Interiorização do Ensino Superior

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Fiel a sua missão de interiorizar o ensino superior no estado Ceará, a UECE, 
como uma instituição que participa do Sistema Universidade Aberta do 
Brasil, vem ampliando a oferta de cursos de graduação e pós-graduação 
na modalidade de educação a distância, e gerando experiências e possibili-
dades inovadoras com uso das novas plataformas tecnológicas decorren-
tes da popularização da internet, funcionamento do cinturão digital e 
massificação dos computadores pessoais. 
Comprometida com a formação de professores em todos os níveis e 
a qualificação dos servidores públicos para bem servir ao Estado, 
os cursos da UAB/UECE atendem aos padrões de qualidade 
estabelecidos pelos normativos legais do Governo Fede-
ral e se articulam com as demandas de desenvolvi-
mento das regiões do Ceará. 
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I
Matemática
Matemática
Celso Antônio da Silva Barbosa
Cálculo I
ComputaçãoQuímica Física Matemática PedagogiaArtes 
Plásticas
Ciências 
Biológicas
Geografia
Educação 
Física
História
9
12
3
Celso Antônio da Silva Barbosa
Cálculo I
Matemática
2ª edição
Fortaleza - Ceará
2016
ComputaçãoQuímica Física Matemática PedagogiaArtes 
Plásticas
Ciências 
Biológicas
Geografia
Educação 
Física
História
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Túlio Batista Franco (UFF)
Editora Filiada à
B238c Barbosa, Celso Antonio da Silva.
Cálculo I / Celso Antonio da Silva Barbosa . – 2. ed. – 
Fortaleza : EdUECE, 2016.
331 p. : il. ; 20,0cm x 25,5cm. (Matemática)
Inclui bibliografia.
ISBN: 978-85-7826-391-1
1. Cálculo I. I. Título.
 CDD 515
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação
Sistema de Bibliotecas
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Thelma Marylanda Silva de Melo – CRB-3 / 623
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Sumário
Apresentação ................................................................................................... 5
Parte 1 – Introdução à Lógica e Conjuntos .................................................. 7
Capítulo 1 – Introdução à Lógica ............................................................................. 9
Capítulo 2 – Conjunto .............................................................................................13
Parte 2 – Funções e Operações com Funções .......................................... 19
Capítulo 1 – Conceito de Função ..........................................................................21
Capítulo 2 – Operações com Funções .................................................................27
Parte 3 – Gráficos e Exemplos de Funções ............................................... 33
Capítulo 1 – Gráfico de Função .............................................................................35
Capítulo 2 – Exemplos de Funções ......................................................................43
Parte 4 – Limite de Funções, Cálculos de Limites e Continuidades ..... 55
Capítulo 1 – Limites de Funções ...........................................................................57
Capítulo 2 – Cálculo de Limites .............................................................................65
Capítulo 3 – Continuidades ....................................................................................85
Parte 5 – Retas Tangente e Normal, Movimento Retilíneo
e Taxa de Variações ........................................................................................ 93
Capítulo 1 – Retas Tangente e Normal .................................................................95
Capítulo 2 – Movimento Retilíneo ........................................................................103
Capítulo 3 – Taxas de Variações .........................................................................107
Parte 6 – Derivadas de Funções .................................................................111
Parte 7 – Fórmulas de Derivação e Derivação Implícita ........................125
Capítulo 1 – Fórmulas de Derivação ...................................................................127
Capítulo 2 – Derivação Implícita ..........................................................................143
Parte 8 – Valores Extremos e Teoria do Valor Médio ..............................151
Capítulo 1 – Valores Extremos .............................................................................153
Parte 9 – Valores Extremos, Teoremas do Valor Médio e de Taylor ....167
Capítulo 1 – Teorema de Taylor ...........................................................................169
Capítulo 2 – Testes para Extremos Locais ..........................................................175
Parte 10 – Convexidade, Concavidade, Gráficos e problemas
 de Otimização ..........................................................................................185
Capítulo 1 – Convexidade, Concavidade e Gráfico ...........................................187
Capítulo 2 – Problemas de Otimização ...............................................................205
Parte 11 – Regras de L’Hospital .................................................................215
Parte 12 – Funções Trigonométricas e Trigonométricas Inversas ......229
Capítulo 1 – Funções Trigonométricas ...............................................................231
Capítulo 2 – Funções Trigonométricas Inversas ................................................241
Parte 13 – Funções Logarítmicas e Exponenciais ..................................251
Capítulo 1 – Função Logarítmica Natural ...........................................................253
Capítulo 2 – Função Exponencial na Base Neperiana ......................................263Capítulo 3 – Funções Exponenciais e Logarítmicas mais Gerais .....................269
Parte 14 – Funções Hiperbólicas e Hiperbólicas Inversas ....................279
Capítulo 1 – Funções Hiperbólicas ......................................................................281
Capítulo 2 – Funções Hiperbólicas Inversas ......................................................287
Parte 15 – Integral Definida e Fórmulas de Integração ..........................293
Parte 16 – Integrais Definida e Imprópria ................................................. 311
Capítulo 1 –Integral Definida ................................................................................313
Capítulo 1 –Integral Imprópria ..............................................................................325
Sobre o autor .................................................................................................331
Apresentação 
Este livro aborda os elementos que compõem a disciplina de Cálculo I, 
trazendo aspectos conceituais, exemplos (proposto e resolvido) e atividades 
de avaliação. A organização do livro se distribui em 20 capítulos, organizados 
de forma a atender aos objetivos da disciplina. 
O capítulo 1 apresenta uma introdução ao estudo da lógica, acompa-
nhada dos conceitos e simbologias que serão utilizados nos capítulos seguin-
tes, enquanto o capítulo 2 introduz o estudo sobre conjuntos. 
No capítulo 3 discute-se o conceito de cálculo e de funções e no capí-
tulo 4, as operações algébricas com funções e os conceitos de composição 
de funções e de função inversa. O capítulo 5 é dedicado a introduzir a identi-
ficação do gráfico com sua representação geométrica e a caracterização de 
tal representação geométrica a partir do conceito de função. Ademais, serão 
introduzidos exemplos de funções reais de uma variável real juntamente com 
seus gráficos.
O capítulo 6 aborda a conceituação de limites de funções, técnicas de 
cálculos de limites de funções algébricas e continuidades de funções num va-
lor e num intervalo. O capítulo 7 se concentra no conceito de reta tangente ao 
gráfico de uma função num ponto. No capítulo 8 é tratado um problema físico, 
com a finalidade de estabelecer os conceitos de velocidade e aceleração de 
uma partícula em movimento retilíneo num determinado instante. Este tópico 
é encerrado fazendo uma única interpretação dos limites envolvidos nos con-
ceitos de reta tangente e velocidade.
O capítulo 9 aborda derivadas de funções. O tópico é finalizado com os 
conceitos de derivadas de ordens superior a primeira, que serão indispensá-
veis a várias aplicações futuras. Na sequência, no capítulo 10 são apresen-
tadas fórmulas de derivação e derivação implícita. O capítulo 11 trata da con-
ceituação e resultados necessários à aplicação das derivadas. Neste tópico 
serão introduzidos os conceitos de valores de extremos da função, sucedido 
pelo estudo do resultado teórico conhecido como “teorema do valor médio de 
Lagrange” e pela generalização do teorema do valor médio. No capítulo 12 
é apresentada a fórmula de Taylor que é uma aplicação do teorema do valor 
médio de Lagrange, enquanto no Capítulo 13 encontram-se os testes, onde a 
derivada é aplicada, para determinar se num valor crítico de uma função, essa 
função tem um valor extremo local.
O capítulo 14 discorre sobre os conceitos de convexidade, concavida-
de e ponto de inflexão que constituem informações indispensáveis para traçar 
gráficos de funções e finaliza com abordagem centrada em problemas de 
otimização. O capítulo 15 tem o objetivo de apresentar os métodos que permi-
tem remover as indeterminações são decorrentes dos resultados conhecidos 
como “as regras de L’Hospital”.
O capítulo 16 trata das funções trigonométricas e trigonométricas inver-
sas e suas aplicações, enquanto o capítulo 17 se situa no estudo das funções 
logarítmicas e exponenciais. 
 O capítulo 18 define as funções que são chamadas de hiperbólicas e 
hiperbólicas inversas e apresenta as aplicações de tais funções. Os capítulos 
19 e 20 têm como objetivo estabelecer e interpretar as diferenciais, introduzin-
do o conceito de integral definida, indefinida e imprópria.
Esperamos que você aproveite os conteúdos apresentados e fortaleça 
seus conhecimentos matemáticos para as disciplinas que virão. 
O autor
Cálculo I 7
Parte 1
Introdução à Lógica
e Conjuntos
Capítulo 1
Introdução à Lógica
Uma breve introdução ao estudo da Lógica é indispensável para estudar os 
temas que serão tratados no Cálculo, este subtópico se destina a apresentar o 
material necessário, introduzindo os símbolos que são amplamente utilizados 
juntamente com os seus significados.
Uma proposição simples ou sentença é uma afirmação que apresen-
ta as seguintes condições:
a) Deve ser estruturada com sujeito e predicado;
b) Tem de ser declarativa e afirmativa;
c) Obedece o princípio do terceiro excluído, isto é, deve ser verdadeira 
ou falsa e não tem outra alternativa;
d) Satisfaz o princípio de não contradição, ou seja, não pode ser simul-
tâneamente verdadeira e falsa.
Exemplo Resolvido 1. Tem-se que: (a) “3 4 7+ = ” é proposição verda-
deira; (b) “O sal é doce” é proposição falsa; (c) “3 4+ ” não é proposição, pois 
falta predicado; (d) “Matemática é fácil ?” não é proposição, pois é uma frase 
interrogativa; (e) “ x 3 5+ = ” não é uma afirmação falsa e nem verdadeira, pois 
ela depende do valor atribuído a x, logo não é proposição simples.
Exemplo Proposto 1. Dê exemplos de proposições simples verdadei-
ras e falsas.
Uma proposição composta é a conjunção ou disjunção de duas propo-
sições simples usando os conectivos “e” ou “ou”. Os conectivos “e” e “ou” po-
dem também ser indicados pelos símbolos ∧ e ,∨ respectivamente. Então, 
nomeando duas proposições simples por “p” e “q”:
a) “p e q” (isto é, p q)∧ é verdadeira quando as duas proposições são 
verdadeiras, e falsa se pelo menos uma das proposições é falsa;
b) “p ou q” (ou seja, p q)∨ é verdadeira quando pelo menos uma das 
proposições é verdadeira, e falsa se ambas são falsas.
Exemplo Resolvido 2. A proposição composta: (a) “3 4 7+ = e o sal 
é salgado” é verdadeira, pois as duas proposições são verdadeiras; (b) “
3 4 7+ = e o sal é doce” é falsa, pois a primeira proposição é verdadeira e a 
segunda é falsa; (c) “3 4 7+ = ou o sal é doce” é verdadeira, pois a primeira 
CELSO ANTONIO DA SILVA BARBOSA10
proposição é verdadeira e a segunda é falsa; (d) “3 4 5+ = ou o sal é doce” é 
falsa, pois as duas proposições são falsas.
Exemplo Proposto 2. Dê exemplos de proposições compostas ver-
dadeiras e falsas.
Uma implicação é usada na forma: se p e q são duas sentenças, a con-
dição p q⇒ , lê-se de uma das seguintes maneiras: p implica q, p acarreta q, 
se p então q, p é condição suficiente para q ou q é condição necessária para 
p. A condição p q⇒ é falsa somente se p é verdadeira e q é falsa; caso con-
trário, ela é verdadeira.
Exemplo Resolvido 3. A condição: 
(a) “Um clube de futebol teve mais pontos num campeonato, então ele 
é campeão” é evidentemente verdadeira; 
(b) “ 2 2( 3) 3− = Þ 3 3− = ” é falsa, pois 3- e 3 não são iguais.
Exemplo Proposto 3. Dê exemplos de condições usando implicações 
verdadeira e falsa.
Uma equivalência é usada na forma: se p e q são duas proposições, 
a condição p q⇔ , lê-se de uma das seguintes maneiras: p equivale a q; p 
se, e somente se, q; p é condição necessária e suficiente para q. A condição 
p q⇔ é verdadeira se p q⇒ e q p⇒ são verdadeiras; caso contrário, a 
equivalência é falsa.
Exemplo Resolvido 4. A condição: 
(a) “Um clube de futebol teve mais pontos num campeonato se, e somen-
te se, ele é campeão” é verdadeira, pois as duas proposições são verdadeiras: 
(b) “3 5 8+ = ⇔ 4 6 9+ = ” é falsa, pois 4 6+ não é igual a 9.
Exemplo Proposto 4. Dê exemplos de condições usando equivalên-
cias verdadeira e falsa.
Sentença aberta é uma afirmação onde aparece pelo menos uma letra 
e essa letra pode assumir um ou mais valores ou mesmo não assumirnenhum 
valor. A letra é chamada de incógnita. Uma sentença aberta onde tem uma 
igualdade é dita uma equação. Por exemplo: 
(a) x 3 5;+ = (b) 2x x;= (c) 0x 0;= (d) x x 0;− = (e) 2x 1.= − 
Os quantificadores são usados em sentenças abertas e estão a seguir:
(a) Quantificador universal “∀ ” que significa “qualquer que seja”, 
“para todo” ou “para cada”; 
(b) Quantificador existencial “∃ ” que significa “existe”, “existe um” ou 
“existe pelo menos um”. E o quantificador existencial particular “ |∃ ” que signi-
fica “existe um único”, “existe um só” ou “existe só um”. 
Cálculo I 11
Exemplo Resolvido 5. Observe as afirmações usando quantificador 
universal: 
(a) x,∀ x x 0;− = 
(b) x, 0x 0;∀ = 
(c) 2x, x∀ não é negativo; 
(d) x 0,∀ ≠ 0
x 0;= 
(e) x
0x,∀ não é número.
Exemplo Proposto 5. Escreva frases e sentenças abertas usando 
“qualquer que seja”.
Exemplo Resolvido 6. Observe as afirmações usando quantificador 
existencial: 
(a) x∃ tal que 2x x;= 
(b) x∃ tal que 2x x− não é positivo; 
(c) | x∃ tal que x 3 5;+ = 
(d) | x∃ tal que 2x 0.=
Exemplo Proposto 6. Escreva frases e sentenças abertas usando 
“existe” e “existe um único”.
As Negações de proposições são as seguintes:
(a) Simples. Numa proposição “p” é “não p” ou “não é verdade que p”; 
(b) Compostas. Na conjunção “p e q” sua negação é a disjunção “não 
p ou não q” e na disjunção “p ou q” a negação é a conjunção “não p e não q”;
(c) Quantificadas. Com “ p" ” é “ ,$ não p” e com “ p$ ” é “ ," não p”. 
