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Ana M. Abreu - 2006/07
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Estatística
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Capítulo 1
Estatística Descritiva
I-1 Introdução à organização e ao processamento 
de dados.
I-2 Amostra e população; cuidados a ter na
recolha da amostra.
I-3 Ordenação dos dados. Agrupamento dos 
dados. Tabela de frequências.
I-4 Medidas de localização e de dispersão.
I-5 Representação gráfica dos dados: gráfico de 
barras, gráfico de caule-e-folhas, caixa-de-
bigodes, histograma.
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Slide 2Introdução
Um objectivo comum dos inquéritos e de 
outros processos de obtenção de dados é a 
recolha de informação de uma parte de um 
grupo, de modo a aprender algo sobre esse 
mesmo grupo. Por exemplo, podemos 
perguntar a 10% dos alunos da UMa qual a sua 
nota de entrada na Universidade e assim ter 
alguma informação sobre a totalidade dos 
alunos da UMa.
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v Dados estatísticos
são observações (como medidas, respostas de inquéritos, 
registos de idade, sexo, naturalidade, ...) que foram recolhidas. 
v Estatística
a informação estatística é constituída por dados, os quais 
são organizados, sumariados, apresentados, analizados, 
interpretados de modo a retirar conclusões baseadas nos dados. 
Definições
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Slide 4Definições
v População
a colecção completa de todos os elementos 
(pessoas, animais, medidas, ...) a serem estudados. 
A colecção é completa no sentido de incluir todos 
os indivíduos a serem estudados.
v Amostra
Um subconjunto da população escolhido 
correctamente, de modo a poder ser considerado 
como representativo da população.
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v Parâmetro
uma medida numérica que descreve 
alguma característica de uma população. 
população
parâmetro
Definições
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Slide 6Definições
v Estatística
uma medida numérica que descreve 
alguma característica de uma amostra.
amostra
estatística
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Slide 7Definições
v Dados quantitativos
números que representam contagens ou 
medidas.
Exemplo: número de palavras por frase.
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Slide 8Definições
v Dados qualitativos 
(ou categorizados ou atributos)
podem ser separados em diferentes 
categorias, que se distinguem por alguma 
característica não numérica. 
Exemplos: sexo dos clientes de um hotel, 
nacionalidade dos clientes de um hotel.
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Slide 9Definições
Os dados quantitativos podem ser de tipo 
discreto ou contínuo.
v Dados discretos
surgem quando o número de valores 
possíveis é finito ou contável.
0, 1, 2, 3, . . .
Exemplo: número de palavras por frase.
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v Dados contínuos
(ou numéricos) surgem quando o número de valores 
possíveis é infinito e corresponde a alguma escala 
contínua que contempla uma amplitude de valores sem 
interrupções ou saltos. 
Definições
1,5 2,1
Exemplo: As alturas dos alunos da UMa.
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v escala nominal
caracterizada por dados tais como nomes, 
etiquetas ou categorias. Os dados não têm
qualquer relação de ordem (do mais pequeno 
para o maior).
Exemplo: inquéritos cujas respostas são sim, 
não, sem opinião. 
Definições
Outra forma de classificar os dados consiste 
em usar escalas.
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Slide 12
v escala ordinal
envolve dados que podem ser ordenados, mas 
as diferenças entre eles ou não podem ser 
calculadas ou não fazem sentido. 
Exemplo: O nível de escolaridade.
Definições
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v escala intervalar
como a escala ordinal, mas onde é possível calcular 
diferenças. No entanto, não existe um zero natural (que 
pudesse corresponder a ausência da característica).
Exemplo: As temperaturas em graus Celsius e em graus 
Fahrenheit (ºF=ºC(9/5)+32).
Definições
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v escala absoluta ou de razões
o zero da escala corresponde à anulação da 
característica em estudo. São possíveis 
comparações quer através de diferenças quer 
através de quocientes. 
Exemplo: Preço das propinas (0€ representa 
ausência de custo).
Definições
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Slide 15Resumo -
Escalas para os dados
v Nominal - só categorias.
v Ordinal - categorias com alguma ordem.
v Intervalar - diferenças possíveis mas sem zero 
natural.
v Absoluta ou de razões - diferenças possíveis e 
com zero natural.
