Matrizes: Fundamentos e Aplicações

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Estrutura de Dados Homogêneas do tipo 
Matriz (Fundamentos, definição, 
inicialização, atribuição, escrita)
Apresentação
Nesta unidade de aprendizagem, será feito estudo sobre conjuntos de dados homogêneos 
muldimensionais, denominados matrizes, ou seja, variáveis que representam um conjunto de 
informações de mesmo tipo.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Declarar estruturas de dados homogêneas de duas dimensões.•
Diferenciar variáveis simples de variáveis que representam conjuntos de dados.•
Construir algoritmos que utilizem estruturas de dados homogêneas de duas dimensões.•
Desafio
Matrizes não são estruturas exclusivas da área de computação (programação), elas são utilizadas 
na matemática e em outras áreas com diversos objetivos.
Seu desafio é pesquisar sobre a utilidade das matrizes e enumerar três aplicações em que matrizes 
podem ser utilizadas.
Infográfico
Matriz é um tipo de dado que possibilita a representação de conjuntos de dados homogêneos 
bidimensionais.
Conteúdo do Livro
As estruturas de dados homogêneas de duas ou mais dimensões (matrizes) permitem utilizar 
variáveis que representam um conjunto de dados. 
 
Conheça um pouco mais sobre estas estruturas a partir da leitura das páginas do livro Algoritmos e 
Programação com exemplos em Pascal e C de Nina Edelweiss.
Boa leitura.
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s é r i e l i v r o s d i d á t i c o s i n f o r m á t i c a u f r g s
volume 3 Linguagens Formais e Autômatos, 6.ed., 
de Paulo Blauth Menezes
volume 4 Projeto de Banco de Dados, 6.ed., 
de Carlos Alberto Heuser 
volume 5 Teoria da Computação: Máquinas Universais 
e Computabilidade, 3.ed, de Tiarajú Asmuz Diverio 
e Paulo Blauth Menezes
volume 6 Arquitetura de Computadores Pessoais, 
2.ed., de Raul Fernando Weber
volume 7 Concepção de Circuitos Integrados, 2.ed., 
de Ricardo Augusto da Luz Reis e cols.
volume 8 Fundamentos de Arquitetura de Computadores, 
4.ed., de Raul Fernando Weber
volume 10 Tabelas: Organização e Pesquisa, 
de Clesio Saraiva dos Santos e Paulo Alberto de Azeredo 
volume 11 Sistemas Operacionais, 4.ed., 
de Rômulo Silva de Oliveira, Alexandre da Silva Carissimi 
e Simão Sirineo Toscani 
volume 12 Teoria das Categorias para Ciência 
da Computação, 2.ed., de Paulo Blauth Menezes 
e Edward Hermann Haeusler
volume 13 Complexidade de Algoritmos, 3.ed., 
de Laira Vieira Toscani e Paulo A. S. Veloso 
volume 16 Matemática Discreta para Computação 
e Informática, 4.ed., de Paulo Blauth Menezes
volume 18 Estruturas de Dados, de Nina Edelweiss 
e Renata Galante
volume 19 Aprendendo Matemática Discreta com 
Exercícios, de Paulo Blauth Menezes, Laira Vieira Toscani 
e Javier García López
volume 20 Redes de Computadores, 
de Alexandre da Silva Carissimi, Juergen Rochol 
e Lisandro Zambenedetti Granville
volume 21 Introdução à Abstração de Dados, 
de Daltro José Nunes
volume 22 Comunicação de Dados, de Juergen Rochol
COMPUTAÇÃO
www.grupoa.com.br
A Bookman é um dos selos editoriais do Grupo A Educação, empresa que 
oferece soluções em conteúdo, tecnologia e serviços para a educação 
acadêmica e profissional.
algoritmos
e programação 
com exemplos em Pascal e C
nina edelweiss
maria aparecida castro livi
Material didático para professores
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nina edelweiss
maria aparecida castro livi
 l i v r o s d i s p o n í v e i s
algoritm
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ação
com
 exem
plos em
 P
ascal e C
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algoritmos
e programação 
com exemplos em Pascal e C
Aprender programação não é uma tarefa simples. 