Exemplo Resolvido 7. Observe que na proposição: 
(a) “ 1- é positivo” sua negação é “ 1- não é positivo”;
(b) “a 2= ou b 3= ” sua negação é “a 2¹ e b 3¹ ”;
(c) “ 2x, x" é positivo” sua negação é “$x tal que 2x não é positivo”; 
(d) “ x$ inteiro tal que 2x 3 5+ = ” sua negação é “ x" inteiro, 
2x 3 5+ ¹ ”.
Exemplo Proposto 7. Escreva frases e sentenças abertas usando ne-
gações em proposições simples, compostas e quantificadas.
CELSO ANTONIO DA SILVA BARBOSA12
Atividades de avaliação
Os exemplos propostos deste capítulo: 1 e 2 são os itens (a) e (b) da questão 
1; 3 e 4 são os itens (a) e (b) da questão 2; 5 até 7 são os itens (a) até (c) da 
questão 3 da atividade deste tópico. As questões 4 e 5 da atividade, serão 
indicadas no capítulo seguinte desta unidade.
Capítulo 2
Conjunto
Existem vários assuntos em Matemática onde certas noções são aceitas sem 
definição, tais noções são chamadas de “noções primitivas”, estas são intuiti-
vas e evidentes. Neste tema, são consideradas noções primitivas, as noções 
de conjunto, elemento e pertinência. Na linguagem comum um elemento é um 
objeto, por exemplo: (i) número; (ii) letra; (iii) nome de animal; (iv) figura ou o 
nome da figura.
Conjunto em Matemática tem quase o mesmo significado da linguagem 
comum, isto é, um conjunto é: uma coleção, uma classe ou um agrupamento 
de elementos. As únicas possíveis excessões são: o conjunto vazio que não 
possui nenhum elemento e é usado para considerar o conjunto dos elementos 
que têm uma propriedade impossível, e o conjunto unitário que é formado por 
um só elemento. Por exemplo: 
(a) Conjunto dos algarismos indo-arábicos; 
(b) Conjunto das vogais; 
(c) Conjunto de nomes de animais de quatro patas de uma fazenda; 
(d) Conjunto dos números reais cujo quadrado é negativo; 
(e) Conjunto dos números reais que somado com um é igual a um.
É comum usar uma letra maiúscula para nomear um conjunto, por 
exemplo: A, B, C, I, N, Q, R, etc. E para se referir a um elemento qualquer de 
um conjunto é usada uma letra minúscula, por exemplo: a, b, x, y, z, etc. O 
símbolo “∈” significa “pertence” e é usado para escrever que um determinado 
elemento é componente de um conjunto, ou seja, se x pertence ao conjunto 
A, escreve-se x A.∈ Quando um elemento x não pertende ao conjunto A, 
indica-se x A.∉
 A notação de conjunto é efetuada das seguintes formas: 
(a) Escrevendo seus elementos entre chaves e separados pela vírgula;
(b) Através de uma propriedade característica de seus elementos en-
tre chaves, escrevendo-se A {x U; x tem a propriedade p},= Î onde U é 
chamado de conjunto universo e significa o conjunto ao qual pertencem 
todos os elementos usados na formação de A, o ponto e vírgula logo após a 
letra U substituí a expressão “tal que”;
O símbolo “Î ” é uma 
versão da letra grega 
epsilon e devida ao 
matemático italiano 
Giuseppe Peano (1858-
1932), foi Peano que 
também introduziu os 
símbolos “É (contém), 
È (reunião) e Ç 
(interseção)” que serão 
vistos a seguir.
CELSO ANTONIO DA SILVA BARBOSA14
(c) O conjunto vazio é indicado pelo símbolo “∅ ” (que é uma versão da 
letra grega phi) ou apenas por “{ }” (isto é, as chaves sem nenhum elemento).
Considerando os exemplos acima, tem-se: 
(a) A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};
(b) B = {a, e, i, o, u} ou B = {x Î alfabeto; x é vogal};
(c) C = {boi, cavalo, carneiro, cachorro, gato};
(d) D = {x Î reais; x2 é negativo} ou D = ∅ ; 
(e) E = {x Î reais; x + 1 = 1} ou E = {0}.
Além disso, por exemplo: 2 A;∈ a B;∈ pato C∉ e 1 E.− ∉
As reticências são usadas num conjunto, quando é possível escrever 
apenas alguns elementos e eles evidenciam a determinação dos demais, tan-
to quando o conjunto tem uma quantidade grande de elementos ou sendo 
infinito. Por exemplo: 
(a) A {0,1,2,3, ,9}=  ou 
A {x inteiros; x é algarismo indo-arábico};= ∈
(b) B {1,3,5,7, }=  ou B {x inteiros; x é ímpar e positivo};= ∈ 
(c) C {0,2,4,6, }=  ou C {x inteiros; x é par e não negativo};= ∈ 
(d) D {0,1,4,9,16, }=  ou D {x inteiros; x é quadrado perfeito}.= ∈
Um conjunto com poucos elementos pode ainda ser representado num 
diagrama, isto é, colocando seus elementos interiores a uma linha fechada 
que não se entrelaça e os elementos são indicados visualmente através de 
pontos ou outras figuras pequenas semelhantes ou não.
Os conjuntos A e B são iguais se todo elemento de A pertence a B e 
todo elemento de B pertence a A. Simbolicamente, escreve-se A B= ⇔ 
( x, x A x B).∀ ∈ ⇔ ∈ Se A não é igual a B, escreve-se A B,≠ isto 
é, se x A talque x B∃ ∈ ∉ ou x B talque x A.∃ ∈ ∉ Por exemplo: (a) 
2{0,1} {x reais; x x};= ∈ = (b) {0,1,2,3} {1,0,0,3,3,2,2,2,2};= (c) { 1,2} { 2,1};− ≠ − (d) 
{1,3,5} {1,2,3,4,5}.≠
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se todo elemento 
de A pertence a B. Utiliza-se o símbolo “Ì ” chamado sinal de inclusão, es-
creve-se A BÌ (lê-se, A está contido em B). Simbolicamente, escreve-se: 
A B ( x, x A x B).Ì Û " Î Þ Î Observe que o próprio conjunto B é subcon-
junto de B, se A BÌ e existe um elemento x BÎ tal que x A,Ï então A 
Cálculo I 15
é dito um subconjunto próprio de B. Por exemplo: (a) {1,3} é subconjunto 
próprio de {0,1,2,3}; (b) O conjunto das vogais é subconjunto próprio do 
nosso alfabeto.
É comum também escrever: B AÉ (lê-se, B contém A) para indicar 
que A é subconjunto de B; e A BË ou B A/É (lê-se, A não está contido em 
B ou B não contém A) significa que A não é subconjunto de B.
Teorema. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto A, isto 
é, AÆÌ qualquer que seja o conjunto A.
Demonstração. A afirmação seria negada (isto é, que AÆË ) justifi-
cando que existe pelo menos um elemento no conjunto vazio que não per-
tence ao conjunto A, mas como o conjunto vazio não tem nenhum elemento, 
isso não pode acontecer. Portanto, se a afirmação não pode ser negada, ela 
é verdadeira. 
O conjunto das partes de um conjunto A é aquele formado por todos os 
subconjuntos de A e é indicado por P(A).
Exemplo Resolvido 1. (a) Se A {0},= os subconjuntos de A são Æ 
e A, logo P(A) { ,{0}};= Æ (b) Sendo B {0,1},= os subconjuntos de B são 
,Æ {0}, {1} e B, logo P(B) { ,{0},{1},B}.= Æ
Exemplo Proposto 1. Achar o conjunto das partes do conjunto 
{0, ,a, }.Æ p 
Dados os conjuntos A e B, as operações com conjuntos são as seguintes: 
(a) Reunião ou união de A e B, é indicada por A BÈ e é o conjun-
to dos elementos que pertencem a A ou B, simbolicamente, escreve-se 
A B {x U; x A ou x B};È= Î Î Î 
(b) Interseção de A e B, é indicada por A BÇ e é o conjunto dos ele-
mentos que pertencem a A e B, isto é, o conjunto dos elementos que per-
tencem aos dois conjuntos simultâneamente, simbolicamente, escreve-se 
A B {x U; x A e x B};Ç = Î Î Î 
(c) Diferença entre A e B, indicada por A B- (lê-se, A menos B), é o 
conjunto dos elementos de A que não pertencem a B, simbolicamente, escre-
ve-se A B {x U; x A e x B}.- = Î Î Ï 
Se A B ,Ç =Æ então A e B são ditos conjuntos disjuntos. Por exemplo, 
os conjuntos A {0,1,3}= e B {2,4,5,6}= são disjuntos.
Se B A,Ì o complementar de B em relação a A, indica-se por B
AC , é a 
diferença A B,- isto é, B
AC A B.= - 
Exemplo Resolvido 2. Se A {a,b,c,d,g,m}= e B {a,c,e,m,n},= en-
tão:
CELSO ANTONIO DA SILVA BARBOSA16
(a) A B {a,b,c,d,e,g,m,n};È = 
(b) A B {a,c,m};Ç =
(c) A B {b,d,g}- = e B A {e,n};- = 
(d) A B
AC A {a,c,m} {b,d,g}.Ç = - = 
Exemplo Proposto 2. Se A { 3, 1,0,1,4}= - - e B { 2, 1,0,1,3,4}= - - 
achar: A B,È A B,Ç A B,- B A- e A
A BC .È 
 Alguns conjuntos numéricos são importantes e recebem nomes espe-
ciais, como a seguir:
(a) Inteiros não negativos indicado e dado por {0,1,2,3,...};=N
(b) Inteiros indicado e dado por {..., 2, 1,0,1, 2,...};= − −Z
(c) Pares dado por 
P { , 4, 2,0,2,4, } {p ; p 2n e n };= - - = Î = Î  Z Z
(d) Ímpares dado por
I { , 3, 1,1,3, } {i ; i = 2n 1 ou i 2n 1 e n };= - - = Î - = + Î  Z Z
(e) Racionais indicado e dado por { }p ; p e q com q 0 ;q= Î ¹Q Z 
(f) Irracionais é indicado por I. Ao nível deste texto não é possível definir 
número irracional, o que se pode dizer é: ∅Q I = , isto é, estão excluídos 
de ser número irracional, as frações e os números que podem ser transfor-
mados em frações (como os números decimais e as dízimas periódicas que 
são racionais); os números irracionais não possuem representação usando 
os algarismos indoarábicos, mas podem ser aproximados por números racio-
nais; a existência de tais números, veio com a descoberta da 2 1,4142@ 
ou talvez 3 1,7320@ ou existe número irracional que não é raiz quadrada 
de nenhum número inteiro, por exemplo, os números indicados pelas letras 
“e” (que aparece no estudo do logaritmo, cujo valor é 2,7182≅ ) e “p” (usado 
como a razão do comprimento da circunferência para o seu diâmetro, cujo 
valor é 3,1415@ ); 
(g) Reais indicado e dado por .R = Q I
A letra “Z” tem origem 
da palavra do idioma 
alemão “zahl” que 
significa “número”.
A letra “Q” deriva da 
palavra inglesa “quotient” 
que significa “quociente”.
A letra “N” se refere 
a inicial da palavra 
“natural”, existem 
autores que consideram 
o conjunto dos naturais 
(isto é, conjunto dos 
números que são 
usados para contagem 
de objetos da natureza) 
iniciando com o número 
um. Uma das razões em 
que é conveniente iniciar 
N a partir do número 
um é que o primeiro 
elemento seja um, o 
segundo seja dois, assim 
por diante.
Cálculo I 17
Para refletir
A irracionalidade de “e” e “p ” têm demonstrações de níveis mais altos do que a raiz 
de dois. A demonstração que o número “e” é irracional, foi obtida pelo matemático 
suiço Leonhard Euler (1707-1783) em 1737. O uso da letra “e” foi idealizado por Eu-
ler e impresso pela primeira vez em sua obra “Mechanica” de 1736, embora o seu 
conceito já fosse conhecido a mais de um século. A letra “p ” é a inicial da palavra 
“perímetro” em grego e foi também adotada por Euler; porém foi o matemático suiço 
Johann Heinrich Lambert (1728-1777), quem primeiro apresentou a prova de que p 
é irracional, na Academia de Berlin em 1761. O conceito de p data da época dos an-
tigos babilônios e egípcios, que já usavam com precisão bastante satisfatória, isto é, 
consideravam 3,16.p=
Atividades de avaliação
Os exemplos propostos destes 1 e 2, são as respectivas questões 4 e 5 desta 
atividade. 
Os números irracionais, 
provavelmente, foram 
descobertos pelos 
pitagóricos e passaram 
a chamar a atenção já 
na época de Pitágoras, 
pelo fato de existerem 
grandezas que são 
medidas por tais valores.
CELSO ANTONIO DA SILVA BARBOSA18
Parte
Funções e Operações
com Funções
2
CELSO ANTONIO DA SILVA BARBOSA20
Capítulo 1
Conceito de Função
Neste capítulo será apresentada a “função” que é o elemento fundamental no 
estudo do Cálculo Diferencial e Integral. O conceito de função será introduzido 
de forma geral, de modo que à medida que serão estudados os tipos particu-
lares de funções neste módulo e nos subsequentes de Cálculo, serão feitas 
apenas as particularizações dos conjuntos que estão envolvidos no conceito. 
Logo após o conceito geral de função, será definido o tipo particular de função 
que se estudará neste curso e no seguinte (ou seja, em Cálculo II), que é a 
função real de uma variável real. 
A palavra “cálculo” vem do latin “calculus” que significa pequenas pe-
dras, assim “calcular” quer dizer “contar com pedras”, isto não tem nada a 
ver com o Cálculo Diferencial e Integral, ou seja, a parte da Matemática que 
estuda derivação e integração de funções juntamente com as suas aplica-
ções. Quer saber mais sobre a maravilhosa e fascinante História do Cálculo, 
consulte a referência “CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL – Vol. 1, Celso 
Antonio Silva Barbosa, Realce Editora e Indústria Gráfica, Fortaleza, 2007”. 
E-mail: celsocasb@yahoo.com.br”
Antes de definir o que é função, considere alguns exemplos de relações 
funcionais que o estudante neste estágio já tenha utilizado.
São relações dadas através de equações (ou regras ou leis de forma-
ções) envolvendo duas ou mais grandezas e satisfazendo certas condições, 
tais condições serão explicadas em seguida nos exemplos e comentários.
Exemplo usado no comércio. Suponha que se deseja adquirir um 
determinado produto, então o valor do produto (indicando esse valor por V) 
depende da quantidade do produto que você necessita (indicando essa quan-
tidade por q), observe que uma mesma quantidade do produto não terá dois 
preços diferentes, neste caso, diz-se que V é função de q.
Exemplo usado em Física. Se um carro se desloca da sua residência 
à rodoviária de seu município, então até que o carro cheque num determinado 
local do itinerário, já terá transcorrido algum tempo a partir do momento em 
que ele estava na residência, isto é, à distância percorrida pelo carro (cha-
mando essa distância de s) depende do tempo (que se indica pela letra t), 
A função está presente 
em quase todos os 
ramos da Matemática e 
em outras ciências, tais 
como Física e Química, 
daí sua relevância 
na vida prática. Em 
relação a outras partes 
da Matemática que 
já estudamos até 
o Ensino Médio, o 
surgimento da função 
é recente; a palavra 
“função” foi introduzida 
pelo matemático 
alemão Gottfried 
Wilhelm Leibniz (1646-
1716) em 1694, para 
descrever quantidades 
relacionadas a uma 
curva, que não tem nada 
haver com o significado 
moderno; a palavra 
função foi posteriormente 
usada pelo matemático 
suíço Leonhard Euler 
(1707-1783) e criou a 
notação usada até a 
época atual; 
CELSO ANTONIO DA SILVA BARBOSA22
além disso após um certo tempo de iniciado o movimento do carro, ele terá 
percorrido uma única distância, sendo assim diz-se que s é função de t.
Exemplo usado em geometria plana. A área de um círculo (indicando 
pela letra A) de raio r é dada pela fórmula 2rA π= , como dois círculos de 
mesmo raio não terão áreas diferentes, diz-se que A é função de r.
Como ficou claro através destes exemplos, para falar em relação fun-
cional, deve-se ter no mínimo duas grandezas, considerando tal quantidade 
de grandezas e chamando essas grandezas de y e x, onde elas estão rela-
cionadas para que uma dependa da outra, então suponha que y depende de 
x; diz-se que y é função de x, se para cada x a relação faz corresponder 
um único y. Como foi mencionado, essa relação funcional pode ser dada por 
uma: equação, regra ou lei de formação. 
Foi definido o que é uma grandeza depender funcionalmente de outra 
através de uma relação, é de interesse algomais formal, como segue: sejam 
A e B conjuntos, uma função f de A em B, que se indica por f A B: ,→ 
é uma relação associada a A e B tal que essa relação faz corresponder a 
cada elemento x em A um único elemento y em B. Para indicar que um 
determinado y foi obtido de algum x através da função f, usa-se o símbolo 
“ )x(fy = ” que se lê “y é igual a f de x”. 
O conjunto A é chamado de domínio da função f e é indicado por 
D(f), e o conjunto B é dito o contradomínio da função f. O elemento f(x) 
que corresponde a x por intermédio da relação funcional é denominado a 
imagem de x através de f (ou ainda, valor de f em x se B ⊂ R , onde R 
indica o conjunto dos números reais). A imagem da função f é o conjunto 
indicado por I(f) e constituído pelas imagens de todos os elementos x de A 
através de f, ou seja, 
 
