Aula 03

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Proposições Compostas
Apresentação
"Maria é insuportável!" Este é um exemplo de proposição simples.
"Maria é insuportável, e João é casado com Maria!" Agora, quando você junta, ou seja, faz a 
combinação de duas composições simples, tem uma composição completa.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai conhecer o que são proposições compostas, formadas 
pela combinação de duas ou mais proposições simples. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir proposições compostas.•
Diferenciar proposições simples e compostas.•
Resolver problemas envolvendo proposições compostas.•
Desafio
Fabiano é aluno da disciplina de Raciocínio Lógico. Nesta semana, seu professor abordou as 
proposições compostas e fez a seguinte observação: a propriedade fundamental de uma proposição 
composta é que seu valor verdade é completamente determinado pelos valores verdade de suas 
subproposições, junto com a maneira como elas são conectadas para formar as proposições 
compostas.
Fabiano ficou um pouco confuso e fez a seguinte pergunta ao professor: "quer dizer que os valores 
verdade das proposições compostas P: p q e Q: p q podem ser diferentes, mesmo que as duas 
envolvam as mesmas proposições simples?" Escreva o que o professor de Fabiano pode ter lhe 
respondido.
Observe que no estudo da Lógica, ao construirmos proposições compostas, utilizamos os seguintes 
conectivos:
Infográfico
As proposições simples ou atômicas são assim caracterizadas por apresentarem apenas uma ideia. 
Já as compostas ou moleculares apresentam mais de uma proposição conectadas pelos conectivos 
lógicos. Confira o infográfico!
Conteúdo do Livro
Muitas proposições são compostas, isto é, formadas por subproposições e vários conectivos 
discutidos a seguir. Tais sentenças são chamadas de proposições compostas.
Acompanhe um trecho da obra "Matemática discreta", de Seymour Lipschutz e Marc Lipson, que 
aborda o conceito de proposição composta. Inicie seus estudos no tópico Lógica e cálculo 
proposicional e encerre antes de Proposições e tabelas verdade.
Boa leitura!
Terceira edição
Seymour Lipschutz e Marc Lipson
Problema 
 Resolvido
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 Inclui conjuntos, teoria dos grafos, álgebra Booleana, 
cálculo proposicional, máquinas de Turing e muito mais!
Matemática 
Discreta
L767m Lipschutz, Seymour. 
 Matemática discreta [recurso eletrônico] / Seymour 
 Lipschutz, Marc Lars Lipson ; tradução técnica: Adonai
 Schlup Sant’anna. – 3. ed. – Dados eletrônicos. – Porto 
 Alegre : Bookman, 2013.
 (Coleção Schaum)
 Editado também como livro impresso em 2013.
 ISBN 978-85-65837-78-1
 1. Matemática. 2. Matemática discreta. I. Lipson, Marc 
 Lars. II. Título.
CDU 51
Catalogação na publicação: Ana Paula M. Magnus – CRB 10/2052
SEYMOUR LIPSCHUTZ é docente do Departamento de Matemática da Temple University e lecionou no Polytechnic 
Institute of Brooklyn. Obteve seu Ph.D. no Courant Institute of Mathematical Sciences da New York University, em 
1960. É um dos autores mais prolíficos da Coleção Schaum e escreveu também Probability: Finite Mathematics, 2.ed.; 
Beginning Linear Algebra; Set Theory; Essential Computer Mathematics e Álgebra Linear, 2.ed. (publicado pela Book-
man Editora).
MARC LARS LIPSON é docente do Departamento de Matemática da University of Virginia e lecionou na University 
of Georgia. Obteve seu Ph.D. em finanças na University of Michigan, em 1994. É também coautor com Seymour Lips-
chutz de 2000 Solved Problems in Discrete Mathematics e de Álgebra Linear, 3.ed. (publicado pela Bookman Editora).