Requer um entendimento perfeito do problema, a análise 
de como solucioná-lo e a escolha da forma de implementação 
da solução. algoritmos e programação apresenta 
o processo de construção de algoritmos e de programas, 
enfatizando as etapas de abstração, organização, análise 
e crítica na busca de soluções eficientes. Os elementos 
de um programa são introduzidos pouco a pouco ao longo 
do texto, inicialmente apresentados em pseudolinguagem e, 
em seguida, exemplificados nas linguagens de programação 
Pascal e C. Este é um livro-texto para disciplinas iniciais 
de programação de duração de um semestre. Pode ser 
utilizado sobretudo em cursos de bacharelado e licenciatura 
em ciência da computação, análise de sistemas e engenharia 
da computação. 
E22a Edelweiss, Nina.
 Algoritmos e programação com exemplos em Pascal e C 
 [recurso eletrônico] / Nina Edelweiss, Maria Aparecida Castro 
 Livi. – Dados eletrônicos. – Porto Alegre : Bookman, 2014.
 Editado também como livro impresso em 2014.
 ISBN 978-85-8260-190-7
 1. Informática. 2. Algoritmos – Programação. I. Livi, 
 Maria Aparecida Castro. II. Título. 
CDU 004.421
 as autoras
Nina Edelweiss é engenheira eletricista e doutora em Ciência da Computação pela Uni-
versidade Federal do Rio Grande do Sul. Durante muitos anos, lecionou em cursos de Enge-
nharia e de Ciência da Computação na UFRGS, na UFSC e na PUCRS. Foi, ainda, orientadora 
do Programa de Pós-Graduação em Ciência da Computação da UFRGS. É coautora de três 
livros, tendo publicado diversos artigos em periódicos e em anais de congressos nacionais 
e internacionais. Participou de diversos projetos de pesquisa financiados por agências de 
fomento como CNPq e FAPERGS, desenvolvendo pesquisas nas áreas de bancos de dados e 
desenvolvimento de software.
Maria Aparecida Castro Livi é licenciada e bacharel em Letras, e mestre em Ciência da 
Computação pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Desenvolveu sua carreira pro-
fissional na UFRGS, onde foi programadora e analista de sistema, antes de ingressar na 
carreira docente. Ministrou por vários anos a disciplina de Algoritmos e Programação para 
alunos dos cursos de Engenharia da Computação e Ciência da Computação. Sua área de 
interesse prioritário é o ensino de Linguagens de Programação, tanto de forma presencial 
quanto a distância.
Catalogação na publicação: Ana Paula M. Magnus – CRB 10/2052
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■ ■ Este capítulo apresenta e analisa arranjos 
de duas ou mais dimensões, 
também denominados 
matrizes. 
Inicialmente, são vistos 
os conceitos relacionados a matrizes 
de duas dimensões,
e em seguida os conceitos são 
estendidos para matrizes 
com um número qualquer de 
dimensões.
variáveis estruturadas:
capítulo 7
arranjos multidimensionais
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196 Algoritmos e Programação com Exemplos em Pascal e C
Seja o seguinte problema: ler as 5 notas de 7 alunos, identificados por um número entre 1 e 
7, calcular a média de cada aluno e, após, imprimir as notas e médias dos alunos, ordenadas 
pela média, da maior para a menor. Quantas variáveis são necessárias para armazenar as 
notas e as médias nesse problema? São necessárias 35 variáveis simples ou 7 vetores (um 
por aluno), cada um com 6 elementos, sendo 5 para armazenar as notas e o último para a 
média (Figura 7.1). Outra opção é reunir em uma só estrutura os 7 vetores, ou seja, usar uma 
estrutura com 7 linhas e 6 colunas. Nesse caso, para acessar uma determinada nota ou média 
será preciso utilizar dois índices: um para linha, para especificar o aluno desejado, e outro 
para coluna, para especificar a nota ou média desejada (Figura 7.2). Uma estrutura assim, um 
arranjo de 2 dimensões, é chamada de matriz.
7.1 matrizes
Matrizes são arranjos de duas ou mais dimensões. Assim como nos vetores, todos os ele-
mentos de uma matriz são do mesmo tipo, armazenando informações semanticamente se-
melhantes. No exemplo da Figura 7.2, todos os elementos da matriz Notas são do tipo real 
e guardam valores correspondentes a notas de alunos.