I(f ) {y B; y f (x) e x A}.= ∈ = ∈
o entendimento moderno 
do significado de função 
foi uma contribuição 
do matemático alemão 
Peter Gustav Lejuine 
Dirichlet (1805-
1859); entretanto, 
foi somente com a 
teoria dos conjuntos 
da análise moderna 
do matemático inglês 
George Boole (1815-
1864) e outros, que 
o conceito finalmente 
teve sua formalização. 
Estendendo a 
definição de função, 
os matemáticos foram 
capazes de estudar 
objetos matemáticos, 
inicialmente 
considerados como 
puramente imaginários 
e até chamados 
genericamente de 
“monstros”, tais objetos 
matemáticos foram já 
no final do século XX, 
considerados de grande 
importância para a 
construção de modelos 
matemáticos aplicados 
para explicar fenômenos 
físicos.
Cálculo I 23
Uma função real de uma variável real (ou simplesmente, uma função 
real de uma variável) é uma função em que seu domínio é um subconjunto 
de R e o contradomínio é o conjunto R . Neste caso, diz-se que o elemento 
arbitrário x (gerador do domínio de f) é a variável independente de f e 
que y f x= ( ) (isto é, o elemento gerador da imagem de f) é a variável de-
pendente de f. A partir deste momento, nesta disciplina e na próxima que dá 
continuidade a esta, somente será estudada a função real de um variável.
Observe que para uma função f estar completamente definida, basta 
serem dados o domínio D(f) e a relação que estabelece a correspondência 
dos elementos do D(f) com elementos do contradomínio. Entretanto, quando 
f é uma função real de uma variável, normalmente f é definida apenas pela 
relação (que é comum ser uma equação) e possivelmente o domínio; quando 
na definição da função, somente a relação for dada (isto é, o domínio não for 
estabelecido), significa que o domínio da função é o conjunto de todos os va-
lores onde a relação faz sentido e a função é indicada somente pela relação. 
Por exemplo: se a função f é definida por 2y x= com x ≥ 0, sig-
nifica que a relação definindo f é dada pela equação 2y x= e que o 
D f( ) [ , );= +∞0 mas, se f é definida apenas pela equação 2y x ,= então 
R=)f(D pois todo número real pode ser elevado ao quadrado e invés de 
escrever “a função f definida por 2y x= com R=)f(D ”, escreve-se ape-
nas “a função 2f (x) x= ”.
DICA. Este é o momento para revisar sobre: a fórmula para o produto 
(a b)(a b),+ − o conceito de valor absoluto e os diversos tipos de intervalos.
Você vai precisar a partir do próximo exercício.
Dado um número real a, o valor absoluto de a é indicado por | a | e defi-
nido por { a se a 0| a | .a se a 0
≥= − < 
Pesquise para saber as propriedades do valor absoluto. . Você pode en-
contrar na referência “CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL – Vol.1, Celso 
Antonio Silva Barbosa, Realce Editora e Indústria Gráfica, Fortaleza, 2007” 
E-mail: celsocasb@yahoo.com.br”. 
Exemplo Resolvido. Dada a função f x x( ) ,= −1 encontrar:
(a) f (1), f (a 1)+ se a ≥ 0 e ( )2f b 2b 2+ + se b ≥ − 1;
(b) f (x a) f (x)
a
+ - se ;0a ≠ 
(c) O domínio e a imagem de f.
Solução. 
(a) Para achar os valores de f indicados, deve-se substituir em x −1 
os valores de x que são da dos entre parênteses. Assim,
f (1) 1 1 0 0,= − = = a1)1a()1a(f =−+=+ e
1b|1b|)1b(1b2b1)2b2b()2b2b(f 2222 +=+=+=++=−++=++
pois b + ≥1 0 uma vez que b 1;≥ −
Sejam a e b valores 
ou expressões obtidas 
através de operações 
(adição, subtração, 
multiplicação, divisão, 
potenciação e 
radiciação) com valores 
numéricos ou literais, 
então tem-se usando a 
propriedade distributiva 
dos números reais que
(a b)(a b)
a(a b) b(a b)
a.a a.b b.a b.b
2 2a b .
+ − =
= − + −
= − + −
= −
Os intervalos são 
conjuntos numéricos 
importantes, pesquise 
para conhecer os 
intervalos: fechado, 
aberto e semifechados 
ou semi-abertos. Você 
pode encontrar na 
referência citada no final 
deste capítulo.
CELSO ANTONIO DA SILVA BARBOSA24
(b) Como f x a x a e f x x( ) ( ) ( ) ,+ = + − = −1 1 tem-se
( )( )
( )
( ) ( )
( )
2 2
(x a) 1 x 1f (x a) f (x)
a a
(multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do numerador)
x a 1 x 1 x a 1 x 1
a x a 1 x 1
(efetuando a multiplicaçao indicada no numerador)
x a 1 x 1
=
a x a 1 x 1
(x a 1
+ − − −+ −
=
+ − − − + − + −
=
+ − + −
+ − − −
+ − + −
+ −
=