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Recapitulando
Até agora vimos:
v Definições e termos básicos para descrever 
os dados
v Parâmetros versus estatísticas
v Tipos de dados (quantitativos e qualitativos)
v Escalas de medidas
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Slide 17Cuidados a ter na
recolha da amostra
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Slide 18Pontos fundamentais
v Se uma amostra não é recolhida de forma 
apropriada, os dados podem ser tão inúteis, 
tal que, qualquer que seja a tortura a que 
sejam submetidos, não confessam seja o 
que for.
v Tipicamente a aleatoriedade tem um papel 
importante na recolha de dados.
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Slide 19Pontos fundamentais
v Dimensão da amostra
usar uma amostra com dimensão 
suficiente para conseguir captar as 
características dos dados e recolhida de forma 
apropriada, tal como baseada na aleatoriedade.
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v Amostra Aleatória
os membros da população são 
seleccionados de tal forma que cada membro 
tem igual possibilidade de ser escolhido. 
Definições
v Amostra Aleatória Simples (de 
dimensão n)
os indivíduos são seleccionados de tal forma 
que cada possível amostra de dimensão n tem a 
mesma possibilidade de ser escolhida.
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Slide 21Amostra Aleatória
Selecção tal que cada um tem igual possibilidade
de ser escolhido.
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Slide 22Amostragem Sistemática
Seleccionar a partir de um ponto inicial e depois
seleccionar a cada K elemento na população.
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Amostragem por conveniência
Usar os resultados que são fáceis de obter.
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Slide 24Amostragem Estratificada
subdividir a população em, pelo menos, dois 
subgrupos distintos que partilham alguma 
característica e, em seguida, recolher uma amostra 
de cada um dos subgrupos (ou estratos).
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Slide 25Amostragem por Clusters
dividir a população em secções
(ou clusters); seleccionar aleatoriamente alguns 
desses clusters; escolher todos os membros dos 
clusters seleccionados.
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v Aleatória
v Sistemática
v Por conveniência
v Estratificada
v Por clusters
Métodos de Amostragem
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v Estatística Descritiva
resume ou descreve as características 
importantes de um conjunto conhecido de dados 
populacionais.
v Estatística Inferencial
usa dados amostrais para fazer inferências (ou 
generalizações) sobre uma população.
Generalidades
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Slide 28Características importantes dos dados
1. Localização: Um valor representativo ou médio indica onde 
se situa o centro dos dados. 
2. Variação: Uma medida do quanto os valores da amostra 
variam entre si.
3. Distribuição: A natureza ou a forma de distribuição dos 
dados (tal como em forma de sino, uniforme ou 
assimétrica).
4. Outliers: Valores amostrais que se situam muito afastados 
da maioria dos restantes valores amostrais.
5. Tempo: Algumas características podem se alterar ao longo 
do tempo.
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Slide 29Distribuição de Frequência
v Distribuição de Frequência
lista dos valores das observações (ou 
individuais ou por grupos de intervalos), 
juntamente com as correspondentes 
frequências ou contagens.
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Slide 30Distribuição de Frequência
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Slide 31Ponto Médio de uma Classe
O ponto médio de uma classe determina-se 
adicionando os limites da classe (inferior e 
superior) e dividindo por dois. 
Pontos
Médios
49.5
149.5
249.5
349.5
449.5
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Slide 32Amplitude da Classe
é a diferença entredois limites superiores consecutivos 
ou dois limites inferiores consecutivos. 
Amplitude 
da Classe
100
100
100
100
100
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Slide 33
Razões para construir 
distribuições de frequência
1. Conjuntos de dados grandes podem 
ser resumidos.
2. Pode-se ganhar alguma perspectiva 
sobre a natureza dos dados.
3. Base para a construção de gráficos. 
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Slide 34
Como construir uma tabela de 
frequências
3. Escolher o limite inferior da primeira classe.
4. Usar o limite inferior da primeira classe e a amplitude de 
classe para listar, numa coluna vertical, todos os limites 
inferiores.
5. Em seguida, listar os correspondentes limites 
superiores.