Matrizes bidimensionais são arranjos de duas dimensões. São necessários dois índices para 
acessarcada um de seus elementos, um para cada uma das dimensões. Matrizes de mais de 
duas dimensões, de forma similar, necessitam de um índice para cada dimensão para definir 
um elemento de forma única.
aluno6
aluno5
aluno4
aluno3
aluno2
aluno1
1 2 3 4 5 6
7,5
aluno7
aluno6[4] é a 4ª nota do 6º aluno
média5 notas
figura 7.1 Um vetor para cada aluno.
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Capítulo 7 Variáveis Estruturadas: Arranjos Multidimensionais 197
7.2 matrizes bidimensionais
Em uma matriz de duas dimensões, ou bidimensional, todos os elementos são do mes-
mo tipo, identificados por um índice para cada dimensão. No mundo real, os teatros são 
exemplos práticos de matrizes bidimensionais. Uma poltrona, em um teatro, tem a si asso-
ciada a especificação da fila na qual se situa (fila A, B, C, etc.), bem como a especificação que 
define a posição da poltrona dentro da fila (1, 2, 3, 4...). Se uma entrada de teatro é rasgada 
e nela só resta uma dessas duas identificações, ou de fila ou de poltrona, não é possível mais 
determinar com precisão a poltrona referenciada. Só as duas referências juntas, de fila e pol-
trona, permitem especificar de forma única uma poltrona no teatro.
7.2.1 declaração de uma matriz bidimensional
Em pseudolinguagem, uma matriz bidimensional é declarada com o seguinte tipo:
arranjo [<índice menor da dimensão 1>..<índice maior da dimensão 1>,
 <índice menor da dimensão 2>..<índice maior da dimensão 2> ]
 de <tipo da matriz>)
onde <índice menor da dimensão n> e <índice maior da dimensão n> são os valores 
limites que definem o intervalo de índices válidos para cada uma das dimensões, e <tipo da 
matriz> é o tipo dos dados passíveis de serem armazenados nessa matriz.
1 2 3 4 5 6
7,5
1
2
3
4
5
6
7
notas
al
u
n
o
nota
notas[6,4] é a 4ª nota do 6º aluno
figura 7.2 Uma matriz para todos os alunos.
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198 Algoritmos e Programação com Exemplos em Pascal e C
A declaração a seguir corresponde à matriz da Figura 7.2:
Variável: notas (arranjo [1..7, 1..6] de real)
onde notas é o nome comum a todos os elementos da matriz, 1..7 é o intervalo de valores 
válidos para o índice da primeira dimensão (aluno), 1..6 é o intervalo de valores válidos para 
o índice da segunda dimensão (nota), e real é o tipo da matriz, ou seja, o tipo de todos os 
seus elementos. Em matrizes bidimensionais, costuma-se dizer que a primeira dimensão cor-
responde às linhas e a segunda, às colunas.
7.2.2 acesso a um elemento de uma matriz
Para acessar um determinado elemento de uma matriz deve-se usar um índice para cada uma 
de suas dimensões. Os índices, desde que dentro dos intervalos válidos, podem ser constan-
tes, variáveis ou expressões aritméticas.
A seguir, alguns exemplos de acesso a um elemento de uma matriz, considerando a ma-
triz bidimensional notas antes declarada:
 ■ primeira nota do primeiro aluno:
 notas[1,1]
 ■ primeira nota do aluno 3, considerando i = 3 e j = 1 (sendo i e j variáveis inteiras):
 notas[i, j]
 ■ quinta nota do segundo aluno, considerando i = 4:
 notas[2, i+1]
Um elemento de uma matriz é utilizado em comandos da mesma forma que uma variável 
simples, já que corresponde a um único valor. Por exemplo, o trecho abaixo preenche um 
elemento por leitura, copia esse valor para outro elemento da matriz, verifica se o valor lido é 
igual a 10 e, em caso positivo, imprime o valor:
ler (notas[1,1])
notas[1,2] ← notas[1,1]
se notas [1,1] = 10
então escrever (notas[1,1])
7.2.3 inicialização de matrizes
No que se refere à inicialização, o que foi colocado para vetores vale também para matrizes. 
Se a matriz é totalmente preenchida por leitura, não é necessário inicializá-la, uma vez que 
todos os valores anteriores das posições de memória da matriz são descartados quando novos 
valores nelas são colocados. Mas se a matriz for preenchida apenas parcialmente, restando 
posições não ocupadas no seu início, meio ou fim, ou se for utilizada em totalizações, cuida-
dos devem ser tomados para garantir que os valores iniciais de todas as suas posições sejam 
os desejados.