( )
( )
( )
) (x 1) (retirando os parenteses)
a x a 1 x 1
x a 1 x 1= (simplificando o numerador)
a x a 1 x 1
a (dividindo a por a, pois a 0)
a x a 1 x 1
1 .
x a 1 x 1
− −
+ − + −
+ − − +
+ − + −
= ≠
+ − + −
=
+ − + −

( )( )
( )
( ) ( )
( )
2 2
(x a) 1 x 1f (x a) f (x)
a a
(multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do numerador)
x a 1 x 1 x a 1 x 1
a x a 1 x 1
(efetuando a multiplicaçao indicada no numerador)
x a 1 x 1
=
a x a 1 x 1
(x a 1
+ − − −+ −
=
+ − − − + − + −
=
+ − + −
+ − − −
+ − + −
+ −
=

( )
( )
( )
) (x 1) (retirando os parenteses)
a x a 1 x 1
x a 1 x 1= (simplificando o numerador)
a x a 1 x 1
a (dividindo a por a, pois a 0)
a x a 1 x 1
1 .
x a 1 x 1
− −
+ − + −
+ − − +
+ − + −
= ≠
+ − + −
=
+ − + −

(c) Sendo D(f) o conjunto de todos os valores de x onde x −1 tem 
sentido, x D f∈ ( ) se x − ≥1 0, pois a raiz quadrada só está definida para 
valores não negativos (isto é, valores maiores ou iguais a zero), assim x ≥ 1, 
ou seja, ).,1[)f(D ∞+=
Para achar a imagem de f, inicialmente se considera os valores 
x no seu domínio, isto é, )f(Dx ∈ se 1x ≥ , ou seja, se ,01x ≥− daí 
,001xy =≥−= logo I(f ) [0, ).⊂ +∞ Por outro lado: seja y [0, ),∈ +∞ 
então y 0;≥ tomando 2x y 1= + então x D(f )∈ pois 2x y 1 1,= + ≥ 
logo resolvendo a equação 2x y 1= + se tem apenas que y x 1= − pois 
y 0,≥ isto é, y I(f );∈ sendo assim, [0, ) I(f ).+∞ ⊂ Portanto, obteve-se que 
I(f ) [0, )⊂ +∞ e [0, ) I(f ),+∞ ⊂ ou seja, I(f ) [0, ).= +∞
Exemplo Proposto. Se ,1x)x(g += mostrar que:
(a) ,2)3(g = ( ) a1ag 2 =− se a 0≥ e ( ) 1bb2bg 2 +=+ se ;1b −≥
Cálculo I 25
(b)
 
[ ]1 1g(x t) g(x)t x t 1 x 1
+ − =
+ + + +
 se ;0t ≠
(c) ),1[)g(D ∞+−= e ).,0[)g(I ∞+=
Atividades de avaliação
Os exercícios 9, 11 e 14 do exercitando, são as respectivas questões 1 até 3 
da atividade deste tópico. As questões 4 e 5 da atividade, serão indicadas no 
subtópico seguinte deste tópico. 
Nos exercícios 1 a 4, encontre o domínio da função dada:
1. f x x( ) ;= −1 
2. g x x( ) ;= −2 4 
3. ;
1x
1x)x(h
+
−= 
4. 
2x 9j(x) .x 1
−=
−
 
Nos exercícios 5 a 8, ache a imagem da função dada com o domínio indicado:
5. 2f (x) x 2x= − e D(f ) R;=
6. g(x) 4x x= − e D(g) ( ,1];= −∞
7. 2h(x) 4 x= − e D(h) [1, 2);=
8. 3 2j(x) x 3x 3x 2= − + − e D(j) [0, ).= +∞
Nos exercícios 9 a 12, para cada função dada, encontre os valores indicados:
9. 2f (x) x 3x 2,= − + f (x) f (a)f (0), f (a 1) e se x a;
x a
−
+ ≠
−
10. g(x) x 1,= + g(x a) g(x)g(3), g(x 1) e se a 0;a
+ −− ≠
11. 3h(x) x 1,= − 3 2 h(x) h(a)h(a 3a 3a) e se x a;x a
−− + ≠
−
12. x 1j(x) ,x 1
−=
+
 ( ) j(x a) j(x)a 1j e se a 0.a 1 a
+ −+ ≠
−
13. Considere um círculo de raio igual a x cm, seum quadrado está inscrito 
neste círculo, determine a área A do quadrado em função de x.
CELSO ANTONIO DA SILVA BARBOSA26
14. Dado um pedaço de papelão quadrado com 8 cm de lado, tira-se de cada 
canto do papelão, quadrados com x cm de lados e os bordos são dobra-
dos de modo que forme uma caixa sem tampa. Determine:
a) O volume V da caixa em função de x; 
b) A área S da caixa em função de x.
Referências 
BARBOSA, Celso Antonio Silva. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 
– Vol.1. Realce Editora e Indústria Gráfica, Fortaleza, 2007” E-mail: celso-
casb@yahoo.com.br”. 
Capítulo 2
Operações com Funções
Neste capítulo, serão definidas as operações algébricas com funções e os 
conceitos de composição de funções e de função inversa; tais operações e 
conceitos têm como objetivo maior, gerar novas funções a partir de funções 
já conhecidas.
Sejam f e g funções que tenham parte de seus domínios (ou os seus 
domínios) em comum, então:
(a) A soma de f e g é a função indicada por f g+ e definida por 
(f g)(x) f (x) g(x);+ = +
(b) A diferença de f por g é a função indicada por f g− e definida por
(f g)(x) f (x) g(x);− = −
(c) O produto de f por g é a função indicada por fg e definida por 
(fg)(x) f (x)g(x);=
(d) O quociente de f por g é a função indicada por f
g e definida por 
f (x)f (x)g g(x)
  = 
  
se
 
.0)x(g ≠
Nas operações definidas de (a) até (d), o domínio da função resultante 
é formado pelos valores de x que estejam na interseção dos domínios de f e 
g. No caso particular do quociente, são excluídos os valores de x da interse-
ção dos domínios de f e g tais que .0)x(g =
DICA. Leia textos sobre “propriedades dos números reais” e “potência, 
raiz e fatorações”.
No conjunto dos números reais, seus elementos devem ter as mesmas 
propriedades básicas relativamente a igualdade, onde o mais importante são 
as relações entre os elementos desse conjunto. Assim é que no conjunto dos 
reais R, existem as operações adição e multiplicação, indicadas por “+ e .”, em 
relação às quais R é fechado (isto significa que a adição e multiplicação de 
São as operações com 
funções que recebem 
os mesmos nomes das 
operações básicas no 
conjunto dos reais, isto 
é, adição, subtração, 
multiplicação e divi-
são. Lembre-se que o 
resultado da: adição é 
chamado de “soma”; 
subtração é chamado 
de “diferença”; multi-
plicação é chamado 
de “produto”; divisão é 
chamado de “quociente”.
CELSO ANTONIO DA SILVA BARBOSA28
dois elementos de R , são elementos de R ) e para quaisquer a, b e c Î R, os 
seguintes axiomas são satisfeitos: propriedades associativa e comutativa; exis-
tência de elementos neutros na adição e multiplicação; existência de elementos 
simétrico e inverso; propriedade distributiva. Detalhes sobre tais propriedades, 
podem ser encontrados na referência citada no final deste subtópico. 
Exemplo Resolvido 1. Dadas às funções 2f (x) x 2x 3= + − e
g(x) x 3,= + encontrar: f g,+ f g,− fg e f
g .
Solução. Das definições, tem-se
2 2 2(f g)(x) (x 2x 3) (x 3) x (2x x) 3 3 x 3x,+ = + − + + = + + − + = +
2 2 2(f g)(x) (x 2x 3) (x 3) x (2x x) 3 3 x x 6,− = + − − + = + − − − = + −
2
2
3 2 2
(fg)(x) (x 2x 3)(x 3)
(efetuando a multiplicaçao, usando a distributividade)
x (x 3) 2x(x 3) 3(x 3)
(novamente, usando a distributividade em cada parcela)
x 3x 2x 6x 3x 9
(adicionando as parcelas co
= + − +
= + + + − +
= + + + − −