Lógica e Cálculo Proposicional
Capítulo 4
4.1 INTRODUÇÃO
Muitos algoritmos e demonstrações usam expressões lógicas como:
“SE p ENTÃO q” ou “SE p1 e p2, ENTÃO q1 OU q2”
Logo, é necessário conhecer os casos nos quais essas expressões são VERDADEIRAS ou FALSAS, ou seja, saber 
o “valor verdade” de tais expressões. Discutimos essas questões neste capítulo.†
Também investigamos o valor verdade de afirmações quantificadas, as quais são expressões que empregam os 
quantificadores lógicos “para todo” e “existe”.‡
4.2 PROPOSIÇÕES E SENTENÇAS COMPOSTAS
Uma proposição (ou sentença) é uma afirmação declarativa que é verdadeira ou falsa, mas não ambas. Considere, 
por exemplo, os seis itens a seguir:
 (i) Gelo flutua na água. (iii) 2 + 2 = 4 (v) Aonde você está indo?
 (ii) A China é na Europa. (iv) 2 + 2 = 5 (vi) Faça seu tema de casa.
Os quatro primeiros são proposições. Os dois últimos não. Além disso, (i) e (iii) são verdadeiras, mas (ii) e (iv) são 
falsas.
Proposições compostas
Muitas proposições são compostas, isto é, formadas por subproposições e vários conectivos discutidos a seguir. 
Tais sentanças são chamadas de proposições compostas. Uma proposição é denominada primitiva se não puder ser 
decomposta em proposições mais simples, ou seja, se não for composta.
Por exemplo, as proposições acima, de (i) a (iv), são primitivas. Por outro lado, as duas proposições a seguir 
são compostas:
“Rosas são vermelhas e violetas são azuis.” e “John é esperto ou ele estuda todas as noites.”
† N. de T.: É importante observar que os autores estão seguindo uma abordagem meramente intuitiva para o cálculo proposi-
cional clássico. Do ponto de vista da lógica matemática, o objetivo do cálculo proposicional não é estabelecer o “valor verdade” 
de expressões.
‡ N. de T.: Normalmente o estudo de quantificadores se faz no cálculo de predicados de primeira ordem e não no cálculo pro-
posicional.
MATEMÁTICA DISCRETA70
A propriedade fundamental de uma proposição composta é que seu valor verdade é completamente determi-
nado pelos valores verdade de suas subproposições, junto com a maneira como elas são conectadas para 
formar as proposições compostas. A seção a seguir explora alguns desses conectivos.
4.3 OPERAÇÕES LÓGICAS BÁSICAS
Esta seção discute as três operações lógicas básicas de conjunção, disjunção e negação, as quais correspondem, 
respectivamente, às palavras “e”, “ou” e “não”.
Conjunção, p ∧ q
Quaisquer duas proposições podem ser combinadas pela palavra “e” para formar uma proposição composta chama-
da de conjunção das proposições originais. Simbolicamente,
p ∧ q
que se lê “p e q”, denota a conjunção de p e q. Como p ∧ q é uma proposição, ela tem um valor verdade que depen-
de apenas dos valores verdade de p e q. Especificamente:
Definição 4.1: Se p e q são verdadeiras, então p ∧ q é verdadeira; caso contrário, p ∧ q é falsa.
O valor verdade de p ∧ q pode ser definido equivalentemente pela tabela na Fig. 4-1(a). Aqui a primeira linha 
é uma maneira abreviada de dizer que se p é verdadeira e q é verdadeira, então p ∧ q é verdadeira. A segunda linha 
diz que se p é verdadeira e q é falsa, então p ∧ q é falsa. E assim por diante. Observe que há quatro linhas corres-
pondentes às quatro possíveis combinações de V e F para as duas subproposições p e q. Note que p ∧ q é verdadei-
ra apenas quando p e q são ambas verdadeiras.
p e q p ou q não p
Figura 4-1
Exemplo 4.1 Considere as quatro proposições a seguir:
 (i) Gelo flutua na água e 2 + 2 = 4. (iii) China é na Europa e 2 + 2 = 4.
 (ii) Gelo flutua na água e 2 + 2 = 5. (iv) China é na Europa e 2 + 2 = 5.