6. Percorrer os dados, assinalando com um traço vertical a 
classe onde se encontra cada dado.
1. Decidir o número de classes (habitualmente entre 5 e 20). 
Regra de Sturges: k=nº de classes ≈≈≈≈ 1+[log2n]
2. Calcular (aproximando por excesso) a
amplitude da classe ≈≈≈≈ (maior valor) – (menor valor)
número de classes
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Slide 35Frequência Relativa
Frequência relativa =
frequência da classe
soma de todas as frequências
11/40 = 28%
12/40 = 30%
etc.
Frequência total = 40
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Slide 36Frequência acumulada
Frequências
acumuladas
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Slide 37Recapitulando
Acabamos de ver
v Características importantes dos dados.
v Distribuições de frequências.
v Procedimentos para construir as 
distribuições de frequência.
v Frequências relativas.
v Frequências acumuladas.
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Slide 38
Medidas de localização 
e de dispersão
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Slide 39Notação
 ΣΣΣΣ denota a soma de um conjunto de valores.
 x é a variável usada habitualmente para 
representar os valores individuais.
 n representa o número de valores na amostra, ou 
seja, a dimensão da amostra.
 N representa o número de valores na população.
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Slide 40Notação
µ pronuncia-se ‘mu’ e denota a média de todos os valores 
da população.
x =
n
ΣΣΣΣ x
pronuncia-se ‘x-barra’ e denota a média dos valores 
da amostra.
x
N
µ =
ΣΣΣΣ x
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Slide 41Definições
v Mediana
o valor central quando os dados estão 
ordenados.
❖ Se a dimensão da amostra é ímpar, a mediana 
corresponde ao valor que está no centro da 
amostra. 
❖ Se a dimensão da amostra é par, a mediana 
corresponde à média dos dois valores que estão 
no centro da amostra. 
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Slide 42
5.40 1.10 0.42 0.48 1.10 0.66 
0.42 0.48 0.66 0.73 1.10 1.10 5.40
(amostra de dimensão ímpar - valor exacto)
MEDIANA é 0.73 
5.40 1.10 0.42 0.73 0.48 1.10
0.42 0.48 0.73 1.10 1.10 5.40
0.73 + 1.10
2
(amostra de dimensão par – os dois valores 
centrais são distintos)
MEDIANA é 0.915
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Slide 43Definições
v Moda
o valor que ocorre com maior frequência.
A moda nem sempre é única. Um conjunto de 
dados pode ser:
Bimodal
Multimodal
Não ter Moda
v é a única medida de localização que 
pode ser usada para os dados em escala 
nominal.
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Slide 44Exemplos
a. 5.40 1.10 0.42 0.73 0.48 1.10
b. 27 27 27 55 55 55 88 88 99
c. 1 2 3 6 7 8 9 10
ï Moda é 1.10
ï Bimodal - 27 e 55
ï Não existe Moda
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Slide 45Média para dados agrupados
Assuma que, em cada classe, todos os 
valores são iguais ao ponto médio da 
classe.
x = ponto médio
f = frequência
 Σ Σ Σ Σ f = n
x = 
f
ΣΣΣΣ (f • x)
ΣΣΣΣ
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Slide 46
Pontos
Médios
49.5
149.5
249.5
349.5
449.5
x =
11111111x49.5+12121212x149.5+14141414x249.5 +1111x349.5+2+2+2+2x449.5
40
= 177
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Slide 47Definições
v Simetria
As observações distribuem-se de 
forma simétrica quando a metade 
esquerda do histograma correspondente é
sensivelmente um espelho da metade 
direita.
v Assimetria
As observações distribuem-se de 
forma assimétrica se se prolongam mais 
para um dos lados do que para o outro.
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Slide 48
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Slide 49Definições
A amplitude de um conjunto de 
dados é a diferença entre o 
valor mais elevado e o valor 
mais pequeno.
valor
mais
elevado
valor
mais
pequeno
-
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Slide 50Definições
O desvio padrão de uma amostra é
uma medida da variação dos valores 
em torno da média.