3 2
rrespondentes)
x 5x 3x 9= + + −
e
2f x 2x 3(x) (fatorando o numerador)g x 3
(x 1)(x 3) (dividindo x+3 por x 3 pois x 3)x 3
x 1.
+ −  =  + 
− += + ≠ −
+
= −
Exemplo Proposto 1. Se 2x)x(f −= e ,2x3x)x(g 2 +−= mos-
trar que:
(a) (f g)(x) x(x 2);+ = − 
(b) ;)2x()x)(gf( 2−−=−
(c) );1x2(4)5x(x)x)(fg( 2 −+−= 
(d) 
1x
1)x(
g
f
−
=





 se x 1.≠
Sejam f e g funções tais que o domínio de f contém um subconjunto 
não vazio da imagem de g, então a função composta de f com g (ou a 
composição de f com g) é indicada por fog e definida por 
Numa potência para 
um número real a e 
um número racional r, 
a expressão ar indica 
uma potência de 
base a e expoente r, 
pesquise para saber tal 
conceito. Uma potên-
cia com o expoente 
igual a uma fração 
de numerador menor 
que o denominador e 
positiva, é chamada 
de raiz. É importante 
saber: as propriedades 
das potências, quadra-
do e cubo da soma e 
fatorações. Você pode 
encontrar o necessário 
e indispensável na 
referência citada no final 
deste capítulo.
Cálculo I 29
( )(fog)(x) f g(x) .=
O domínio de fog é formado pelos valores de x no domínio de g e 
que )x(g pertence ao domínio de f.
A figura ilustra que domínio de fog (na cor cinza) contido em A (na cor 
preta), não necessariamente é igual a A. 
Observe o que foi escrito sobre a composição de funções:
(1) Para achar a imagem de um valor x domínio da função composta 
fog, primeiro se acha a imagem de x através da função à direita da composi-
ção (isto é, acha-se g(x) ), depois se encontra a imagem do resultado obtido 
com g através da função à esquerda da composição (ou seja, encontra-se 
( )f g(x) ). Por exemplo, se f (x) x= e g(x) x 1,= − para obter (fog)(5), 
tem-se g(5) 5 1 4,= − = então ( )(fog)(5) f g(5) f (4) 4 2;= = = =
(2) Na legenda da figura anterior, foi escrito que o domínio 
de fog não é necessariamente igual ao domínio de g. Por exem-
plo, sendo ainda f (x) x= e g(x) x 1,= − então D(f ) [0, )= +∞ e 
D(g) ( , ),= = −∞ +∞R mas ( )(fog)(x) f g(x) f (x 1) x 1,= = − = − daí 
D(fog) [1, ) ( , ) D(g).= +∞ ≠ −∞ +∞ =
Exemplo Resolvido 2. Se f e g são as funções 1x)x(f 2 += e 
1x)x(g += , encontrar: fof, fog e gof.
Solução. Tem-se
( )
( )
( )
2
2
2 2
22 2 2
4 2
4 2
(fof )(x) f f (x) (substituindo f(x) por x 1)
f x 1
ˆ(no lugar de x em f(x) x 1,poe-se x 1 que está entre parenteses)
x 1 1 (efetuando o quadrado (x 1) )
x 2x 1 1
x 2x 2,
= +
= +
= + +
= + + +
= + + +
= + +

( ) ( ) ( ) ( ) 2x11x11x1xf)x(gfx)fog(
2
+=++=++=+==
CELSO ANTONIO DA SILVA BARBOSA30
e
( ) ( ) ( ) .2x11x1xg)x(fg)x)(gof( 222 +=++=+==
Exemplo Proposto 2. Se 1x)x(f −= e ,1x)x(g 2 −= provar que:
(a) ;2x)x)(fog( 2 −= 
(b) ;2x)x)(gof( −= 
(c) ( )2 2(gog)(x) x x 2 .= −
Observe do exemplo resolvido 2 que (fog)(x) (gof )(x),≠ ou seja, 
em geral a operação composição não é comutativa. Um caso especial da 
composição de duas funções f e g, ocorre quando ( )( ) ( )( )fog x gof x x= = 
para todo x C D(fog) D(gof )∈ ⊂  onde C é não vazio, neste caso, diz-se 
que g é a inversa de f em C e é usada a notação 1g f −= (ou que f é a 
inversa de g em C, neste caso, escreve-se 1f g−= ). 
DICA. Leia o capítulo 1.1 (Noção de Lógica) dando ênfase aos símbo-
los e seus significados.
Uma função f é dita injetiva (ou biunívoca), se para quaisquer 1x e 
2x no D(f), tem-se 2121 xx)x(f)x(f =⇒= (ou equivalente, 1 2x x≠ ⇒ 
1 2f (x ) f (x ))≠ . Em outras palavras, f é injetiva, se para cada )f(Iy∈ 
existe um único )f(Dx ∈ tal que f (x) y;= neste caso, a regra dada por 
)y(gx = agregada ao caráter de unicidade de x, define uma função g tal que 
)f(I)g(D = e );f(D)g(I = então observe que se tem as duas funções f e g 
tais que y f (x) x g(y);= ⇔ = além disso, como y)x(f))y(g(f)y)(fog( === 
para todo )g(Dy ∈ e x)y(g))x(f(g)x)(gof( === para todo ),f(Dx ∈ pela 
definição de função inversa, 1g f −= e 1f g .−= Resumindo, acaba de ser 
justificado o seguinte: se uma função f é injetiva, então f possui inversa com 
domínio igual a imagem de f; e mais, a equação que define a inversa de f é 
obtida resolvendo a equação f(x)y = para a variável x.
Exemplo Resolvido 3. Encontrar a inversa da função x 1
x 2f (x) -
+= e 
verificar que 
Solução. Sendo x 1
x 2y ,-
+= para achar a inversa de f, deve-se resolver 
esta equação para a variável x. Assim, como
⇔−=+⇔−=+⇔
+
−=1xy2yx1x)2x(y
2x
1xy
2y 1 2y 1yx x 2y 1 x(y 1) 2y 1 x ;
y 1 y 1
− − +− = − − ⇔ − = − − ⇔ = = −
− −
a função 1f − é definida por
1 2y 1f (y) ,
y 1
− += −
−
É importante observar 
que a inversa de uma 
função não é obtida 
apenas pela troca de 
x por y, isto deve ser 
acrescido ao processo 
algébrico de inversão; 
entretanto, a troca pode 
ser efetuada antes ou 
depois do processo 
de inversão. Neste 
exemplo (isto é, exemplo 
resolvido 3), a troca está 
sendo efetuada após a 
resolução da equação 
para x. É comum 
praticar tal sistemática, 
para continuar usando a 
letra “x” para indicar a 
variável do domínio da 
função que está sendo 
obtida, como foi feito 
até este momento e 
continuará sendo usada; 
além disso, isto será útil 
para obter o gráfico da 
inversa a partir do gráfico 
da função, de acordo 
como será tratado 
posteriormente.
Uma função que tem 
inversa, diz-se invertível. 
Vale lembrar que existe o 
termo “inversível” usado 
para números que têm 
inverso, isto é, números 
diferentes de zero.
Cálculo I 31
e
( ) ( ) ( ) .2x11x1xg)x(fg)x)(gof( 222 +=++=+==
Exemplo Proposto 2. Se 1x)x(f −= e ,1x)x(g 2 −= provar que:
(a) ;2x)x)(fog( 2 −= 
(b) ;2x)x)(gof( −= 
(c) ( )2 2(gog)(x) x x 2 .= −
Observe do exemplo resolvido 2 que (fog)(x) (gof )(x),≠ ou seja, 
em geral a operação composição não é comutativa. Um caso especial da 
composição de duas funções f e g, ocorre quando ( )( ) ( )( )fog x gof x x= = 
para todo x C D(fog) D(gof )∈ ⊂  onde C é não vazio, neste caso, diz-se 
que g é a inversa de f em C e é usada a notação 1g f −= (ou que f é a 
inversa de g em C, neste caso, escreve-se 1f g−= ). 
DICA. Leia o capítulo 1.1 (Noção de Lógica) dando ênfase aos símbo-
los e seus significados.
Uma função f é dita injetiva (ou biunívoca), se para quaisquer 1x e 
2x no D(f), tem-se 2121 xx)x(f)x(f =⇒= (ou equivalente, 1 2x x≠ ⇒ 
1 2f (x ) f (x ))≠ . Em outras palavras, f é injetiva, se para cada )f(Iy∈ 
existe um único )f(Dx ∈ tal que f (x) y;= neste caso, a regra dada por 
)y(gx = agregada ao caráter de unicidade de x, define uma função g tal que 
)f(I)g(D = e );f(D)g(I = então observe que se tem as duas funções f e g 
tais que y f (x) x g(y);= ⇔ = além disso, como y)x(f))y(g(f)y)(fog( === 
para todo )g(Dy∈ e x)y(g))x(f(g)x)(gof( === para todo ),f(Dx ∈ pela 
definição de função inversa, 1g f −= e 1f g .−= Resumindo, acaba de ser 
justificado o seguinte: se uma função f é injetiva, então f possui inversa com 
domínio igual a imagem de f; e mais, a equação que define a inversa de f é 
obtida resolvendo a equação f(x)y = para a variável x.
Exemplo Resolvido 3. Encontrar a inversa da função x 1
x 2f (x) -
+= e 
verificar que 
Solução. Sendo x 1
x 2y ,-
+= para achar a inversa de f, deve-se resolver 
esta equação para a variável x. Assim, como
⇔−=+⇔−=+⇔
+
−= 1xy2yx1x)2x(y
2x
1xy
2y 1 2y 1yx x 2y 1 x(y 1) 2y 1 x ;
y 1 y 1
− − +− = − − ⇔ − = − − ⇔ = = −
− −
a função 1f − é definida por
1 2y 1f (y) ,
y 1
− += −
−
É importante observar 
que a inversa de uma 
função não é obtida 
apenas pela troca de 
x por y, isto deve ser 
acrescido ao processo 
algébrico de inversão; 
entretanto, a troca pode 
ser efetuada antes ou 
depois do processo 
de inversão. Neste 
exemplo (isto é, exemplo 
resolvido 3), a troca está 
sendo efetuada após a 
resolução da equação 
para x. É comum 
praticar tal sistemática, 
para continuar usando a 
letra “x” para indicar a 
variável do domínio da 
função que está sendo 
obtida, como foi feito 
até este momento e 
continuará sendo usada; 
além disso, isto será útil 
para obter o gráfico da 
inversa a partir do gráfico 
da função, de acordo 
como será tratado 
posteriormente.
Uma função que tem 
inversa, diz-se invertível. 
Vale lembrar que existe o 
termo “inversível” usado 
para números que têm 
inverso, isto é, números 
diferentes de zero.
ou então (trocando y por x) 
1 2x 1 2x 1f (x) .
x 1 x 1
− + − −= − =
− −
Tem-se
( ) ( )1 1
2x 1 12x 1 x 1fof (x) f f (x) f 2x 1x 1 2
x 1
2x 1 (x 1)
2x 1 x 1 3xx 1 x2x 1 2(x 1) 2x 1 2x 2 3
x 1 (se x 1)
− −
− − −− −  −= = = =  − −−  +
−
− − − −
− − − + −−= = = =
− − + − − − + − −
− ≠
e similarmente, verifica-se que ( f - 1 o f ) ( x ) = x 
Exemplo Proposto 3. Se x 1
x 1g(x) ,+
-= demonstrar que )x(g)x(g 1 =− 
e verificar que (g–1 og)(x) = x para todo .1x ≠
Atividades de avaliação
Os exercícios 5 e 7 do exercitando, são as respectivas questões 4 e 5 da 
atividade deste tópico. 
Nos exercícios 1 e 2, dadas as funções f e g, encontre f g+ , f g− , fg, 
f
g , fof , fog, gog e gof :
1. f x x e g x x( ) ( ) ;= − = −1 12
2. 
2 2
2 2
x 1 x 1f (x) e g(x) .
x 1 x 1
+ −= =
− +
 