Apenas a primeira é verdadeira. As outras são falsas, pois pelo menos uma de suas subproposições é falsa.
Disjunção, p ∨ q
Duas proposições quaisquer podem ser combinadas pela palavra “ou” para formar uma proposição composta cha-
mada de disjunção das proposições originais. Simbolicamente,
p ∨ q
que se lê “p ou q”, denota a disjunção de p e q. O valor verdade de p ∨ q depende apenas dos valores verdade de p 
e q como se segue.
CAPÍTULO 4 • LÓGICA E CÁLCULO PROPOSICIONAL 71
Definição 4.2: Se p e q são falsas, então p ∨ q é falsa; caso contrário, p ∨ q é verdadeira.
O valor verdade de p ∨ q pode ser definido equivalentemente pela tabela na Fig.4-1(b). Observe que p ∨ q é 
falsa apenas no quarto caso, quando p e q são ambas falsas.
Exemplo 4.2 Considere as quatro sentenças a seguir:
 (i) Gelo flutua na água ou 2 + 2 = 4. (iii) China é na Europa ou 2 + 2 = 4.
 (ii) Gelo flutua na água ou 2 + 2 = 5. (iv) China é na Europa ou 2 + 2 = 5.
Apenas a última sentença (iv) é falsa. As outras são verdadeiras, uma vez que pelo menos uma de suas subsentenças 
é verdadeira.
Observação: A palavra “ou” é comumente usada de duas maneiras distintas em português. Às vezes, é empregada 
no sentido de “p ou q, ou ambas”, ou seja, pelo menos uma das duas alternativas acontece; e, às vezes, é usada no 
sentido de “p ou q, mas não ambas”, isto é, somente uma das alternativas ocorre. Por exemplo, a afirmação “Ele irá 
para Harvard ou Yale” utiliza “ou” no último sentido, chamado eventualmente de disjunção exclusiva. A menos que 
seja estabelecido o contrário, “ou” deve ser empregado no primeiro sentido. Essa discussão aponta para a precisão 
conquistada em nossa linguagem simbólica: p ∨ q é definida por sua tabela verdade e sempre significa “p e/ou q”.
Negação, ¬ p
Dada qualquer sentença p, outra sentença, chamada de negação de p, pode ser formada escrevendo-se “Não é ver-
dade que . . .” ou “É falso que . . .” antes de p ou, se possível, inserindo em p a palavra “não”. Simbolicamente, a 
negação de p, que se lê “não p ”, é denotada por
¬ p
O valor verdade de ¬ p depende do valor verdade de p como se segue:
Definição 4.3: Se p é verdadeira, então ¬ p é falsa; e se p é falsa, então ¬ p é verdadeira.
O valor verdade de ¬ p pode ser definido equivalentemente pela tabela da Fig. 4-1(c). Assim, o valor verdade 
da negação de p é sempre o oposto do valor verdade de p.
Exemplo 4.3 Considere as seis sentenças a seguir:
(a1) Gelo flutua na água. (a2) É falso que gelo flutua na água. (a3) Gelo não flutua na água.
(b1) 2 + 2 = 5 (b2) É falso que 2 + 2 = 5. (b3) 2 + 2 �= 5
Então, tanto (a2) quanto (a3) são a negação de (a1); e tanto (b2) quanto (b3) são a negação de (b1). Como (a1) é 
verdadeira, (a2) e (a3) são falsas; e como (b1) é falsa, (b2) e (b3) são verdadeiras.
Observação: A notação lógica para os conectivos “e”, “ou” e “não” não é completamente padronizada. Por exem-
plo, alguns textos usam:
 
ou
ou 
4.4 PROPOSIÇÕES E TABELAS VERDADE
Seja P( p, q, . . .) uma expressão construída a partir de variáveis lógicas p, q, . . ., que assumem o valor VERDA-
DEIRO (V) OU FALSO (F), e a partir dos conectivos lógicos ∧, ∨ e ¬ (bem como outros discutidos adiante). Tal 
expressão é chamada de proposição.
