prova123

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MA72A (turma S23) - Cálculo Diferencial e Integral II - 1o. sem. 2014
Professor Rodolfo Begiato - begiato@utfpr.edu.br - http://paginapessoal.utfpr.edu.br/begiato
1a. PROVA
NOME: DATA:
1. (1,5 ponto) Calcule a integral abaixo: ∫ 9
0
1
3
√
x− 1
dx
2. (1,5 ponto)
(a) Determine a função vetorial r que representa a curva obtida pela intersecção entre o
cone z =
√
x2 + y2 e o plano z = 1 + y.
(b) Determine r(1) e r′(1).
(c) Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva do item (a) no ponto
(1, 0, 1)
3. (7 pontos) Considere f(x, y) =
x3
x2 + y2
e g(x, y) =
x2
x2 + y2
.
(a) Determine f(2, 4).
(b) Detemine o domínio e a imagem de f e g.
(c) É possível obter lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y)?
Jus�que sua a�rmação e, em caso positivo, calcule o limite.
(d) É possível obter lim
(x,y)→(0,0)
g(x, y)?
Jus�que sua a�rmação e, em caso positivo, calcule o limite.
(e) Considere agora h(x, y) =
{
f(x, y), se (x, y) 6= (0, 0)
1, se (x, y) = (0, 0)
.
h é contínua no ponto (0, 0)?
(f) Determine as derivadas parciais de 1a. ordem de f .
(g) O que podemos dizer sobre a diferenciabilidade de f?
(h) Se z = f(x, y), x = r cos θ e y = rsenθ. Determine
∂z
∂r
e
∂z
∂θ