3. Se f x x x e fog x x x( ) ( )( ) ,= − + + = − + −2 21 3 1 encontre g x( ).
4. Sendo 2 2f (x) x 2x 1 e (fog)(x) 4x 8x 4,= − + = − + ache g x( ).
5. Para 2 4 2f (x) x 2 e (gof )(x) 2x 5x 2,= − = − + determine g x( ).
6. Seja f uma função com domínio D(f ) ≠ ∅ tal que se x D(f )∈ então 
x D(f ).− ∈ Diz-se que uma função f é par se f x f x( ) ( )= − e é ímpar se 
CELSO ANTONIO DA SILVA BARBOSA32
f x f x( ) ( ),− = − para todo x e no domínio de f. Mostre que:
 (a) A soma e a diferença de funções ímpares, são funções ímpares;
 (b) O produto e o quociente de funções ímpares, são funções pares.
7. Mostre que toda função definida num intervalo do tipo [ , ],−a a pode ser 
escrita como uma soma de uma função par e uma função ímpar. Suges-
tão: considere f (x) f ( x)
2g(x) + -= e f (x) f ( x)
2h(x) ,- -= verifique que g é 
par e h é ímpar, além disso f (x) g(x) h(x).= + Decomponha a função 
f x x x( ) = − +2 1 como uma soma de uma função par e uma ímpar.
8. Duas funções f A B e g A B: :1 1 2 2→ → são iguais, se 1 2A A= e 
f x g x( ) ( )= para todo 1x A .∈ Mostre que:
 (a) A operação composição é associativa;
 (b) A inversa de gof é 1 1f og− − , se f e g são invertíveis;
 (c) Se a inversa de uma função existe, então ela é única.
9. Seja 2f (x) 2x 3x 1= − + cujo domínio é ( 3
4, :−∞ 
 (a) Mostrar que f tem inversa;
 (b) Achar a inversa, o domínio e a imagem da inversa.
10. Resolva o problema anterior, onde o domínio de f é )3
4 , . +∞
11. Sejam a função f x x x( ) = + +23 2 2 e g uma função de y definida por 
x g(y),= determine:
 (a) O domínio de f;
 (b) A maior restrição possível ao domínio de f para que g seja a inversa 
de f;
 (c) A equação que define g e o seu domínio. 
12. Sejam { }A R ,= - - { }a
cB R= - - e f : A B® definida por 
ax b
cx df (x) .+
+= Mostre que f possui inversa se, e somente se, ad bc− ≠ 0. 
Sendo f invertível, encontre a inversa da função f.
Referências 
BARBOSA, Celso Antonio Silva. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL – 
Vol.1. Realce Editora e Indústria Gráfica, Fortaleza, 2007 E-mail: celsocasb@
yahoo.com.br.
Parte
Gráficos e
Exemplos de Funções
3
CELSO ANTONIO DA SILVA BARBOSA34
Capítulo 1
Gráfico de Função
Neste capítulo será apresentado o conceito de gráfico, será feita a identifi-
cação do gráfico com a sua representação geométrica e a caracterização 
de tal representação geométrica a partir do conceito de função; além disso, 
serão estabelecidos alguns caminhos para achar o gráfico de funções a partir 
de gráficos já obtidos ou simplificar o trabalho na construção de gráficos. A 
construção de gráficos é uma das tarefas mais importantes do Cálculo, o que 
será rigorosamente possível apenas no tópico 09; entretanto, este subtópico 
e o seguinte serão amplamente utilizados mesmo após ser efetuado o estudo 
mais geral. 
O gráfico de uma função f é o subconjunto do R2 indicado por G(f) 
e formado por todos os pares ordenados ( ))x(f,x obtidos quando x varia 
no domínio de f, isto é,
( ){ }G(f ) x,f (x) ; x D(f ) .= ∈ ∈2R
Como o gráfico de uma função f é um subconjunto do ,2Reste pode 
ser representado no plano cartesiano, como o lugar geométrico determinado 
pelos pontos com x D f∈ ( ). Traçar (ou fazer) o gráfico de uma função, signi-
fica encontrar o mencionado lugar geométrico ou um esboço significativo do 
lugar geométrico. É comum chamar o traço (ou esboço) do gráfico de uma 
função, apenas de “gráfico da função”.
A figura destaca nos eixos coordenados cor-
respondentes ãs variáveis x e y, o domínio e a 
imagem da função nos eixos (indicados pelas 
chaves), e a curva representando o gráfico da 
função.
Um par ordenado de 
números reais são 
dois números onde é 
especificado qual é o 
primeiro e o segundo 
dos números. Se x e y 
representam números 
reais quaisquer, o par 
ordenado onde x é o 
primeiro número e y 
o segundo é indicado 
por (x, y); assim, por 
exemplo, (1, 2) (2,1).¹ O 
conjunto de todos os 
pares ordenados de 
números reais é indicado 
por ,2R escrevendo-se 
.2R R{(x, y); x e y= Î }
CELSO ANTONIO DA SILVA BARBOSA36
Da definição de função, cada valor de x no domínio de uma função f, 
correspondente a um único valor f x( ) na imagem de f, assim o gráfico de f 
não pode ser interceptado em mais de um ponto por uma reta paralela ao eixo 
vertical do plano cartesiano.
 