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Capítulo 7 Variáveis Estruturadas: Arranjos Multidimensionais 199
O trecho a seguir inicializa de forma completa, com zeros, uma matriz de 10 elementos em 
cada dimensão, com índices no intervalo de 1 a 10:
para i de 1 incr 1 até 10 faça
 para j de 1 incr 1 até 10 faça
 valor[i,j] ← 0
Dependendo do tipo do problema, por vezes também é possível inicializar, imediatamente 
antes do uso, apenas as posições da matriz que serão utilizadas.
7.2.4 exemplos de uso de matrizes
Nos exemplos a seguir, sempre que todos os elementos da matriz são acessados, a variação 
dos índices de linha e coluna é realizada usando comandos para/faça encadeados. Em-
bora essa não seja a única solução possível em tais casos, certamente é a mais amplamente 
utilizada, pois esse encadeamento garante que, para cada valor do índice alterado pelo laço 
externo, tenha-se toda a variação do índice alterado pelo laço interno, permitindo o acesso 
ordenado aos elementos das matrizes, linha após linha e, em cada linha, coluna após coluna.
Dada a constante MAX e uma matriz quadrada, definida por tabela(MAX, MAX), a seguir são 
apresentadas algumas operações sobre essa matriz.
a Preenchimento da matriz por leitura, percorrendo linha por linha:
 para i de 1 incr 1 até MAX faça
 para j de 1 incr 1 até MAX faça
 ler(tabela[i,j])
b Escrita da matriz completa, percorrendo linha por linha:
 para i de 1 incr 1 até MAX faça
 para j de 1 incr 1 até MAX faça
 escrever(tabela[i,j])
c Somatório dos elementos da última coluna:
 soma ← 0
 para i de 1 incr 1 até MAX faça
 soma ← soma + tabela[i,MAX]
 escrever('Somatório dos elementos da última coluna = ', soma)
d Somatório dos elementos da diagonal principal. Observe que neste caso, teoricamente, 
dois índices deveriam ser usados para acesso à matriz tabela, já que ela é bidimensional. 
No entanto, como os elementos da diagonal principal têm índices com valores iguais 
para linha e coluna (0,0 – 1,1 – 2,2 – etc.), uma única variável pode ser usada como índi-
ce para as duas dimensões:
 soma ← 0
 para i de 1 incr 1 até MAX faça
 soma ← soma + tabela[i,i]
 escrever('Somatório dos elementos da diagonal principal = ', soma)
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Dica do Professor
O vídeo a seguir colabora para a compreensão do que são matrizes.
 
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/108afa8ff313221c980d915be4aa7966
Exercícios
1) 
Em relação às matrizes, estruturas de dados homogêneas de duas ou mais dimensões, 
assinale a alternativa INCORRETA.
A) a) Vetores e matrizes são estruturas semelhantes, diferenciando-se apenas pela quantidade 
de dimensões.
B) b) Matrizes são úteis para conjuntos relativamente grandes de dados de mesmo tipo.
C) c) Para indexar uma matriz de duas dimensões, são necessários dois índices, um para cada 
dimensão.
D) d) Um elemento de uma matriz é equivalente a uma variável simples.
E) e) Cada elemento de uma matriz é identificado por um nome diferente.
2) 
Considere a estrutura das matrizes bidimensionais e selecione a seguir a alternativa que 
NÃO apresenta uma aplicação que poderia ser modelada com este tipo de arranjo 
bidimensional.
A) a) Cadeiras em um teatro.
B) b) Planilha Excel.
C) c) Lugares/poltronas em um avião.
D) d) Lista de alunos de uma turma.
E) e) Tabela de distâncias entre cidades.
Considere o seguinte algoritmo em pseudocódigo: 
 
algoritmo "matrizes" 
var 
 valores: vetor[1..5,1..6] de real 
 i,j: inteiro 
inicio 
 para i de 1 ate 5 passo 1 faca 
 paraj de 1 ate 6 passo 1 faca 
 escreva("Digite valor: ") 
3) 
 leia(valores[i,j]) 
 fimpara 
 fimpara 
fimalgoritmo 
 
 
Analise as alternativas a seguir e selecione a FALSA:
A) a) A variável "valores" é uma matriz, ou seja, um vetor de duas dimensões.
