1
Na camada logarítmica, temos:
 é a chamada constante de Von Kármán, =0.41, e E
depende da rugosidade, E9.0 para parede lisa. Com a lei 
logarítmica obtemos:
y
U
y
U

*



Determinação das Constantes do Modelo k- (4)
Percebe-se também que, para 30 < y+ < 400, a tensão de 
Reynolds é constante e aproximadamente igual à tensão 
viscosa na parede. Da relação entre a tensão de Reynolds e 
k, derivada anteriormente da condição de equilíbrio local 
(produção de turbulência igual à dissipação):



C
U
k
C
k
C
vu
kC
k
vu w
2*
2
/







 
Determinação das Constantes do Modelo k- (5)
Voltando à condição de equilíbrio local na camada logarítmica:
y
U
kparaobtidoresultadoocom
y
U
y
U
quee
k
Cquelembrandomas
y
U
y
U
vu
t
t






3*
*2
2
:
,,
















Determinação das Constantes do Modelo k- (6)
Voltando à camada logarítmica, considerando que o 
transporte convectivo e a difusão longitudinal são 
desprezíveis, e aplicando a condição de equilíbrio local 
entre produção e dissipação de turbulência, a equação de 
fica:
  0
2
21 









k
CC
yy
t 



Substituindo as expressões obtidas nos 
dois últimos slides para k e , obtemos 
finalmente:
 

C
CC
2
21 
Determinação das Constantes do Modelo k- (7)
Alguns experimentos computacionais permitiram uma 
otimização do valor das constantes segundo a tabela:
1.921.441.31.00.09
C2C1kC
Condições de Contorno
Finalmente, é preciso lembrar que o modelo k -  standard
não vale na sub-camada viscosa. É um modelo válido apenas 
para altos Re, onde Re = t  Assim, o nó mais próximo da 
parede deve ficar dentro da camada logarítmica, para 30 < y+
< 400 (idealmente, 30 < y+ < 100 a 200).

nU
y

 *
Condições de Contorno
Ao gerar a malha com o primeiro nó junto da parede dentro da camada logarítmica, não é
possível resolver a subcamada viscosa. Se uma variação linear de velocidade é considerada 
entre a parede e esse primeiro nó, uma viscosidade efetiva junto da parede tem que ser 
considerada no lugar da viscosidade física para que a tensão de cisalhamento do perfil linear 
iguale a tensão de cisalhamento do perfil real. 
Condições de Contorno
n
U
P 



3*
Para a primeira célula nas imediações de uma parede, temos:
0


walln
k
Ou seja, calcula-se uma viscosidade efetiva na parede para que a 
tensão calculada pela diferença de velocidade seja igual à tensão 
resultante do perfil logarítmico. Usa-se uma condição de Neumann 
para a energia cinética devido ao efeito da subcamada viscosa.
  swallP
wall
eUU
nU




2*
Bibliografia
B. E. Launder, D. B. Spalding, “Lectures in Mathematical
models of turbulence”, Academic Press, 1972.
W. Rodi, “Turbulence models and their application in 
hydraulics”, state-of-the-art paper,IAHR, 1980.
D. C. Wilcox, “Turbulence Modeling for CFD”, 2nd 
Edition, DCW Industries, 2000.