A figura destaca nos eixos coordenados correspondentes às variáveis x e y, o domínio 
e a imagem da função nos eixos (indicados pelas chaves), e a curva representando 
o gráfico da função.
Nas duas figuras, a curva da primeira pode ser o gráfico de uma função; já na segun-
da, a curva não pode ser o gráfico de nenhuma função
DICA. Leia um texto que contenha os temas “equação de primeiro grau e 
equação de segundo grau”, que você não terá dificuldades para seguir adiante.
Sendo assim, em particular, é possível verificar quando uma equação 
do primeiro ou segundo grau em x e y define uma função. Por exemplo, o 
gráfico de uma equação do primeiro grau do tipo cx = (isto é, uma reta ver-
tical em relação ao sistema) não é gráfico de nenhuma função, como também 
acontece com o gráfico de uma equação do segundo grau quando este é uma 
circunferência, uma elipse ou uma hipérbole. Entretanto, o gráfico de uma 
equação de primeiro grau do tipo y mx b= + (isto é, uma reta não vertical), 
sempre define uma função; também a equação de segundo grau que pode 
ser reduzida à forma quadrática 2y ax bx c= + + com a 0.≠
Pelo conceitos e comentários efetuados, se uma função é definida por 
uma equação, pela definição, o seu gráfico é o gráfico da equação conside-
rando os valores da variável independente no domínio da função.
Plano cartesiano é um 
plano munido de um 
sistema cartesiano. 
Todos os detalhes sobre 
o assunto estão na 
referência citada no final 
deste capítulo.
Lugar geométrico 
é a figura no plano 
cartesiano representando 
geometricamente um 
subconjunto de pontos 
do R2
Os temas “equação de 
primeiro grau e equação 
de segundo grau”, 
podem ser encontrados 
na referência citada no 
final deste capítulo.
Cálculo I 37
Exemplo Resolvido 1. Fazer o gráfico da função 2x)x(f = com 
.0x ≥
Solução. Como foi visto no texto indicado na dica anterior, o gráfico 
da equação 2xy = é uma parábola, então o gráfico de f é a parte dessa 
parábola em que ,0x ≥ ou seja, a parte da parábola à direita do eixo Y jun-
tamente com a origem. O gráfico está na figura a seguir.
Exemplo Proposto 1. Fazer o gráfico da função 2x)x(f −= com 
.0x ≤
No exemplo resolvido 1 foi usado o gráfico de uma das equações da 
Geometria Analítica para obter o gráfico da função; na verdade de informação 
precisa que se dispõe até este momento, para traçar gráficos de funções, são 
apenas os modelos de figuras associados às respectivas equações estudadas 
na Geometria Analítica. A seguir serão vistas seis outras maneiras de obter o 
gráfico de uma função a partir do conhecido gráfico de outra função. É claro que 
neste estágio, pouco se conhece de gráfico de equações, mas os procedimen-
tos poderão e deverão ser aplicados num estágio mais avançado. Suponha que 
seja dado o gráfico de uma função f definida por )x(fy = , então:
(a) O gráfico da função ,a)x(f)x(g += onde a é uma constante 0< 
ou 0,> é dito uma translação vertical do gráfico de f. Observe que cada 
ponto )y,x( no gráfico de f corresponde um ponto (x, y) no gráfico de g, 
onde y y a,= + assim o gráfico g é o gráfico de f deslocado a unidades 
para baixo se 0a < ou a unidades para cima se a 0.> 
A figura ilustra o gráfico de f (na cor cinza) e duas possíveis translações (na cor preta) 
de acordo com o valor negativo ou positivo de "a"
CELSO ANTONIO DA SILVA BARBOSA38
(b) O gráfico da função ),ax(f)x(g −= onde a é uma constante 0< 
ou 0,> é chamado uma translação horizontal do gráfico de f. Cada ponto 
)y,x( no gráfico de f corresponde um ponto (x a, y)− no gráfico de g, 
onde x x a= − ou x x a,= + assim o gráfico g é o gráfico de f deslocado 
a unidades para esquerda se 0a < ou a unidades para direita se a 0.> 
A figura ilustra o gráfico de f (na cor cinza) e duas possíveis translações (na cor preta) 
de acordo com o valor negativo ou positivo de "a"
DICA. Leia um texto sobre “reflexão de pontos”, ajuda no entendimento 
das reflexões de gráficos..
(c) O gráfico da função )x(f)x(g −= é dito uma reflexão em relação 
ao eixo X do gráfico de f. Cada ponto )y,x( no gráfico de f corresponde 
um ponto )y,x( − no gráfico de g, assim o gráfico de g e o gráfico de f são 
simétricos em relação ao eixo X. 
A figura ilustra o gráfico de f na cor cinza e a reflexão de f em relação ao eixo X na 
cor preta
(d) O gráfico da função )x(f)x(g −= é denominado uma reflexão 
em relação ao eixo Y do gráfico de f. Cada ponto )y,x( no gráfico de f 
corresponde a um ponto )y,x(− no gráfico de g, logo os gráficos de g e f 
são simétricos em relação ao eixo Y.
A figura ilustra o gráfico de f na 
cor cinza e a reflexão de f em re-
lação ao eixo Y na cor preta
O tema “reflexão de 
pontos”, pode ser 
encontrado na referência 
citada no final deste 
capítulo.
Cálculo I 39
(e) O gráfico da função )x(f)x(g −−= é designado uma reflexão em 
relação a origem do gráfico de f. Cada ponto )y,x( no gráfico de f cor-
responde a um ponto )y,x( −− no gráfico de g, assim o gráfico g e o gráfico 
de f são simétricos em relação a origem. 
A figura ilustra o gráfico de f na cor cinza e a reflexão de f em relação à origem na cor preta
Através do gráfico de uma função f num intervalo I D(f),⊂ pode-se 
verificar se ela possui inversa em I, pois de acordo com o que foi tratado no 
subtópico 1.2, se o gráfico é formado de uma única curva e tem o aspecto as-
cendente ou descendente em I, isto é, se a função f é crescente ou decres-
cente em I, ou ainda, se 1 2x e x I∈ com 1 2x x< implica 1 2f (x ) f (x )< 
ou 1 2f (x ) f (x ),> respectivamente, fará com que f seja injetiva em I. 
Na primeira figura, a curva não pode ser o gráfico de uma função que tem inversa, 
pois x1 = x2 e y1 = y2, isto é, a função não seria injetiva; já nas duas figuras seguintes 
as curvas poderiam ser gráficos de funções que possuem inversas
(f) Quando se tem o gráfico de uma função bijetiva f, o gráfico de sua 
inversa f − 1 (no mesmo sistema de coordenadas) é facilmente obtido, pois o 
gráfico de f − 1 é a reflexão do gráfico de f em relação à reta y x= (isto é, 
para cada ponto P no gráfico de f, existe um único ponto Q no gráfico de , 
tais que P e Q são simétricos em relação à reta y x= ). Para ver isto basta 
usar que, y f x= ( ) se e somente se x f y= − 1( ), ou seja, está no gráfico 
de f se e somente se está no gráfico de 1f − . 
Conforme foi visto, 
em geral a operação 
composição não é 
comutativa. Um caso 
especial da composição 
de duas funções f 
e g, ocorre quando 
(fog)(x) (gof )(x) x= = para 
todo 
x C D(fog) D(gof )∈ ⊂  onde 
C ;≠ ∅ nestecaso, diz-se 
que g é a inversa de 
f em C e é usada a 
notação 1g f −= (ou que f 
é a inversa de g em C, 
neste caso, escreve-se 
1f g−= ). 
Conforme foi visto, 
em geral a operação 
composição não é 
comutativa. Um caso 
especial da composição 
de duas funções f 
e g, ocorre quando 
( )( ) ( )( )fog x gof x x= = 
para todo 
x D(fog) D(gof ) C;∈ = 
neste caso, diz-se que 
g é a inversa de f em 
C e é usada a notação 
1g f −= (ou que f é a 
inversa de g em C, 
neste caso, escreve-se 
1f g−= ). 
CELSO ANTONIO DA SILVA BARBOSA40
A figura ilustra o gráfico de f na cor cinza e o da sua inversa f-1 na cor preta, observe 
que o gráfico de f-1 é a reflexão do gráfico de f em relação à bissetriz y = x no mesmo 
sistema de coordenadas
Exemplo Resolvido 2. Fazer o gráfico da função x)x(f = .
Solução. Observe que o domínio e a imagem de f são formados pelos 
valores de x e y no intervalo ).,0[ +∞ Elevando ao quadrado os dois lados 
da equação ,xy = obtém-se ,xy2 = ou seja, .yx 2= Assim, a inversa 
de f é definida por 21 y)y(f =− com +∞<≤ y0 ou então (trocando y 
por x) 21 x)x(f =− com ,x0 +∞<≤ cujo gráfico é conhecido do exemplo 
resolvido 1. Para obter o gráfico de de f, basta fazer a reflexão do gráfico 
de 1f − (dependendo de x) em torno da reta y x= . Os gráficos de 1f − e 
f, que estão na figura a seguir, são as curvas de cores laranja e preta, respec-
tivamente.
Exemplo Proposto 2. Fazer o gráfico da função x)x(f −= .
Exemplo Resolvido 3. Fazer o gráfico da função x)x(f = -1.
Solução. O gráfico de f é uma translação vertical do gráfico de xy = 
deslocado uma unidade para baixo. Usando o gráfico de xy = já obtido 
no exemplo resolvido 2, tem-se o gráfico de f na figura a seguir..
Exemplo Proposto 3. Fazer o gráfico da função x1)x(f −= .
Cálculo I 41
Atividades de avaliação
Os exercícios 3 e 9 do exercitando, são as respectivas questões 1 e 2 deste 
tópico. As questões 3 até 5 do trabalho, serão indicadas no subtópico seguin-
te deste tópico. 
Nos exercícios 1 e 2, faça o gráfico da função indicada usando o grá-
fico de :x2y 2=
1. ;2x2)x(f 2 +−=
2. .)1x(2)x(g 2−=
Nos exercícios 3 e 4, faça o gráfico da função dada usando o gráfico da 
inversa e depois o de :xy =
3. ;1x)x(f −=
4. .1x1)x(g +−=
Na figura a seguir está o gráfico de ,y x
1= que será justificado no subtópico 
9.1.
O gráfico é uma hipérbole (veja um texto sobre o estudo da equação de se-
gundo grau – hipérbole, caso seja necessário) obtida pela rotação de 45 o 
(quarenta e cinco graus) no sentido anti-horário da hipérbole equilátera 
2 2x y 2,− = onde suas assíntotas são os eixos coordenados. Nos exer-
cícios 5 a 10, faça o gráfico da equação indicada: 
5. ;2x
1y −=
6. ;x
x31y +=
CELSO ANTONIO DA SILVA BARBOSA42
7. ;2x
1y
+
=
8. ;
x1
1y
−
−
=
9. ;1x
1y
−
−=
10. .x2
2y
−
=
Referências 
BARBOSA, Celso Antonio Silva. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 
– Vol.1. Realce Editora e Indústria Gráfica, Fortaleza, 2007” E-mail: celso-
casb@yahoo.com.br”. 
Capítulo 2
Exemplos de Funções
Neste tópico serão introduzidos exemplos de funções reais de uma variável real 
juntamente com seus gráficos, que serão utilizadas nos exemplos e exercícios 
no decorrer do curso. Os gráficos a serem estudados, essencialmente serão 
decorrentes dos gráficos das equações de primeiro e segundo graus vistas na 
Geometria Analítica Plana. Além disso, será também apresentada a função cujo 
gráfico é conhecido como parábola cúbica e as funções seno e co-seno, cujo 
papel neste estágio é ampliar o universo de exemplos de funções.
Uma função f é dita constante, se para todo valor de x e alguma 
constante c. Se f é a função definida por f x x( ) = para todo x, então f 
é chamada de função identidade. Uma função algébrica é uma função 
definida através de um número finito de operações envolvendo as funções 
constante e identidade. Essas operações são: adição, subtração, multiplica-
ção, divisão, potenciação e radiciação. Por exemplo, a função definida por
2
33
( 1) 2 5( )
1
x x xf x
x
- - +
=
+
é uma função algébrica.
As funções polinomiais e racionais, que serão definidas a seguir, são 
casos particulares de funções algébricas.
Uma função polinomial f é definida por uma equação da forma
f x a x a x a x an
n
n
n( ) ,= + + + +−
−
1
1
1 0
onde n é um número inteiro maior ou igual a zero e ai (i n= 0 1 2, , ,..., ) é um 
número real fixo. Se an ≠ 0, então f é dita uma função polinomial de grau 
n. Para n = 0 tem-se f x a( ) = 0 e sendo n 1= obtém-se f x a x a( ) ,= +1 0 
cujos gráficos são retas pois se tratam de equações de primeiro grau em x e 
y; se n 2= e 2a 0,≠ então cujo gráfico é uma parábola com eixo paralelo 
ao eixo Y. Os gráficos das funções polinomiais de grau n ≥ 3, não têm um mo-
delo padronizado, como acontece com os gráficos das funções polinomiais 
de grau n com n = 0, 1, 2; apenas no caso particular da função polinomial de 
grau três que pode ser escrita na forma 3f (x) a(x b) c= − + onde a ≠ 0, o 
gráfico de f tem um formato padrão e é chamado de parábola cúbica. 
CELSO ANTONIO DA SILVA BARBOSA44
As curvas das duas figuras apresentam os possíveis modelos da parábola cúbica, de 
acordo com o valor positivo ou negativo do coeficiente "a" de (x-b)3
O ponto (b,c) é dito o ponto de inflexão da parábola cúbica e pode 
ser verificado a simetria do gráfico em relação ao ponto (b,c) . A verificação 
está proposta no exercício 29 do exercitando deste tópico. Os gráficos das 
funções polinomiais de grau n ≥ 3 em geral, poderão ser estudados no tópico 
1 da aula 09, onde será visto que a parábola cúbica é o gráfico da citada fun-
ção, veja os exemplos resolvido e proposto 1 do tópico 1 da aula 09.
Exemplo Resolvido1. Fazer os gráficos das seguintes funções:
(a) 1x2)x(f +−= com ;2x1 ≤≤− 
(b) 1x6x3)x(g 2 +−= com ;2x0 <≤ 
(c) .x)x(h 3=
Solução. 
(a) O gráfico da função f seria uma reta se não houvesse nenhuma 
restrição aos valores de x, pois f é definida por uma equação de primeiro 
grau, assim limitando a variação de x ao intervalo ]2,1[− que é o domínio 
de f, tem-se o segmento de )3,1(− a )3,2( − como o gráfico de f e que 
está na figura a seguir.
(b) O gráfico da função g seria uma parábola se não houvesse res-
trição aos valores de x, pois g é uma função definida por uma equação 
polinomial de grau 2, logo limitando a variação de x ao intervalo )2,0[ que 
é o domínio de g, tem-se o arco da parábola do ponto )1,0( ao ponto )1,2(
Cálculo I 45
, exceto o ponto )1,2( pois x não chega a ser igual a 2 no domínio de g 
(no gráfico este fato é indicado colocando uma pequena circunferência no 
lugar do ponto). O vértice da parábola é (1, 2),− marcando os pontos encon-
trados e seguindo o modelo da parábola, tem-se o gráfico de g que está na 
figura a seguir.
(c) O gráfico da função é uma parábola cúbica, onde comparando com 
a equação geral, tem-se ,1a = b 0= e c 0.= Assim, o ponto de inflexão 
do gráfico é (0,0) e o gráfico contém os pontos ( 1, 1)− − e (1,1). Marcando 
os pontos encontrados e seguindo o modelo da figura, obtém-se o gráfico de 
h que está na figura a seguir.
Exemplo Proposto 1. Fazer os gráficos das seguintes funções: 
(a) 1x2)x(f −= com ;2x0 <≤ (b) 1x4x2)x(g 2 ++−= com ;1x1 ≤<− 
(c) .x)x(h 3−=
Uma função racional é o quociente de duas funções polinomiais. Por 
exemplo, a função definida por
,
1xx
2xx3)x(f 2
24
−+
+−=
é uma função racional.
O exemplo seguinte ilustra como obter o gráfico de uma função racio-
nal, que através de uma simplificação da sua equação, esta se torna uma 
função polinomial de grau 2≤ e de grau 3 do tipo apresentado. No tópico 1 
da aula 07, será visto como fazer os gráficos de funções racionais, em que 
não é possível fazer tal simplificação.
CELSO ANTONIODA SILVA BARBOSA46
Exemplo Resolvido 2. Fazer os gráficos das funções:
(a) ;
2x
4x)x(f
2
+
−= (b) 
3 2x x 4x 4g(x) .
x 2
− − +=
−
Solução.
(a) Usando a fatoração 2 2a b (a b)(a b)− = − + com a x= e b 2,= 
obtém-se 2 2 2x 4 x 2 (x 2)(x 2).− = − = − + De outra forma é como a seguir: 
sendo x 2= − uma raiz da equação 2x 4 0,− = a expressão 2x 4− pode 
ser fatorada com um fator igual a x 2,+ assim a divisão de 2x 4− por 
x 2+ é exata, isto é,
assim 2x 4 (x 2)(x 2).− = − + Portanto, tem-se
2 (x 2)(x 2)x 4f (x) x 2 se x 2.
x 2 x 2
− +−= = = − ≠ −
+ +
Logo, o gráfico de f é o gráfico da equação exceto o ponto em que 
x 2,= − ou seja, o gráfico de f é uma reta sem o ponto ( 2, 4)− − e que está na 
figura a seguir. A pequena circunferência no lugar do ponto significa que este 
ponto não faz parte da reta.
(b) Sendo x 2= uma raiz da equação 3 2x x 4x 4 0,− − + = a expres-
são 3 2x x 4x 4− − + pode ser fatorada com um fator igual a x 2,+ logo a 
divisão de 3 2x x 4x 4− − + por x 2+ é exata, isto é,
Cálculo I 47
assim ( )3 2 2x x 4x 4 (x 2) x x 2 .− − + = − + − Logo
23 2
2(x 2)(x x 2)x x 4x 4g(x) x x 2
x 2 x 2
− + −− − += = = + −
− −
 