A principal propriedade de uma proposição P( p, q, . . .) é que seu valor verdade depende exclusivamente dos 
valores verdade de suas variáveis, ou seja, o valor verdade de uma proposição é determinado, uma vez que o valor 
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra. 
Dica do Professor
Na lógica proposicional, é importante fazer uma distinção entre proposições simples e compostas. 
Assista ao vídeo a seguir e confira as principais diferenças entre os dois tipos de proposições!
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/849fe902a6e7ef0c8ffda738d22ea7e1
Exercícios
1) Marque a alternativa que contém proposição composta.
A) Luiz é professor de matemática.
B) Marcela é elegante.
C) Estudar Lógica Matemática é muito agradável.
D) Se estudar Lógica Matemática é muito agradável, então escolhi o curso certo.
E) João passou no concurso.
2) Seja p a proposição "Ele é rico" e seja q "Ele é feliz". Observe também que "Ele é pobre" e 
"Ele é infeliz" podem ser simbolizadas como ~p e ~q, respectivamente. Marque a alternativa 
que contém a proposição "Ele é rico se e somente se ele é infeliz".
A) p ↔ ~q.
B) p ~q.
C) p ~q.
D) p ↔ q.
E) p → ~q.
3) Considere que p e q são as proposições: 
p: Eu comprei um bilhete de loteria nesta semana. 
q: Eu ganhei a bolada de um milhão de dólares. 
Marque a alternativa que contém a proposição P: Se eu não ganhei a bolada de um milhão de 
dólares, então eu não comprei um bilhete de loteria nesta semana.
A) ~q ↔ ~p.
B) ~p → ~q.
C) ~q → ~p.
D) q → p.
E) ~q ~p.
4) Considere que p e q são as proposições: 
p: A eleição está decidida. 
q: Os votos foram contados. 
Marque a alternativa que contém a proposição P: ~p q
A) A eleição não está decidida ou os votos foram contados.
B) Se a eleição não está decidida, então os votos foram contados.
C) A eleição não está decidida se e somente se os votos foram contados.
D) A eleição está decidida, e os votos foram contados.
E) A eleição não está decidida, e os votos foram contados.
5) Considere que p, q e r são as proposições: 
p: Você faz todas as leituras complementares. 
q: Você faz todos os exercícios propostos. 
r: Você tira um A no exame final de Raciocínio Lógico. 
Marque a alternativa que contém a proposição P: r ↔ (p q).
A) Você vai tirar um A no exame final de Raciocínio Lógico se e somente se você fizer todas as 
leituras complementares e todos os exercícios propostos.
B) Você vai tirar um A no exame final de Raciocínio Lógico se e somente se você fizer todas as 
leituras complementares ou todos os exercícios propostos.
C) Se você vai tirar um A no exame final de Raciocínio Lógico, então você vai fazer todas as 
leituras complementares ou todos os exercícios propostos.
D) Você não vai tirar um A no exame final de Raciocínio Lógico se e somente se você fizer todas 
as leituras complementares ou todos os exercícios propostos.
E) Você vai tirar um A no exame final de Raciocínio Lógico se e somente se você não fizer todas 
as leituras complementares ou fizer todos os exercícios propostos.
Na prática
As proposições compostas são utilizadas para descrever diversos problemas que envolvem 
raciocínio lógico, argumentação e funções lógicas. Por exemplo, um circuito ligado por uma bateria, 
dois interruptores e um motor pode ser descrito por meio de proposições compostas.
Saiba mais
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Proposições simples e compostas e conectivos lógicos
No vídeo a seguir, o professor Braian Azael fala sobre proposições simples e compostas e 
conectivos lógicos.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
Proposições simples e compostas e conectivos lógicos
Proposições simples e proposições compostas e conectivos de ligação
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
Matemática Discreta (3a Edição)
Para se aprofundar mais em raciocínio lógico, leia este livro, que apresenta o conteúdo pertinente 
ao que foi estudado nesta Unidade de Aprendizagem.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
https://www.youtube.com/watch?v=IL4XDi0-beY
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