B) b) A matriz deste algoritmo possui 50 elementos do tipo real.
C) c) Considerando a estrutura de repetição: 
"para i de 1 ate 5 passo 1 faca 
 para j de 1 ate 6 passo 1 faca" 
pode-se concluir que os comandos do bloco de repetição serão executados 30 vezes.
D) d) Para acessar cada um dos elementos da matriz, é necessário utilizar dois indexadores.
E) e) As variáveis i e j devem ser do tipo inteiro.
Considere o seguinte algoritmo em pseudocódigo, os dois dígitos à esquerda identificam a 
linha do algoritmo: 
 
01- algoritmo "matrizes" 
02- var 
03- valores: vetor[1..5,1..6] de real 
04- i,j: inteiro 
05- inicio 
06- para i de 1 ate 5 passo 1 faca 
07- para j de 1 ate 6 passo 1 faca 
08- escreva("Digite valor: ") 
09- leia(valores[i,j]) 
10- fimpara 
11- fimpara 
12- para i de 1 ate 5 passo 1 faca 
13- para j de 1 ate 6 passo 1 faca 
14- escreval("valor[",i,",",j,"): ",valores[i,j]) 
15- fimpara 
16- fimpara 
17- para i de 1 ate 5 passo 1 faca 
18- escreval("") 
4) 
19- para j de 1 ate 6 passo 1 faca 
20- escreva(" ",valores[i,j]: 
21- fimpara 
22- fimpara 
23- fimalgoritmo 
 
 
Analise as alternativas a seguir e selecione a CORRETA:
A) a) Para cada processo de manipulação da matriz, são sempre utilizados três comandos 
"para...faça" encadeados.
B) b) O trecho de comandos da linha 12 até 16 tem o mesmo objetivo geral do trecho da linha 
17 até 22.
C) c) No comando da linha 20, é especificado que somente serão mostrados os valores menores 
do que :5
D) d) O comando da linha 09 "leia(valores[i,j])" pode ser substituído por "leia(valores[i],[j])".
E) e) O algoritmo lê uma matriz de 20 elementos e depois apresenta essa matriz duas vezes em 
formatos diferentes.
5) Considere o seguinte algoritmo em pseudocódigo: 
Clique aqui 
 
Analise as alternativas a seguir e assinale a alternativa correta. 
A) a) A variável i somente pode ser utilizada para indexar a primeira coordenada (linha), e a 
variável j somente pode ser utilizada para indexar a segunda coordenada (coluna).
B) b) A matriz do programa está representando as 10 notas de quatro alunos, por isso, para 
calcular a média, somam-se as 10 notas e dividem-nas pela sua quantidade.
C) c) Durante a execução do algoritmo, calcula-se o somatório de cada uma das três notas e da 
média, ao final, calculam-se a média de cada uma das notas e a média das médias.
D) d) Na leitura das notas, tem-se a seguinte estrutura de repetição "para j de 1 ate 3 passo 1 
faca", o limite 3 deveria ser substituído por 4 para que o programa funcionasse corretamente.
https://statics-marketplace.plataforma.grupoa.education/sagah/f30ffbda-3f01-4bea-a829-be1c3f77b23e/82f58a66-ff8f-4bcb-ab44-fef140c5346c.pdf
E) e) A declaração "somas: vetor[1..4] de real" não poderia ser substituída por "soman1,soman2, 
soman3, somamedia : real", pois não seria possível alterar o programa e fazê-lo funcionar.
Na prática
Matrizes são estruturas muito úteis para representar e resolver diversos problemas.
Considere que se deseja verificar o nível de oxigênio em 10 pontos de um rio, e que essa coleta de 
informações será realizada por 7 dias. Para representar esse cenário, uma matriz com 7 linhas e 10 
colunas pode ser utilizada, conforme pode ser observado a seguir:
Saiba mais
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Lógica de Programação - Matrizes - Declaração e preenchimento 
de arrays bidimensionais:
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
Lógica de Programação Vetores e Matrizes:
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
https://www.youtube.com/watch?v=Ww1aP4j1M6M
https://www.youtube.com/watch?v=7i3YfiLy1vE