se x ≠ 2,assim o gráfico de g é o gráfico da equação 2y x x 2= + − sem 
o ponto em que x 2,= isto é, uma parábola sem o ponto (2, 4) e que se 
encontra na figura a seguir.
Exemplo Proposto 2. Fazer os gráficos das seguintes funções:
(a) ;
1x
1x)x(f
2
+
−= (b) 3x 1g(x) .
x 1
+
=
+
O exemplo seguinte, ilustra como determinar os gráficos de algumas 
funções algébricas que não são polinomiais e nem racionais, pois as equa-
ções que definem tais funções envolve radiciação.
Exemplo Resolvido 3. Fazer os gráficos das fun ções:
(a) ;x1)x(f 2−−= (b) ;2x)x(g −= (c) .x)x(h 3=
Solução.
(a) Observe que x está no domínio de f se ,0x1 2 ≥− ou seja, se 
.1x1 ≤≤− Fazendo 2x1y −−= e elevando ao quadrado os dois lados, 
resulta em ,x1y 22 −= daí .1yx 22 =+ O gráfico desta última equação 
é a circunferência de centro na origem e raio igual a 1. Logo, o gráfico 
da equação 2x1y −−= é a parte desta circunferên cia cujos pontos 
têm a segunda coordenada menor do que zero ou igual a zero (isto é, a semi-
circun ferência abaixo do eixo X juntamente com os pontos ( 1,0)± ) e que 
está na figura a seguir.
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(b) Um valor de x está no domínio de se x − ≥2 0, isto é, se 
x ≥ 2. Elevando os dois lados da equação y x= − 2 ao quadrado, obtém-
-se y x2 2= − , assim x y= +2 2. O gráfico desta última equação é uma pa-
rábola com o eixo na posição horizontal, assim o gráfico da função dada 
é a parte desta parábola cujos pontos têm a segunda coordenada maior do 
que zero ou igual a zero (isto é, a parte da parábola que está acima do eixo 
X juntamente com o ponto (2,0) ) e que está na figura a seguir. Observe 
que o gráfico de g é também uma translação horizontal do gráfico da função 
do exemplo resolvido 2 de 2.1.
(c) Observe que o domínio de h é o conjunto dos números reais. Ele-
vando ao cubo os dois lados da equação y x= 3 , obtém-se y x3 = , ou 
seja, x y= 3. Assim, a inversa de h é definida por h x x− =1 3( ) , cujo 
gráfico é a parábola cúbica obtida no exemplo resolvido 1(c) deste tópico. 
Pelas discussões efetuadas em 2.1, para ter o gráfico de h, basta fazer a 
reflexão do gráfico de em torno da reta y x= e que está na figura a seguir.
Exemplo Proposto 3. Fazer os gráficos das seguintes funções:
(a) ;1x)x(f 2 −= (b) ;x2)x(g −−= (c) .x)x(h 3−=
Além de definir uma função usando as operações, também é possí-
vel definir uma função usando outras funções da seguinte forma: sejam 
21 fef funções com domínios ),f(De)f(D 21 respectivamente, tal que 
,)f(D)f(D 21 ∅= então a função f cujo domínio é )f(D)f(D 21  e é 
definida por
1 1f (x) f (x) se x D(f )= ∈ e 2 2f (x) f (x) se x D(f ),= ∈
é chamada uma função definida por duas equações. É comum es-
crever a função f na seguinte forma simplificada,
1 1
2 2
f (x) se x D(f )
f (x) .
f (x) se x D(f )
∈
= 
∈
Cálculo I 49
Observe que a condição ∅=)f(D)f(D 21  é indispensável para que 
f esteja bem definida. Analogamente, pode-se definir uma função usando ou-
tras três ou mais funções. 
Exemplo Resolvido 4. Fazer o gráfico da função
1 se x 1
f (x) .
x 1 se x 1
− ≤ −
= 
− > −
Solução. O gráfico de f é formado pelos gráficos de cada uma das 
equações, considerando os respectivos intervalos em que x está variando. 
Assim, fazendo o gráfico de 1)x(f1 −= se e 1x)x(f2 −= se obtém-se 
o gráfico de f que está na figura a seguir.
Exemplo Proposto 4. Fazer o gráfico da função
2x 4 se x 1 ou x 1
g(x) 3x se 1 x 0
3x se 0 x 1
ìï - <- ³ïïï= - £ <íïï - < <ïïî
 e concluir que está na figura a seguir.
Uma função envolvendo valor absoluto é qualquer função definida 
por uma ou mais equações em que aparece o símbolo de valor absoluto. O 
exemplo seguinte, ilustra como obter o gráfico de algumas dessas funções.
Exemplo Resolvido 5. Fazer os gráficos das funções:
(a) f (x) x= (função valor absoluto); 
(b) 2g(x) | x 1 | .= -
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Solução.
(a) Observe que o domínio de f é o conjunto dos números reais. Usan-
do a definição de valor absoluto, tem-se
x se x 0f (x) ,
x se x 0
≥= − <
que reduz f a uma função definida por duas equações. Assim, fazendo 
os gráficos de x)x(f1 = se 0x ≥ e x)x(f2 −= se ,0x < tem-se o 
gráfico de f que está na figura a seguir.
(b) Da definição de valor absoluto, obtém-se
2 2 2
2 2 2
x 1 se x 1 0 x 1 se x 1 ou x 1
g(x) .
(x 1) se x 1 0 1 x se 1 x 1
 − − ≥ − ≤ − ≥ = = 
− − − < − − < <  
Fazendo o gráfico de cada uma das equações de g, considerando as 
restrições aos valores de x, tem-se o gráfico da função g, que está na figura 
a seguir.
Exemplo Proposto 5. Fazer o gráfico das funções:
(a) ;1|x|)x(f +−=
(b) .x|1x|)x(g 2−+=
O símbolo [ ]b (lê-se, maior inteiro menor ou igual a b) é definido como 
o maior número inteiro que é menor ou igual a b. Por exemplo: [ ] ,− = −2 2 
[ 2,3] 3,− = − [2] 2= e [2,5] 2.= Uma função envolvendo maior inteiro é 
qualquer função definida por uma equação em que aparece o símbolo maior 
inteiro. O exemplo seguinte, ilustra como obter os gráficos de algumas dessas 
funções.
Cálculo I 51
Exemplo Resolvido 6. Fazer os gráficos das funções:
(a) f (x) [x]= (função maior inteiro); 
(b) g x x x se x( ) [ ] .= + − ≤ <2 2
Solução.
(a) O domínio de f é o conjunto dos números reais. Tomando, por 
exemplo, a variação de x no intervalo [ 3, 4),− tem-se que, sendo:
3 x 2− ≤ < − então f (x) 3,= −
2 x 1− ≤ < − então f (x) 2,= −
1 x 0− ≤ < então f (x) 1,= −
0 x 1≤ < então f (x) 0,=
1 x 2≤ < então f (x) 1,=
2 x 3≤ < então f (x) 2,=
3 x 4≤ < então f (x) 3;=
portanto, obtém-se o gráfico de f que está na figura a seguir.
(b) Tem-se que, sendo:
2 x 1− ≤ < − então [x] 2= − e g(x) 2 x,= − +
1 x 0− ≤ < então [x] 1 e g(x) 1 x,= − = − +
0 x 1≤ < então [x] 0 e g(x) x,= =
1 x 2.≤ < então [x] 1 e g(x) 1 x.= = +
Fazendo o gráfico de cada uma das partes e considerando as respecti-
vas variações de x, obtém-se o gráfico de g que está na figura a seguir
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Exemplo Proposto 6. Fazer os gráficos das funções:
(a) ;]x[)x(f −=
(b) .2x2sex]x[)x(g <≤−−= se .2x2sex]x[)x(g <≤−−=
São consideradas como funções transcendentes, as funções trigono-
métricas, logarítmicas, hiperbólicas e as inversas de tais funções; ou ainda, 
as funções obtidas através de um número finito de operações envolvendo tais 
funções. As funções trigonométricas seno e co-seno serão definidas a seguir, 
a fim de que possam ser utilizadas em exemplos e exercícios, as demais fun-
ções transcendentes serão estudadas posteriormente.
DICA. Leia um texto sobre “Ângulo, Medidas de Ângulos