ΣΣΣΣ (x - x)2
n - 1
S =
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Slide 51
• Uma forma mais simples do desvio 
padrão amostral, para efeitos de 
cálculo, é a que se segue:
n (n - 1)
s =
n (ΣΣΣΣx2) - (ΣΣΣΣx)2
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Slide 52
Desvio padrão amostral -
algumas características
v O desvio padrão é uma medida de variação de todos 
os valores da amostra em torno da média.
v O valor do desvio padrão, s, é positivo.
v O valor do desvio padrão, s, pode aumentar 
dramaticamente com a inclusão de um ou mais outliers 
na amostra.
v As unidades do desvio padrão, s, são as mesmas 
dos elementos da amostra. 
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Slide 53
Desvio padrão
populacional
2ΣΣΣΣ (x - µ)
N
σσσσ =
Esta fórmula é semelhante à anterior, mas 
neste caso é usada a média populacional e a 
dimensão da população. 
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Slide 54Definições
v Variância populacional ( ): quadrado do desvio 
padrão populacional .σ
v A variância é uma medida de variação de um 
conjunto de valores e é igual ao quadrado do desvio 
padrão.
v Variância amostral (s2): quadrado do desvio 
padrão amostral s.
2 
 
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Slide 55Variância - Notação
quadrado do desvio padrão
s
σ σ σ σ 
2
2
}
Notação
Variância amostral
Variância populacional
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Slide 56Definições
O coeficiente de variação (ou CV) de uma amostra, 
expresso em percentagem, descreve o desvio 
padrão relativamente à média. É uma medida sem 
unidades.
•100%
s
x
CV =
σ
µ
•100%CV =
PopulaçãoAmostra
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Slide 57
Desvio padrão para 
dados agrupados
Usar os pontos médios de cada classe
n (n - 1)S =
n [ΣΣΣΣ(f • x 2)] - [ΣΣΣΣ(f • x)]2
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Slide 58Definições
v Q1 (1º Quartil) separa os primeiros 25% da 
amostra ordenada dos restantes 75%.
v Q2 (2º Quartil) o mesmo do que a mediana; 
separa os primeiros 50% da amostra 
ordenada dos restantes 50%.
v Q3 (3º Quartil) separa os primeiros 75% da 
amostra ordenada dos restantes 25%.
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Slide 59Quartis
Q1, Q2, Q3
dividem os valores ordenados em 4 partes iguais
25% 25% 25% 25%
Q3Q2Q1
(mínimo) (máximo)
(mediana)
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Slide 60Percentis
Assim como os quartis dividem os 
dados em 4 partes iguais, existem 99 
percentis denotados P1, P2, . . . P99, 
os quais particionam os dados em 
100 grupos.
Percentil do valor x = • 100
nº de valores menores que x
nº total de valores
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Slide 61
Representação 
gráfica dos dados
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Slide 62Histograma
Um gráfico com barras, em que o eixo horizontal 
representa as classes dos valores da amostra e o 
eixo vertical a correspondente frequência. 
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Slide 63
Histograma com as frequências 
relativas
Tem a mesma forma e escala horizontal que o 
anterior, mas no eixo vertical estão indicadas as 
frequências relativas. 
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Slide 64Polígono de frequências
Usa segmentos de recta para ligar os pontos 
médios das classes. 
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Slide 65Ogiva
Semelhante ao anterior mas com as frequências
acumuladas
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Slide 66Gráfico de barras
Forma de representação gráfica para dados 
qualitativos
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Slide 67Gráfico de dispersão
Representação de pares de dados (x,y), onde no 
eixo horizontal marcam-se os valores de x e no 
eixo vertical os valores de y
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Slide 68Gráfico de caule-e-folhas
Representaos dados, separando cada valor em 
duas partes: o caule (valor à esquerda do traço 
vertical) e a folha (algarismo à direita do traço 
vertical)
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Slide 69Caixa-de-bigodes
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Slide 70Caixa-de-bigodes
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Slide 71Definições
❖A caixa-de-bigodes é um gráfico que 
consiste numa linha desde o mínimo até
ao máximo (se não houver outliers), e 
numa caixa com extremos nos 1º e 3º
quartis e divisão na mediana.
❖Para um conjunto de dados, o resumo de 
5 números é formado pelo mínimo, 1º
quartil, mediana, 3º quartil e máximo.